Concurso: Professor: Alex Lira
Prova comentada: Agente Polícia Federal 2018 Raciocínio Lógico SUMÁRIO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO PREVISTO NO EDITAL... 3 QUESTÕES COMENTADAS... 3 LISTA DE QUESTÕES... 10 Página 2 de 13
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO PREVISTO NO EDITAL 1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas lógicos. 4. Logica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e probabilidade. 5 Operações com conjuntos. 6 Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. QUESTÕES COMENTADAS 1- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir As proposições P (~Q) (~R) e R [Q (~P)] são equivalentes. Sejam as proposições: A: P (~Q) (~R) B: R [Q (~P)] O nosso objetivo consiste em determinar se as proposições A e B são equivalentes. Uma proposição composta unida pelo conectivo Condicional, do tipo Se X, então Y, é equivalente à sua contrapositiva, isto é, Se ~Y, então ~X. Ou seja, obtemos outra condicional invertendo a ordem das proposições envolvidas e negando-as. Fazendo isso na proposição A não chegamos na proposição B. Por que não? Ocorre que na negação de P (~Q) não foi trocado o conectivo do e para ou. Gabarito 1: Errado. 2- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Página 3 de 13
Se as três proposições P, Q e R forem falsas, então pelo menos duas das pessoas envolvidas no ilícito penal serão culpadas. Se P, Q e R forem falsas, então: - João é culpado ou Carlos é culpado, de modo que há pelo menos um culpado entre João e Carlos. - Paulo é mentiroso. - Maria não é inocente, de forma que temos mais uma culpada. Portanto, podemos concluir que pelo menos duas pessoas são culpadas. Gabarito 2: 3- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir As proposições P, Q e R são proposições simples. É óbvio perceber que as proposições Q e R são simples. Já a proposição P pode gerar alguma dúvida, vez que no seu conteúdo dito algo a respeito de duas pessoas. Todavia, para o CESPE uma proposição é simples quando é expressa por meio de uma única oração principal. Neste sentido, a proposição P: João e Carlos não são culpados é uma proposição simples, no caso com sujeito composto. De fato, este sujeito pode ser resumido pela expressão Eles, ficando: Eles não são culpados Não há dúvida de que estamos diante de uma proposição simples, de modo que o item está certo. Corroborando com este entendimento, na prova da ABIN, aplicada em Jan/2018, o Cespe considerou a seguinte proposição SIMPLES: Página 4 de 13
Os Poderes Executivo, Legislativo e Judiciário devem estar em constante estado de alerta sobre as ações das agências de inteligência. Gabarito 3: 4- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir A proposição Se Paulo é mentiroso, então Maria é culpada. Pode ser representada simbolicamente por (~Q) (~R). O enunciado apresenta a condicional Se Paulo é mentiroso, então Maria é culpada., cuja representação simbólica é dada por (~Q) (~R), que é totalmente diferente da indicada no item, ou seja, uma BICONDICIONAL (se e somente se). Gabarito 4: Errado. 5- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Se ficar comprovado que apenas um dos quatro envolvidos no ilícito penal é culpado, então a proposição simbolizada por (~P) (~Q) R será verdadeira. Se apenas uma pessoa é culpada, então certamente a proposição P precisa ser verdadeira, de modo que João e Carlos NÃO são culpados. Pois, se P fosse falsa, já teríamos de início duas pessoas culpadas. Já que P é V, concluímos acertadamente que ~P é F. Assim, a condicional deste item é verdadeira, pois uma condicional que começa com F é sempre verdadeira. Página 5 de 13
Gabarito 5: 6- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Independentemente de quem seja culpado, a proposição [P (~Q)] {Q [(~Q) R]} será sempre verdadeira, isto é, será uma tautologia. Podemos resolver esta questão por tabela-verdade, mas também podemos chegar à resposta correta por meio da análise do valor lógico do conectivo presente na proposição, neste caso o Condicional. O nosso objetivo consiste em determinar se a sentença apresentada é sempre verdadeira. Para isso, podemos fazer com que ela seja falsa. Bem, para que a proposição [P (~Q)] {Q [(~Q) R]} seja falsa, necessitamos de antecedente P (~Q) verdadeiro e consequente Q [(~Q) R] falso. Então, para que Q [(~Q) R] seja falso, devemos ter Q falso e (~Q) R falso. E, para que (~Q) R seja falso, devemos obrigatoriamente ter (~Q) falso e R falso. Opa! Chegamos em um absurdo pois temos Q e (~Q) falsos simultaneamente. Assim, é impossível fazer com que a proposição dada no enunciado seja falsa. Trata-se, portanto, de uma tautologia. Gabarito 6: 7- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Página 6 de 13
