1 sciações Forçadas Considere o caso de u corpo de assa suspenso por ua oa e subetido a ua força F F sen t. a posição de equiíbrio, P = k est Lebraos aqui que k 0 é a freqüência natura do sistea. Para encontraros x substituíos na equação não hoogênea x ( t) x sen t x ( t) x cos t p p x () t x sen t p ssi, tereos: x F ( ) 0 F 1 0 0 0 x( t) C cos t C sen t sen t ( ) Se introduziros ua força externa a u sistea, variáve periodicaente, o sistea vibrará co a esa freqüência que a da força. Esse oviento é chaado de osciação forçada. E gera, a apitude desse oviento é reativaente pequena, as se a freqüência da força coincidir co a freqüência natura de osciação (dos odos norais) a apitude poderá ficar uito grande. Sendo a defexão áxia produzida por ua força F sobre ua viga, ostre que: x 1 0 correrá ressonância quando = 0 ( freqüência da força externa é igua à freqüência natura do sistea). Figura 1 figura ostra u osciador na posição vertica sujeito a ua força restauradora co ua apitude F e ua freqüência anguar = f. equação de oviento, chaando de x o desocaento do corpo a partir de sua posição de equiíbrio: F x F sen t Pk( x e) u x kx F sen t Essa é ua equação diferencia não hoogênea, cuja soução é ua soa da soução da equação hoogênea: x kx 0 x ( t) C1 cos 0t Csen t H 0 co ua soução particuar x p (t) que varia co a esa função da força apicada. Tabé é chaada de soução peranente pois durará co a apicação da força externa. Já a soução hoogênea denoina-se tero transiente, pois é de curta duração. x( t) x ( t) x ( t) H p () x k x F sen t x t x sen t p Figura Iustração da ressonância e u sistea forçado, quando a freqüência natura f 0 coincide co a freqüência da força apicada f. essonância o caso e que a freqüência da força for exataente igua à de u odo nora, e supondo inexistir atrito ou quaquer outra força dissipativa, a força externa continuaria a fornecer energia ao sistea e a apitude cresceria indefinidaente. E quaquer sistea rea, sepre há dissipação de energia, as a resposta (a apitude da osciação forçada) do sistea é
áxia quando a freqüência da força é igua a ua das freqüências dos odos norais. Esse coportaento é chaado de ressonância. Sendo assi: f f 0 0 Exepos de essonância e sisteas U exepo uito cou é quando epurraos o baanço de ua criança. Dá-se o noe de ressonância ecânica. baanço é u pênduo cuja única freqüência natura depende de seu copriento. Dando ua série de epurrões iguaente espaçados, cuja freqüência é igua a do baanço, o oviento torna-se uito grande. fenôeno de ressonância pode ser deonstrado co o auxíio das ondas ongitudinais criadas no ar por u diapasão. Se dois diapasões idênticos fore coocados a ua certa distância u do outro e u dees for ativado, o outro coeça a ser ouvido no oento e que o prieiro é subitaente aortecido. Se coocaros u pedaço de cera ou assa de odear e u dos diapasões, a freqüência deste será aterada a ponto de destruir a ressonância. Fenôeno seehante pode ser deonstrado co o piano. Co o peda de aorteciento puxado, de odo que os abafadores deixe as cordas vibrare ivreente, canta-se ua nota contínua junto ao piano. Quando se pára de cantar, o piano parece continuar a tocar a esa nota. s ondas sonoras da voz excita vibrações nas cordas cujas freqüências naturais estão próxias (nos tons ou sobretons) das da nota cantada iniciaente. s cordas esticadas possue uitas freqüências naturais vibração. naogaente, ua ponte é capaz de vibrar co certas freqüências naturais, tornando-se perigoso quando u agente externo provoque sobre ea força co ua freqüência de osciação igua à natura. corpo de u instruento usica coo u vioão é u exepo de ua caixa de ressonância. s vibrações da corda entra e ressonância co a estrutura da caixa de adeira apificando o so e acrescentando vários harônicos, fornecendo o tibre característico do instruento. Se o corpo, o so da corda seria fraco e insosso. E ua guitarra a ressonância é substituída, parciaente, por efeitos eetrônicos. Para ua corda de copriento L, as freqüências produzidas serão: f n nv n 1,,,... L Denoina-se a frequência ais baixa de fundaenta: f 1 v L freqüência fundaenta denoina-se prieiro