exemplos de utilização do moodle para unidade curriculares do departamento de aeronáutica e transportes questões e dúvidas:

exemplos de utilização do moodle para unidade curriculares do departamento de aeronáutica e transportes questões e dúvidas: aero@ulusofona.pt

A. colocação de documentos na página moodle da UC B. apresentação de mensagens na página moodle da UC C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos

A. colocação de documentos na página moodle da UC A1: http://ensino -> moodle

A. colocação de documentos na página moodle da UC A2: seleccionar página moodle da unidade curricular

A. colocação de documentos na página moodle da UC A3: activar modo edição

A. colocação de documentos na página moodle da UC A4: criar pasta Aulas e colocar documentos (FUC + slides + etc)

B. apresentação de mensagens na página moodle da UC B1: repetir A1 + A3 + A3; click em

B. apresentação de mensagens na página moodle da UC B2: escrever mensagem, e.g. data dos testes/avaliação, etc.

C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos C1: repetir A1 + A3 + A3; adicionar bloco Pessoas

C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos C2: click em Participantes

C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos C4: click em Mostrar todos #

C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos C5: click em Seleccionar todos e Enviar mensagem

C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos C6: escrever mensagem, click Vista preliminar

C. envio de emails automáticos para todos os estudantes inscritos C7: verificar mensagem, click Enviar mensagem

exemplo de diapositivos a colocar no moodle incompleto e apenas para referência de formatação template em http://documentos

Matemática Sumário: Revisão e esclarecimento de dúvidas sobre a aula anterior. Movimento no espaço: velocidade e aceleração. Exemplos. Exercícios resolvidos. Exercícios. Entidades que colaboram com o Departamento de Aeronáutica e Transportes:

Estes diapositivos, baseados na bibliografia recomendada, são elementos de estudo incompletos e insuficientes; destinam-se apenas a apoio durante as aulas não substituindo a participação nas aulas, resolução de exercícios e estudo independente usando a bibliografia recomendada.

Ficha de Unidade Curricular (FUC) conhecer e imprimir Regulamento de Avaliação da Universidade Lusófona conhecer e imprimir Regras de funcionamento da UC avaliação Representante dos Estudante DAT REDAT Contacto DAT aero@ulusofona.pt http:/ https://www.facebook.com Telemóvel desligado ou silêncio e guardado Horas totais e horas de contacto conhecer Moodle e email @ulusofona.pt inscrição e usar Seminários DAT obrigatórios, última Quinta-feira de cada mês Organograma DAT conhecer, imprimir e enviar email de apresentação Direcção do curso email de apresentação Responsabilidade e imagem DAT desde o primeiro ano, usar templates e regras de formatação para relatórios / trabalhos Dúvidas, questões, sugestões, problemas (pedir contactos) 1. Professor da UC 2. REDAT 3. Direcção do curso 4. Direcção DAT 5. Direcção UO 6. Provedor do Estudante Estudo independente horário de dúvidas DAT (salas) C.0.16 U.1.1 Grupo Lusófona conhecer a dimensão e as suas instituições Plano de Benefícios de Saúde conhecer

João Neves joao.neves@ulusofona.pt Horário dúvidas: Quarta-feira, 17h - 18h30, C.0.16 http://orcid.org/0000-0001-5603-817x

Movimento no espaço: velocidade e aceleração. Exemplos. Exercícios resolvidos. Exercícios.

