SISTEMAS NEBULOSOS A maioria dos fenômenos com os quais nos deparamos são imprecisos Exemplo: dia QUENTE (40, 35, 30, 29,5?) Imprecisão Intrínseca ajuda na compreensão do problema. Fuzziness é independente da capacidade de medição. SISTEMAS NEBULOSOS Sistemas Artificiais Convencionais X Sistema Humano Frases como: A Temperatura do motor está QUENTE A Inflação anual está SUBINDO RAPIDAMENTE O Colesterol está ALTO A Lógica Nebulosa é uma técnica que aproxima os Sistemas Artificiais do Sistema Humano
CONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico Conceitos Básicos Definição, Características e Formas de Imprecisão Conjuntos Fuzzy Propriedades, Formas de Representação e Operações Lógica Fuzzy Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado Fuzzy Engineering Quando e Como se utilizar Lógica Nebulosa CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges
Conjuntos Crisp x Fuzzy Conjuntos Crisp : Conjunto onde os indivíduos de um dado universo são divididos em 2 grupos distintos: MEMBROS aqueles que certamente pertencem ao conjunto, e NÃO-MEMBROS aqueles que certamente não pertencem ao conjunto. Exemplo: conjunto dos números naturais Conjuntos Crisp x Fuzzy Entretanto: Existem conjuntos cujo limite entre membro e não-membro é vago, com transição gradual entre esses dois grupos Exemplos: conjunto de pessoas altas conjunto de carros caros números muito maiores que 1
CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges Conjuntos Nebulosos
Conjuntos Crisp x Fuzzy Conjuntos Nebulosos: Atribui-se a cada indivíduo no universo um valor que representa o Grau de Pertinência deste indivíduo ao conjunto nebuloso. É a ponte que liga o conceito impreciso à sua modelagem numérica Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Pessoas Altas µ (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência Altura (m) Altura (m) 1.301.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 1.301.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 CRISP FUZZY
Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Carros Caros µ (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência 5.000 10.000 15.000 20.000 CRISP Preço (R$) 5.000 10.000 15.000 20.000 FUZZY Preço (R$) Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Números Maiores que 1 µ (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência 12 34 5 6 7 8 12 123 4 5 6 7 8 9 10 12 14 9 10 14 CRISP FUZZY
Conjuntos Crisp Conjunto A no Universo de Discurso U é definido através da lista de TODOS os seus membros ou pela identificação dos elementos x A U = conjunto dos valores possíveis para a variável A = { x / x satisfaça uma certa condição} µ(x) = 1 se x A 0 se x A Exemplos: Conjuntos Crisp U = todos os automóveis do Rio de Janeiro Sub-Conjuntos de U: azul azul cinza marrom marrom vermelho verde outra Nacional Impor tado 4 cilindros 6 cilindros 8 cilindros outros
Conjuntos Fuzzy Conjunto F no Universo de Discurso U com µ(x) [0,1] µ (x) medida do grau de similaridade de um elemento x em U com o subconjunto F 1.0 0.9 importado nacional 0.5 0.25 25 50 75 100 % de peças nacionais CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges
Conjuntos Nebulosos Representação: Um conjunto fuzzy F em U pode ser representado como um conjunto de pares ordenados de um elemento genérico x e seu grau de pertinência F = { (x, µ (x) ) / x F U } Geralmente só são representados os valores de x com µ (x) > 0 Conjuntos Nebulosos U Contínuo: U µ (x) / x F denota coleção de todos os pontos x U com função de pertinência µ (x) U Discreto: Σ U µ (x) / x F Σ denota a operação de União
Conjuntos Nebulosos 3 Componentes: Eixo x (n reais crescentes) que constituem o Domínio do conjunto fuzzy Eixo y, com valores entre 0 e 1 grau de pertinência ao conjunto Função de Pertinência (superfície) do conjunto, que conecta um elemento do domínio com o seu grau de pertinência Conjuntos Nebulosos Grau de Pertinência Domínio µ A (x) µ A (x) = f (x A) µ A Elemento do conjunto Função verdade ou de pertinência 1.0 0.0 x
Conjuntos Nebulosos Grau de Pertinência Domínio µ A (x) µ A (x) = f (x A) µ A Elemento do conjunto Função verdade ou de pertinência 1.0 0.0 x Conjuntos Nebulosos Exemplo: seja F = inteiros próximos de 10 U = {n inteiros de 1 a 20} F = 0.1/7 + 0.5/8 + 0.8/9 + 1/10 + 0.8/11 + 0.5/12 + 0.1/13 Observações: Os inteiros não especificados possuem µ (x) = 0 A Os valores de µ A (x) são escolhidos exceto para µ A (x)=1.0, todos os outros valores podem ser modificados. A Função de Pertinência, neste caso específico, deve ser simétrica.