harônico. s outras são denoinadas de sobretons (f 1,f 1,4f 1,...,). Sobretons cujas freqüências são núeros inteiros da fundaenta fora a chaada série harônica. freqüência fundaenta f 1 é chaada de prieiro harônico. freqüência f 1 é o prieiro sobreto ou segundo harônico. freqüência f 1 é o segundo sobreto ou o terceiro harônico e assi por diante. Conta-se que u regiento de apoeão entrou archando e ua ponte e a freqüência do copasso da archa, por azar, coincidiu co a freqüência natura de vibração da ponte. correu a ressonância e a ponte passou a osciar co grande apitude e desabou. partir desse desastre os sodados passara a quebrar o passo sepre que atravessa agua ponte. utro exepo interessante, envovendo ressonância ecânica, aconteceu e ua ponte nos Estados Unidos, configurando o aior incidente desse porte. ponte suspensa de Tacoa, ocaizada no estado de Washington, caiu devido a força osciante provocada por ua ventania de 70k/h. E 1º de juho de 1940, a ponte foi aberta ao púbico e rapidaente ganhou o apeido de "Gaoping Gertie" (Gertie gaopante) devido a seu coportaento osciante eso sob a ação de ventos fracos. E 7 de novebro, depois de quatro eses após sua inauguração, o vão centra (co 1,9 k de extensão) coeçou a osciar e odo transverso, co ua freqüência de 6 Hz e ua apitude de 1,5 pés. os inutos seguintes, o apareciento de u odo de vibração torsiona (de 14 Hz) e dois segentos da ponte, deterinou o coapso fina. ponte foi construída dentro das noras ais rígidas e co a ehor tecnoogia disponíve na época. Cientistas do Instituto de Tecnoogia da Caifórnia ostrara co a ajuda do túne de vento que o coapso aconteceu devido à ressonância causada peo vento através de u ecaniso de foração de vórtices. Ua vez que a ponte coeçou a onduar, o apareciento dos vórtices aterais copôs o oviento que partiu a estrutura. Iniciaente, a ponte coeçou a vibrar e odos ongitudinais, isto é, ao ongo de seu copriento; aí aparecera os chaados "odos torsionais", nos quais a ponte baançava para os ados, se torcendo siutaneaente. a ressonância, a apitude desses odos torsionais auentou e a ponte entrou e coapso. ressonância óptica tabé pode ocorrer entre átoos de u gás a baixa pressão e ondas uinosas eitidas por ua âpada que conté os esos átoos. ssi, a uz de ua âpada de sódio pode fazer co que os átoos de sódio de u recipiente de vidro brihe co a uz aarea característica dessa substância. Figura Ponte de Tacoa arrows, e Tacoa, Washington, inaugurada e 1 de juho de 1940, nos EU e derrubada peo vento, devido a entrar e ressonância, e 1 de novebro de 1940. Veja só a situação do carro do.
Tero de desbaanceaento Muitas vezes, a força áxia é dada pea equivaência e assa desbaanceada e reação a u eixo de rotação de raio. ssi, se tiveros u otor girando co ua freqüência f, tereos para freqüência anguar: f força centrípeta é dada por: v Fcp Coo: v F cp sintonia de rádio é u exepo de ressonância eétrica. Quando giraos o dia faz-se co que a freqüência natura de ua corrente aternada, no circuito receptor, se torne igua à freqüência das ondas da eissora que se deseja captar. s ondas de rádio e TV que viaja no espaço te ua freqüência característica de vibração. E a onda de cada eissora te ua freqüência própria, diferente da freqüência das deais eissoras. s rádios antigos tinha u botão - o dia - para "sintonizar" as eissoras. tuaente, co os sisteas digitais, os botões não são de girar e si de apertar. Sintonizar ua eissora significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar e ressonância co a onda da eissora. Modifica-se freqüência natura de vibração do circuito eetrônico de seu receptor udando-a peo toque. Essa vibração não é ecânica, coo nas oas, as ua rápida variação nas correntes eétricas que percorre o circuito. a ressonância, o receptor "capta" energia da onda de rádio ou TV co eficiência áxia e o sina da eissora é reproduzido peo receptor. s ondas das outras eissoras, co freqüências diferentes, não estão e ressonância co o receptor e passa se interagir co ee. guas pessoas sente enjôo ao viajar de carro por causa da ressonância entre as vibrações de baixa freqüência do