MATEMÁTICA A - 2o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Como a função é contínua em R, também é contínua em x 0, pelo que Temos que fx f0 2 + e0+k 2 + e k E calculando, vem f0 fx 2x + 2x + 2 + x 2 + 2 + 3 Assim, como fx f0, vem que x 2 + e k 3 e k 3 2 e k k ln k 0 Exame 205, 2 a Fase 2. Para averiguar se a função f é contínua em x 4, temos que verificar se f4 x 4 fx x 4 +fx f4 ln2e 4 e 4 lne 4 4 ln e 4 4 fx ln2e x e 4 ln2e 4 e 4 4 x 4 + x 4 + x 4 fx x 4 Como x 4 fx x 4 e x 4 3x + 4 x e x 4 3x + 4 x e4 4 34 + 4 4 x 4 e 2 + 4 4 e x 4 3x + 4 + x x 4 0 0 Indeterminação e x 4 3x + x 4 fazendo x 4, temos x + 4 e se x 4, então 0 e 3 + 4 + e 3 2 + e 3 0 0 0 e + 3 e 3 e + + 0 0 0 0 0 3 +3 2 x 4 fx +fx, não existe fx, pelo que a função f não é contínua em x 4. x 4 x 4 Exame 204, a Fase Página de 3
3. Sabemos que f0 ln k Calculando fx temos: 3x fx e2x 2 3x 2 e 2x 3 2 2x e 2x 3 2 se 2x, como x 0 então 0 2x e 2x 3 2 e 2x 2x 3 2 e 2x 2x Assim, para que fx f0, temos que: 3 2 e 3 2 3 2 0 3 2 ln k k e 3 2 Exame 203, Ép. especial 4. Como a função é contínua, é contínua no seu domínio, logo também é contínua em x 0, pelo que Temos que fx f0 lnk 0 ln k E calculando, vem 2x + Assim, como f0 fx, vem que Resposta: Opção B f0 fx 2e x + ln x 2ex + 0 + ln x 2e 0+ + 2 + 0 2 ln k 2 k e 2 Teste Intermédio 2 o ano 24.05.203 Página 2 de 3
5. Como a função f g é contínua no ponto de abcissa, temos que f g x f gx x +f gx f g f g ln g 0 g 0 x +f gx fx gx x + x +fx x +gx ln + x +gx 0 x +gx Como em nenhuma das opções x +gx ±, vem que f gx 0 gx 0 x + x + x f gx fx gx x Calculando fx vem x e x fx x x x se x, como x então 0 x fx x gx e0 0 0 Indeterminação x fx x Assim vem que x f gx fx gx x Como f g f gx x esta condição é a opção A. 6. Temos que x 4 fx existe, se Calculando os ites laterais, temos: e x x x e 0 fx x gx x gx x gx f gx, então x + fx fx x 4 x 4 + 3x + 3 x 4 fx x 4 x2 + 9 34 + 3 4 2 + 9 2 + 3 5 5 6 + 9 25 5 3 ln3x x 4 +fx ln34+ x 4 + x 4 4 + ln 4 0 + 0 0 Indeterminação se x 4 então + 4 x, como x 4 + então 4 + ln3x ln3 + 4 x 4 +fx x 4 + x 4 0 + ln3 + 3 ln3 + ln3 + 3 0 + 3 0 + 3 0 + 3 Assim temos que fx fx, pelo que existe fx x 4 x 4 + x 4 gx 0 e a única opção que verifica x Teste Intermédio 2 o ano 28.02.203 ln3 + 2 ln3 + 0 + 0 + 0 + 3 3 3 Teste Intermédio 2 o ano 28.02.203 Página 3 de 3
7. Temos que f0 e k+ Calculando, vem e 4x e40+ 0 + 0 0 0 Indeterminação e 4x + e 4x +fx 4 e4x 4x Como se pretende que f0, vem 4 4 e4x x e 4x + 4 4 4 4x 4 e k+ e k+ + 4 e k+ 5 k + ln 5 k + ln 5 8. Como a função é contínua em R, também é contínua em x a, pelo que Pela observação do gráfico da função g, temos que E calculando Como x a log 3 a 3 x a fx, vem fa x a fx x a +fx fa ga x a + fx x a + gx 2 x a fx log x a 3 x log 3 3 a 3 fx fa, temos que 2 a 3 32 a 9 + 3 a 27 3 3 Exame 202, 2 a Fase a 28 3 a 28 3 Exame 202, a Fase 9. Para averiguar se a função f é contínua em x 2, temos que verificar se f2 x 2 fx x 2 + fx f2 3e 2 + ln2 3e 2 + ln 3e 2 + 0 3e 2 fx 3e x + lnx 3e 2 + ln2 3e 2 x 2 + x 2 + xe x 2e 2 x 2 fx 2e2 2e 2 0 x 2 x 2 2 2 0 Indeterminação fazendo x 2, temos x + 2 e se x 2, então 0 xe x 2e 2 + 2e +2 2e 2 + 2e e 2 2e 2 x 2 fx x 2 x 2 0 0 e e 2 + 2e e 2 2e 2 e e 2 + 2e 2 e 0 0 e e 2 2e 2 e + e e 2 + 2e 2 e 0 0 0 0 e e 0 e 2 + 2e 2 e 2 + 2e 2 e 2 + 2e 2 3e 2 0 Como f2 x 2 + fx x 2 fx, então a função f é contínua em x 2 Teste Intermédio 2 o ano 24.05.202 Página 4 de 3
