CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM Prof. Luis C. Vieira vieira@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/vieira/el63a-eletricidade
INTRODUÇÃO Circuitos que contem dois elementos armazenadores de energia. Segunda ordem equações diferencias que incluem derivadas de 2º grau.
VALOR INICIAL E VALOR FINAL v(0), dv(0)/dt, v( ) i(0), di(0)/dt, i( ) Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor. A tensão do capacitor não muda abruptamente: A corrente no indutor não muda abruptamente:
EXEMPLO 1 A chave foi fechada há um bom tempo. Ela é aberta em t = 0. Determine i(0 + ), v(0 + ), di(0 + )/dt, dv(0 + )/dt, i( ) e v ( ).
RLC SÉRIE SEM FONTES Condições iniciais: Na ED:
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem As raízes s 1 e s 2 são chamadas de frequências naturais. ω 0 é chamada de frequência de ressonância, expressa em rad/s. α é o fator de amortecimento
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem Resposta Natural: As constantes A 1 e A 2 são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e di(0)/dt.
Análise de α e ω 0 Se α > ω 0 temos o caso sobreamortecido: As raízes da equação característica do circuito são diferentes e reais. Se α = ω 0 temos o caso criticamente amortecido: As raízes da equação característica do circuito são iguais e reais. Se α < ω 0 temos o caso subamortecido: As raízes são complexas conjugas.
Circuito Sobreamortecido α > ω 0
Circuito Criticamente Amortecido α = ω 0
Circuito Subamortecido α < ω 0 Tanto ω 0 quanto ω d são frequências naturais: ω 0 é chamada de frequência natural sem amortecimento ω d é chamada frequência natural amortecida
Circuito Subamortecido α < ω 0
Circuito Subamortecido α < ω 0 A resposta tem uma constante de tempo 1 α e um período de 2π/ω d
Características Gerais do Circuito RLC
Resumo RLC sem Fontes Tipo Condição Critério Resposta Paralelo Série Sobre amortecido Paralelo Série Criticamente amortecido Paralelo Série Sub amortecido
EXEMPLO 2 Determine i(t) no circuito abaixo. Suponha que o circuito tenha atingido o estado estável em t = 0 -.
RLC PARALELO SEM FONTES Condições iniciais: Na ED:
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
Análise de α e ω 0 Se α > ω 0 temos o caso sobreamortecido: Se α = ω 0 temos o caso criticamente amortecido:
Análise de α e ω 0 Se α < ω 0 temos o caso subamortecido: ou
Resumo RLC sem Fontes Tipo Condição Critério Resposta Paralelo Série Sobre amortecido Paralelo Série Criticamente amortecido Paralelo Série Sub amortecido
EXEMPLO 4 No circuito RLC paralelo, encontre v(t) para t>0, assumindo que: v(0) = 5 V i(0) = 0 A L = 1 H C = 10 mf Considere três casos: R=1,923 Ω R=5 Ω R=6,25 Ω Plote no Excel os três gráficos Obs.: As constantes A 1 e A 2 são determinadas a partir dos valores iniciais de v(0) e dv(0)/dt:
Exemplo 4 - Análise
RLC Série com Fonte Independente A ED tem a mesma forma característica das equações vistas anteriormente. Mais especificamente, os coeficientes são os mesmos, mas a variável é diferente. Logo, a equação característica para o circuito RLC-Série não é afetada pela presença da fonte cc.
RLC Série com Fonte Independente A solução da equação anterior, possui dois componentes: a resposta transitória v t (t) e a resposta em regime permanente v ss (t): A resposta transitória v t (t) é a componente da resposta total que se extingue com o tempo. A forma dela é mesma do circuito RLC sem fonte, ou seja: sobreamortecido criticamente amortecido subamortecido
RLC Série com Fonte Independente A resposta em regime permanente é o valor final de v(t) no capacitor: Portanto: sobreamortecido criticamente amortecido subamortecido As constantes A 1 e A 2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v(0 + ) e dv(0 + )/dt
EXEMPLO 5 Encontre v(t) e i(t) para t > 0. Considere três casos: R=5Ω R=4Ω (tarefa plotar o gráfico) R=1Ω (tarefa plotar o gráfico)
Exemplo 5 - Análises
RLC Paralelo com Fonte Independente A solução completa consiste na resposta transitória e na resposta em regime permanente: A resposta transitória é mesma vista anteriormente. A resposta em regime permanente é o valor final de i (indutor). Para o circuito RLC- Paralelo é o valor final da corrente através do indutor que é o mesmo da fonte de corrente (I S )
RLC Paralelo com Fonte Independente sobreamortecido criticamente amortecido subamortecido As constantes A 1 e A 2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para i(0) e di(0)/dt
EXEMPLO 6 No circuito a seguir encontre i(t) e ir(t) para t > 0.
REFERÊNCIAS Charles K. Alexander; Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de Circuitos Elétricos; 5ª ed. J. David Irwin. Análise Básica de Circuitos para Engenharia; 10ª ed. Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin, William H. Hayt; Análise de Circuitos de Engenharia; 8ª ed. Robert Boylestad. Introdução À Análise de Circuitos; 12ª ed.