carro e seus órgãos digestivos, estôago e intestinos. reédio para essas pessoas é beber ou coer ago. Isso udará a freqüência natura desses órgãos internos e não causará a ressonância. a aioria dos casos, a vibração é u fenôeno indesejáve, sendo causa de quebra de peças, geração de ruídos, transissão de forças às fundações das áquinas, etc. esse caso, procuraos iniizar os seus efeitos através do isoaento de vibrações, que consiste na coocação de ua suspensão (oas e aortecedores) entre a áquina e o soo. Ta suspensão pode ser ativa ou passiva. Dizeos que a suspensão é ativa quando a vibração é gerada peo próprio sistea ecânico e, nesse caso, desejaos reduzir a vibração transitida por ee para a base (fundação). É o caso, por exepo, de prensas ecânicas que gera vibrações e as transite, através do soo, para as deais áquinas nas proxiidades. Por outro ado, dizeos que a suspensão é passiva quando a vibração é gerada no eio abiente e desejaos reduzir a vibração vinda da base para o sistea ecânico. É o caso, por exepo, das vibrações geradas peas irreguaridades da estrada e que são transitidas à carroceria de u autoóve. Se o centro de assa de u corpo rígido e rotação não coincidir co o centro de rotação, dizeos que o sistea está desbaanceado. Muitas vezes, a força áxia é dada pea equivaência e assa desbaanceada e reação a u eixo de rotação de raio. ssi, se tiveros u otor girando co ua freqüência f, tereos para freqüência anguar: f força centrípeta é dada por: v Fcp Coo: v F cp
Exercícios 1. U ciindro de 5 kg está suspenso por ua oa de constante igua a 0 / e está subetido a ua força periódica vertica F F sen t F, onde 14. Deterine a apitude do oviento do ciindro para (a) = 6 rad/s e (b) = 1 rad/s. rotor decresce continuaente de 1.95 para 1.0. Deterine a veocidade para a qua ocorrerá ressonância. 9. Para o otor considerado no probea anterior, deterine a veocidade do otor a qua a apitude de vibração é.54. 4. U ciindro de assa suspenso de ua oa de constante k está sob a ação de ua força periódica vertica de óduo F F sen t. Deterine a faixa de vaores de para os quais a apitude de vibração excede duas vezes a defexão estática produzida por ua força de oduo F.. o Probea deterine a faixa de vaores de para os quais a apitude de vibração é enor que a defexão estática produzida por ua força de óduo constante F. 4. U pênduo sipes de copriento /está preso a u cursor C, que é forçado a desocar-se horizontaente de acordo co a reação C x sen t. Deterine a faixa de vaores de para a qua a apitude do oviento da assa exceda. (Suponha que é pequeno e coparação ao copriento do pênduo.) F F sen t. 10. U otor de 9 kg é suportado por quatro oas, cada ua de constante 0 k/. otor é forçado a over-se verticaente e a apitude observada de seu oviento é de 1. a ua veocidade de 1 00 rp. Sabendo que a assa do rotor é.5 kg, deterine a distância entre o centro de assa do rotor e o eixo da árvore. 5. o Probea 4, deterine a faixa de vaores de para a qua a apitude do oviento da assa seja aior que. 6. U otor de 15 kg é suportado por ua viga eve horizonta. desbaanceaento do rotor é equivaente a ua assa de 5 g ocaizada a 00 do eixo de rotação. Sabendo que a defexão estática da viga devida ao peso do otor é 6.9, deterine (a) a veocidade (e rp) e que ocorrerá a ressonância (b) a apitude do estado estacionário do otor na freqüência de 70 rp. 7. esova o Probea 6 supondo que o otor de 15 kg seja suportado por u conjunto de oas tendo ua constante tota de 50 k/. 8. Quando se auenta entaente a veocidade de u otor, suportado por oas, de 00 para 400 rp, a apitude de vibração devida ao desbaanceaento do 11. o Probea anterior, deterine a apitude do oviento vertica do otor a ua veocidade de (a) 450 rp, (b) 1600 rp (c) 900 rp. 1. barra B está rigidaente presa à carcaça de u otor de veocidade constante. Quando u cursor de assa é coocado sobre a oa, observa-se que vibra co apitude de 10. Quando dois cursores, cada u de assa, são coocados sobre a oa, a apitude observada é de 1. Que apitude de vibração deve ser esperada quando três cursores, cada u de assa, fore coocados sobre a oa? (btenha duas respostas.)
