Números Complexos Números complexos: Forma Algébrica: Representação geométrica 1. Identifique Re(z) e Im(z) nos seguintes complexos: a) z = 3 + 2i b) z = i + 2 c)z = 1 i d)z = 2i ln 2 e) z = 4 f) z = 2i g) z = 3 4 + 5 6 h) z = 0 2. Determine os valores de x e de y para os quais os números complexos seguintes são iguais: a) z 3 = x 2i e z 6 = 3 + ; 6 i b) z 3 = 2 x + i e z 6 = 2 6 6 yi c) z 3 = = = x 2i e z 6 = 1 + 6 4 yi d) z 3 = 3x + 2yi e z 6 = 6 2i e) z 3 = πx + π 6 i e z 6 = @ 6 @ 4 yi f) z 3 = 3 4 x 6yi e z 6 = 2 + 8i 3. Calcule: a) (3 i) + (4 + 2i) (5 + 3i) h) D 3 6 + ie D= 6 + ie b) (4 + 3i) (2 2i) + (3 4i) c) (1 2i) (3 + i) d) (7 + i) (1 3i) e) J 2 ik J 2 + ik i) (1 i) (1 i) j) i( 2i) (2 + i) k) i(1 + i) + 2i(2 + i) l) i(5 + i) (1 + 2i) (1 3i) f) J2 3iK J1 + 3iK m) ij 6 6iK J 2 + 2iK J 3 2iK g) D = 3 ie (1 i) 6 6 3. Determine o valor de a para o qual: (1 ai) + (3 + 4i) é um número real. (3a 2i) + (1 + 3i) é um número imaginário puro. Página 1 de 12
(2 ai) + (a i) é um número real. (3a 4i) + ( 6 + a 6 i) é um número real. (ln a 2i) + ( 1 + 3i) é um número imaginário puro. ( log a + 2i) + (2 + 3i) é um número imaginário puro. 4. Seja A o afixo do complexo z = 2 3i. Indique as coordenadas do afixo B do complexo: a) z + z T, em que z T = 1 3i. d) z z T, em que z T = 1 + 3i. b) z + z T, em que z T = 2 + 4i. e) z T z, em que z T = 2 + i. c) z z T, em que z T = 3 2i. f) z T z, em que z T = 1 3i. 5. Seja A o afixo do complexo z = 1 i. Indique o complexo z 0, de modo que o afixo B do complexo: a) z + z T tenha as coordenadas (2, 3). e) z z T tenha as coordenadas (1, 4). b) z + z T tenha as coordenadas ( 1, 2). f) z T z tenha as coordenadas ( 2, 0). c) z + z T tenha as coordenadas (0, 2). g) z T z tenha as coordenadas (3, 1). d) z z T tenha as coordenadas ( 3, 1). h) z z T tenha as coordenadas ( 1, 1). 6. Considere, no plano complexo, um triângulo [ABC]. Sabe-se que: A é o afixo do complexo z 1 = 1 ; B é o afixo do complexo z 2 = 2 + 4i ; C é o afixo do complexo z 3 = 2 + 2i. 6.1. Determine o perímetro do triângulo [ABC]. Apresente o resultado arredondado às décimas. 6.2. Determine a área do triângulo [ABC]. 6.3. Considere um ponto D, que é a imagem do afixo de C pela translação de vetor u\ (0, a). Sabe-se que a área do triângulo [ABD] é superior em uma unidade à área do triângulo [ABC]. Determine a. Página 2 de 12
Números complexos: Operações na forma algébrica 1. Calcule na forma a + bi, com, a, b IR : a) (3i) 6 b) (3 i)( 2 i) c) J2 + 2 2iK 6 d) D = 6 + ie6 e) J 2iK 6 f) (2 2i)(3 + 4i) g) (1 + 2i)( 1 3i) h)(1 2i) 6 j) D 6 6 6 6 ie6 k) D 3 6 = 6 ie6 l) ( 2 + i)(1 + 2i) m) J 2 ik 6 2. Simplifique: i = e) i 6T i) i`3ttt m) i 6T3a i 4 f) i bt j) i 6TTT n) i 6Taa i b g) i`3tt k) i 6T3c o) (i`3c ) 3=d i e h) i btt l) i`6t3d 3. Calcule na forma a + bi, com a, b IR: a) (4 + i)(3 i)(2 + 2i) b) 2(3 i) i(1 + i) c) (3i)(2i)(1 2i)(4 5i) d) i(1 + 5i) 3i(2 4i) 4. Calcule na forma a + bi, com a, b IR: a) (2i) = b) D = 6 + 3 6 ie= c) J 3iK = d) (1 i) = e) D 6 6 + 6 6 ie= f) (3 + 2i) = g) ( 2 + i) = h) D 3 6 + = 6 ie= 5. Determine a IR, de modo que: a) (a 2i)(3 + 3i) seja um número real. b) (1 + ai)(3 + 2i) seja um número imaginário puro. c) (a 6 i)(a + 3i) seja um número real. d) (a + i) 6 + (1 + ai) 6 seja um número imaginário puro. Página 3 de 12
