PSI-34 Laboratório de Instrumentação Elétrica Introdução à Análise de Fourier Sinais Periódicos Vítor H. Nascimento Introdução Sinais periódicos (ou aproximadamente periódicos) aparecem em diversas situações em engenharia por exemplo, a tensão na rede elétrica, a variação de pressão sonora em uma nota musical ou uma vogal, o sinal de clock de um computador, a portadora de um sinal de transmissão AM ou FM, etc. Matematicamente, um sinal s(t) é periódico se existir uma constante tal que s(t+k) = s(t), para qualquer instante t. () Logicamente, na prática essa condição nunca é verdade os sinais observados na natureza são sempre finitos. No entanto, em diversas condições, como nos exemplos listados acima, a condição () é aproximadamente válida em um intervalo grande o suficiente de tempo para ser útil. Por exemplo, músicas ou sinais de voz não são periódicos, no entanto, em trechos curtos, como os mostrados na Figura, sinais de música ou de voz podem apresentar periodicidade...5.5..5. 5.5 5. 5.5 5.3 5.35.5.5.695.7.75.7.75.7.75.73 Figura : Exemplos de sinais periódicos: Acima: sinais de tensão e corrente em uma lâmpada fluorescente. Abaixo, à esquerda: nota mi tocada em um clarinete. Abaixo, à direita: trecho de voz (vogal O ).
Como sinais periódicos (ou periódicos por trechos) são comuns na natureza, é importante buscar maneiras simples de tratar matematicamente sinais periódicos quaisquer. Por exemplo, a rotação de um objeto ao redor de um ponto pode ser expressada (em coordenadas cartesianas) através de senos e co-senos (ver Figura ). Considerando que o objeto gira a uma distância A do centro, e que o ângulo inicial em t = vale θ, as coordenadas do objeto em função do tempo são x(t) = Acos(ω t+θ), y(t) = Asen(ω t+θ). () y(t) t = A θ x(t) Figura : Seno e co-seno como projeções nos eixos x e y da posição de um objeto em movimento circular. Se a velocidade do objeto é constante, e o objeto faz uma revolução a cada segundos, vale x(t) = Acos ( π t+θ). Note que ω = π/. Seria conveniente ter expressões matemáticas simples também para outros tipos de sinais periódicos, como os mostrados na Figura. Para ver como isso pode ser feito, pense primeiro em um sinal senoidal com período e frequência angular ω = π/: c (t) = cos(ω t). Considere agora um sinal senoidal com o dobro da frequência: c (t) = cos(ω t). O período de c (t) é claramente /. No entanto, qual é o período de um sinal s(t) = c (t)+c (t) = cos(ω t)+cos(ω t)? O período de s(t) continua sendo, pois cos(ω (t+)) = cos(ω t+ω ) = cos(ω t+ 4π) = cos(ω t) veja a Figura 3. Essa conservação do período vale para qualquer soma de senóides harmônicas, isto é, com frequências múltiplas de uma frequência fundamental. Quer dizer, o período de s(t) = a cos(ω t)+a cos(ω t)+a 3 cos(3ω t)+... é sempre igual a, quaisquer que sejam os valores das constantes a,a,a 3,...
...3.4.5.6.7.8.9.8.6 s (t) s (t).5 s (t)+s (t).4..5..4.5.6.8.5...3.4.5.6.7.8.9 Figura 3: Senóides harmônicas. À esquerda, sinais c (t) e c (t). À direita, sinal c (t)+c (t). Note que o período da soma é igual ao período de c (t). Na verdade, o resultado é mais genérico. Um sinal sen(ω t) tem o mesmo período de um sinal cos(ω t), e a soma s(t) = a cos(ω t)+b sen(ω t) = A cos(ω t+θ ) é também um sinal senoidal com período. Isso significa que qualquer sinal da forma s(t) = a +a cos(ω t)+b sen(ω t)+a cos(ω t)+b sen(ω t)+a 3 cos(3ω t)+... (3) étambémperiódicocomperíodo,quaisquerquesejamosvaloresdasconstantesa,a,a,... e b,b,... (note que o nível DC a não altera o fato dos sinais serem periódicos). Com somas de senóides desse tipo podemos construir vários sinais periódicos diferentes, sempre mantendo o período igual a. Por exemplo, escolhendo a =,5, a =, a =, b =, b 3 =,3 (e todos os outros coeficientes iguais a zero) obtemos o sinal da Figura 4. 3.5.5.5.5.5...3.4.5.6.7.8.9 Figura 4: Exemplo: s(t) obtido a partir de (3) usando a =,5, a =, a =, b =, b 3 =,3 e todos os outros coeficientes iguais a zero. Fica a curiosidade sobre que tipo de sinal periódico pode ser representado por uma expressão como a (3). O resultado importante é que Os valores de A e θ podem ser calculados usando fasores, lembrando que sen(t) = cos(t π/). Vamos voltar a isso mais à frente na Seção 4.. 3