5 1. esova o Probea 1 supondo que a veocidade do otor é udada e u cursor te apitude de 1 e dois cursores tê ua apitude de 4. 14. Três ciindros idênticos, B e C estão suspensos por eio de arranjos de oas idênticas que se prende nua barra DE, coo iustrado. barra DE, ove-se verticaente acordo co a reação y sen t. Sabendo que as apitudes da vibração dos ciindros e B são 0.081 e 0.0191, respectivaente, deterine a apitude de vibração de C. e p r 1 p 18. U disco de assa igua a 0 kg está preso, co ua excentricidade e = 0.5, no ponto édio de u eixo vertica B que gira co veocidade anguar constante. Sabendo que ua força estática de 150 defete o eixo de 0.4, deterine (a) a veocidade anguar para a qua ocorre ressonância e (b) a defexão r do eixo quando f = 100 rp. 19. apitude do oviento da assa do pênduo ostrado na figura é 60 quando a apitude do oviento do cursor C é 15. Sabendo que o copriento do pênduo é = 900, deterine os dois vaores possíveis da frequência do oviento horizonta do cursor C. xc sen t C 15. esova o Probea 15, supondo que as apitudes de vibração dos ciindros e B são 0.00 e 0.005, respectivaente. 16. U otor de veocidade variáve está rigidaente preso à viga BC. Quando a veocidade de rotação do otor é enor que 750 rp ou aior que 1 500 rp u pequeno objeto coocado e peranece e contato co a viga. Para frequências entre 750 rp e 1 500 rp, observa-se que o objeto dança e efetivaente perde contato co a viga. Deterine a veocidade anguar guiar e que ocorrerá ressonância. 0. Considere o sistea indicado na figura. apitude do oviento da esferazinha é 1 para = 750 e 17 para = 500. Deterine a frequência e a apitude do oviento horizonta do cursor C. 1. U pequeno reboque co assa tota de 7 kg é suportado por duas oas, cada ua de constante 17,5 k/. reboque é puxado sobre ua estrada cuja superfície pode ser aproxiada por ua curva senoida de 8.1 de apitude e 4.88 de copriento de onda (isto é, a distância vertica de ua crista a u cavado é de 76. ). Deterine (a) a veocidade e que ocorrerá ressonância, e (b) a apitude de vibração do reboque a ua veocidade de 64.4 k/h. x 17. U disco de assa está preso ao ponto édio de u eixo vertica que gira co ua veocidade anguar. Denotando por k a constante de easticidade do sistea para oviento horizonta do disco e por e a excentricidade do disco e reação ao eixo, ostre que a defexão do centro do eixo pode ser escrita na fora: - 4,88 -. Sabendo que a apitude de vibração do reboque do Probea 0 não deve exceder 19.1, deterine a enor veocidade co que o reboque pode ser tracionado sobre a estrada.
6 Vibrações Livres de Corpos ígidos anáise das vibrações de u corpo rígido ou de u sistea de corpos rígidos que possui u único grau de iberdade é anáoga à anáise das vibrações de u ponto ateria. Ua variáve apropriada, coo ua distância x ou u ânguo, é escohida para definir a posição do corpo o sistea de corpos, e escreve-se ua equação reacionando esta variáve e sua derivada segunda e reação ao tepo t. Se a equação obtida for da esa fora que: d x 0 x 0 dt a vibração considerada será u oviento harônico sipes. período e a freqüência da vibração poderão, então, ser obtidos identificando-se 0 e substituindo na equação. E gera, u odo sipes de se obter a equação anterior é considerar que o sistea das forças externas é equivaente ao sistea das forças efetivas, traçando u diagraa do corpo para u vaor arbitrário da variáve e escrevendo a equação do oviento apropriada. ecordeos que nosso objetivo é a deterinação do coeficiente da variáve x ou, não a deterinação da variáve e si ou das derivadas. Fazendo este coeficiente igua a, obteos a freqüência anguar 0 da qua o período T e a freqüência f pode ser deterinados. étodo que acabaos de deinear pode ser utiizado para anaisar vibrações que seja de fato representadas por u oviento harônico sipes, ou vibrações de pequena apitude que possa ser aproxiadas a u oviento harônico sipes. Coo u exepo, deterineos o período de pequenas osciações da paca de ado L que está suspensa do ponto édio de u dos ados. Considereos apaca nua posição arbitrária definida peo ânguo que a inha G fora co a vertica e traceos u diagraa para indicar que o peso P da paca e as coponentes x e y da reação e são equivaentes aos vetores a e a T e ao oento. Coo a veocidade anguar e a aceeração anguar da paca são iguais, respectivaente, e, os óduos dos dois vetores são, respectivaente, b e, enquanto o oento é I Q. E apicações b anteriores deste