6. Escreva 6 + 8i na forma a + bi, com a, b IR. 7. Sabe-se que z = 2 3i e w = 1 + 2i. Calcule: a) 1 z b) 1 wj c) z 1ki + w 1`i d) 1 w e) w z f) zlwj `2`i g) 1 zl h) zl wj i) 1 zlkwj 8.Determine o conjugado dos seguintes complexos: a) 2ki 1`i b) (1ki) 2 3ki i 3 c) 3k2i 2ki d) (2`3i)(1k2i)2 1ki i11 (2`i) 2 e) `3`=5 3`65 f) (3`45)n`(6k5) n 3k5 + 5o J3k5 pq K 3`5 9. Determine o módulo dos seguintes complexos: a) z = 2 i b) s = e`d5 dke5 c) w = 3`65 =k5 d) t = 6`45 6` =5 10.Seja f a função, de domínio CI, definida por f(z) = (1 i)z 2 (3 + 2i)z + 1 + 4i. Determine: a) f(1) b) f(1 + i) c) f D 3 6`5 E 11. Resolva, em CI, as seguintes equações e apresente os resultados na forma a + bi, com a, b IR : a) z 6 + 9 = 0 b ) (1 + 3i)z iz = 7 + 5i c) z = + 4z = 0 d) z 6 15 + 8i = 0 e) z 6 + 2z + 4 = 0 f) z + z = 8 + 4i g) y`65 =`y = 1 + 3i 5`y h) z + 2 z + 2z = 5 + 3i i) = z + 1 =k5 j) z 6 2iz 5 = 0 k) z + 2z = 3 2i l) 5z 6 8iz 13 = 0 Página 4 de 12
12. Considere, em CI, as equações z 2 + kz 1 = 0 e z 2 + z + k = 0. Determine k, de modo que as duas equações tenham uma solução em comum. 13.Considere, em CI, a equação az 2 + bz + c = 0, com a 0. Sabe-se que: a, c IR + e b IR ; a, b e c estão em progressão geométrica de razão r. 13.1. Mostre que as raízes da equação são da forma z = ` ~±5 =~ 6~ 13.2. Determine as raízes da equação quando: a) a = 1 e r = 2 b) b = 6 e r = 3 c) c = 50 e r = 5. 14. Considere, no plano complexo, os pontos A e B, afixos dos complexos z 1 = 1 + i, z 2 = z 1, respetivamente. 14.1. Mostre que z CI, z z 3 = z z 6 z = a ai, com a IR. 14.2. Seja C o afixo do complexo z3 e Re(z3) < 0. Considere o triângulo equilátero [ABC]. 14.2.1. Determine z3. 14.2.2. Represente o triângulo [ABC] no plano complexo. 14.2.3. Determine a área do triângulo [ABC]. Página 5 de 12
Números complexos: Forma Trigonométrica 1. Mostre que os complexos seguintes são unitários: z 3 = 3 6 + = 6 i c) z = = 3b 3c d 3c i e) z b = 36 3= b 3= i z 6 = = 6 3 6 i d) z 4 = e 6 3a + 3c 3a i f) z e = 6 66 33 == 33 i 2. Considere os complexos z 1 = 3 2 1 2 i e z 2 = 2 2 + 2 2 i. 2.1. Mostre que z1 e z2 são unitários. 2.2. Indique um argumento de: a) z 3 b) y n c) y p D y p E d)z 6 e) z 3 z 6 f) (z 3z 6 ) n g) y p y n h) z 3 z 6 j 3. Escreva na forma a + bi, a, b IR os seguintes números complexos: a) e 5 b) 4e`5 c) 10e 5ˆ d) e 5ˆ q e) 6 e`5 q f) 2e`Šn q g) e`5q h) 4 = e5o i) 4e 5 q j) 2 e`5 k) 8e`5 n l) 2 2e`5o 4. Escreva os seguintes complexos na forma trigonométrica. Apresente os argumentos em radianos, na forma de racionais múltiplos de π ou, caso utilize a calculadora, apresente-os com 3 casas decimais. a) 2i g) 3 i m) 6 3 + 6i b) 5 h) 3 i n) 3 + 4i c) 1 i i) 1 + 3i o) 1 2i d) 1 + 3i j) 1 i p) 10 + 5i e) 2 + 2 3i k) 3 3 3i q) 3 i f) 2 2i l) 5i Página 6 de 12
