PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (1000 ton) 2500 Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994 2000 1500 1000 500 0 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 M. Bastos 2005
SUMÁRIO 1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS... 5 1.1 Introdução... 1.2 Símbolos... 1.3 Noções sobre Conjuntos... 1.4 Conjunto dos Números Naturais (N)... 1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z)... 1.6 Representação decimal das frações... 1.7 Conjunto dos Números Irracionais... 1.8 Conjunto dos Números Reais (R)... 1.9 Intervalos... 1.10 Problemas com número finito de elementos... 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA... 2.1 Introdução... 2.2 Fatorial de um número natural... 2.3 Princípio fundamental da contagem - PFC... 2.4 Arranjos simples... 2.5 Cálculo do número de arranjos... 2.6 Permutações simples... 2.7 Permutações com elementos repetidos... 2.8 Combinações simples... 2.9 Exercícios... 3 PROBABILIDADE... 3.1 Experimento aleatório... 3.2 Espaço amostral... 5 5 6 7 8 11 12 12 13 14 17 17 18 19 23 23 25 27 28 33 34 34 35 2
3.3 Evento... 3.4 Probabilidade de um Evento... 3.5 Evento complementar... 3.6 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis 3.7 Probabilidade da união de dois eventos... 3.8 Experiência Composta... 3.9 Probabilidade condicional... 4 ESTATÍSTICA BÁSICA... 4.1 Conceitos fundamentais... 4.2 Divisão da estatística... 4.3 População... 4.4 Amostragem... 4.5 Amostra... 4.6 Censo... 4.7 Tipos de variáveis... 4.8 Definição do problema... 4.9 Definição dos objetivos (geral e específico)... 4.10 Planejamento... 4.11 Coleta dos dados... 4.12 Crítica dos dados... 4.13 Apuração (armazenamento) dos dados... 4.14 Exposição ou apresentação dos dados... 4.15 Análise e interpretação dos dados... 4.16 Regras de arredondamento... 4.17 Série temporal, histórica ou cronológica... 4.18 Gráficos estatísticos... 36 36 38 38 43 45 46 48 48 49 50 52 52 52 53 54 55 56 56 57 58 58 59 59 60 61 3
4.19 Principais tipos de gráficos... 4.19.1 Gráficos em curvas ou em linhas... 4.19.2 Gráficos em colunas... 4.19.3 Gráficos em barras... 4.19.4 Gráfico em colunas múltiplas (agrupadas)... 4.19.5 Gráfico em barras múltiplas (agrupadas)... 4.19.6 Gráfico em setores... 4.20 Distribuição de freqüências... 4.21 Distribuições cumulativas... 4.22 Medidas de posição (ou de tendência central)... 4.22.1 Média aritmética... 4.22.2 Esperança matemática... 4.22.3 Moda (mo)... 4.22.4 Mediana (md)... 4.22.5 Medidas de dispersão (medidas de variabilidade). 4.22.6 Variância... 4.22.7 Desvio-padrão... 4.23 Distribuições discretas de probabilidade... 4.23.1 Distribuição de bernoulli... 4.23.2 Distribuição binomial... BIBLIOGRAFIA... 62 62 63 65 66 67 68 69 74 75 76 79 79 81 82 83 84 88 88 88 91 4
1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Introdução Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais. O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. 1.2 Símbolos : pertence : existe : não pertence : não existe : está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio N : contém N: conjunto dos números naturais : não contém Z : conjunto dos números inteiros I : tal que Q: conjunto dos números racionais : implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais : pertence : existe : ou : e Símbolos sobre Operações : A intersecção B a > b: a maior que b : A união B : a maior ou igual a b a - b: diferença de a com b : a e b a < b: a menor que b : a ou b : a menor ou igual a b : Diferente 5
1.3 Noções sobre Conjuntos Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por ou { }. Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Obs.: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; - O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:. Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja 6
1.4 Conjunto dos Números Naturais (N) N é o conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n,...} Onde n representa o elemento genérico do conjunto. Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão. Quando houver... ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N. O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita). unidade O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes: 1 O conjunto dos números naturais não nulos N * ={1, 2, 3, 4, 5,..., n,...} N * = N - {0} Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer suprimir o elemento zero. 2 O conjunto dos números naturais pares: N p ={0, 2, 4, 6,..., 2n,...} n N 3 O conjunto dos números naturais ímpares: N i ={1, 3, 5, 7,..., 2n+1,...} n N 7