étodo, tentaos sepre que possíve supor o sentido correio para a aceeração. qui, poré, deveos supor o sentido positivo para e a fi de obter ua equação da fora do osciador harônico. Conseqüenteente, a aceeração anguar 0 será suposta positiva no sentido anti-horário, ainda que esta suposição não seja obviaente reaística. Iguaando os oentos e reação a, escreveos: picando o teorea dos eixos paraeos: I I G Lebrando que: G 1 IG b h 1 b b ase ase h b 1 IG b b 1 1 IG 8b IG b 1 ou G Substituindo na equação G I I G para b, tereos: b b I b b 5 I b ssi, se apicaros a equação do oviento, reativa à transação e rotação de u corpo rígido: Soa das forças externas é igua ao produto da assa pea aceeração ( a Lei de ewton): F i i1 a Soa dos oentos das forças externas e reação ao eixo de rotação é igua ao produto do oento de inércia I e reação a esse ponto utipicado pea aceeração anguar: i1 Fi I Pb sen I
7 5 g bsen b 5 0 b g b sen g sen 0 5 b Para ânguos pequenos: Coparando co: sen g 0 5 b d g 0 dt 5 b d x 0 x 0 dt Veos que a freqüência anguar de vibração é dada por: g 5 b g 5 b E o período: 5b T T g ssi, os passos para resover u probea de vibração de corpo rígido consiste e: Identificar o centro de osciação e as forças externas, juntaente co os pontos de apicação de cada força externa identificada no corpo rígido. esover a equação: i1 Fi I Consiste e: 1) fazer a soa de todos os toques das forças externas e reação ao centro de osciação. ) Cacuar o oento de inércia I do corpo rígido e reação ao ponto de osciação utipicando pea aceeração anguar Quando necessário, utiizar o teorea dos eixos paraeos: I I G G Escrever a equação na fora: d F I 0 i dt i1 u 0 d 0 F I i i1 dt ssi: T Exepo 1 U ciindro de peso P e raio r está suspenso por u aço de corda, coo ostra a figura. Ua extreidade da corda está presa diretaente a u suporte rígido, enquanto a outra extreidade está presa a ua oa de constante eástica k. Deterine o período e a freqüência de vibração do ciindro. T 0 r i1 B r B T x B P a Fi I Escohendo o ponto = tereos: F I T r Pr I i1 i picando o teorea dos eixos paraeos: M I I M I M M T P M Mr T r Pr ntes da deforação: pós a deforação: T T P T 0 0 0 P P T T0 k k r P T T0 k k r
8 P M r k r r P r Mr r P 4k r Pr Mr 4k r 8k 8k 8k T T 8 k 1 8 k f f Exepo U disco cicuar, pesando 100 e de raio 0., está suspenso por u arae coo iustrado. disco é girado (torcendo, portanto, o arae) e e seguida iberado; o período de vibração de torção é de 1.9 s. Supondo que o oento do binário exercido peo arae é proporciona ao ânguo de torção, deterine (a) a constante de torção do arae, (b) o oento de inércia baricêntrico da engrenage e (c) a veocidade anguar áxia acançada pea engrenage quando é girada de 90 0 e iberada. 0. i1 Fi I K 0 I o K I o T T K K 1 K f f Exepo Deterine o período de pequenas osciações de u ciindro de raio r que roa se escorregar no interior de ua superfície curva de raio. (1) G r () Energia potencia na posição (1): E Ph P( r) 1cos p1 1 cos sen Para pequenos ânguos, essa aproxiação será utiizada. Então: Ep P r 1 Quando a esfera estiver na posição ais baixa, sua energia cinética será dada por: Coo: 1 1 Ec v I v r r r Exepo 4 U fio hoogêneo dobrado na fora de u triânguo equiátero de ado = 50 é posto a osciar co pequena apitude. Deterine o período das pequenas osciações (a) quando o fio estiver suspenso por u vértice e (b) peo ponto édio de u dos seus ados. Moento de torção: M o K K: constante de torção do arae.
9 i1 0 - θ i1 0 0 Fi Fi P1 P P I θ θ + 0 F Psen 0 Psen 0 i i1 Psen h sen 0 sen0 cos sen cos0 sen 0 sen0 cos sen cos0 i1 I h F P sen cos0 P sen i i1 F P sen P sen i i1 Fi g sen I I I I 1 I I 1 I I G G I h 1 I 1 10 9 1 4 1 1 1 5 I 6 5 I I I 1 I 6 5 9 I 6 6 6 6 I i1 Fi I g sen g sen 0 g 0 g g 6.71 rad s T 0.9s picação do Princípio da Conservação da Energia. Quando u ponto ateria de assa está e oviento harónico sipes, a resutante F das forças exercidas sobre o ponto ateria te óduo proporciona ao desocaento x edido a partir da posição de equiíbrio e está dirigida sepre para ; escreveos F = - kx. otaos que F é ua força conservativa e que a correspondente energia potencia é V 1 k x, onde V é suposto igua a zero na posição de equiíbrio x=0. Coo a veocidade do ponto ateria é igua a dx x dt sua energia cinética é 1 T x e podeos afirar que a energia tota do ponto ateria se conserva escrevendo: 1 1 T V k x x Coocando k constante onde é a frequência anguar de vibração, teos: x x =constante equação acia é característica do oviento harónico sipes e pode ser obtida diretaente de utipicando-se abos os teros por x e integrando. princípio da conservação de energia fornece u cainho conveniente para a deterinação do período de vibração de u corpo rígido ou de u sistea de corpos rígidos que possue u único grau de iberdade, ua vez que tenha sido estabeecido que o oviento é harónico sipes, ou que possa ser aproxiado por u oviento harónico sipes. Escohendo ua variáve apropriada, ta coo ua
