LISTA DE EXEMPLOS - PROBABILIDADE EXEMPLO 1 CONVERTENDO UM ARREMESSO LIVRE Ache a probabilidade de que o jogador de basquete da NBA, Reggie Miller, converta um arremesso livre depois de sofrer uma falta. Em um instante de sua carreira, ele converteu 5915 arremessos livres em 6679 tentativas (com base em dados da NBA). O espaço amostral consiste em dois eventos simples: Miller converte o arremesso livre ou não. Como o espaço amostral consiste em eventos que não são igualmente prováveis, não podemos usar a abordagem clássica. Podemos usar a abordagem da frequência relativa com sues resultados passados. Obtemos o seguinte resultado: EXEMPLO 2 GENÓTIPOS Como parte de um estudo dos genótipos AA, Aa, aa e aa, escreve-se cada genótipo individual em um cartão, misturam-se os cartões e seleciona-se um deles aleatoriamente. Qual a probabilidade de que o genótipo selecionado seja o Aa? Como o espaço amostral (AA, Aa, aa, aa), nesse caso, inclui resultados igualmente prováveis, usamos a abordagem clássica para obtermos: EXEMPLO 3 SEXO DE CRIANÇAS Ache a probabilidade de que, quando um casal tem três filhos, exatamente dois deles sejam meninos. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra criança. O maior obstáculo aqui é identificar corretamente o espaço amostral. Isto envolve mais do que trabalhar com os números 2 e 3 dados nmo enunciado do problema. O espaço amostral consiste em 8 maneiras diferentes pelas quais as três crianças podem ocorrer. Estas maneiras estão listadas na margem. Esses 8 resultados são igualmente prováveis, assim, usamos a Regra 2. Das 8 diferentes possibilidades, 3 correspondem a exatamente 2 meninos, de modo que, Portanto há uma probabilidade igual a 0,375 de que, se um casal tem 3 filhos exatamente dois sejam meninos.
EXEMPLO 4 DIA DE AÇÃO DE GRAÇAS Se um ano é selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de o Dia de Ação de Graças cair em uma (a) quarta-feira ou (b) em uma quinta-feira. (a) O Dia de Ação de Graças é sempre a quarta quinta-feira do mês de novembro. Assim, é impossível que o Dia de Ação de Graças caia numa quarta-feira. Quando um evento e impossível, dizemos que sua probabilidade é zero (0). (b) É certo que o Dia de Ação de Graças caia numa quinta-feira. Quando um evento ocorre com certeza, dizemos que sua probabilidade é um (1). EXEMPLO 5 SEXO DE RECÉM-NASCIDOS Na verdade, nascem mais meninos que meninas. Em um grupo típico, há 205 recém-nascidos, dos quais 105 são meninos. Se um bebê é escolhido aleatoriamente nesse grupo, qual é a probabilidade de que ele não seja um menino? Como 105 dos 205 bebês são meninos, então 100 são meninas. Logo, EXEMPLO 6 CHANCES Se você aposta 5 dólares no número 13 em uma roleta, sua probabilidade de ganhar é 1/38 e a chance no rateio é dada pelo cassino como 35:1 (a) Ache a chance real contra o resultado 13. (b) Qual seria o seu lucro líquido se você ganhasse apostando no 13? (c) Se o cassino estivesse operando apenas por diversão e a chance no rateio fosse alterada para se igualar à chance real contra o 13, quanto você ganharia se o resultado fosse 13? (a) Com e, obtemos, chances reais contra ou (b) Como as chances no rateio contra o são de, temos:
de modo que há um lucro líquido de 35 dólares para cada dólar apostado. Para uma aposta de 5 dólares, o lucro líquido é 175. O apostador vencedor ganharia 175 mais os 5 originais da aposta. Isto é, o apostador vencedor receberia os 5 apostados mais 175. A quantia recebida seria de 180 dólares para um lucro líquido de 175 dólares. (c) Se o cassino estivesse operando por diversão e não por lucro, as chances no rateio seriam iguais às chances reais contra o 13. Se as chances no rateio fossem alteradas de 35:1 para 37:1, seu lucro líquido seria de 37 dólares para cada dólar apostado. Se você apostasse 5, seu lucro líquido seria de 185. (O cassino lucra pagando apenas 175 em vez dos 185 que ele pagaria com um jogo de roleta justo, em vez de favorável ao cassino.) EXEMPLO 7 GENÉTICA MENDELIANA Quando Mendel realizou seu famoso experimento genético com ervilhas, uma prole de mudas consistia em 428 ervilhas verdes e 152 ervilhas amarelas. Com base nesses resultados, estime a probabilidade de se obter uma prole de ervilhas verdes. O resultado está razoavelmente próximo do valor esperado de ¾? Para esse estudo o número total de ervilhas observadas pode se dar pela soma das verdes mais as amarelas Com o resultado obtido é razoável sim dizer que esse valor está próximo de ¾. EXEMPLO 8 REGRA DA ADIÇÃO TESTES DO USO DE MACONHA Considere a tabela abaixo: Resultado do teste positivo (teste indicou a presença de maconha) Resultado do teste negativo (Teste indicou a ausência de maconha) O sujeito realmente usou maconha? Sim Não 119 (positivo verdadeiro) 3 (falso negativo) 24 (falso positivo) 154 (negativo verdadeiro) (a) Supondo que uma pessoa seja selecionada aleatoriamente entre as 300 que foram testadas, ache a probabilidade de ser selecionado um sujeito que teve teste positivo ou usava maconha.