4 O conjunto dos números primos: P i ={2, 3, 5, 7, 11, 13...} No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição e multiplicação. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos: m,n N, m + n N e m * n N Essa característica pode ser sintetizada na frase: N é fechado em relação à adição e à multiplicação. 1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z) Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z: N Z ou Z N Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z - {0} Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} Z + = {0,1,2,3,4,5,...} Z * + = {1,2,3,4,5,...} Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0} conjunto dos inteiros não negativos conjunto dos inteiros positivos conjunto dos inteiros não positivos Z * = {..., -4, -3, -2, -1} conjunto dos inteiros negativos Observe que Z + = N. 8
Números Opostos Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem (zero). Considerando os números inteiros ordenados sobre uma reta, podemos tomar como exemplo o número 2. O oposto de 2 é 2, e o oposto de 2 é 2, pois: 2 + (-2) = -2 + 2 = 0 2 unidades 2 unidades No geral, dizemos que o oposto (ou simétrico) de a é -a., e vice-versa; particularmente, o oposto de zero é o próprio zero. Módulo de um número inteiro Damos o nome de módulo, ou valor absoluto de a, à distância da origem ao ponto que representa o número a. Conjunto dos Números Racionais (Q) O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à divisão: embora (-12):(+4) = -3 Z, não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais. O conjunto dos números racionais é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros. Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. 9
Q = 0, ± 1, ± 1, 2 ± 1,... 3 2 2 ± 2, ±, ±,..., ± 3 5 p q,... I p e q inteiros e q 0 Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que: p Q = I p Z e q Z* q Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das frações q p ; assim, um número é racional quando pode ser escrito como uma fração q p, com p e q inteiros e q 0. Quando q = 1, temos p p = = p Z, de onde se conclui que Z é q 1 subconjunto de Q. Assim, podemos construir o diagrama: N Z Q No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos: Q * : conjunto dos racionais não nulos Q + : conjunto dos racionais não negativos Q * : conjunto dos racionais positivos + Q _ : conjunto dos racionais não positivos Q * : conjunto dos racionais negativos _ O conjunto Q é fechado para as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. 10
Exemplos: 3 6 a) 3 = = 1 2 1 2 3 b) 1 = = = 1 2 3 = 9 3 Assim, podemos escrever: p Q = { x x =, com p Z, q Z e q 0} q 1.6 Representação decimal das frações Tome um número racional p, tal que p não é múltiplo de q. q Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1 ) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos (não nulos): 1 2 = 0,5 5 4 = 1,25 75 20 = 3,75 Tais números racionais são chamados decimais exatos. 2 ) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente: 1 9 = 0,333... = 0,3 = 0,777... = 0,7 3 7 1 167 = 0,0454545... = 0,045 = 2,5303030... = 0,530 22 66 11
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. 1.7 Conjunto dos Números Irracionais (I) Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Vejamos alguns exemplos: 1. O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente. 2. O número 0,203040... também não comporta representação fracionária, pois não é dízima periódica. 3. Os números π=3,1415926535..., 2 = 1,4142136 e 3 = 1,7320508 por não apresentarem representação infinita periódica, também não são números racionais. 1.8 Conjunto dos Números Reais (R) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como: R = Q I = {x x é racional ou x é irracional} O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: I R 12
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta noutros subconjuntos importantes: R* = {x R I x 0} conjunto dos números reais não nulos R + = {x R I x 0} conjunto dos números reais não negativos * R + = {x R I x > 0} conjunto dos números reais positivos R- = {x R I x 0} conjunto dos números reais não positivos * R = {x R I x < 0} conjunto dos números reais negativos Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de I temos: I* = I - {0} I + = conjunto dos números reais não negativos I_ = conjunto dos números reais não positivos Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Ex: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999... Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999... 1.9 Intervalos a) Intervalo Aberto: ]a,b[ = {x R I a < x < b} 3 5 b) Intervalo Fechado: [a,b] = {x R I a x b} 3 5 c) Intervalo aberto à direita: [a,b[ = {x R I a x < b} 3 5 d) Intervalo aberto à esquerda: ]a,b] = {x R I a < x b} 3 5 13
