Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares FACIP/UFU 1 de Junho de 2017 (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 1 / 7
Motivação Os métodos numéricos para solução de sistemas lineares podem ser resumidos em três principais classes: Métodos diretos (aqueles que envolvem um número nito de operações para obter a solução); métodos indiretos ou iterativos (envolvem um erro de convergência); métodos de otimização (aqueles métodos otimizados que envolvem matrizes simétricas). Dois importantes aspectos que devem ser considerados na escolha do método: a estabilidade do método numérico; a questão de armazenamento da matriz, que deve ser realizada de acordo com a estrutura da mesma. Importante ressaltar que em problemas práticos, as matrizes são bastante grandes (torno da ordem 6000 6000 para problemas envolvendo a aeronáutica, por exemplo.) (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 2 / 7
Regra de Cramer Considere A = (a i,j ) a matriz de um sistema linear AX = B, tal que N = det(a) 0 e N i = det(a i ) onde i indica a i-ésima coluna de A, que será substituído por B durante o processo de cálculo. Assim: x i = det(a i) ; i = 1,, n, det(a) onde x i compõem a solução X do sistema. Exemplo. Considere o sistema linear: { [ 2x + y = 1 5x + 2y = 2 onde A = 2 1 5 2 [ x ; X = y e B = [ 1 2. (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 3 / 7
Temos que det(a) = 4 5 = 1 0 e usando a regra de Cramer: x = det [ 1 1 2 2 Observações: [ 2 1 /( 1) = 0 e y = det 5 2 /( 1) = 1( 1) = 1. Cálculo de determinante de matriz de ordem 2 envolve pelo menos 2! operações. No caso generalizado de ordem n, teremos n! operações. Supondo, no caso acima, que cada operação demore 10 12 segundos para execução e, em um sistema linear com n = 50, temos : 50! 10 12 3 10 64 10 12 = 3 10 52. Convertendo em anos temos: 3 1052 3 5x10 5 5 x1047 anos para se resolver este sistema (Inviável!). (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 4 / 7
Métodos Iterativos. O Método de Jacobi Considere um sistema linear quadrado de ordem n na forma AX = B, onde A = (a ij ), i, j = 1,, n. Suponha que a ij 0 quando i = j. Pode-se, portanto, reescrever o sistema linear da seguinte maneira: x i = b i n j=1(j i) a ijx j a ii. Supondo X (0) = (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) uma tentativa inicial como solução do sistema, pode-se calcular a sequência de aproximações X k+1, por meio de: x k+1 i = b i n j=1(j i) a ijx (k) j ; i = 1, 2, n e k = 0, 1, 2,... (1) a ii O cálculo é realizado até que se satisfaça o critério de parada: vericar X (k+1) X (k) < ɛ ou X (K+1) X (K) < ɛ X (k+1) para algum ɛ > 0. (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 5 / 7
Exemplo: Resolver Ax = b onde: Neste caso, tem-se: A = 8 1 1 1 7 2 2 1 9 e B = 8 4 12 8x (k+1) = 8 x (k) + x (k) 1 2 3 7x (k+1) = 4 x (k) 2x (k) 2 1 3 9x (k+1) = 12 2x (k) x (k) 3 1 2 x (k+1) = 1 1 x (k) + 1 x (k) 1 8 2 8 3 x (k+1) = 4 + 1 x (k) + 2 x (k) 2 7 7 1 7 3 x (k+1) = 12 2 x (k) 1 x (k) 3 9 9 1 9 2 Assumamos X 0 = (0, 0, 0) como condição inicial e buscamos uma solução precisa até a terceira casa decimal. (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 6 / 7
Método de Gauss-Seidel Esta método consiste em escrever (1) como: x (k+1) i = b i i 1 a j=1 ijx (k+1) j n a j=i+1 ijx (k) j ; i = 1, 2, n e k = 0, 1, 2,... a ii Neste caso, X (k+1) é determinado usando-se os componentes de X (k) e os componentes de X (k+1) já determinados. Com isto, pode-se ter uma convergência mais rápida. O exemplo anterior ca: x (k+1) = 1 1 x (k) + 1 x (k) 1 8 2 8 3 x (k+1) = 4 + 1 x (k+1) + 2 x (k) 2 7 7 1 7 3 x (k+1) = 12 2 x (k+1) 1 x (k+1) 3 9 9 1 9 2 (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 7 / 7