CONJUNTOS NEBULOSOS Conjuntos Crisp x Nebulosos Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges PROPRIEDADES Altura: É o maio grau de pertinência permitido pela função de pertinência ( membership function )
PROPRIEDADES Normalização: Um certo conjunto fuzzy é normal se a sua altura for igual a 1 Forma normal mínima se pelo menos um elemento tem µ (x) =1 Forma normal máxima se pelo menos um elemento tem µ(x) = 1 e outro elemento tem µ(x) = 0 Para um bom desempenho, os conjunto fuzzy devem ser normalizados PROPRIEDADES Domínio do Conjunto Fuzzy: É o universo total de valores possíveis para os elementos de um conjunto depende do contexto Altas Meia-Idade Domínio Aberto 1.80m 45 Domínio Fechado
PROPRIEDADES Universo de Discurso: É o espaço fuzzy completo de variação de uma variável do modelo. Temperatura Frio Média Quente Muito Quente 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 PROPRIEDADES Universo de Discurso: É o espaço fuzzy completo de variação de uma variável do modelo. Temperatura Frio Média Quente Muito Quente 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 Universo de Discurso para a variável do modelo TEMPERATURA é de 100 a 360
PROPRIEDADES Support do Conjunto: É a área efetiva do domínio de um conjunto fuzzy que apresenta valores de µ (x) > 0 µ (x) Pesado 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Suporte Domínio kg Observação: PROPRIEDADES O conjunto Fuzzy cujo support é um único ponto em U, com valor de µ (x) = 1, é chamado de Conjunto Singleton µ (x) Igual a 10 10
PROPRIEDADES Conjunto α-cut: É uma restrição (limite) imposta ao domínio, baseada no valor de α Contém todos os elementos do domínio que possuam µ(x) acima de um certo valor de α µ(x) α α-cut fraco µ(x) > α α-cut forte PROPRIEDADES Conjunto α-cut: É útil para as funções com longos tails, que tendem a possuir valores muito baixos de µ(x) por um domínio extenso ajuda a reduzir ruído µ (x) pesado α -cut = 0. 2 0.2-cut do conjunto pesado é, então, de 100 a 140 kg. 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 125 130 135 140 kg
PROPRIEDADES Conjunto α-cut: Idade Criança Jovem Adulto Velho 5 1.1 0 0 10.8.3 0 0 20.1.8.7.1 30 0.5 1.2 40 0.2 1.4 50 0.1 1.6 60 0 0 1.8 70 0 0 1 1 80 0 0 1 1 Conjuntos α-cut do conjunto VELHO: velho.2 = {30,40,50,60,70,80} velho.8 = {60,70,80} velho 1. 0 = {70,80} SISTEMA FUZZY Fornecidas por especialistas ou extraídas de dados numéricos Para ativar as regras REGRAS Para fornecer a saída precisa X Entradas precisas FUZZIFICADOR Conjuntos nebulosos de entrada INFERÊNCIA DEFUZZIFICADOR Conjunto nebuloso de saída y Saída precisa Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets Determina como as regras são ativadas e combinadas
Exemplo do Guindaste FUZZIFICADOR
Conjuntos Nebulosos Variáveis de Entrada: distância ângulo Variável de Saída: Potência Ângulo Variáveis de Entrada
Distância Ângulo Variáveis de Entrada Potência Variável de Saída
MÓDULO DE REGRAS Exemplos: REGRAS FUZZY Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High
INFERÊNCIA Dados de Entrada: distância 12 jardas ângulo -4 REGRA NÚMERO 1 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium.15 12
REGRA NÚMERO 1 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium 0.7-4 INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 1: Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium µ LONGE (x) = 0.15 µ ZE RO (x) = 0.7 µ longe zero = 0.15
INFERÊNCIA - Consequente Como o antecedente é verdadeiro com grau de pertinência 0.15, o consequente deve ter no máximo um grau de veracidade de 0.15. INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium 0.15
REGRA NÚMERO 2 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High.15 12 REGRA NÚMERO 2 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High 0.25-4
INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 2: Se DISTÂNCIA = Far Então POTÊNCIA = Pos_High e ÂNGULO = Neg_Small µ LONGE (x) = 0.15 µ ZE RO (x) = 0.25 µ longe small = 0.15 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High 0.15
REGRA NÚMERO 3 Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High.85 12 REGRA NÚMERO 3 Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High 0.25-4
INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 3: Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High µ LONGE (x) = 0.85 µ ZE RO (x) = 0.25 µ longe small = 0.25 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small Então POTÊNCIA = Pos_High 0.25
INFERÊNCIA Composição União de TODAS as regras com Grau de ativação diferente de ZERO 0.25 0.15 INFERÊNCIA Como é a UNIÃO, utiliza-se, geralmente o MÁXIMO 0.25 0.15
DEFUZZIFICADOR Transforma o conjunto nebuloso obtido pela Inferência e transforma em um valor preciso DEFFUZIFICADOR Um Método possível: Avalia-se os valores TÍPICOS de cada conjunto
INFERÊNCIA Pondera-se o valor típico com o seu grau de pertinência 0.25 0.15 MM = (.15x10 +.25x24) = 18.1 (.15 +.25) 10 18.1 Média dos Máximos 24