10 distância x ou u ânguo θ, considereos duas posições particuares do sistea: 1. desocaento do sistea é áxio; teos T 1 = e V 1, pode ser expresso e função da apitude x ou θ (escohendo V = 0 na posição de equiíbrio).. sistea passa por sua posição de equiíbrio; teos V = 0 e T, pode ser expresso e função da veocidade áxia x ou. E seguida consideraos que a energia tota o sistea se conserva e escreos: T V T V 1 1 Lebrando que, para o oviento harónico sipes: x x. Ua barra B de 5.44 kg está rebitada a u disco hoogêneo de 4.5 kg. Ua Corrêa prende-se à borda do disco e a ua oa que anté a barra e repouso, horizontaente. 0.76 B k = 4.8k/ C D Exercícios 1. barra hoogênea de,00 kg ostrada na figura está presa a ua oa de constante k = 900 /. Se a extreidade da barra é abaixada de 5 e então sota, deterine (a) o período de vibração e (b) a áxia veocidade da extreidade. Se a extreidade da barra for abaixada de 8.1 e então sota, deterine: (a) de quanto será o período. (b) a áxia veocidade da extreidade. 4. U ciindro hoogêneo de 5,00 kg pode roar se escorregar nu pano incinado e está preso a ua oa B, coo indica a figura. Se o centro do ciindro for desocado de 10, pano abaixo, a partir do seu ponto de equiíbrio e, então, soto, deterinar (a) qua será o período de vibração (b) a áxia veocidade do centro do ciindro. 1.5 0.75. barra hoogênea de 5,44 kg está presa a ua oa de constante k = 55 /. extreidade B da barra for abaixada de 1,7 e, então, sota, deterine (a) o período de vibração e (b) a áxia veocidade de B. 5. Ua correia, passando pea periferia de u disco de 1 kg, está presa a u ciindro de 4 kg e a ua oa de constante k = 500 /, coo indica a figura. ciindro é abaixado de 75, a partir de sua posição de equiíbrio e, então, é soto. Deterine (a) o período de vibração e (b) a áxia veocidade do ciindro. Suponha que o atrito é suficiente para ipedir o escorregaento da correia sobre o disco. b = 0.5 0.914 6. o Probea 5, deterine: (a) a freqüência de vibração e (b) a áxia tensão entre e S e C.
7. barra hoogênea de 5,44 kg está presa a ua oa de constante k = 55 /. extreidade da barra for abaixada de 1,7 e, então, sota, deterine (a) o período de vibração e (b) a áxia veocidade de. G 11 8. o Probea, deterine: (a) o vaor de b para o qua ocorre o áxio o de vibração e (b) o vaor desse período. 1 b 1 b 1 1 11. Ua paca quadrada hoogênea de assa é antida nu pano horizonta por u pino e B e está presa e a ua oa de constante k. Desoca-se igeiraente o vértice e a seguir abandona-se a paca. Deterine o período do oviento subseqüente. B 9. Ua barra hoogênea B de,00 kg está presa a ua oa de constante 900 /, coo indica a figura. Coocase e u boquinho C de 0,50 kg. (a) Se a idade for então abaixada de o (pequeno) e, a seguir, for sota, deterine o período de vibração. (b) Deterine o áxio vaor perissíve de o para que boco C não perca o contato co durante todo o oviento. 1. U pênduo coposto e definido coo ua paca rígida que oscia e torno de u ponto fixo, chaado centro de suspensão. Mostre que o período de osciação de u pênduo coposto é igua ao período de u pênduo sipes de copriento, onde a distância de ao centro de assa G é k G r. ponto é definido coo o centro de osciação e coincide co o centro de percussão definido no Probea 17.66. 1.5 0.75 10. Ua barra de assa e copriento /está suspensa por duas oas, cada ua de constante k. Deterine a freqüência de vibração se a barra for (a) desocada verticaente e, sota e (b) girada de u pequeno ânguo e torno de u eixo horizonta passando por G e, abandonada (c) Deterine a razão b/ para a qua as freqüências cacuadas nos itens (a) e (b) são iguais. 1. Mostre que, se o pênduo coposto considerado no Probea 1, está suspenso e ao invés de, o período de osciação é o eso que antes e o novo centro de osciação está ocaizado e. 14. Ua paca rígida oscia e torno de u ponto fixo. Mostre que o período ínio de osciação ocorre quando a distância r do ponto ao centro de assa G é igua a k.