Qualquer sinal periódico contínuo pode ser representado por uma soma da forma (3). Definindo as funções c (t) = (constante), c k (t) = cos(kω t),s k (t) = sen(kω t),k =,,3,... isso quer dizer que para qualquer função s(t) contínua e periódica com período, existem valores a k, k e b k, k, tais que s(t) = a c (t)+a c (t)+b s (t)+a c (t)+b s (t)+... (4) = a + a k cos(kω t)+ b k sen(kω t). (5) k= A equação (5) é a expansão da função s(t) em uma série de Fourier. Mesmo funções com descontinuidades também podem ser representadas, sob certas condições. Esse assunto será visto com mais detalhes nos cursos de Cálculo IV e Sistemas e Sinais. Exercício. Expanda o programa do desafio da experiência (LabVIEW) para gerar somas de senóides considerando k de até 9. Use controles deslizantes para poder variar os valores dos a k e b k para diferentes valores. Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier Bom, agora que sabemos que qualquer função periódica de interesse prático pode ser representada por uma soma de senos e co-senos, a próxima pergunta é: dada uma certa função s(t), como os sinais da Figura por exemplo, como achar os coeficientes a k e b k? A resposta vem da seguinte observação: quanto vale k= r kn = cos(kω t)cos(nω t)dt? Veja a Figura 5. À esquerda temos o caso k n nesse caso, a área embaixo da curva.5.8.6.4.5....3.4.5.6.7.8.9...3.4.5.6.7.8.9 Figura 5: Produtos de senóides harmônicas. À esquerda, c (t)c (t), à direita, c (t). vale zero. O caso k = n está do lado direito: agora a área abaixo da curva vale /. Algebricamente, o que temos é o seguinte: lembre que cos(x)cos(y) = cos(x y)+ cos(x+y), 4
portanto r kn = cos(kω t)cos(nω t)dt = cos((k n)ω t)dt+ cos((k +n)ω t)dt. Agora temos duas condições. Se k n, as duas integrais são nulas (estamos integrando um co-seno em um número inteiro de períodos). No entanto, se k = n, então o primeiro co-seno fica cos((k k)ω t) = cos() =, e a integral fica igual a. Portanto, r kn = {, se k = n,, se k n. (6) Da mesma maneira, vale cos(kω t)dt = sen(kω t)sen(nω t)dt = {, se k = n,, se k n, cos(kω t)sen(nω t)dt =, para todo k,n, (8) (7) sen(kω t)dt =, para todo k,n, (9) dt =. () Por que esse resultado é útil? Porque ele vai permitir encontrar uma fórmula (relativamente) simples para achar os valores dos a k e b k para um sinal periódico qualquer. Vamos usar como exemplo o sinal da Figura 4, com a =,5, a = b =, a = e b 3 =,3: s(t) =,5+cos(ω t)+sen(ω t) cos(ω t),3sen(3ω t). Agora vamos calcular a integral de s(t): Por outro lado, Se você refletir um pouco, verá que }{{} s(t)dt =,5 = a. =c (t) cos(ω t) s(t)dt = }{{} = c. =c (t) { a, se k =, c k (t)s(t)dt = a k, se k, s k (t)s(t)dt = b k,k. (a) (b) 5
Poderíamos ter descrito esse resultado usando a linguagem de Álgebra Linear. Se você lembrar da definição de espaço vetorial, verá que o conjunto das funções contínuas e periódicas com período forma um espaço vetorial. A relação (5) significa que o conjunto de funções c k (t), k e s k (t), k, forma uma base desse espaço vetorial. Por outro lado, as equações (6) () significam que nossa base é ortogonal. Para achar a projeção de um vetor s(t) qualquer sobre um elemento da base, basta então calcular o produto interno () entre o elemento da base e o vetor s(t). A série de Fourier nada mais é portanto do que uma mudança de base (mudança de coordenadas) que facilita a realização de várias tarefas úteis. 3 Cálculo Prático dos Coeficientes: A ransformada Discreta de Fourier O resultado anterior parece interessante, mas muito teórico, não é? Afinal, para encontrar os coeficientes da série de Fourier, precisaríamos calcular integrais como () mas se s(t) for conhecida apenas através de medidas (como nos exemplos da Figura ), como calcular a integral? A resposta é simples: aproximando. Lembre da definição de integral (de Riemann), como na Figura 6. Escolhendo um número N suficientemente grande, e definindo o passo a = /N,vale.5.5 3 4 5 6 7 t Figura 6: Aproximação da integral por uma soma de áreas retangulares. c k (t)s(t)dt N n= c k (n a )s(n a ) a }{{} = N =N a Podemos definir então aproximações ã k e b k assim: N n= c k (n a )s(n a ). ã k = N ã = N N n= N n= s(n a ), c k (n a )s(n a ), k, (a) (b) 6