Podemos perceber que há 146 sujeitos que tiveram teste positivo com os sujeitos que usavam maconha, tendo o cuidado de contar cada um apenas uma vez. Dividindo o total de 146 pelo total geral de 300, obtemos este resultado: (b) Considere ainda a tabela mostrada acima. Considere a seleção aleatória de 1 dos 300 sujeitos incluídos na tabela acima. Determine se B: obter um sujeito que não usava maconha. Podemos ver que há 157 sujeitos com resultados negativos no teste e que há 178 sujeitos que não usavam maconha. O evento de se obter um sujeito com resultado negativo no teste e o de se obter um sujeito que não usava maconha podem ocorrer ao mesmo tempo (porque há 145 sujeitos que tiveram resultados negativos no teste e não usavam maconha). Como esses eventos se superpõem, eles podem ocorrer ao mesmo tempo, e dizemos que eles não são disjuntos. (c) Supondo que uma pessoa seja selecionada aleatoriamente dentre as 300 pessoas que foram testadas, ache a probabilidade de se selecionar um sujeito que teve resultado negativo no teste ou que não usava maconha. Precisamos encontrar o número total de sujeitos que tiveram resultados negativos no teste ou que não usavam maconha, mas devemos encontrar esse total sem contagem dupla. Obtemos um total de 181. Como181 sujeitos tiveram resultados negativos no teste ou não usavam maconha, e como há 300 sujeitos no total, obtemos: EXEMPLO 9 REGRA DA MULTIPLICAÇÃO TESTES DO USO DE MACONHA Considere a tabela mostrada no exercício anterior. Se dois dos sujeitos incluídos na tabela na tabela são selecionados aleatoriamente sem reposição, ache a probabilidade de que a primeira pessoa selecionada tenha um resultado de teste positivo e a segunda pessoa selecionada tenha um resultado de teste negativo. Primeira seleção: (porque há 143 sujeitos com teste positivo e o número total é 300). Segunda seleção:
(depois da primeira seleção de um sujeito com teste positivo, há 299 sujeitos restantes, 157 dos quais têm resultado negativo no teste). Com e, temos: O ponto chave para esse exercício é que temos que ajustar a probabilidade do segundo evento para refletir o resultado do primeiro. Como a seleção do segundo sujeito é feito sem a reposição do primeiro, a segunda probabilidade tem que levar em conta o fato de que a primeira seleção removeu um sujeito que teve positivo, de modo apenas 299 sujeitos estão disponíveis para a segunda seleção, e 157 deles têm teste negativo.
EXEMPLO 10 PROBABILIDADE CONDICIONAL TESTE DE DROGAS Com relação a mesma tabela apresentada, ache: (a) Se 1 das 300 pessoas é escolhida aleatoriamente, ache a probabilidade de o teste dar positivo, visto que esta pessoa realmente usou maconha. Queremos, a probabilidade de um teste positivo, visto que esta pessoa usou maconha. Eis aqui o ponto-chave: se consideramos que a pessoa usou maconha, esgtamo lidando apenas com as 122 pessoas da primeira coluna da tabela. Dentre as 122, a19 tiveram teste positivo, de modo que: O mesmo resultado pode ser encontrado usando-se a fórmula dada com a definição de probabilidade condicional. Nos cálculos seguintes, usamos o fato de que 119 das 300 pessoas usaram maconha e o teste deu positivo. Também 122 das 300 pessoas usaram maconha. Assim, b) Se 1 das 300 pessoas é escolhida aleatoriamente, ache a probabilidade de esta pessoa ter usado maconha, visto que o teste deu positivo. Aqui queremos Se considerarmos que o teste deu positivo para a pessoa selecionada, estaremos lidando com as 143 pessoas da primeira linha da tabela. Dentre as 143 pessoas, 119 usaram maconha, de modo que: Novamente, o mesmo resultado pode ser obtido aplicando-se a fórmula da probabilidade condicional: Comparando os resultados das partes (a) e (b), podemos ver que mesmo que. não é o
EXEMPLO 11 REGRA DA MULTIPLICAÇÃO COMPLEMENTAR SEXO DE CRIANÇAS Ache a probabilidade de um casal ter pelo menos uma menina entre três crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã. Passo 1: Use um símbolo para representar o evento desejado. Neste caso, seja A= pelo menos 1 das 3 crianças é menina. Passo 2: Identifique o evento que é complementar de A. = não se obter pelo menos 1 menina entre 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos = menino e menino e menino Passo 3: Ache a probabilidade do complementar, Passo 4: Ache calculando Há, portanto, uma probabilidade de 7/8 de que o casal com três crianças tenha pelo menos uma menina.