triânguo equiátero de ado = 50 é posto a osciar co pequena apitude. Deterine o período das pequenas osciações (a) quando o fio estiver suspenso por u vértice e (b) peo ponto édio de u dos seus ados. 1 15. guas dificudades aparece quando se usa u pênduo sipes ou coposto deterinação experienta da aceeração da gravidade g. o caso do pênduo sipes, o fio verdadeiraente desprovido de assa, enquanto no caso do pênduo coposto, torna-se ocaizar exataente o centro de assa. este útio caso a dificudade pode ser contornada se u pênduo reversíve ou de Kater. Constróe-se dois pontos de apoio e B não-siétricos e reação ao centro de assa e ede-se a distância co grande precisão. justa-se a do contrapeso D de odo que o período de osciação t quando se usa o ponto de suspensão é idêntico o período de osciação quando se usa B. Mostre que t é igua ao de pênduo idea de copriento e que: g 4. 0. Duas barras degadas e hoogêneas, cada ua de assa estão sodadas na fora de u T, coo indica a figura. Deterine a freqüência de pequenas osciaçóes do sistea. B C D 16. Deterine o período de pequenas osciações de ua paca hoogênea seicircuar de raio r quando (a) suspensa por. (b) quando suspensa por B. 1. eove-se teporariaente a pá B do gerador a vento ostrado na figura. Ipede-se o gerador de se over e torno de y as as três pás restantes, rigidaente igadas, pode osciar e torno de x. Supondo que cada pá seja equivaente a ua barra de 6.6 de copriento, deterine o período das pequenas osciações, na ausência de vento. 17. Ua barra hoogênea de copriento pode osciar e torno de ua articuação ocaizada a ua distância c do seu centro de assa G. (a) Deterine a freqüência de pequenas osciações se c = /. (b) Deterine u segundo vaor de c para o qua a freqüência das pequenas osciações é a esa que a encontrada na parte a. 18. Para a barra considerada no Probea 19.4, deterine (a) a distância c para que a freqüência de osciação seja áxia e (b) o correspondente período ínio. 19. U fio hoogêneo dobrado na fora de u
. bservou-se que o período de pequenas osciações e torno de, da biea, é de 1.06 s. Sabendo que a distância r a é 170. deterine o raio de giração baricêntrico da figura. 7. Suspende-se ua barra de 6 kg por eio de u fio de aço que constante torsiona k = 1,75 /rad. Dá-se à barra u giro de 180 e torno da vertica e, então, sota-se o sistea. Deterine (a) o período de osciação e (b) a áxia veocidade da extreidade da barra. r a 1 r b. Ua biea é suportada por u gue no ponto ; o período das pequenas osciações, observado, é de 0.895 s. biea é então invertida e suportada peo gue no ponto B, e o período das pequenas osciações, observado, é de 0.805. Sabendo que r a + r b = 70, deterine: (a) a ocaização do centro de assa G, (b) o raio de giração baricêntrico k. 8. Ua paca fina e circuar de raio resta suspensa por três araes copriento h, iguaente espaçados e torno do períetro da paca. Deterine o osciação quando (a) a paca é girada de u pequeno ânguo e torno de u eixo vertics por seu centro de assa e iberada e (b) é dada ua pequena transação horizonta à seguida, é iberada. 4. e 5. U disco de raio r pode osciar e torno do eixo B a ua distância b do centro de assa G, coo indica a figura, (a) Deterine o período de pequenas osciações para b = r. (b) Deterine u segundo vaor de b para o qua o período de osciação é igua ao obtido na parte (a). 6. bserva-se u período de.60 s para as osciações anguares do giroscópio de 750 g. suspenso por u arae coo iustrado. Sabendo que o período obtido quando ua esfera de aço de 60 de diâetro é suspensa da esa fora, raio de giração baricêntrico do rotor (assa específica do aço = 7.85 x 10 kg/ ). 9. esova o Probea 8 supondo que r = 750 e h = 600. 0. U disco unifore de 0.54 de raio e 8.16 kg de assa está preso a u eixo vertica que é rigidaente preso e B. Sabe-se que o disco gira de quando u oento estático de 4,5 é apicado ao eso. Se o disco é girado de 8 e e seguida iberado, deterine (a) o período da vibração resutante e (b) a veocidade áxia de u ponto na borda do disco. 1. Ua peça de aço fundido é rigidaente parafusada ao disco do Prob. 19.55. Sabendo que o período da vibração de torção do disco e da peça é 0,90 s, deterine o oento de inércia da peça fundida e reação ao eixo B.