bk = N N n= s k (n a )s(n a ), k, (c) As equações () permitem que se calcule uma aproximação para a série de Fourier de um sinal periódico s(t) dadas apenas amostras s(n a ) do sinal. Repare que na verdade apenas N valores diferentes dos coeficientes podem ser calculados, pois, se = N a e lembrando que ω = π, então c k+n (n a ) = cos(kω (n+n) a ) = cos(kω n a +kω ) = cos(kω n a +kπ) = cos(kω n a ), esimilarmente s k+n (n a ) = s k (n a ). Ouseja, ()permite o cálculo apenasdos N primeiros coeficientes da série de Fourier. Para calcular mais coeficientes, é necessário reduzir o valor de a. Uma propriedade importante de () é que, se a função s(t) for tal que s(t) = a + K a k cos(kω t)+b k sen(kω t), k= com K finito, e N > K, então vale, para k K, ã = a, ã k = a k, bk = b k. (3) Veja que a igualdade vale apenas se / a for exatamente um número inteiro, e se N K > N a K a > K < a. (4) A quantidade / a é a frequência de amostragem usada. O valor K/, por outro lado, é a maior frequência presente no sinal s(t). Portanto, a relação (4) nos diz que a igualdade entre os ã k e b k e os a k e b k só vale se a frequência de amostragem for maior do que o dobro da maior frequência presente no sinal. Isto é uma consequência do teorema da amostragem, que será visto com mais detalhes no curso de Sistemas e Sinais. As relações () são conhecidas como ransformada Discreta de Fourier (DF). Apesar de termos apresentado a DF apenas como uma aproximação da série de Fourier, sua utilidade é muito maior, em particular porque existem algoritmos muito eficientes (rápidos) para calcular todos os coeficientes da DF. Esses algoritmos são conhecidos genericamente por FF (de Fast Fourier ransform). 4 Formas alternativas da Série de Fourier e da DF A série de Fourier pode ser escrita de diferentes maneiras: Forma retangular (seno/co-seno): é a forma já vista na equação (5). Forma polar: usa, em vez de a k cos(kω t)+b k sen(kω t), a forma A k cos(kω t+θ k ). 7
Forma exponencial: Escreve os senos co-senos na forma de exponenciais complexas, usando a fórmula de Euler. A forma retangular é a forma usualmente vista em cursos de Cálculo. As outras duas, no entanto, são mais úteis na prática (pois facilitam medidas e contas). Vamos ver as relações entre as diversas formas a seguir. 4. Forma polar A forma polar pode ser obtida rapidamente lembrando que x k (t) = a k cos(kω t)+b k sen(kω t) tem fasor ˆX k = a k jb k (lembre-se, sen(θ) = cos(θ π/)). Portanto, a k cos(kω t)+b k sen(kω t) = A k cos(kω t+θ k ), em que A k = a k +b k, θ k = arctan( b k,a k ), (5) a k = A k cos(θ k ), b k = A k sen(θ k ). (6) Usando a forma polar, a série de Fourier fica 4. Forma exponencial s(t) = a + A k cos(kω t+θ k ). (7) k= A forma polar é muito útil no laboratório, para usar a série de Fourier. Para fazer contas, no entanto, a forma exponencial é mais simples. Lembrando da fórmula de Euler, e jθ = cos(θ)+jsen(θ), e que podemos escrever (ejθ +e jθ ) = cos(θ), d k = s(t)e jkωt dt = s(t)cos(kω t)dt s(t)sen(kω t)dt, (8) }{{}}{{} =a k / =b k / decorre que d k = (a k jb k ) = A k ejθ k. (9) Lembre que o arco-tangente deve levar em conta os sinais de a k e b k, pois o ângulo θ k pode estar no intervalo [ π, +π). 8
Note que, para k =, (8) resulta também d = a. Considere agora um valor de k > e calcule d k = s(t)e jkωt dt = s(t)cos( kω t)dt+ s(t)sen(kω t)dt = d k, () }{{}}{{} =a k / =b k / ou seja, d k é o complexo conjugado de d k. Então vale d k e jkωt +d k e jkωt = d k cos(kω }{{} t+ θ k ). }{{} =A k = fase de d k Isso significa que podemos escrever a série de Fourier assim: A DF, por outro lado, fica: s(t) = d k = k= d k = ã k j b k = N d k e jkω t, () s(t)e jkω t dt. () N Agora, notando que ω a = (π/)(/n) = π/n, chegamos a d k = ã k j b k = N n= N n= s(n a )e jkω n a. (3) s(n a )e jknπ/n. (4) Nota: é comum usar-se a DF sem a divisão porn. Como é usual usar-se rotinasprontas para calcular a DF, verifique qual fator de escala é usado pela rotina que você está usando. 9