1 SISTEMAS DE COORDENADAS

1 SISTEMAS DE COORDENADAS 1.1 Objetivos do capítulo Aonaldestecapítulooalunodeverá: Representar pontos em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; Representargracamentecurvasescritasemcoordenadaspolares; Transformar equações de um sistema de coordenadas para outro; Efetuar translação de eixos coordenados; Rotacionar eixos coordenados; Simplicarequaçõespormeiodetransformaçãodecoordenadas. 1. CoordenadaspolaresnoR Até o presente momento, localizamos um ponto no plano por meio de suas coordenadas cartesianas retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, as coordenadas deumpontosãodadaspeloraiodeumacircunferênciaeumdeterminadoângulo. Por exemplo,p(, )signicaqueopontoserámarcadosobreumacircunferênciaderaio 4 r=a grausdoeixodosxnosentidoantihorário. Vejanagura1. 4 Figura1: Ponto == 4 emcoordenadaspolares 4

AFigurailustraumponto genériconumsistemadecoordenadaspolares. Opontoxo,denotadopor,échamadopóloouorigem. Convenções normalmente usadas: (i)seoângulo [ fordescritonosentidoantihorário,então0. Casocontrário, usase0. (ii)se0,oponto estarálocalizadoa180grausdoângulo [. Vejanagura arepresentaçãodoponto(45 ) (iii)oparordenado(0),sendoqualquer,representaráumacircunferênciaderaio =0queédenominadapólo. O P(,45) Figura : Geralmente, o sistema de coordenadas polares é descrito como segue: Umpontoxo,denotadopor,échamadopóloouorigem,osemieixocoincidindo comosemieixodasabscissasédenominadoeixopolar,éoraiodacircunferênciaeo ângulo,dadoempiradianos,édenomiadoargumento. Vejanaguraa,a representação geométrica. Nauraa,opontoédenominadopóloouorigem. Asemiretaxa échamada eixopolar. Oponto cabemdeterminadoatravésdopar()emque representaadistânciaentreaorigemeoponto,representaamedidadoângulo orientado [ 5

Pólo ou origem r O r() eixopolar Figura a ARepresentaçãonumsistemadecoordenadaspolaresdosseguintespontos 4, 4,émostradonaFigura3. Figura 3: AFigura3amostraospontos r = r = 4 Figura 3a

1.3 Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares e o Sistema de Coordenadas Polares. Em várias situações, surge a necessidade de nos referirmos a ambas, coordenadas cartesianasecoordenadaspolaresdeumponto. Paravisualizaristo,fazemosa origemdoprimeirosistemacoincidircomopólodosegundosistema,oeixopolarcom oeixopositivodoseoraioparaoqual=comoeixopositivodos(ver Figura3b). Y O Y $ = A X Figura 3b Supondoque sejaumpontocomcoordenadascartesianas()ecoordenadas polares(),vamosanalisarocasoemqueoponto estánoprimeiroquadrante. AFigura3cilustraocasopara0. Y y rp r i x X (a) Figura 3c Podemos observar que: (i)para0,temos 7

cos= esin=. (ii)para0,temos cos= esin=. Portanto, =cos =sin (1) Podesevericaravalidadedasrelaçõesencontradas,nocasoemqueoponto se encontra sobre um dos eixos ou num outro quadrante. Usando(1), podemos deduzir outra relação muito usada. Elevando ambos os membros das equações em(1) ao quadrado, podemos escrever = cos = sin Adicionando membro a membro, obtemos: + = cos + sin ou + =. Portanto, =± p + () Exemplo 1 Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadaspolaressão(47). 8

Solução. A Figura 3d ilustra este ponto. Temos, = cos e = sin = 4cos 7 = 4sin ³ 7 = 4 3 = 4 1 = 3 = Portanto,( 3)sãoascoordenadascartesianas do ponto dado. Y y 7 r P x X Figura 3d Exemplo Encontrar (), supondo 0 e 0 para o ponto, cujas coordenadascartesianassão( 31). Solução. AFigura3eilustraopontoP. = p + = 3+1 = ; cos= = 3 = 3 e sin= = 1 = 1 Portanto,= 5. 9

Y ª 5 1 3 r P X Figura 3e 1.4 Grácoemcoordenadaspolares Paratraçarográcodeumacurvaemcoordenadaspolares=()procedesecomo segue: a) Encontraseosvaloresdeparaalgunsarcosnotáveis; b) Elaboraseumdiscocomsetorescujosraiossãoosvaloresencontradospara; c) Marcamseospontosinterseçãodosetordodiscocomoraioassociadoaoângulo correspondente; d) Unemseospontospormeiodeumalinhacurvacontínua. Exemplo3 Traçarográcodacurva=4 cos. Solução: vamostomarparaosarcos0,30,45,0 e90 eseuscorrespondentes nos outros quadrantes. Assim podemos formar a tabela de valores 0 0 4 135 70 0 195 390 34 315 30 15 30 34 150 300 05 415 8 330 0 8 5 45 8 1575 315 8 10 40 345 90 34 30 0 15 330 34 5 450 0 30 70 4 45 90 0 180 30 4 Agura4representaadistribuiçãodospontosdatabelasobreossetoresdumdiscoe otraçadodográco. 10