Exercícios pág.(s) 424

Exercícios (resolução, exercícios seleccionados) 6. r = ti + t 2 j + tk v = i + 2tj + k d 2 y/dx 2 κ(x) = (1 + (dy/dx) 2 ) 3/2 = 2 (1 + 4x 2 ) 3/2. a = 2j v a = 2i + 2k Hence κ(0) = 2 and κ( At (1, 1, 1), where t = 1, we have 2) = 2/27. The radii of curvature at x = 0 and x = ˆT = v/ v =(i + 2j + k)/ 6 2 are 1/2 and 27/2, respectively. ˆB = (v a)/ v a = (i k)/ 2 ˆN = ˆB ˆT = (i j + k)/ 3. d 2 y/dx 2 κ(x) = (1 + (dy/dx) 2 ) 3/2 = cos x (1 + sin 2 x) 3/2. Hence κ(0) = 1 and κ(π/2) = 0. The radius of curvature at x = 0 is 1. The radius of curvature at x = π/2 is infinite. v = 2i (1/t 2 )j 2k a = (2/t 3 )j v a = (4/t 3 )i + (4/t 3 )k At (2, 1, 2), that is, at t = 1, we have v a κ = κ(1) = v 3 = 4 7. r = ti + t2 2 2 j + t3 3 k 27. v = i + tj + t 2 k da Thus the radius of curvature is 27/(4 a = j + 2tk, = 2k 2). v a = t 2 i 2tj + k 1. For y = x 2 we have 2. For y = cos we have 3. r = 2ti + (1/t)j 2tk 4. r = t 3 i + t 2 j + tk v = 3t 2 i + 2tj + k a = 6ti + 2j v(1) = 3i + 2j + k, a(1) = 6i + 2j v(1) a(1) = 2i + 6j 6k 4 + 36 + 36 κ(1) = (9 + 4 + 1) 3/2 = 2 19 14 3/2 At t = 1 the radius of curvature is 14 3/2 /(2 19). 5. r = ti + t 2 j + 2k v = i + 2tj a = 2j v a = 2k At (1, 1, 2), where t = 1, we have ˆT = v/ v =(i + 2j)/ 5 ˆB = (v a)/ v a =k ˆN = ˆB ˆT = ( 2i + j)/ 5. v = v = (v a) da = 2 ˆT = v v = i + tj + t2 k 1 + t 2 + t 4 1 + t 2 + t 4, v a = ˆB = v a v a = t2 i 2tj + k 1 + 4t 2 + t 4 1 + 4t 2 + t 4 ˆN = ˆB ˆT = (2t3 + t)i + (1 t 4 )j + (t 3 + 2t)k (1 + t 2 + t 4 )(1 + 4t 2 + t 4 ) v a 1 + 4t κ = v 3 = 2 + t 4 (1 + t 2 + t 4 ) 3/2 (v a) da τ = 2 v a 2 = 1 + 4t 2 + t 4. 8. r = e t cos ti + e t sin tj + e t k v = e t (cos t sin t)i + e t (sin t + cos t)j + e t k a = 2e t sin ti + 2e t cos tj + e t k da = 2e t (cos t + sin t)i + 2e t (cos t sin t)j + e t k v a = e 2t (sin t cos t)i e 2t (cos t + sin t)j + 2e 2t k v = v = 3e t, (v a) da = 2e 3t ˆT = v v v a = 6e 2t = (cos t sin t)i + (cos t + sin t)j + k 3 ˆB = v a (sin t cos t)i (cos t + sin t)j + 2k = v a 6 ˆN = ˆB ˆT = κ = τ = v a 2 v 3 = 3e t (v a) da v a 2 = 1 3e t. (cos t + sin t)i (cos t sin t)j 2 9. r = (2 + 2 cos t)i + (1 sin t)j + (3 + sin t)k v = 2 sin ti cos tj + cos tk v = 2 sin 2 t + cos 2 t + cos 2 t = 2 a = 2 cos ti + sin tj sin tk da = 2 sin ti + cos tj cos tk v a = 2j 2k v a κ = v 3 = 2 2 2 = 1 2 (v a) da = 2 cos t + 2 cos t = 0 τ = 0. Since κ = 1/ 2 is constant, and τ = 0, the curve is a circle. Its centre is (2, 1, 3) and its radius is 2. It lies in a plane with normal j + k(= 2 ˆB). 10. r = xi + sin xj v = dx dx i + cos x j = k(i + cos xj) v = k 1 + cos 2 x a = k sin x dx j = k2 sin xj v a = k 3 sin xk v a sin x κ = v 3 = (1 + cos 2 x) 3/2.

Exercícios (resolução, exercícios seleccionados) v = cos 2ti + sin 2tj sin tk a = 2 sin 2ti + 2 cos 2tj cos tk da = 4 cos 2ti 4 sin 2tj + sin tk. At t = 0wehavev = i, a = 2j k, da = 4i, v a = j + 2k, (v a) da = 0. Thus ˆT = i, ˆB = (j + 2k)/ 5, ˆN = (2j k)/ 5, κ = 5, and τ = 0. At t = π/4 wehavev = j 1 k, a = 2i 1 k, 2 2 da = 4j + 1 k, v a = 1 i + 2j + 2k, 2 2 (v a) da = 3 2. Thus ˆT = 1 ( 2j k) 3 ˆB = 1 ( i + 2j + 2 2k) 13 11. r = sin t cos ti + sin 2 tj + cos tk ˆN = 1 39 (6i + j + 2k) κ = 2 39, τ = 6 2 9 13.

