1/Maio/201 ua 1 1 Ondas mecânicas 1.1 Tipos de ondas 1.2 Ondas periódicas 1.3 Descrição matemática 17. Sobreposição de ondas ondas estacionárias em cordas 16/Maio/201 ua 19 19 Ondas estacionárias (OE) 19.1 Sobreposição de ondas 19.2 OE em cordas 19.3 OE em tubos 1
ua anterior 1.1 Tipos de ondas Ondas transersais: o desocamento do meio é perpendicuar à direção de propagação. Ondas ongitudinais: o desocamento do meio é paraeo à direção de propagação. (a) Transerse wae on a string Motion of the wae Partices of the string s the wae passes, each partice of the string moes up and then down, transersey to the motion of the wae itsef. (b) Longitudina wae in a fuid Partices of the fuid s the wae passes, each partice of the fuid moes forward and then back, parae to the motion of the wae itsef. 2
ua anterior 1.2 Ondas periódicas Longitudina waes are shown at interas of T for one period T. 1 s mesmas definições são áidas para as ondas ongitudinais: a forma da onda desoca-se com eocidade constante e aança uma distância λ durante um período T. f = Hz λ = m = m/s = λ f = λ T Forward motion of the punger creates a compression (a zone of high density); backward motion creates a rarefaction (a zone of ow density). t 5 0 t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 Punger moing in SHM 1 T 2 T 3 T T 5 T 6 T Two partices in the medium, one waeength apart Compression Rarefaction t 5 7 T Punger osciating in SHM Wae speed Waeength is the distance between corresponding points on successie cyces. t 5 T Partices osciate with ampitude. The wae adances by one waeength during each period T. 3
ua anterior 1.3 Descrição matemática das ondas periódicas Função de onda: ψ ( x,t) = cos( kx ωt) ou ψ ( x,t) = sen( kx ωt) λ = 2π k = 2π ω = T = f Se a onda se propagar no sentido positio do eixo x: Se a onda se propagar no sentido negatio do eixo x: ψ ( x,t) = cos( kx ωt) ψ ( x,t) = cos( kx +ωt) kx ωt expressão define a fase da onda: a perturbação é a mesma em todos os pontos com a mesma fase. Se kx ωt = constante : x = ω k t dx dt = = ω k (eocidade de fase)
ua anterior 1.3 Descrição matemática das ondas periódicas função de onda ψ ( x,t) = cos( kx ωt) é soução da equação das ondas 2 ψ ( x,t) x 2 = 1 2 2 ψ x,t ( ) t 2 5
19.1 Sobreposição de ondas Quando uma onda encontra uma descontinuidade no meio onde se propaga, pode ser refetida. Se não puder osciar nesse ponto (zero de ampitude), a onda é refetida como o simétrico da onda incidente. onda refetida tem a mesma eocidade e o mesmo comprimento de onda da onda incidente. Sobreposição de duas ondas simuação 6
19.1 Sobreposição de ondas (a) Wae refects from a fixed end. (b) Wae refects from a free end. 1 Puse arries. s the puses oerap, the dispacement of the string at any point is the agebraic sum of the dispacements due to the indiidua puses. 2 Puse arries. 3 String exerts an upward force on wa...... wa exerts a downward reaction force on string. Shapes that each puse woud hae on its own Rod exerts no transerse forces on string. 5 Puse inerts as it refects. O Corda ib1 6 Puse refects without inerting. simuação 7 7
19.1 Sobreposição de ondas Quando se percute a meio uma corda esticada, sob tensão, ão aparecer ondas que se propagam nos dois sentidos. Essas ondas são refetidas nas extremidades das cordas e otam para trás. Princípio da sobreposição: as funções de onda somam-se. O resutado é, ao fim de agum (pouco) tempo, o aparecimento de uma onda estacionária, em que os zeros de ampitude não ariam ao ongo do tempo. Corda ib1 simuação
19.1 Sobreposição de ondas Onda estacionária: a posição dos zeros de ampitude não aria com o tempo: 5 nodes: points at which the string neer moes 5 antinodes: points at which the ampitude of string motion is greatest (onda estacionária: a posição dos zeros de ampitude não aria com o tempo) 9
19.1 Sobreposição de ondas s ondas estacionárias resutam da soma da onda incidente com a onda refetida: ψ ( x,t) = sen( kx ωt) + sen( kx +ωt) Como sen a + sen b = 2sen a + b cos a b 2 2 ψ ( x,t) = 2sen( kx)cos( ωt) 10
19.2 Ondas estacionárias em cordas as extremidades de uma corda, de comprimento L: sen( k L) = 0 k L = mπ Como k = 2π λ λ m = 2L m, m =1,2,3,... Dado que a frequência está reacionada com o comprimento de onda, só ondas com certas frequências podem existir numa corda: f = λ f m = m, m =1, 2, 3,,! 2L 11
