Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST
P. (Construção do modelo estado linear por linearização em torno de um ponto de equilíbrio) Considere o circuito eléctrico que se representa na fig.. Fig. Problema P. A característica da condutância G é não linear, sendo definida por As equações de estado são i G g( v ) v ( v )( v 4) G dv di G G i v i g( u v) em que i e v são as variáveis de estado e u é a entrada. a) Um dos estados de equilíbrio que ocorrem quando a entrada toma o valor constante u é i v 0 (o índice refere-se ao ponto de equilíbrio número ). Determine os outros dois pares de i e v que conduzem ao equilíbrio quando a entrada toma o mesmo valor. b) Obtenha os modelos linearizados em torno dos três pontos de equilíbrio que determinou. c) O que pode dizer sobre a estabilidade de cada um dos pontos de equilíbrio? G P. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Considere o modelo de estado não linear J. M. Lemos IST
d ( d ( 4 ) 4 ) a) Determine os pontos de equilíbrio (pense numa interpretação geométrica) e os sistemas linearizados em torno de cada um desses pontos. b) Classifique em termos de estabilidade o sistema em torno dos pontos de equilíbrio. P. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) As populações de Marsupilamis e de Monstros da Tasmânia (animais eistentes nas selvas da Brutópia) podem ser modeladas pelo sistema de equações diferenciais: d d 0.5 0.5 Nestas equações, corresponde ao número de Marsupilamis e corresoponde ao número de Monstros da Tasmânia (cada unidade corresponde a 000 indivíduos). Responda às seguintes perguntas: a) Determine um ponto de equilíbrio em que o número de monstros da Tasmânia é nulo e o número de Marsupilamis é não nulo. b) Determine as equações de estado do sistema linearizado em torno desse ponto de equilíbrio e calcule os respectivos valores próprios e vectores próprios. A partir destes elementos, faça um esboço aproimado do retrato de fase em torno deste ponto de equilíbrio. c) A LPMT (Liga de Protecção dos Monstros da Tasmânia) solicitou ao Ministro do Ambiente da Brutópia que introduzisse alguns casais de Monstros da Tasmânia por forma a restaurar a sua população. A LPMT afirma que alguns casais dariam origem a uma população que cresceria. O Dr. S. A. B. Tudo, consultor do Ministro do Ambiente em matéria de Monstros, afirma que a introdução de alguns casais não resolveria nenhum problema e que estes rapidamente se etinguiriam sem que o número de Monstros da Tasmânia J. M. Lemos IST
aumentasse. Tendo em conta o modelo apresentado, diga quem tem razão: a LPMT ou o Dr. S. A. B. Tudo? P4. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Foi recentemente descoberta na Melanésia uma ilha habitada apenas por duas novas espécies de herbívoros, a que foram dados os lindos nomes de Necs e Plaks. Após aturados estudos de uma competende equipa de biólogos concluiu-se que estas duas espécies competem entre si pelo alimento disponível, podendo o número médio dos seus efectivos ser modelado pelo sistema de equações diferenciais não lineares: dn N( N P) dp P P N 4 4 em que N é o número de Necs e P é o número de Plaks. Estes números são normalizados pelo que, para obter os valores das populações é necessário multiplicá-los por 000. Determine se é possível as duas espécies coeistirem a longo prazo. Sugestão: Comece por mostrar que N, P é um ponto de equilíbrio do sistema não linear e estude o que acontece às populações se este equilíbrio fôr ligeiramente perturbado. P5. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Um pêndulo com comprimento m e massa kg pode ser descrito pelo modelo de estado não linear d d 0sin( ) J. M. Lemos IST 4
em que é o ângulo de desvio da vertical, é a velocidade angular e o coeficiente de atrito. a) Mostre que a origem 0, 0) é um ponto de equilíbrio do sistema. ( b) Obtenha a matriz da dinâmica do sistema linearizado em torno da origem. c) Calcule os valores próprios da matriz da dinâmica do sistema linearizado em torno da origem, em função do parâmetro. d) Discuta a estabilidade em torno da origem do sistema linearizado e do sistema não linear quando 0. Considere todos os casos relevantes. P6. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) O PLL (Phase Lock Loop - malha de captura de fase) é um dispositivo não linear usado quer para resolver problemas de Telecomunicações (desmodulação de fase) quer de Controlo (controlo de velocidade de precisão). A figura 6- mostra um diagrama de blocos genérico de um PLL. O PLL gera no ponto B um sinal em fase com o sinal de entrada em A, cuja fase se pretende determinar. Fig. 6- Problem P6. Diagrama de blocos de um PLL. O sistema de equações diferenciais não linear seguinte J. M. Lemos IST 5