5. Considere os números complexos z 1 = 2e`iπ 4, z 2 = 1 4 3 4 i e z 3 = 4i. Calcule, apresentando o resultado na forma trigonométrica: a) z 3 z 6 d) y lll p y q f) 5y py q 4 h) 5y ny q q yn j) y p 6`65 p y n 3k5 b) z 6 z = c) z 3 z j = e) y n y q g) `y py n yn i) y p n y n q q 36dyq n 6. Escreva os seguintes números complexos na forma rw, com r IR + e w CI, tal que w = 1 : a) 1 + 3i b) 1 + 3 3i c) 3 2 2i d) 2 + 6i 7. Determine as raízes quadradas dos complexos seguintes. Apresente o resultado na forma trigonométrica. a) z = 9e 5ˆ c) z = 8e 5 n e) z = 25e 5 b) z = 4e 5 q d) z = e 5@ f) z = 18e 5n ˆ 8. Determine as raízes indicadas. Apresente os resultados na forma algébrica: q a) 8e 5 n q b) 27e 5@ c) 64e 5n q 9. Determine as raízes indicadas. Apresente os resultados na forma trigonométrica: 4 a) i 3 b) 3 i 3 c) i(1 i) d) 3 2`2i 2k2i 3 e) D 1ki 1`i E3 10. Considere, em CI, a equação z n 1 = 0. Resolva a equação para n {1, 2, 3, 4, 6}. Apresente o resultado na forma algébrica. Para n 3, os afixos das soluções da Página 7 de 12
equação são os vértices de um polígono regular. Para cada caso, represente, no plano de Argand, esse polígono e determine o perímetro. 11. No plano complexo, sejam A, B e C os afixos dos complexos z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 2i e z 3 = 3 + 6i, respetivamente. Seja w = z 3 z 1 z 2`z 1. Mostre que w = e iπ 2.Conclua que o triângulo [ABC] é retângulo em A. 12. Determine o módulo e o argumento principal do complexo z = 1 + cos θ + i sin θ e θ š0, π. Sejam z1 e z2 dois complexos não nulos. Sabe-se que: 2 z 1 z 2 = 1 e Arg(z 1 ) = Arg(z 2 ) + π 2 Determine zl 1 z 2. Apresente o resultado na forma trigonométrica. 13. Represente as regiões do plano definidas pelas seguintes condições: a) z 1 = 3 f) @ 4 Arg(z) =@ 4 1 z i 2 b) z + 2 i 2 g) Im(z) 1 z 2 i 2 Re(1 i)z) 3 c) z 1 = z + i h) ImJz(1 + 2i)K 1 z + 2 i 2 d) z 1 i 2 0 Re(z) 1 ReJ(1 + i)zk 2 e) @ 6 Arg(z) 2π z 2 14. Sejam z e w dois complexos não nulos. Represente no plano de Argand as regiões do plano definidas pelas condições: z = 12 e w 3 + 4i = 5 Determine o valor mínimo de z w. 15. Sejam z e w dois complexos não nulos. Sabe-se que z = 3. Represente no plano de Argand as regiões definidas por z = 3 e por w = i + 12 z. Defina a região do plano definida por w = i + 36 y. Página 8 de 12
Proposta de Teste Números Complexos Grupo I 1. Considere, em CI, os complexos z = 2 + i(1 + 2 ln a) e w = (3 i ln a 4 ), com a IR +. Se z + w é um número real, qual é o valor de a? (A) a = e (B)a = e (C) a = (D) a = 1 e 2. Considere, em CI, os complexos z = i e w = 1 + i. Sejam as proposições: p: `2z w = w e q: Arg(zw) = 3π 4 Qual das opções seguintes é uma proposição verdadeira? (A) ~p q (B) p q (C) ~p q (D) q ~p 3. Considere, em, CI, os complexos z = 1 3i e w = 2 + i 9. Qual é o valor de ± wj z ±? (A) 6 6 (B) b 6 (C) 2 (D) 5 4. Considere, em CI, um número complexo w diferente de zero. Em qual das opções, está indicada a representação no plano da condição z w = z + wj? (A) Eixo real. (B) Eixo imaginário. (C) Bissetriz dos quadrantes pares. (D) Bissetriz dos quadrantes ímpares. 5. Considere, em CI, os complexos z = 2 2 π ei 3 e w = 2 + 2i. Qual dos números complexos seguintes corresponde a izlw na forma trigonométrica? (A) 6 e5pq pn 6 (B) 6 e5ˆ pn 6 (C) 2 e 5pq pn (D) 2 e 5ˆ pn Grupo II 1. Considere, em CI, o complexo z = 6 + i 2. 1.1. Determine Jz 6K b D 3 6 + 5 4 E6. Apresente o resultado na forma algébrica. Página 9 de 12
