MAT 2454 - Cálculo II - POLI - 2 a Lista de Exercícios 2 o semestre de 2002 Fazer os exercícios 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 e 43 da 1 a lista. 1. Calcule w t e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio u de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial. a) w = x 2 + y 2 ; x = t 2 + u 2, y = 2tu. x b) w = ; x = tcosu, y = tsenu. x 2 + y2 c) w = x 2 + y 2 + z; x = tu, y = t + u, z = t 2 + u 2. 2. O raio de um cilindro circular está decrescendo à taxa de 1,2 cm/s enquanto sua altura está crescendo à taxa de 3 cm/s. A que taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura 150 cm? 3. Um carro A está viajando para o norte a 90 km/h e um carro B está viajando para o oeste a 80 km/h. O carro A está se aproximando e o carro B está se distanciando da interseção das duas estradas. Em um certo instante, o carro A está a 0,3 km da interseção e o carro B a 0,4 km. Neste instante, estão os carros se aproximando ou se distanciando um do outro? A que velocidade? 4. Sejam f : IR 2 IR, diferenciável em IR 2, com f( 2, 2) = (a, 4) e g(t) = f(2t 3 4t, t 4 3t). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 seja paralela à reta y = 2x + 3. 5. Seja f : IR 3 IR uma função diferenciável em IR 3. As derivadas parciais de f nos pontos da hélice γ(t) = (cost, sent, t) são: x (γ(t)) = cost, (γ(t)) = sent e y z (γ(t)) = t2 + t 2. Para t [ π, 2π], em quais pontos da hélice f atinge seu máximo? E seu mínimo? 6. Mostre que não existe nenhuma função diferenciável f : IR 2 IR cujo gradiente é dado por f(x, y) = (x 2 y, y 2 ), (x, y) IR 2 7. a) Sendo v(r, s) uma função de classe C 2 em IR 2, defina u(x, t) = v(x + ct, x ct), onde c é constante. Verifique que u tt (x, t) c 2 u xx (x, t) = w(x + ct, x ct), 1
onde w(r, s) = 4c 2 v rs (r, s). b) Mostre que todas as soluções da equação u tt = c 2 u xx são da forma u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct), onde F e G são funções de IR em IR. 8. Sendo u(x, y) função de classe C 2 em IR 2, defina v(r, θ) = u(rcosθ, rsenθ). Verifique que 2 v r +1 v 2 r r + 1 2 v = u(rcosθ, rsenθ), onde, por definição, r 2 θ2 u = u xx + u yy. 9. Uma função f : IR 2 IR é homogênea de grau λ se satisfaz f(tx, ty) = t λ f(x, y) ( ) para todo t > 0, onde λ é um número real fixado. Suponha que f é uma função de classe C 2 que é homogênea de grau λ. Prove que: a) x x + y y = λf; b) x 2 2 f x + 2xy 2 f 2 x y + 2 f y2 = λ(λ 1)f(x, y); y2 c) as funções x e são homogêneas de grau λ 1. y Dicas: a) derive ( ) em relação a t e faça t = 1; b) derive ( ) duas vezes em relação a t e faça t = 1; c) derive ( ) em relação a x e em relação a y. 10. Verifique que as funções abaixo são homogêneas e determine o grau: a) f(x, y) = 5x 2 + 2xy y 2 b) f(x, y) = xe x y c) f(x, y) = 1 x3 + y 3. x 2 + y 2 11. a) Suponha que a equação F (x, y, z) = k (k constante) define implicitamente cada uma das variáveis x, y e z como função das outras: z = f(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z). Se F é diferenciável e se F x, F y e F z são não-nulas, mostre que z x x y y z = 1. b) Verifique por meio de um cálculo direto a equação acima para os casos particulares: (i) ax + by + cz = d, a, b e c não-nulos; (ii) P V = kt, k constante, P, V e T positivos; (iii) x 2 + y 2 + z 2 = 1, (x, y, z) no primeiro octante. 2
12. Sejam f : IR 2 IR diferenciável e g(u, v) = f(2v+u 2, v 2 +2u 2 ). Sabendo que a reta que passa pelos pontos (5,7,9) e (25,11,7) é normal ao plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 0, g(1, 0)), determine f(1, 2). 13. Seja f : IR 2 IR uma função diferenciável em IR 2. Para um determinado ponto P = (x 0, y 0 ) IR 2, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) tem equação 2x + 2y z + 3 = 0 Determine, entre as curvas abaixo, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P : ( t 5 ) a) γ(t) = ( 1/t, t) b) γ(t) = 5, 2t3 + 3t 3 c) γ(t) = (t 2, t 3 + t) 14. Seja f : IR 2 IR, f com derivadas parciais contínuas em IR 2 e tal que 2x + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, 2, f(0, 2)). Seja g(u, v) = u f(sen(u 2 v 3 ), 2u 2 v). Determine a IR para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, g(1, 1)) seja perpendicular ao plano 4x + 2y + az + 9 = 0. 15. Se f(x, y) = x 2 + 4y 2, ache o vetor gradiente f(2, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível f(x, y) = 8 no ponto (2,1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 16. Ache os pontos do hiperbolóide x 2 y 2 + 2z 2 = 1 onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (3,-1,0) e (5,3,6). 17. São dadas as curvas de nível de uma função f. Em cada caso, determine o sinal das derivadas parciais indicadas e desenhe o gradiente na figura. a) x (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) b) y x (2, 1), (2, 1) y x (1, 0), (1, 0) y 3