representa o modelo de um PLL. Admite-se que a fase do sinal de entrada é constante. A constante i representa a fase da sinusóide de entrada que se pretende estimar. A variável de estado representa a estimativa dessa fase. Pretende-se: a) Mostre que Ponto A: i 0 são dois pontos de equilíbrio do sistema. Ponto B: i 0 b) Calcule o sistema linearizado em torno de cada um destes ponto de equilíbrio. c) Para cada um dos sistemas linearizados que obteve em b) calcule os valores próprios e classifique-os qualitativamente (diga se são estáveis ou instáveis e se se trata de um nó, de um foco, de um centro ou de um ponto de sela). d) Diga, justificando, se pode concluir que o sistema não linear é assimptoticamente estável em torno de cada um dos pontos de equilíbrio acima referidos. d d sin i P7. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Considere o sistema autónomo (isto é, sem entrada), de ª ordem, descrito pelo sistema de equações não lineares d ( ) d ( ) a) Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio do sistema. Obtenha as equações do sistema linearizado em torno da origem. Classifique a origem em termos dos valores próprios do sistema linearizado. Diga o que pode J. M. Lemos IST 6
concluir daqui sobre o comportamento em torno da origem do sistema não linear. b) Recorrendo ao º Método de Lyapunov, e tomando como candidata a função de Lyapunov a função V (, ) do sistema não linear?, o que pode dizer sobre a origem P8. (Estudo da estabilidade com o º método de Lyapunov) Considere o sistema não linear de ª ordem, sem entrada, descrito pelas equações de estado: d d 4 4 a) Recorrendo ao º Método de Lyapunov e usando a candidata a função de Lyapunov dada por V (, ) ( mostre que a origem (, 0 ) é um ponto de equilíbrio estável pelo 0 menos, no sentido de Lyapunov. Diga se pode garantir que o ponto é assimptoticamente estável. ) b) Recorrendo ao Teorema do Conjunto Invariante, mostre que, de facto, a origem é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. P9** (Estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema não linaer a partir do modelo linearizado). Considere o sistema não linear d f () R n () em que 0 é um ponto de equilíbrio isolado e f é um vector de funções contínuas com primeiras derivadas parciais contínuas numa bola centrada em torno da origem. Seja J. M. Lemos IST 7
f ( ) A g( ) em que a matriz A é dada por e g verifica f ( ) i A j 0 lim 0 g( ) 0 Por outras palavras, d A () é a linearização de () em torno da origem. Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mostre que se A tem todos os valores próprios com parte real negativa, então a origem ( 0 ) é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável do sistema não linear (). Sugestões: i) Considere uma função de Lyapunov válida para o sistema linearizado () e tente mostrar que também é uma função de Lyapunov para o sistema não linear (). ii) Desigualdade de Schwarz: T y y, y n R iii) Sendo P uma matriz de elementos reais e P ma n R, tem-se em que ma é o máimo valor singular da matriz P. Os valores singulares de uma matriz de elementos reais m n M são definidos como J. M. Lemos IST 8
J. M. Lemos IST 9 ) ( : ) ( M M M T i i em que i designa o valor próprio número i. iv) Recorde que, por definição de limite, se a z h z ) ( lim 0 R z então a z h z ) ( :, 0 0 P0. (º Método de Lyapunov). Recorrendo ao º método de Lyapunov, com uma função de Lyapunov tentativa da forma ), ( b a V mostre que a origem de cada um dos seguintes sistemas não lineares é do tipo indicado, relativamente à estabilidade: a) Assimptoticamente estável b)assimptoticamente estável c)estável, pelo menos d)instável 4
P. (Equação de Lyapunov). Recorrendo ao º Método de Lyapunov, determine a estabilidade em torno do ponto de equilíbrio do seguinte sistema linear: 4 P. (Estudo da estabilidade com o º método de Lyapunov) Considere o diagrama de blocos do servomecanismo realimentado que se mostra na fig. 9-. Neste sistema de controlo de posição, o sinal de entrada u de um motor de corrente contínua é aplicado por um actuador cuja característica é descrita por uma função não linear f aplicada ao erro de seguimento. r + - e f(.) u + - st s Fig. 9- Servomecanismo realimentado com um actuador não linear. Sabe-se que esta função é tal que Isto significa que: f ( e) 0 para e 0 ; f ( e) 0 para e 0 ; f ( e) 0 para e 0 e 0 A referência r é constante no tempo. f ( ) d 0 para e 0 As variáveis e são, respectivamente, a posição angular e a velocidade angular do veio do motor. O parâmetro T 0 é a constante de tempo do motor. Responda às seguintes perguntas: J. M. Lemos IST 0
