Universidade Federal Fluminense Andrés Gabarito - Primeira Verificação Escolar de álculo IIIA GMA - Turma. onsidere a integral dupla a Esboce a região. y Temos que onde Observando que f(x, ydxdy + y {(x, y : y, x y}, y f(x, ydxdy. {(x, y : y, y x y}. x y y x, e x y y x + vemos que está limitada pela parabola y x e as retas x, y e y. Similarmente, está limitada pelas parábolas y x +, y x e as retas x, y e y. b Inverta a ordem de integração, expressando a soma das integrais iteradas como uma só integral iterada. Pelo feito em a, vemos que, expressando como região de tipo I, Logo, {(x, y : x, x y x + }. x + x f(x, ydydx. c alcule o valor da integral no caso em que f(x, y x
x + ( x x + x x dydx ( x dx ( x dx x + x dx / + 5/ + 5 8 5. Use uma conveniente mudança de coordenadas para calcular a integral (y + x dxdy y x onde é a região limitada pelas retas y + x, y + x, y x e y x. Escolhemos esse jeito temos e portanto u y + x, v y x. (u, v (x, y (x, y (u, v ( (u, v (x, y. A região é transformada na região limitada pelas retas u, u, v e v. Portanto uv {(u, v : u, v }, e pela formula de mudança de variáveis (y + x u dxdy y x uv (x, y v (u, v dudv u dudv v ( u du (v dv ( ( (. alcule o volume do sólido que está dentro da esfera x + y + z, acima do plano z e abaixo do cone z x + y. Usamos coordenadas esféricas. Lembrando que x ρ sen(φ cos(θ, y ρ sen(φ sen(θ, y ρ cos(φ
vemos, que x + y em coordenadas esféricas é x + y ρ sen (φ cos (θ + ρ sen (φ sen (θ ρ sen (φ ρ sen(φ (pois ρ e sen(φ ja que φ. Logo, a equação z x + y em esféricas corresponde a ρ sen(φ ρ cos(φ, ou seja sen(φ cos(φ, o que equivale a φ. Isto é claro geometricamente, pois o cone corresponde aos pontos que formam um mesmo ângulo com o eixo z positivo. Portanto a condição z x + y (ou seja, estar abaixo do cone e acima de z se traduz para φ, e a condição de estar dentro da esfera x + y + z é dada por ρ. Assim, se o sólido dado é S, sua representação em coordenadas esféricas é S φθρ {(φ, θ, ρ : φ }, θ, ρ. Lembrando que o jacobiano da mudança de variáveis a coordenadas esféricas é o volume de S é dado por V (S S (x, y, z (φ, θ, ρ ρ sin(φ, dxdydz ρ sin(φ dρdφdθ S φθρ ρ sin(φ dρdφdθ dθ sin(φ dφ ( ( cos( ( cos( ( ρ dρ 8. Um arame tem a forma da curva na interseção entre o paraboloide z x y e o plano x y, acima do plano z. Parametrize e ache a massa
do arame, supondo que sua densidade pontual é proporcional à distancia do ponto ao eixo z. Uma parametrização de pode ser encontrada colocando x t e resolvendo para y e z. Nesse caso obtemos, das equações y x e z x y, r(t (x(t, y(t, z(t (t, t, t. Para ver em qual intervalo varia t, observamos que a condição z se traduz em t, o que implica que t. Ou seja, t. esse jeito obtemos uma parametrização de indo do ponto (,, ao ponto (,,. Para calcular a massa de lembramos que a massa é a integral da densidade ao longo de, ou seja m ρ ds ρ(r(t r (t dt. A distancia de um ponto (x, y, z ao eixo z é x + y, portanto a densidade é ρ(x, y, z K x + y para alguma constante K. Logo Alem disso, Substituindo, ρ(r(t ρ(x(t, y(t, z(t K t K t r (t x (t + y (t + z (t + (t. m ρ ds K t + 6t dt. omo o integrando acima é uma função par, m Kt + 6t dt K t + 6t dt alculando (por substituição, u +6t, du t dt, vemos que t + 6t dt ( + 6t /8, portanto m K ( + 6t ( K K 8 8 (5 5 t 5. alcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y ( x y + x sin(y + x sin(x, y x + x cos(y + sin(y ao longo da curva formada pelo semicirculo {(x, y : x + y, y } orientada de jeito que sai do ponto (, e chega em (,. Seja o semicirculo {(x, y : x + y, y } orientado como no enunciado. efinimos uma nova curva, que é o segmento de reta que vai de (, até (,.
5 esse jeito, é uma curva fechada que limita um semicirculo, e como F é de classe em todo R, o teorema de Green nos diz que F dr P dx + Q dy x P y dxdy, onde P (x, y x y + x sin(y + x sin(x, Q(x, y y x + x cos(y + sin(y. Juntando isso com F dr podemos calcular a integral desejada como ( F dr F dr F dr alculando, x y + x cos(y, portanto F dr + F dr, x P y dxdy x + y dxdy Parametrizando por x P y dxdy F dr. P y x + x cos(y, r(t (x(t, y(t (t,, t r r drdθ. podemos calcular pela definição de integral de linha F dr P dx + Q dy P (x(t, y(tx (t + Q(x(t, y(ty (t dt. omo x(t t e y(t, temos x (t e y (t. Assim, Q(x(t, y(ty (t e temos F dr P (x(t, y(tx (t dt P (t, dt t sen(t dt Este ultimo passo é porque a função f(t t sen(t é impar, portanto sua integral no intervalo [, ] é zero. Voltando a ( e substituindo, vemos que F dr.