19.2 Ondas estacionárias em cordas 1. O número de máximos de ampitude (antinodos) é igua a m. 2. O número de zeros de ampitude (nodos) é igua a m + 1. 3. frequência fundamenta (m = 1) tem comprimento de onda λ 1 = 2L.. uma corda de densidade µ, esticada por uma força de tensão F T, a eocidade é dada por = F T µ Corda ib1 simuação 12
Exempo função de onda de uma onda estacionária numa corda, com ambas as extremidades fixas, é dada por y(x,t) = 0,02 sen (52,3 x) cos (0 t), em unidades SI. Determine: a) a eocidade de propagação das ondas na corda; b) a distância entre dois nodos consecutios da onda estacionária. a) = f λ = ω k ψ ( x,t) = 2sen( kx)cos( ωt) k = 52,3 m 1, ω = 0 rad/s = ω k = 9,1 m/s b) λ = 2π k = 0,12m d = λ 2 = 0,06m 13
or ts by ou is so Undisturbed gas SECTIO 17. 2 Periodic Sound Waes 515 19.3 Ondas estacionárias em tubos n- on ch of re rn re of sound waes. n important (a) ure ariations contro what we hear. wae in a ong, narrow tube connd, as shown in Figure 17.2. The Compressed region nt regions where the gas is comtheir equiibrium aues. comd into the tube. This compressed ity ee (b) e as a puse, continuousy comn is pued back, the gas in front ng ion fa beow their equiibrium d d areas in Fig. 17.2). These owong y the tube, foowing the com- is (c) ig. peed of sound in the medium. ompression iy and rarefaction are re ie compressions (or two succesegions ed a trae through the tube, harmonic ot motion parae to the (d) he eement reatie to its equiibfunction he as t) Figure 17.1 Motion of a ongitudina puse through a compressibe gas. The compression (darker region) is produced by the moing piston. (17.2) ctie Figure 17.2 ongitudina wae propagating through a gasfied tube. The source of the wae is an osciating piston at the eft. λ P (a) P max (b) s max s P Figure 17.3 (a) Dispacement ampitude and (b) pressure ampitude ersus position for a sinusoida ongitudina wae. x x 1
Ta como numa corda, também num tubo onde se propaguem ondas (sonoras) há sobreposição entre ondas incidentes e ondas refetidas, que conduzem ao aparecimento de ondas estacionárias. (a) Fundamenta: f 1 5 Tubo aberto: 1 2 1 2 f m = m, m =1, 2, 3,! 2L 2L 19.3 Ondas estacionárias em tubos Diaphragm ibrates in response to sound from speaker. Speaker Gas inet tube 2L (b) Second harmonic: f 2 5 2 5 2f 1 Sound of an appropriate frequency produces standing waes with dispacement nodes () and antinodes (). The powder coects at the nodes. 16.17 cross section of an open pipe showing the first three norma modes. The shading indicates the pressure ariations. The red cures are graphs of the dispacement aong the pipe axis at two instants separated in time by one haf-period. The s and s are the dispacement nodes and antinodes; interchange these to show the pressure nodes and antinodes. 2L (c) Third harmonic: f 3 5 3 5 3f 1 L 5 2 Open end is aways a dispacement antinode. 2 L 5 2 2 2 2 2 L 5 3 2 2 15
19.3 Ondas estacionárias em tubos Ta como numa corda, também num tubo onde se propaguem ondas (sonoras) há sobreposição entre ondas incidentes e ondas refetidas, que conduzem ao aparecimento de ondas estacionárias. Tubo fechado: f m = m, m =1, 3, 5,! L Diaphragm ibrates in response to sound from speaker. Gas inet tube Sound of an appropriate frequency produces standing waes with dispacement nodes () and antinodes (). The powder coects at the nodes. Speaker 16.1 cross section of a stopped pipe showing the first three norma modes as we as the dispacement nodes and antinodes. Ony odd harmonics are possibe. (a) Fundamenta: f 1 5 L L (b) Third harmonic: f 3 5 3 5 3f 1 L (c) Fifth harmonic: f 5 5 5 5 5f 1 L 5 Cosed end is aways a dispacement node. L 5 3 L 5 5 16
PITFLL PREVETIO Exempo O comprimento mais pequeno de um tubo acústico, para o qua ocorre um pico de Sound Waes in ir intensidade sonora, é L = 9 cm. Determine a frequência mais baixa da onda re Longitudina, not correspondente. Transerse hat the standing ongitudies Tubo are drawn aberto: as transerse f m L = m, m =1, 2, 3,! in Figure 1.1. This is be-2t is difficut to draw ongitu- dispacements they are in f 1 = 2L = 33 m/s e direction as the propagahus, it is best to interpret =1906 Hz 2 0,09 m res in Figure 1.1 as a ca representation of the (our diagrams of string are Tubo pictoria fechado: representawith the ertica axis repre- f m = m, L m =1, 3, 5,! horizonta dispacement eements of the medium. f 1 = L = 33 m/s = 953 Hz 0,09 m λ λ λ λ λ 17 λ