Exercícios (resolução, exercícios seleccionados) d r(t) tv(t) 2 ( ) ( ) = 2 r(t) tv(t) v(t) v(t) ta(t) ( ) = 2 r(t) tv(t) a(t) = 0 0 = 0. Since the speed is 6, we have 1. Given that a r = 0 and a v = 0, we have 2. r = t cos ti + t sin tj + (2π t)k, (0 t 2π) is a conical helix wound around the cone z = 2π x 2 + y 2 starting at the vertex (0, 0, 2π), and completing one revolution to end up at (2π, 0, 0). Since v = (cos t t sin t)i + (sin t + t cos t)j k, the length of the curve is L = units. 2π 0 ( ) 2π + 2 + 4π 2 + t 2 = π 2 + 4π 2 2 +ln 2 3. The position of the particle at time t is r = xi + x 2 j + 2 3 x3 k, where x is an increasing function of t. Thie velocity is v = dx ( ) i + 2xj + 2x 2 k. 6 = dx 1 + 4x 2 + 4x 4 = (2x 2 + 1) dx, so that dx/ = 6/(2x 2 + 1). The particle is at (1, 1, 2 3 ) when x = 1. At this time its velocity is Also v(1) = 2(i + 2j + 2k). d 2 x 2 = 6 (2x 2 + 1) 2 (4x)dx = 144x (2x 2 + 1) 3 a = d2 x 2 (i + 2xj + 2x2 k) At x = 1, we have + dx ( 2 dx dx j + 4x k ). a(1) = 16 (i + 2j + 2k) + 2(4j + 8k) 3 = 8 ( 2i j + 2k). 3 4. The position, velocity, speed, and acceleration of the particle are given by r = xi + x 2 j v = dx (i + 2xj), v = dx 1 + 4x 2 ( ) a = d2 x dx 2 (i + 2xj) + 2 j. 2 Let us assume that the particle is moving to the right, so that dx/ > 0. Since the speed is t, wehave dx = d 2 x 2 = t 1 + 4x 2 1 + 4x 2 4tx dx 1 + 4x 2 1 + 4x 2. If the particle is at ( 2, 2) at t = 3, then dx/ = 1at that time, and d 2 x 2 = 3 4 2. 9 Hence the acceleration is a = 3 4 2 (i + 2 2j) + 2j. 9 If the particle is moving to the left, so that dx/ < 0, a similar calculation shows that at t = 3 its acceleration is 5. r = e t i + 2tj + e t k a = 3 + 4 2 (i + 2 2j) + 2j. 9 v = e t i + 2j e t k a = e t i + e t k da = e t i e t k v a = 2e t i 2j 2e t k v = e 2t + 2 + e 2t = e t + e t v a = 2(e t + e t ) v a 2 κ = v 3 = (e t + e t ) 2 τ = (v a) da 2 v a 2 = (e t + e t ) 2 = κ. 6. Tangential acceleration: dv/ = e t e t. Normal acceleration: v 2 κ = 2. Since v = 2 cosh t, the minimum speed is 2 at time t = 0. 7. For x(s) = s 0 dx ds cos kt2 2 so that the speed is unity: v =, y(s) = s ks2 = cos 2, dy ks2 = sin ds 2, ( ) dx 2 ( ) dy 2 + = 1. ds ds 0 sin kt2 2,wehave Since x(0) = y(0) = 0, the arc length along the curve, measured from the origin, is s. Also, v = cos ks2 ks2 i + sin 2 2 j a = ks sin ks2 ks2 i + ks cos 2 2 j v a = ksk. Therefore the curvature at position s is κ = v a /v 3 = ks.

Estes diapositivos, baseados na bibliografia recomendada, são elementos de estudo incompletos e insuficientes; destinam-se apenas a apoio durante as aulas não substituindo a participação nas aulas, resolução de exercícios e estudo independente usando a bibliografia recomendada.

Ficha de Unidade Curricular (FUC) conhecer e imprimir Regulamento de Avaliação da Universidade Lusófona conhecer e imprimir Regras de funcionamento da UC avaliação Representante dos Estudante DAT REDAT Contacto DAT aero@ulusofona.pt http:/ https://www.facebook.com Telemóvel desligado ou silêncio e guardado Horas totais e horas de contacto conhecer Moodle e email @ulusofona.pt inscrição e usar Seminários DAT obrigatórios, última Quinta-feira de cada mês Organograma DAT conhecer, imprimir e enviar email de apresentação Direcção do curso email de apresentação Responsabilidade e imagem DAT desde o primeiro ano, usar templates e regras de formatação para relatórios / trabalhos Dúvidas, questões, sugestões, problemas (pedir contactos) 1. Professor da UC 2. REDAT 3. Direcção do curso 4. Direcção DAT 5. Direcção UO 6. Provedor do Estudante Estudo independente horário de dúvidas DAT (salas) C.0.16 U.1.1 Grupo Lusófona conhecer a dimensão e as suas instituições Plano de Benefícios de Saúde conhecer