A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 dos 30 passageiros selecionados de modo que pelo menos um deles tenha estado em C é superior a 100. A quantidade de maneiras para selecionar 2 passageiros dentre os 30 é dada por: C(30,2) = 30! 30 29 = = 435 2! (30 2)! 2 Dos 30 passageiros, 25 não estiveram em C. A quantidade de maneiras de escolher 2 deles é dada por: C(25,2) = 25! 25 24 = = 300 2! (25 2)! 2 Assim, o total de maneiras distintas de se escolher 2 dos 30 passageiros de modo que pelo menos um tenha estado em C é 435 300 = 135. Gabarito 7: 8- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Considere que, separando-se o grupo de passageiros selecionados que visitou o país A, o grupo que visitou o país B e o grupo que visitou o país C, seja verificado, em cada um desses grupos, que pelo menos a metade dos seus componentes era do sexo masculino. Nessa situação, conclui-se que o grupo de 30 passageiros selecionados tem, no máximo, 14 mulheres. O grupo dos que foram ao país C é formado por 5 pessoas. Considerando que pelo menos metade é composto de homens, temos no mínimo 3 homens e no máximo 2 mulheres. Já no grupo das 25 pessoas que foram a A ou B, pelo menos metade é composto de homens. Então, temos no mínimo 13 homens e no máximo 12 mulheres. Portanto, no máximo teremos 2 + 12 = 14 mulheres. Gabarito 8: Página 7 de 13
9- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Se 11 passageiros estiveram em B, então mais de 15 estiveram em A. Conforme as informações apresentadas no enunciado, temos: n(a ou B) = 25 n(b) = 11 n(a e B) = 6 Dessa forma, ficamos com: n(a ou B) = n(a) + n(b) n(a e B) 25 = n(a) + 11 6 n(a) = 20 Portanto, se considerarmos que 11 passageiros estiveram no país B, então realmente mais de 15 estiveram em A. Gabarito 9: 10- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Se 2 dos 30 passageiros, selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. A quantidade de maneiras para selecionar 2 passageiros dentre os 30 é dada por: C(30,2) = 30! 30 29 = = 435 2! (30 2)! 2 Página 8 de 13
O enunciado informa que há 6 passageiros que estiveram em 2 desses países. Assim, a quantidade de maneiras possíveis para escolher2 passageiros que já estiveram em 2 países é dada por: C(6,2) = 6! 2! (6 2)! = 6 5 = 15 2 Dessa forma, a probabilidade exigida pela questão é dada por: P = 15 435 = 1 29 Repare que o número encontrado é superior a 1/30 (seu denominador é menor), de modo que o item está errado. Gabarito 10: Errado. Página 9 de 13
LISTA DE QUESTÕES 1- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir As proposições P (~Q) (~R) e R [Q (~P)] são equivalentes. 2- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Se as três proposições P, Q e R forem falsas, então pelo menos duas das pessoas envolvidas no ilícito penal serão culpadas. 3- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir As proposições P, Q e R são proposições simples. 4- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Página 10 de 13
A proposição Se Paulo é mentiroso, então Maria é culpada. Pode ser representada simbolicamente por (~Q) (~R). 5- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Se ficar comprovado que apenas um dos quatro envolvidos no ilícito penal é culpado, então a proposição simbolizada por (~P) (~Q) R será verdadeira. 6- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) As proposições P, Q e R a seguir Independentemente de quem seja culpado, a proposição [P (~Q)] {Q [(~Q) R]} será sempre verdadeira, isto é, será uma tautologia. 7- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Página 11 de 13
A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 dos 30 passageiros selecionados de modo que pelo menos um deles tenha estado em C é superior a 100. 8- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Considere que, separando-se o grupo de passageiros selecionados que visitou o país A, o grupo que visitou o país B e o grupo que visitou o país C, seja verificado, em cada um desses grupos, que pelo menos a metade dos seus componentes era do sexo masculino. Nessa situação, conclui-se que o grupo de 30 passageiros selecionados tem, no máximo, 14 mulheres. 9- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Se 11 passageiros estiveram em B, então mais de 15 estiveram em A. 10- (CESPE/Polícia Federal/Agente/2018) Em um aeroporto, 30 passageiros Se 2 dos 30 passageiros, selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. Página 12 de 13
Gabarito 1: Errado. Gabarito 7: Gabarito 2: Gabarito 8: Gabarito 3: Gabarito 9: Gabarito 4: Errado. Gabarito 10: Errado. Gabarito 5: Gabarito 6: Página 13 de 13