ENE/FT/UnB Departamento de Engenharia Elétrica Prova individual, sem consulta. Faculdade de Tecnologia Só é permitido o uso de calculadora científica básica. Universidade de Brasília (Números complexos & funções trigonométricas) Prof. Adolfo Bauchspiess Turma B - Auditório FT, 9//1, 1-1 1 a Prova - CONTROLE DINÂMICO - 1 /1 1.5 1.5 w n sen -1 z s -.5-1 -1.5-1.5-1 -.5.5 Mp(%) Sobrepasso Percentual 1 9 7 5 3 1 M p = e -pz 1-z.1..3..5..7..9 1 z - Fator de Amortecimento ts(%) =! " b( s) 1 + K = ; a( s) tr (1-9%) = #,% & ' ; pólos - zeros a ; n - m 1 (k + 1) q = ; n - m se m < n -1 Þ p i p. = å å å = å MA MF ( ψ * ( φ - = 1 + 3 l j Fig. 1 Sistema de controle a ser utilizado nas questões 1 a. (Parâmetro a - ver folha de respostas). 1ª Questão: (,) Considerando a operação linear do sistema (não saturado). a) (1,5) A partir da equação característica normalizada, via critério de Routh-Hurwitz, quais valores de K, para - < K <, produzem um sistema estável, em malha fechada. b) (1,5) Calcule o erro em regime permanente, ess = (r y) > @, para uma rampa unitária de referência, em função do ganho K. Assuma, pelo princípio da superposição, w =. c) (1,) Calcule o erro em regime permanente, ess = (r y) > @, a um degrau de perturbação. Assuma, r =. ª Questão: (,) Esboce o Lugar Geométrico das Raízes em função de K > (LGR + ). Considere: d) (,3) Parte sobre o eixo real; e) (,) Assíntotas; f) (,5) Pontos de Ramificação; g) (,5) Ângulos de partida e de Chegada; h) (,5) Interseção com o eixo jw. Obs: Valores óbvios (justificáveis por outras regras), não precisam ser recalculados.
1ª Prova- 1 Sem. 1-111911 CONTROLE DINÂMICO Turma B - ENE/UnB 3ª Questão: (1,5) Esboce o Lugar Geométrico das Raízes em função de K < (LGR - ). i) (,) Parte sobre o eixo real; j) (,3) Pontos de Ramificação (ver tabela 1); k) (,5) Ângulos de partida e de Chegada; l) (,5) Complete o LGR, indicando com setas, o sentido crescente de K, de a +. Obs: Note que os cálculos do LGR + já são suficientes para esboçar o LGR -. Tabela 1: Candidatos a ponto de ramificação, (r1, r, r3, r) para alguns polinômios a(s) e b(s). Colunas indicam raízes de a CD CG b = c CE CE!s! + c J s J + c K s K +c # s +c L =, c c3 c 1 3 11 1 c1 31 11 c 1 1 r1, -1. +/-.7i -1. +/- 1.5i -1. +/- 7.3i -1. +/-17.35i r3-1.573-1.573-1.595-1.571 r -.77 -. -.35 -.39 ª Questão: (,5) Aplicações do LGR Escolha do ganho K, ganho efetivo. m) (,5) Considerando < K <, pelo esboço do LGR + e LGR - (e sem calcular a estabilidade relativa) existe algum valor de K, para que Y(s)/R(s) apresente ts = s? Justifique. n) (1,) Ainda com < K <, e sem saturação, para qual valor de K obtêm-se a resposta mais rápida possível para este sistema? E se houver saturação +/-Sat? Por quê? o) (1,) Considere agora a saturação +/-Sat e um valor de K > que produza polos no SPD (Semi-Plano Direito). Como o sistema é instável, a tendência é que y cresça indefinidamente. No entanto, o sinal de controle é limitado pela saturação, chegando apenas us ao processo. Neste caso considera-se que há um ganho de malha reduzido (ganho efetivo), o qual estabiliza o processo na interseção do LGR com o eixo jw. Ver simulação ilustrativa, para parâmetros típicos, Fig.. Se tivermos condições iniciais diferentes do processo, haveria, em regime permanente, diferentes amplitudes da oscilação em y? Por quê? us y Fig. Simulação do sistema com polos no SPD. Oscilação estável devido à saturação (ganho efetivo).