Existem ainda os intervalos infinitos: e) ]-,a] = {x R I x a} 3 f) ]-,a[ = {x R I x < a} 3 g) [a, + [ = {x R I x a} 3 h) ]a, + [ = {x R I x > a} 3 1.10 Problemas com número finito de elementos Exemplo 1 O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de variação da temperatura à sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo: Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Temperatura 7 6 5 4 3 2 2 3 5 7 12 15 Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Temperatura 18 18 20 20 20 18 15 13 11 9 8 7 Nesse exemplo, são medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente temperatura. A cada hora corresponde uma única temperatura. Dizemos, por isso, que a temperatura é função da hora. Como à mesma temperatura podem corresponder várias horas, a hora não é função da temperatura. Exemplo 2 Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte tabela: Números de cocos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Preço (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60 10,80 12,00 14
Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: o número de cocos e o respectivo preço. A cada quantidade de cocos corresponde um único preço. Dizemos, por isso, que o preço é função do número de cocos comprados. Aqui é possível até achar a fórmula que estabelece a relação de interdependência entre o preço (y) e o número de cocos (x): y = 1,20 x. Exemplo 3 Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados, todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada caso? Para achar o número de ladrilhos (y), basta dividir a área da sala (9m 2 ) pela área do ladrilho (em m 2 ). Se o lado mede x m 2, então a fórmula que relaciona y com x é: y = 9/x 2. Medida do lado do ladrilho (x) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30 Número de ladrilhos (y) 900 625 400 225 144 100 Exercícios 1. A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo de tempo: Intervalo de tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Deslocamento (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 a) Qual é o deslocamento do móvel num intervalo de 4 segundos? b) Qual é o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm? c) O deslocamento é função do intervalo de tempo? d) Qual é o deslocamento d num intervalo de tempo t? (supor velocidade do móvel constante). 2. A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de automóvel: Número de peças 1 2 3 4 5 6 Custo (R$) 1 4 9 16 25 36 15
a) Qual é o custo da produção de três peças? b) Qual é o número de peças produzidas com R$25,00? c) Qual é o custo c da produção de n peças? d) Com relação ao item anterior, qual é o numero máximo de peças produzidas com R$1.000,00? 3. O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que é de R$250,00, e mais uma quantia que depende da área pintada. A tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados pelo pintor: Área pintada (m 2 ) 5 10 15 20 30 40 80 Total a pagar (R$) 350 550 700 850 1.150 1.450 2.050 a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x m 2? b) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 150 m 2? c) Qual é a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,00? 4. O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, após x horas de sua realização é dado por y = 10 x. Responda: a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após 4 horas? b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após um dia? c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo? 5. A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90 Km/h. Responda: a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em uma hora? b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 Km? c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) em função do tempo (t)? 6. Um professor propõe a sua turma um exercício-desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o número de acertadores (x = 1, 2,..., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (R$). Responda: a) y é função de x? Por quê? b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25? c) Qual é o valor máximo que y assume? d) Qual é a lei de correspondência entre x e y? 16
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 2.1 Introdução: A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). Pascal Fermat Tartaglia A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? Podemos ter as seguintes refeições: a) hot dog e sorvete b) hot dog e torta 17
