Raciocínio Lógico Matemático e Analítico Professor Cláudio Serra Aula 2 Análise Combinatória www.masterjuris.com.br
TÓPICOS INTRODUTÓRIOS E CONCEITUAIS 1 - Fatorial Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n.(n-1). (n-2).....4.3.2.1 para n ³ 2. Para n = 0, teremos : 0! = 1. Para n = 1, teremos : 1! = 1 Exemplos: a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 e) 10! = 10.9.8.7.6.5! f ) 10! = 10.9.8! 2 - Princípio fundamental da contagem - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k 1. k 2. k 3..... k n
Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução: Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas.
Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.
3 - Permutações simples 3.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 3.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é P n = n! onde n! = n(n-1)(n-2)....1.
Exemplos: a) P 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 3.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Assim, o número máximo de anagramas distintos de uma palavra com n letras DIFERENTES é igual a P n
4 - Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.
5 - Arranjos simples 5.1 - Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k, a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos com 2 elementos 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos com 3 elementos: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 5.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por A n,k, teremos a seguinte fórmula:
Exemplo: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Solução: As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A 10,3
6 - Combinações simples 6.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (k elementos em cada grupo) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo: No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações com 2 elementos: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações com 3 elementos: abc, abd,acd,bcd. c) combinações com 4 elementos: abcd.
6.2 Combinações Simples: Representando por C n,k o número total de combinações de elementos tomados k a k, temos a seguinte fórmula: Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por
Exemplo: Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinações de 15 elementos com 10 em cada grupo. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C 15,10 = 15! / [(15-10)!. 10!] = 15! / (5!. 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
1) (CESPE) Julgue o seguinte item, relativos a raciocínio lógico, a princípios de contagem e probabilidade e a operações com conjuntos. Situação hipotética: A ANVISA, com objetivo de realizar a regulação de um novo medicamento, efetua as análises laboratoriais necessárias. Essas análises são assistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos farmacêuticos. Desses técnicos, 3 possuem cargo de chefia de equipe e por isso não trabalham juntos. Assertiva: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipes participa sempre apenas um dos três técnicos farmacêuticos chefes, então a quantidade de equipes distintas com 4 técnicos farmacêuticos que poderão ser formadas é inferior a 25..
2) (CESPE) Em um campeonato de futebol amador de pontos corridos, do qual participam 10 times, cada um desses times joga duas vezes com cada adversário, o que totaliza exatas 18 partidas para cada. Considerando-se que o time vencedor do campeonato venceu 13 partidas e empatou 5, é correto afirmar que a quantidade de maneiras possíveis para que esses resultados ocorram dentro do campeonato é. a) superior a 4.000 e inferior a 6.000. b) superior a 6.000 e inferior a 8.000. c) superior a 8.000 d) inferior a 2.000. e) superior a 2.000 e inferior a 4.000.
3) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiam as quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinado dia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seis meses após aquele dia.
4) (FCC) O setor de almoxarifado de uma loja conta com 6 funcionários, e o setor de conferencistas com outros 5 funcionários. Uma tarefa tem que ser executada por um grupo de 3 funcionários do almoxarifado e, em seguida, tem que ser conferida por um grupo de 2 conferencistas. O total de possibilidades diferentes de agrupamentos dos 5 funcionários que devem executar e conferir essa tarefa é igual a Parte superior do formulário a) 120. b) 180. c) 200. d) 150. e) 240.
5) (FCC) A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo, Parte superior do formulário a) 240 tentativas. b) 144 tentativas. c) 576 tentativas. d) 196 tentativas. e) 288 tentativas.
6) (CESGRANRIO) Compareceram a uma festa exatamente 20 homens com suas respectivas esposas. Quantos pares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado com B? a)20 b)40 c)210 d)380 e)400
7)(CESPE) Sobre as Técnicas de Contagem, julgue o item a seguir : O número de anagramas da palavra CAPITULO que não têm duas vogais, nem duas consoantes juntas é menor que 1153. 8) (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se para a seleção quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a: a) 120 b)1220 c)870 d)760 e)1120
9) (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60
10) (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Logo, pode-se concluir que, se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11.000 códigos distintos.
11) (CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de quantas maneiras diferentes para distribuir essas tarefas? a) 210 b) 120 c) 63 d) 48 e) 12 12) (CESPE) Julgue o item seguinte, sobre Técnicas de Contagem. O número de anagramas da palavra ALAMEDA que tem as vogais todas juntas é menor do que 100.