1.2. Seja w = 2 e 5. Determine ² y. Apresente o resultado na forma trigonométrica. 2. Considere, em CI, o complexo z 1 = 1. Sejam z 1, z 2 e z 3 as raízes da equação z 3 + z 2 + 9z + 9. Seja A o afixo de z 1, B o afixo da raiz em que lm(z) > 0 e C o afixo da restante raiz. 2.1. Determine o perímetro do triângulo [ABC]. 2.2. Construa o triângulo [A B C ] imagem do triângulo [ABC] dada pela função f(z) = iz + 1. 3. Considere, em CI, a equação z 6 = 1. Os pontos afixos das soluções da equação são vértices de um polígono regular. 3.1. Sejam z 3 e z 6 duas raízes da equação. Sabe-se que os pontos afixos são vértices consecutivos do polígono, e que Arg(z 3 ) > Arg(z 6 ). Determine y p y n na forma algébrica. 3.2. Determine a área desse polígono. 4. Sejam w e z dois números complexos, tais que: w = z`i Determine o conjunto dos números complexos z, tal que w seja um imaginário puro. 2zki 5. Considere, em CI, os complexos z 1 = 2 + 2i e z 2 = 2z 1. Represente graficamente a região S do plano definida pela condição: 1 z z 1 2 Im(z) Re(z 1 ) z z z 2 Página 10 de 12
Números complexos Duração: 90 minutos Grupo I 1. Considere o complexo z = 8 6i. Qual das afirmações é verdadeira? (A) O conjugado de z é 8 6i. (C) O simétrico de z é 8 + 6i. (B) O inverso de z é 3 3 i. (D) O módulo de z é 10. d e 2. Para um certo valor de k real, sabe-se que 1 + i é uma raiz da equação x 2 + kx k = 0. O valor de k é: (A) 1 (B) 2 (C) 1 (D) 2 3. Seja z um número complexo de argumento π 7. Qual poderá ser um argumento do complexo resultante do produto de i por zl? (A) b@ 34 (B) 3a@ 34 (C) a@ 34 (D) b@ 34 4. Sejam z = e i4π 3 e w = 2 + 2i. O valor de z 1 w é: (A) 2 2 e 5o pn (B) 6 e 5 pn (C) 6 4 4 e 5o pn (D) 2 2 e 5 pn 5. A representação geométrica, no plano complexo, da condição z + zl = 24 zzl 169 é uma linha. O comprimento dessa linha é: (A) 10 (B) 5 (C) 25 (D) 12 Página 11 de 12
Grupo II 1. Considere os números complexos z 1 = 3 2i e z 2 = 1 + i. 1.1 Mostre que lllllllll zj 3 + zj 6 (2z3 + i) é um número real. 1.2 Determine y p n`5qˆ. y n 2. Considere os números complexos z 1 = 2 + 2i, z 2 = e iπ 4 e z 3 = 27e iπ 6. 2.1 Determine: 2.1.1 6z 3 + 2z 6 e apresente o resultado na forma a + bi (a, b R); 2.1.2 as raízes quadradas de z 3 z 6 e apresente o resultado na forma trigonométrica. 2.2 Resolva, em C, a equação i 33 z = = z =. 3. Considere a família de números complexos z ¼ = J 2m 1K + D ¼n R. Determine o(s) valor(es) do parâmetro m tal que: 3.1 z ¼ seja um número real; 3.2. z ¼ seja um imaginário puro; 3.2 Re(z ¼ ) = Im(z ¼ ). b 1E i, m 4. Sabendo que 2 + 2i é uma das raízes quartas de z, determine, na forma a + bi (a, b R), as restantes raízes. 5. Considere os números complexos z 3 = 8 + 8i e z 6 = e 5. Determine o valor exato de cos b@ b@, atendendo a que = @ + @. 36 36 4 e 6. Represente no plano de Argand os pontos do plano que verificam a seguinte condição: z i 2 Re(z) 0 π 4 arg(z + 2) π 2 Página 12 de 12