c) hot dog e salada de frutas d) hambúrger e sorvete e) hambúrger e torta f) hambúrger e salada de frutas A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa. 1ª coluna 2ª coluna sorvete Refeição 1 hot dog torta Refeição 2 salada de frutas Refeição 3 sorvete Refeição 4 hambúrger torta Refeição 5 salada de frutas Refeição 6 Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas as ramificações da árvore, obtemos as possíveis refeições. Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas: 1ª escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades de fazer tal escolha. 2ª escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de escolher a sobremesa. Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3 = 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas. 2.2 Fatorial de um número natural Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial. Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: n! = n. (n-1). (n-2)..... 4. 3. 2. 1 para n 2. Se n = 1, então 1! = 1. Se n = 0, então 0! = 1. 18
Exemplos: a) 6! = 6. 5! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 b) 4! = 4. 3! = 4. 3. 2. 1 = 24 c) 7! = 7. 6! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040 d) 10! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 e) 3! = 3. 2. 1 = 6 Perceba que 7! = 7. 6. 5. 4!, ou que 6! = 6. 5. 4. 3!, e assim sucessivamente. Relação de correspondência: N! = n. (n 1)!, n N * e n 2 Exercícios: 1) efetuar: 2) efetuar: 3) efetuar: 4) efetuar: 5) efetuar: 6) efetuar: 7) efetuar: 8! 6! ( 8! + 7!) 6! ( n + 1)! ( n 1)! ( n ( n ( n ( n 4)! 3)! ( 6! 5!) 5! + + 2)! 1)! ( 10! + 9!) 11! + 0! 8) efetuar: 9) efetuar: 6! - 20 7! 6! 8! + + 6! 7! 6! 10) Resolva a equação: (n+2)! = 6n! 11) Resolva a equação: (2n)! (2n 2)! = 12 2.3 Princípio fundamental da contagem - PFC Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma 19
dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q. Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas. Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por: T = k 1. k 2. k 3..... k n Exemplo 1 No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Imaginemos a seguinte situação: Placa ACD 2172. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26. 26. 26. 10. 10. 10. 10 = 175.760.000. Exemplo 2 No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste sistema? Imaginemos a seguinte situação: Placa AC 2172. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26. 26. 10. 10. 10. 10 = 6.760.000. 20
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos. Exemplo 3 Há quatro estradas ligando as cidades e A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas etapas sucessivas: 1ª ir de A até B: teremos quatro possibilidades 2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C, a partir de B. Assim, o resultado procurado é 4 x 3 =12. Exemplo 4 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas sucessivas: 1ª escolha do algarismo das centenas: são seis possibilidades. 2ª escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim, há cinco possibilidades. 3ª escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois algarismos escolhidos para a centena e para a dezena. Assim, há quatro possibilidades. Pelo PFC, o resultado é: 6 x 5 x 6 = 120 números. Exemplo 5 Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. Logo, pelo PFC, o resultado é: 2 x 2 x 2... x 2 = 2 10 = 1.024 possibilidades. 10 vezes 21
Exemplo 6 Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Algarismo das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados pode ser escolhido, havendo, portanto, sete possibilidades. Algarismo das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de algarismos. Assim, há oito possibilidades. Algarismo das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades. Logo, pelo PFC: 7 x 8 x 8 = 448. Exemplo 7 Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Algarismo das unidades: há quatro possibilidades (1, 3, 5 e 7). Algarismo das centenas: há seis possibilidades devemos excluir o zero e o algarismo escolhido para a unidade. Algarismo das dezenas: há seis possibilidades devemos escolher algarismos diferentes dos algarismos escolhidos para a centena e unidade. Assim, pelo PFC, temos: 6 x 6 x 4 = 144 números. Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo PFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se tornar muito complicada. Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de determinados agrupamentos baseados no PFC as quais simplificarão a resolução de muitos problemas. Consideraremos sempre os agrupamentos simples: arranjos, permutações e combinações. Exemplo 8 Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento). Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151.200 anagramas 22
2.4 Arranjos simples Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos. Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros algarismos ímpares (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente. Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 351. Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três em três. Exemplo 1 Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) Notamos que (2, 3) (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível agrupamento gera um agrupamento diferente. Exemplo 2 Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Aplicando a fórmula de arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A 10,3 2.5 Cálculo do número de arranjos Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k (A n,k ). Escrever um arranjo de n elementos formados k a k significa escrever uma seqüência ordenada de k elementos distintos (k n), escolhidos entre os n 23