a) Considere o estado definido pelo erro de seguimento e e pela velocidade angular. Escreva as equações de estado (não-lineares) correspondentes. Estas equações dependem da função f. b) Mostre que T V ( e, ) f ( ) d é uma função de Lyapunov para a origem do sistema descrito na alínea a). Diga que conclusões pode tirar sobre a estabilidade para este ponto de equilíbrio. c) Diga que conclusões pode tirar pela aplicação do Teorema do Conjunto Invariante para o mesmo problema. e 0 P. (Estudo da estabilidade com o º método de Lyapunov) a) Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mostre que a origem (0, 0) do sistema seguinte é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável: d d b) Faça uma transformação da variável tempo t no eemplo anterior por forma a obter um sistema instável. Demonstre que ele é instável com o teorema de instabilidade de Lyapunov. P4. (º Método de Lyapunov). Considere um sistema de controlo adaptativo em que o vector de ganhos do controlador, F, é actualizado continuamente de acordo com a solução da equação diferencial df M F V (F) em que M é uma matriz constante simétrica, definida positiva, e FV (F) representa o gradiente da função V em ordem a F. A função V é uma função dos ganhos F, definida positiva, com mínimo em F 0. J. M. Lemos IST
Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mosrtre que o sistema de adaptação é tal que o ganho F 0, correspondente ao mínimo de V, é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. P5. (Aplicação do º Método de Lyapunov ao estudo da estabilidade de um sistema linear em cadeia fechada com controlo LQ). Considere o SISO com entrada escalar ( A( bu( ao qual está associado o funcional de custo quadrático de horizonte infinito em que ' ( Q( u ( J 0 Q T Q 0 0 A lei de controlo que optimiza este funcional é dada pela retroacção constante do estado definida por u opt ( K( K b T P em que P é a matriz simétrica semidefinida positiva solução da equação de Riccati algébrica dada por T A P PA Pbb T P Q 0 Demonstre que T V( ) ( P( é uma função de Lyapunov para o sistema em cadeia fechada com o controlo óptimo acima definido. P6. (Controlo adaptativo com uma função de Lyapunov de controlo) Considere o sistema da fig. 5- que representa um controlador de caudal com uma válvula não linear. J. M. Lemos IST
Fig. 6-: Problema P6. Válvula não linear. A válvula é descrita pelo modelo não linear de ª ordem dy u f (y) em que a função não linear f (.) é conhecida, estando representada na fig., e o parâmetro é desconhecido. Pretende-se: a) Determine uma retroacção estática da saída tal que, admitindo um conhecimento perfeito de, o sistema (válvula+realimentação) se comporte como um integrador. b) Determine uma lei de controlo linear a aplicar ao integrador assim resultante, que leve a que, supondo conhecimento perfeito de, o erro de seguimento e( h( r do sistema controlado tenda para zero com uma constante de tempo de segundo. c) Recorrendo ao Segundo Método de Lyapunov, obtenha uma lei de ajuste do parâmetro que garanta que o sistema global é estável. d) Diga justificadamente se pode ou não garantir que o erro de seguimento e( h( r tende para zero quando t tende para infinito. P7. (Controlo adaptativo com uma função de Lyapunov de controlo) Considere o sistema da fig. 7- em que se pretende actuar no caudal u ( à entrada do tanque, por forma a regular o nível h ( para um valor de referência r constante e conhecido. Admite-se que a área da secção recta do tanque tem o valor A constante e conhecido. Admita A. A área da abertura de saída do tanque tem um valor desconhecido, que é designado por a. A dinâmica do nível do tanque é pois descrita por J. M. Lemos IST
dh A em que é um parâmetro a estimar. u h Fig. 7-: Problema P7. Pretende-se: e) Determine uma retroacção estática da saída tal que, admitindo um conhecimento perfeito de, o sistema (tanque+realimentação) se comporte como um integrador. f) Determine uma lei de controlo linear a aplicar ao integrador assim resultante, que leve a que, supondo conhecimento perfeito de, o erro de seguimento e( h( r do sistema controlado tenda para zero com uma constante de tempo de segundos. g) Recorrendo ao Segundo Método de Lyapunov, obtenha uma lei de ajuste do parâmetro que garanta que o sistema global é estável. h) Diga justificadamente se pode ou não garantir que o erro de seguimento e( h( r tende para zero quando t tende para infinito. J. M. Lemos IST 4