. Deterine o period do pênduo sipes de copriento. 14. bserva-se que as oas de u autoóve expande-se 0.0 a partir de ua posição de reaxaento, quando o veícuo é evantado por diversos guinchos. Supondo que cada oa suporta ua parcea igua do peso do autoóve, deterine a frequência das vibrações ivres do veícuo. 4. Utiizando o étodo da Seção 19.6, resova o Probea 19.. 5. Utiizando o étodo da Seção 19.6, resova o Probea 19.4. 41. bserva-se que quando u peso de 5.6 está preso à borda de u voante de 1.8 de diâetro, o período das pequenas osciações do voante é s. Despreze o atrito no eixo e deterine o oento de inércia baricêntrico do voante. 6. U arae hoogéneo de copriento, dobrado confore a iustração, oscia e torno do pino B. Denotando por τ 0 o período de pequenas osciações quando β = 0, deterine o ânguo β para que o período de pequenas osciações seja τ 0. 4. Usando o étodo da Seção 19.6, resova o Probea 19.45. B 4. barra hoogénea BC de.7 kg está preso a duas oas coo indica a figura. Dá-se u pequeno desocaento à extreidade Ce se ibera o sistea. Deterine a frequência de vibração da barra. β β 7. Sabendo que = 750 e β = 40, deterine o período de osciação do arae dobrado. 8. U fio hoogêneo foi dobrado na fora de u quadrado de ado está preso e por ua junta esférica. Deterine o período de pequenas osciações do quadrado, (a) no pano (b) nua direção perpendicuar ao quadrado. C 44. esova o probea anterior considerando-se que as oas fora perutadas, de odo que k B = 700 / e k C = 55 /. 45. Soda-se a barra B de 5 kg a u disco hoogéneo de 8 kg. Ua oa de nstante 450 / encontra-se presa ao disco, antendo a barra na posição ostrada na figura. Desoca-se igeiraente a extreidade B e ibera-se o sistea. Deterine o período de vibração da barra. 0.10 0.500 9. esova o probea anterior supondo o quadrado suspenso por u de seus vértices. 40. U disco hoogéneo de raio C está preso e por eio de ua junta esférica. Deterine a frequência das osciações de pequena apitude (a) no pano do disco e (b) nua direção perpendicuar ao disco. C B
46. Para o sistea considerado no Probea 45, deterine a constante da oa para a qua o período de vibração da barra é 1.5 s. 5. Três barras idênticas estão igadas coo iustrado. Se b deterine a freqüència das pequenas osciações do sistea. 4 47. barra degada B de assa está presa a dois cursores de assas desprezíveis. Sabendo que o sistea repousa nu pano horizonta e está e equiíbrio na posição iustada deterine o período de vibração se se desocar igeiraente o cursor e, então, se iberar o sistea. 15 48. s discos e fite assas de kg e 8 kg, respectivaente. U pequeno boco C de assa igua a 750 g está preso à borda do disco B. Supondo que não haja escorregaento entre os discos, deterine o período das pequenas osciações do sistea. 90 5. Para o sistea considerado no probea anterior, deterine (a) a distância b para a qua a frequência de osciação é áxia e (b) o vaor dessa freqüência. 54. Ua barra hoogênea de copriento L é sustentada e por ua junta e por u fio vertica CD. Deduza ua expressão para o período de osciação da barra se se desoca igeiraente a extreidade B e então se ibera o sistea. 150 49. Dois discos hoogéneos de 5 kg estão igados a unia barra B de 8 kg, coo indica a figura. Sabendo que a constante da oa é 4 k/ e que os discos roa se escorregar, deterine a frequência de vibração do sistea. 50. barra B de Q kg está parafusada ao disco de 1 kg. Sabendo que o disco roa se escorregar, deterine o período de pequenas osciações do sistea. 51. barra B de 1.81 kg está parafusada ao disco de 0.17 de raio, coo indica a figura. Sabendo que o disco roa se escorregar, deterine o peso do disco para o qua o período das pequenas osciações do sistea é 1.5 s. 55. esova o Probea 54 considerando L =.00. b =.50 e h =.00. 56. Ua sei-seção de u tubo encontra-se sobre u pano horizonta. Gira-se a peça de u pequeno ânguo e então se ibera o sistea. Supondo roaento se escorregar. Deterine o período de osciação. 57. Ua barra degada de copriento está suspensa por dois araes verticais de copriento h cada u, ocaizado a ua distância 1/b do centro de assa G. Deterine o período de osciação quando (a) a barra é girada de u pequeno ânguo e torno de u eixo vertica que passa por G e iberada e (b) é dada ua pequena transação horizonta à barra ao ongo de B e iberada. Q
16 58. Quando u corpo suberso se desoca através de u fuido, o fuido ove-se torno do corpo e assi, adquire energia cinética. o caso de ua esfera e oviento nu fio idea, a energia cinética tota adquirida peo fuido e 1 4 V ; onde é a assa específica do fuído V o voue da esfera e a veocidade. Considere ua superfície esférica oca de 5 e raio 0.075. que é antida subersa nu tanque de água por ua oa de constante 600 /. (a) Desprezando o atrito do fuido, deterine o período de vibração da superfície esférica quando desocada verticaente e e seguida iberada, (b) esova o ite a, supondo que o tanque é aceerado para cia co ua aceeração constante de /s. 59. Ua fina paca de copriento repousa sobre u seiciindro de raio r. Deduza ua reação para o período de pequenas osciações da paca. 60. Faça ua pesquisa sobre a vibração equivaente que destrui a ponte abaixo, indicando os odos vibracionais que causara a destruição da ponte.