18. a) Mostre que toda reta normal a uma esfera passa pelo seu centro. b) Mostre que o plano tangente à superfície ax 2 + by 2 + cz 2 = d no ponto (x 0, y 0, z 0 ) tem como equação ax 0 x + by 0 y + cz 0 z = d. c) Mostre que todos os planos tangentes ao cone z 2 = a 2 x 2 +b 2 y 2 passam pela origem. 19. Seja a > 0 e considere o plano tangente à superfície xyz = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência. 20. Determine um plano tangente à superfície xyz = a, a 0 e que seja paralelo ao plano x + y + z + 100 = 0 21. Seja f : IR IR ( derivável. Mostre que todos os planos tangentes à x ) superfície z = xf passam pela origem. y 22. Mostre que o elipsóide 3x 2 + 2y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 8x 6y 8z + 24 = 0 se tangenciam no ponto (1,1,2) (isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto). 23. Verifique que as superfícies x 2 + y 2 z 2 = 0 e x 2 + y 2 + z 2 = 1 possuem vetores normais mutuamente ortogonais em todos os pontos da interseção. 24. Ache um vetor tangente à interseção das superfícies z = x 2 + y 2 e 4x 2 + y 2 + z 2 = 9 no ponto (-1,1,2). (Sugestão: Use vetores normais.) 25. Ache a reta da tangente à interseção do cilindro x 2 + y 2 = 2 com gráfico de f(x, y) = x 3 + y 3 + 2 no ponto (1, 1, 4). 4
26. Sejam f : IR 2 IR e γ : IR IR 3, diferenciáveis com f(1, 0) = (2, 1) e γ (t) (0, 0, 0). para todo t IR. Suponha que a imagem de γ esteja contida na interseção do gráfico de f com a superfície z 3 +x 3 +yz +xy 3 = 0. Sabendo que (1, 0, 1) Imγ, determine uma equação para a reta tangente a γ neste ponto. 27. O plano y + z = 3 intercepta o cilindro x 2 + y 2 = 5 em uma elipse. Ache a equação da reta tangente à elipse no ponto (1,2,1). Use computador para visualizar simultaneamente o cilindro, o plano e a reta tangente. 28. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície (x 1) 2 + (y 2) 2 /4 (z 1) 2 = 0 nos pontos (2,2,2) e (2,2,0). 29. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f(x, y) = xe y + 3y, (1, 0) b) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (1, 2) c) f(x, y, z) = x + y z, (4, 3, 1) d) f(x, y, z) = x y + y, (4, 2, 1). z 30. Seja f(x, y) de classe C 2 e considere os pontos A(1, 3), B(3, 3), C(1, 7) e D(6, 15). Sabe-se que a derivada direcional de f em A na direção de AB é 3 e que a derivada direcional de f em A na direção de AC é 26. Encontre a derivada direcional de f em A na direção de AD. x 2 y, (x, y) (0, 0) 31. Mostre que f(x, y) = x 2 + y2 é contínua em (0,0) e 0, (x, y) = (0, 0) aí possui todas as derivadas direcionais. É f diferenciável? 32. Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V (x, y, z) = 5x 2 3xy + xyz. (a) Ache a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção do vetor v = i + j k. (b) Em que direção V muda mais rapidamente em P? (c) Qual é a maior taxa de variação em P? 33. Seja f uma função diferenciável em IR 2 tal que γ(t) = (t+1, t 2 ), t IR é uma curva de nível de f. Sabendo que ( 1, 4) = 2, determine a x derivada direcional de f no ponto (-1,-4) e na direção e sentido do vetor u = (3, 4). 5
34. Seja F (r, s) = G(e rs, r 3 cos(s)), onde G é uma função de classe C 2. (a) Calcule 2 F (r, s) em função das derivadas parciais de G. r2 (b) Determine 2 F G (1, 0) sabendo que r2 y (t2 + 1, t + 1) = t 2 2t + 3. 35. Sejam F (x, y) = xe y + y 2 e G(x, y) = ye x + x 2. Mostre que em qualquer ponto (t, t) IR 2 a curva de nível de F contendo (t, t) é ortogonal, no ponto (t, t), à curva de nível de G contendo (t, t). RESPOSTAS 2) 9600πcm 3 /s; 3) distanciando-se a uma taxa de 10km/h; 4) a = 3 5) Possíveis pontos de máximo ou de mínimo de f sobre a hélice: γ( 2), γ(1), γ(2π), γ( π). (Tem que fazer as contas para poder ter saber qual desses é ponto de máximo e qual é ponto de mínimo.) 10) 2, -1, -3/2; 12) f(1, 2) = (1, 2); 13) c; 14) a = ( 4; ) 2 2 3 15) x + 2y 4 = 0; 16) ± 3, 2 3, ; 2 17) a) (1/2, 1/2) < 0 e x y (1/2, 1/2) < 0, (1, 0) > 0 e (1, 0) < 0; x y b) (2, 1) < 0 e (2, 1) > 0; x y 20) x + y + z 3 3 a = 0; 24) (5,8,6); 25) X = (1, 1, 4) + λ( 1, 1, 0), λ IR; 26) X = (1, 0, 1) + λ(2, 9, 5), λ IR; 27) X : (1, 2, 1) + λ(2, 1, 1), λ IR; 28) (x 3) 2 + (y 2) 2 + (z 1) 2 = 2; 29) (a) ( 2 1 5; (b) ; 5 5, 2 ) ; 5 (c) ( ) 17 1 11; (1, 1, 3); (d) 2 ; 2, 0, 2 ; 30) 327 32 ; 32) (a), (b) (38,6,12), (c) 2 406; 13 3 33) 4/5; 34) (b) 0. 6