1ª Prova- 1 Sem. 1-111911 CONTROLE DINÂMICO Turma B - ENE/UnB 3 Gabarito 1ª Prova Controle Dinâmico 1/1 Turma B Provas tipo, 5 e (a =, 5 e ) 1ª Questão (,) Estabilidade, ess a) (1,5) Sistema estável para: a = < K <,9 ou 1,31 < K < a = 5 < K <,1733 ou,37 < K < a = < K <,15 ou 7,15 < K < b) (1,5) R(s) = # E V, W(s) =, ess = (r y) > @ = KXYZ#[GV \ KY(#[G V ) a = e EE = 17K 3K a = 5 e EE = 1 13K K a = e EE = 37K 7K c) (1,) W(s) = # E, R(s) =, ess = (r y) > @ a = ; a = 5; a = e EE = 1 K ª Questão (,) LGR + d) (,3) Parte real: a = ; 5; : < s < ; 1 < s < e) (,) Assíntota: a = ; 5; : o eixo real negativo (1 ) f) (,5) Ponto de ramificação: a = {; 5; }: s h[ = {.35;.77;.} g) (,5) φ igj> = {1 ; ; 1 } ψ klmn = { ; } h) (,5){w kj# ; w kjk } a = : {1,95; 3,1; }; a = 5: {1,;,39; }; a = : {1,55; 5,53; }; Tabela 1: Candidatos a ponto de ramificação, (r1, r, r3, r) para alguns polinômios a(s) e b(s). a=5 a= a= a=1 c 1 3 11 1 c1 31 11 c 1 1 3ª Questão: (1,5) LGR - r1, -1. + /-.7i -1. +/- 1.5i -1. +/- 7.3i -1.+/- 17.35i r3-1.573-1.573-1.595-1.571 r -.77 -. -.35 -.39 Sψ Sφ = (9 + ψ # ) (φ # + φ K + φ J ) = 1 + 3 l ψ # = ψ klmn = atand(1/a) + atand(a) 9 = i) (,) Parte real: a = ; 5; : < s < 1; < s < j) (,3) Ponto de ramificação: a = {; 5; }: s hx = { 1,595; 1.573; 1,573} k) (,5) φ igj> = {1 ; 1 } ψ klmn = { ; 1 ; } l) (,5) Setas (No gráfico)
a=; K=1 a=5; K=1 a=; K=1 1ª Prova- 1 Sem. 1-111911 CONTROLE DINÂMICO Turma B - ENE/UnB Imaginary Imaginary Axis (seconds -1 Axis (seconds -1 ) ) a=; K=1 - - - - - - - - - - Imaginary Imaginary Axis (seconds -1 Axis (seconds -1 ) ) a=5; K=1 - - - - - - - - - - Imaginary Imaginary Axis (seconds -1 Axis (seconds -1 ) ) a=; K=1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - a=; K=-1 a=5; K=-1 a=; K=-1 Imaginary Axis (seconds -1 ) - Imaginary Axis (seconds -1 ) - Imaginary Axis (seconds -1 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ª Questão: (,5) Aplicações do LGR. m) (,5) É possível? Sim. Pois o LGR tem dois ramos que vem do SPD para os zeros em -1±ja. Para algum valor de K teremos polos dominantes com parte real -,5 (t E = /σ = ). n) (1,) Kótimo. = Kótimo sat = Pois o LGR tem dois ramos que vão dos polos para os zeros em -1±ja. (Cancelando-se mutuamente para K ). O 3 o polo vai para -. Mesmo com saturação, K, ainda apresenta a resposta mais rápida. Após deixar a saturação, o ganho maior leva à convergência mais rápida. (Veja simulações na pag. 3) o) (1,) Resp.: Não. As amplitudes seriam as mesmas, pois o ganho efetivo é determinado por Sat.
1ª Prova- 1 Sem. 1-111911 CONTROLE DINÂMICO Turma B - ENE/UnB 5 Simula Q1P1 - degrau ref em,1 s, perturbacao ampl. 3 em,5 s, Sat=inf, a= 1 5 r y K=1 y K= y K=1 y K=1-5.1..3..5..7..9 1 1 u u - K=1 u - K= u - K=1 5 u - K=1-5.1..3..5..7..9 1 1 1 Simula Q1P1 - degrau ref em,1 s, perturbacao ampl. 3 em,5 s), w(sat=1, a= r y K=1 y K= y K=1 y K=1.1..3..5..7..9 1 1 u u - K=1 u - K= u - K=1 5 u - K=1-5.1..3..5..7..9 1
1ª Prova- 1 Sem. 1-111911 CONTROLE DINÂMICO Turma B - ENE/UnB Resolução de itens selecionados 1 a Prova - CONTROLE DINÂMICO - 1 /1 1ª Questão: a) Estabilidade via Critério de Routh-Hurwitz: Y(s) R(s) = Y(E V [KE[#[G V ) E(E[#) 1 + KY(EV [KE[#[G V ) E(E[#)(E[K) = K(s + )(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) Eq. Carac. : s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) = s J + 3s K + s + Ks K + Ks + K + Ka K = s J + (3 + K)s K + ( + K)s + ( + a K )K s J 1 ( + K) s K (3 + K) ( + a K )K s [(3 + K)( + K) ( + a K )K]/(3 + K) s L ( + a K )K i) K > 1,5; ii) K K + (1 a K )K + > ; iii) K > ; Estável: a = < K <,9 ou 1,31 < K < a = 5 < K <,1733 ou,37 < K < a = < K <,15 ou 7,15 < K < b) Referência, erro em regime permanente, ess = (r y) > @ e = r y E(s) = 1 s K 1 s K K(s + )(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) E(s) = 1 s K s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) K(s + )(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) E(s) = 1 s K s(s + 1)(s + ) Ks(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) e = lim E L s 1 s K s(s + 1)(s + ) Ks(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) e = lim E L (s + 1)(s + ) K(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) e = K(1 + ak ) K(1 + a K ) c) Perturbação, erro em regime permanente, ess = (r y) > @ Y(s) W(s) = E(s) = 1 s (E V [KE[#[G V ) E(E[#) 1 + KY(EV [KE[#[G V ) E(E[#)(E[K) e = r y = y = (s + )(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) (s + )(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K )
1ª Prova- 1 Sem. 1-111911 CONTROLE DINÂMICO Turma B - ENE/UnB 7 e = lim s 1 (s + )(s K + s + 1 + a K ) E L s s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) e = lim E L (s + )(s K + s + 1 + a K ) s(s + 1)(s + ) + K(s K + s + 1 + a K ) e = (1 + ak ) K(1 + a K ) = 1 K ª Questão: h) Interseção com o eixo jw. Parte real ou parte imaginária da Eq. Característica para s = jω. K1=[.9.1733.15];K=[1.31.37 7.15] sqrt(+*k1) sqrt(+*k) a=: sqrt((+*a.*a).*k1./(3+*k1)) sqrt((+*a.*a).*k./(3+*k)) a= -> [w1,w] = [ 1.9 3.1] a=5 -> [w1,w] = [1.11.39] a= -> [w1,w] = [1.555 5.599]