disponíveis. Assim, pelo PFC, a ação pedida consta de k etapas sucessivas, que correspondem às escolhas dos k elementos. 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa... k-ésima etapa (há n elementos para serem escolhidos) (como os elementos devem ser distintos, há n-1 possibilidades) n n 1 n 2 n (k 1) Desta forma, o número total de arranjos dos n elementos tomados k a k é: A n,k = n. (n 1). (n 2)... (n - k +1) Multiplicando e dividindo a expressão acima por (n k)! = (n k) (n k 1)... 3. 2. 1 vem: ( n k)( n k 1)...3.2.1 A n,k = n (n 1) (n 2)... (n - k +1). ( n k)( n k 1)...3.2.1 Isto é: n! A n,k = n k ( n k)!, Exemplo 3 Obter o valor de A 4,2 + A 7,3. Temos A 4,2 = A 7,3 = 4! (4 2)! 7! (7 3)! 4! 4.3.2! = = 2! 2! 7! 7.6.5.4! = = 4! 4! = 12 = 210 Exemplo 4 O quadrangular de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? Um possível resultado do torneio é Holanda (campeã), Brasil (2 ) e Itália (3 ). Se trocarmos a ordem desses elementos, obtemos, entre outras, Brasil 24
(campeão), Itália (2 ) e Holanda (3 ), que é um resultado diferente do anterior. Dessa forma, cada resultado do torneio é um arranjo das quatro equipes tomadas três a três. Assim, o número de possibilidades é : A n,k = n! ( n k)! A 4,3 = 4! (4 3)! = 4! 1! = 24 Exemplo 5 A senha de um cartão de banco é formada por duas letras distintas seguidas por uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser confeccionadas? Como importa a ordem que são escolhidas as letras, o número de maneiras de escolhê-las é dado por A 26,2. Analogamente, a seqüência de três algarismos distintos pode ser escolhida de A 10,3. Pelo PFC, o número de senhas que podem ser confeccionas é: A 26,2 x A 10,3 = 650 x 720 = 468.000. Exemplo 6 Usando-se as 26 letras do alfabeto (A,B,C,D,...,Z), quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? A n,k = n! ( n k)!, n=26, k=3 Resposta: A = 26! 26. 25. 24. 23! = 23! 23! = 26.25.24 = 15600 2.6 Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. De outro modo, podemos entender permutação simples como um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja: A n,k = n! ( n k)! = n! 0! n! = = n! 1 Chega-se então à relação: P n = n! 25
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto de n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para forma a seqüência ordenada. Exemplo 1 Escrever todos os anagramas da palavra SOL. Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO. Exemplo 2 De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em fila indiana? Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas. Assim, o resultado esperado é: P 5 = 5! = 120 Exemplo 3 Baseado no exemplo anterior, quantas filas podem ser compostas começando por A ou B? A 1ª posição da fila pode ser escolhidas de duas maneiras (pois tanto A como B pode iniciá-la). Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de P 4 = 4! = 24 possibilidades. Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48. Exemplo 4 Oito pessoas, entre elas, Antonio e Pedro, vão posar para uma foto. De quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antonio e Pedro se recusarem-se a ficar lado a lado? Caso não houvesse a restrição mencionada, o número total de possibilidades seria: P 8 = 8! = 40.320. Para determinar o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem juntos, vamos considerá-los uma só pessoa, que irá permutar com as seis restantes, num total de: 26
P 7 = 7! = 5.040 maneiras. Porém, para cada uma das possibilidades acima, Antonio e Pedro podem trocar de lugar entre si, num total de: P 2 = 2! = 2. Desta forma, o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem juntos é: 2x 5.040 = 10.080. A diferença 40.320 10.080 = 30.240 fornece o número de situações em que Antonio e Pedro não aparecem lado a lado. Exemplo 5 Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C? São possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. De forma matemática: P 3 = 3! = 3. 2. 1 = 6 Exemplo 6 Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P 5 = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 Exemplo 7 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas da palavra MUNDIAL. P 7 = 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040 2.7 Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: P n (a,b,c) = n! a! b! c! Exemplo 1 Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) Temos 10 elementos, com repetições. A letra M está repetida duas vezes, a 27
letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Exemplo 2 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas vezes) P = 5!/2! = 5.4.3 = 60 Exemplo 3 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes). P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10 2.8 Combinações simples Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos, isto é, temos uma combinação quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos. Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos, então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em grupos de três. Cálculo do número de combinações Considere o seguinte problema: Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para representação discente na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha? Calculemos inicialmente o número de triplas ordenadas de alunos: 10! A 10,3 = = 720 seqüências ordenadas. 7! Suponhamos que A, B, C estejam entre os 10 alunos da turma. Essas 720 possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos: 28
(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B) e (C,B,,A) Em cada um desses casos que diferem entre si apenas pela ordem os alunos A, B e C farão parte da comissão. Assim, os seis arranjos acima passam a ser equivalentes entre si, correspondendo a uma única combinação { A, B,, pois determinam sempre a mesma comissão. Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combinação; então, para os 720 arranjos, teremos x combinações: 6 arranjos 1 combinação 720 arranjos x combinações C} Número de arranjos dos 10 alunos tomados três a três Logo, 720 x = 6 = 120 comissões Número de permutações da tripla (A,B,C) De modo geral, qualquer permutação de uma determinada seqüência ordenada dá origem e uma única combinação. Representando por C n,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k), temos: A n,k n! C n,k = ou C n,k =, n k P k!( n k)! k Exemplo 1 Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto } M = { a, e, i, o, u tomados dois a dois. Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: { a, e} = { e, a}, por exemplo. Assim, as combinações pedidas são: { a, e}, { a, i}, { a, o}, { a, u}, { e, i}, { e, o}, { e, u}, { i, o}, { i, u}, { o, u} 29
Exemplo 2 Cinco alunos Pedro, Luís, José, Abel e Márcio participam de um concurso que serão sorteadas três bicicletas. Quais os possíveis resultados do concurso? Sortear { Pedro, José, Márcio} é o mesmo que sortear { José, Márcio, Pedro}, pois nas duas situações, esses alunos ganharão as bicicletas. Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos tomados três a três. Os possíveis resultados do concurso são: { P, J, M } { J, A, M },,,,,,,,, { P, J, A} { L, A, M} { P, M, A} { P, L, J} { P, L, M } { P, L, A} { L, J, A} { L, J, M } Exemplo 3 Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C 15,10 = 15! / [(15-10)!. 10!] = 15! / (5!. 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento. Exemplo 3 Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. C 15,10 = 15! (15 10)!.10! = 15! 5!.10! = 15.14.13.12.11.10! 5.4.3.2.1.10! = 3003 30
Exemplo 4 Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? C 7,3 = 7! (7 3)!.3! = 7! 4!.3! = 7.6.5.4! 4!.3.2.1 = 35 Exemplo 5 Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos? C 9,2 = 9! (9 2)!.2! = 9! 7!.2! = 9.8.7! 7!.2.1 = 36 Exemplo 6 Uma pizzaria oferece 15 sabores de pizzas diferentes. a) De quantas maneiras se pode escolher três desses sabores? b) Suponha que uma família sempre opte por mussarela. Como poderão ser Resp. a) escolhidos os outros dois sabores? Escolher as pizzas { P1, P2, P3} é o mesmo que escolher as pizzas { P3, P2, P1}. Assim, cada possível escolha é uma combinação das 15 pizzas tomadas três a três: C 15,3 = Resp. b) 15! 3! 12! = 15.14.13.12! 3.2.1.12! = 455 Como um dos sabores já foi definido, os outros dois sabores serão escolhidos entre os 14 restantes. C 14,2 = 14! 12!2! = 14.13.12! 12!.2.1 = 91 Exemplo 7 Uma turma tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? O número de escolher os meninos é C 9,2. O número de escolher as meninas é C 6,2. Pelo PFC, temos: C 9,2 x C 6,2 = 36 x 15 = 540 31