135 45 150 30 157,5,5 15 180 15,8 3.4 4 195 0,5 345 337.5 10 330 5 315 Figura 4: 1.5 Técnicas que facilitam o traçado do gráco de uma curva em coordenadas polares Ográcode()=0éformadoportodosospontoscujascoordenadas polares satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita, istoé,=(). Osseguintesprocedimentospoderãonosauxiliarnoesboçodográco: 1. calcular os pontos de máximo e/ou mínimos;. encontrarosvaloresdeparaosquaisacurvapassapelopólo; 3. vericarsimetrias. Se: (a) aequaçãonãosealteraquandosubstituirmospor,existesimetriaem relação à origem; (b) aequaçãonãosealteraquandosubstituirmospor,existesimetriaem relação ao, e; 11

(c) aequaçãonãosealteraquandosubstituirmospor,existesimetriaem relaçãoaoeixo= (queéequivalenteaoeixodosy). 1.5.1 Exemplos 1. Esboçaracurva=(1cos). Comoaequaçãonãosealteraaosubstituirmospor,istoé =(1cos)=(1cos()), concluímos que existe simetria em relação ao. Logo, basta analisar valoresdetaisque0. Para 0, encontramos umponto de máximo (4) e umponto de mínimo(00). ATabela1mostraalgunspontosdacurva,cujoesboçoémostradonaFigura 4a. Tabela 1 0 0 1 3 3 3 4 Figura 4a cos. Esboçaracurva=cos. Analisando as simetrias, temos que (a) A curva é simétrica em relação ao eixo dos, pois = cos() = 1

(b)acurvaésimétricaemrelaçãoaoeixodos,pois=cos[()]= cos()=cos. Logo,bastafazerumatabelapara0. Em0, a curva passa pelo pólo quando =, pois = 4 4 = cos =cos =0. 4 Podemosaindavericarque,para0,temosumpontodemáximo (0)eumpontodemínimo(). Figura 4b. Usando a Tabela e os resultados anteriores, esboçamos a curva vista na Tabela 0 1 0 4 1 3 = = 3 = 4 = Figura 4b =0 1.5. AlgumasEquaçõesemCoordenadasPolareseseusrespectivosGrácos. 1.5.3 Equações de retas. (a)= 0 ou= 0 ±,éumaretaquepassapelopóloefazumângulode 0 ou 0 ±radianoscomoeixopolar(verfigura4c). 13

¾ 0 Ā Figura 4c (b)sin =ecos =, <, sãoretasparalelas aoseixos polare,respectivamente(verfiguras4de4e). [sin=,0] Ā Figura 4d [sin=,0] Ā Ā Ā [cos=,0] Figura 4e [cos=,0] 1.5.4 Circunferências. 4f). (a)=,<éumacircunferênciacentradanopóloeraio (verfigura '$ o &% Figura 4f A 14

(b) = cos é uma circunferência de centro no, tangente ao eixo=: se0,ográcoestáàdireitadopólo; se0,ográcoestáàesquerdadopólo(verfigura4g). 0 () '$ r y (0) &% A [=cos,0] '$ &% [=cos, Figura 4g (c)=sinéumacircunferênciadecentronoeixoequetangenciao : se0,ográcoestáacimadopólo; se0,ográcoestáabaixodopólo(verfigura4h). '$ &% 0 A '$ A [=sin,0] &% [=sin,0] Figura 4h 1.5.5 Limaçons. =±cosou=±sin,ondersãolimaçons. 15

Temos, se,entãoográcotemumlaço(verfigura4i); =+cos =+sin Figura 4i se=,entãoográcotemoformatodeumcoração,porissoéconhecido como Cardióide(ver Figura 4j); =(1+cos) 1

Figura 4j =(1+sin) se,entãoográconãotemlaço(verfigura4l). =+cos =+sin Figura 4l Observamosque nafigura 4i usamos=1e=, nafigura4j usamos ==1enaFigura4lusamos=3e=. 17

=cosou=sin,onderensãorosáceas: seforpartemosumarosáceadepétalas(verfigura4m); =cos Figura 4m eforímpararosáseaterápétalas(g4n) =sin Figura 4n 1.5. Lemniscatas. =± cosou =± sin,onde<sãolemniscatas(verfigura4o). 18

= 3 4 = cos = 4 = 3 4 = 4 = cos Figura4o ObservamosquenaFigura4ousamos=1. 1.5.7 Espirais. As equações seguintes representam algumas espirais: () =0 () =0 () = () = As Figuras 4p a 4r ilustram estas espirais. 19

( ) =(0) Figura 4p Figura 4q =(0) = Figura 4r 0