b) Quantas comissões de quatro pessoas têm pelo menos um menino? O número total de comissões de quatro pessoas, sem nenhuma restrição, é C 15,4. O número de comissões onde não aparecem meninos é C 6,4, pois as vagas serão preenchidas pelas meninas. Assim, o número de comissões onde há pelo menos um menino é: C 15,4 C 6,4 = 1.365 15 = 1.350 Exemplo 8 Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, marcam-se quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos? Observando a figura, vemos que para construir um triângulo não importa a ordem dos pontos escolhidos, pois, por exemplo, { A, B, C} e { B, C, A} determinam o mesmo triângulo. A B C Por outro lado, podemos construir um triângulo se escolhermos: 1 caso: dois pontos de r e um ponto de s C 5,2 = 10 possibilidades C 4,1 = 4 possibilidades Pelo PFC, há 10 x 4 = 40 possibilidades. 2 caso: um ponto de r e dois pontos de s C 5,1 = 5 possibilidades C 4,2 = 6 possibilidades Pelo PFC, há 5 x 6 = 430 possibilidades. Dessa forma, o número total de triângulos que podem ser construídos é: 40 + 30 = 70. 32
Exemplo 9 Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64-1 = 63. Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. 2.9 Exercícios 01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: 120 02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84 03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48 33
3 PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique. Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra. Para a explicação desses fenômenos fenômenos aleatórios adota-se um modelo matemático probabilístico. Nesse caso, o modelo utilizado será o CÁLCULO DAS PROBABILIDADES. 3.1 Experimento aleatório Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar diferentes resultados, recebe o nome de experimento aleatório. A variabilidade de resultados deve-se ao acaso. A fim de se entender melhor a caracterização desses experimentos, convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos: E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas. E3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e seis pretas. E4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. E5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A. A análise desses experimentos revela: a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. b) Não se conhece um particular valor do experimento a priori, porém pode-se descrever todos os possíveis resultados as possibilidades. 34
c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração f = r/n (freqüência relativa), onde n é o número de repetições e r o número de sucessos. 3.2 Espaço amostral Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento é chamado espaço amostral e indicado por Ω (letra grega que se lê: omega ). Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(ω). Exemplo 1 a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) E = jogar duas moedas e observar os resultados. Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} onde C = cara e K = coroa. Exemplo 2 Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima: Temos: Ω = {K,C}, onde K: cara; e C: coroa; n(ω) = 2. Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral. Exemplo 3 Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a seqüência de cores das bolas sorteadas. Para determinar Ω, vamos construir um diagrama de árvore: 1ª extração 2ª extração vermelha vermelha branca Vermelha branca branca 35
Indicando vermelha por V e branca por B, temos: ( V, V ), ( V, B), ( B, V ), ( B, B) Ω = { } n(ω) = 4. Cada par acima é um dos pontos amostrais de Ω. 3.3 Evento Evento é um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível. Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos: A U B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem. A I B é o evento que ocorre se A e B ocorrem. Ā é o evento que ocorre se A não ocorre. Exemplo 1 a) Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os resultados: Ω = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)} Seja E1 o evento: ocorrer pelo menos duas caras. Então, E1 = {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)} b) Seja o evento E2: lançar um dado e observar o número de cima. Então, E2 = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. E3: ocorrência de número maior que 8. E3 = Ø é um evento impossível. Seja E4: ocorrer múltiplo de 2. Então E4 = {2, 4, 6}; observe que E4 Ω. Seja E5: ocorrer número ímpar. Então E5 = {1, 3, 5}; observe que E5 Ω. 3.4 Probabilidade de um Evento Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento. 36
Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada um de seus elementos na relação de freqüência. Este número chama-se probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso. Exemplo: O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta? Para solucionar esta questão, preparamos o esquema da figura acima: O espaço amostral da figura acima é: Elemento Imagem (B) branca 2/9 (V) vermelha 3/9 (P) preta 4/9 = {branca, vermelha, preta} O evento tirar uma bola de cor diferente do preto, A = {B,V}, consta de dois elementos. Como foi dito na definição de probabilidade, atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada elemento na relação de freqüência. Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha, 3/9, que aparecem na relação de freqüência deste exemplo, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A). Assim, 2 3 5 p(a) = + = 9 9 9 Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada. 37
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua probabilidade é uniforme. 3.5 Evento complementar Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω. Chamamos evento complementar de indicado por E ao evento que ocorre quando se, e somente se, E não ocorre. Observe o seguinte diagrama: Ω Notemos que E I E = Ø e E U E = Ω Exemplo 1 Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o evento ocorre múltiplo de 3, então E será: Temos: Ω = {1, 2, 3,..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: E = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} é o evento não ocorre múltiplo de 3. Notemos que E U E = Ω. 3.6 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais (ou eventos elementares): Ω = {a 1, a 2, a 3,..., a k } Vamos associar cada um desses pontos amostrais um número real, p{a i }, ou simplesmente p i, chamado probabilidade do evento {a i }, ou seja, probabilidade de ocorrência do ponto amostral a i, tal que: (I) 0 p i 1 k (II) pi = 1, isto é, p1 + p 2 +... + p k = 1 i = 1 38
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω, temos, em (II): 1 p + p + p +... + p = 1 k. p = 1 p = k K vezes A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a 1, a 2, a 3,..., a r }, com r k, é dada por: P (E) = p 1 + p 2 +... + p r p(e) = k 1 + k 1 + k 1 + k 1 p(e) = k r Número de elementos de E = = Número de elementos de Ω n(e) n(ω) Como E Ω, temos que n(e) n(ω). Assim: P(E) = n(e) n(ω) tal que 0 p(e) 1 Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pala razão entre o número de casos favoráveis (ou número de caos que nos interessam) e o número de casos possíveis (ou número total de casos). Assim: p(e) = n(e) n(ω) = Número de casos favoráveis Número de casos possíveis Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o número de elementos do evento, e o número de casos possíveis corresponde ao número de elementos do espaço amostral, podemos escrever: f p(a) =, onde o evento A tem f elementos e k o número possível de k elementos. Para ocorrer o evento A, o resultado deve ser algum desses f elementos, que são os casos favoráveis. Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste em obter um 5, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado não-viciado 39
só existe um 5, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço amostral é: = {1,2,3,4,5,6} Assim, a probabilidade do evento A será: P (A) = 1/6 Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá, com toda a certeza, o número 5. Pode ser que o número 5 não saia nenhuma vez, ou ele pode sair mais de uma vez. A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento um número muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas. Exemplo 1 Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? Temos: Ω = {1, 2, 3,..., 15} Seja o evento E: o número da bola sorteada é maior ou igual a 11. Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}. n(e) 5 Assim, p(e) = = = n(ω) 15 1 3 = 33,3% Exemplo 2 Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser: a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3? a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {1, 2}. Então, p(e) = 2 6 = 3 1 b) basta considerar o evento complementar: E c = {3, 4, 5, 6}. n(e c ) Assim, p(e c ) = = n(ω) 4 6 = 3 2. Note que p(e) + p(e c ) = 1 Exemplo 3 Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos: a) exatamente uma cara?; b) No máximo duas caras? 40
Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1ª, 2ª e 3ª colunas, respectivamente, representaremos os possíveis resultados para o 1, 2 e 3 lançamentos. K K C K C K C (K,K,K) (K,K,C) (K,C,K) (K,C,C) K: cara C K C K C K C (C,K,K) (C,K,C) (C,C,K) (C,C,C) C: coroa O espaço amostral é formado pelas oito seqüências indicadas. a) O evento E 1 = {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)} n(e 1 ) 3 Assim, p(e 1 ) = = n(ω) 8 = 37,5% b) As seqüências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma, uma ou duas caras. Assim, o evento pedido é: E 2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)} Logo, p(e 2 ) = 8 7 = 87,5%. Exemplo 4 Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade de essa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos? O número de elementos de Ω é igual ao número de maneiras de se escolher uma comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n(ω) = C 45,5. O evento que interessa é aquele em que todos os alunos da comissão são meninos. O número de comissões assim existentes é C 20,5. Assim, a probabilidade pedida é: C 20,5 P(E) = C 45,5 = 0,0126 = 1,26% 41