0. Como a função g é contínua para x 0, então g0 e 2x 2 Como gx x 2 e2x x Então, como g0 α, vem que Como gx β 0 + Então, como g0 α 2 e, vem que Resposta: Opção B gx gx g0 gx α 2 x e 2x 2 2 2 2x β β 0 + x g0 gx 2 β 2 + β 3 β Teste Intermédio 2 o ano 3.03.202. Sabendo que f é contínua em x, temos que fx f, e mais especificamente que x f Como f + ln + 0, vamos calcular fx x x k + ex x Se x, então como x, logo 0 x fx para determinar o valor de k : e x e x k + k + x x x x x e x k x x k e k 0 Assim, como f é contínua em x temos que f k, ou seja k k 0 2. Sabendo que f é contínua em x, temos que fx f x Calculando fx vem: x fx x x x + e x+ + + e + + 0 0 + Indeterminação fazendo x +, temos que se x, então 0 x + fx x x + e x+ + x 0 e + 0 Assim, como 0 0 + e x fx Exame 20, Prova especial e + e + + + 0 0 fx f e f a + 2, podemos determinar o valor de a: x fx f a + 2 0 a 2 x Exame + 20, Ép. especial Página 5 de 3
3. Para averiguar se a função h é contínua em x 0, temos que verificar se h0 hx hx h0 3 ln0 2 + 3 ln 3 0 0 hx 3 lnx 2 + 3 ln 0 2 + 3 ln 0 + 3 ln 3 0 0 e 2x e x hx e0 e 0 0 0 + x 0 0 Indeterminação e 2x e x e x+x e x e x e x e x e x e x hx e x e x e 0 0 + x Como hx hx, então a função h não é contínua em x 0 4. Como hx 2x 0, temos que hx 2x 0 hx 2x 0 hx 2x Como a função h é par, temos que, para qualquer x R, f x fx e assim, 5. Calculando e ax ax 2 + a 2 x, vem: e ax ax 2 + a 2 x hx hx + x e ax e ax axx + a e ax ax x + a ax Exame 200, Ép. especial hx + Exame 200, 2 a Fase x + a fazendo ax, temos que se x 0, então 0 e 0 x + a 0 + a a Teste Intermédio 2 o ano 9.05.200 6. Para averiguar se a função f é contínua em x 2, temos que verificar se f2 x 2 + fx x 2 fx f2 2 e 2 + 2 + 2 e 2 + 3 x 2 + fx x 2 + xe x + x + 2 e 2 + 2 + 2 e 2 + 3 x 2 fx x 2 x 2 x 2x 2 2 2 4 0 0 Indeterminação x + 2x fx x 2 x 2 x 2 x + 2x x 2 x 2x x + 2x x 2 x 2 2x 2 x 2 x + 2x x + 2x 2 + 2 2 x 2 xx 2 x 2 x 2 x 2 x + 2x x 2 x 2 2x 2 + 2 2 Como x 2 +fx x 2 fx, então a função f não é contínua em x 2 Teste Intermédio 2 o ano 5.03.200 2 Página 6 de 3
7. Como a função h, é definida em R + por operações sucessivas de funções contínuas neste intervalo, então f é contínua para x > 0 De forma análoga, temos que h é contínua para x < 0, porque é definida, neste intervalo, por operações sucessivas de funções contínuas em R Assim, resta averiguar se a função h é contínua para x 0, ou seja, temos que verificar se h0 hx hx h0 2 hx x2 + 4 x 0 2 + 4 0 4 2 e 2x hx e0 0 x 0 0 Indeterminação e 2x 2 e 2x e 2x e 2x hx x 2 x 2 2 2x 2x fazendo 2x, temos que se x 0, então 0 e 2 2 2 0 Como h2 hx hx, a função h é contínua em x 0, e como é contínua em R e em R +, temos que é contínua em R 8. Calculando Ct temos que: Ct Ct Exame 2009, 2 a Fase 2te 0,3t 2+ e 0,3+ + e + 0 + Indeterminação 2t 0, 3 2t 2 0, 3t e 0,3t 0, 3 e0,3t fazendo 0, 3t, temos que se t +, então + 2 0, 3 + e 2 0, 3 + e 2 0, 3 2 0, 3t 0, 3 e 0,3t e + 0, 3 e 0,3t 2 0, 3 + 2 0, 3 0+ 0 Como Ct é a concentração do medicamento no sangue e t é o tempo decorrido após o medicamento ter sido ministrado, então Ct 0 significa, que a um período de tempo arbitrariamente grande t +, corresponde uma concentração de 0 mg/l de medicamento no sangue do Fernando, ou seja, com o passar do tempo, o medicamento tende a desaparecer do sangue do Fernando. Exame 2009, a Fase 9. Para averiguar se a função g é contínua em x, temos que verificar se g x +gx x gx g 2 x gx x 2x + ln + x x 2 2 + ln + 2 2 + ln 2 + 0 2 x x +gx 0 x + x 0 Indeterminação x + x +gx x x + x x + x x + x + x + x + + + 2 x x + x 2 2 x + x Como g x +gx x gx, então, podemos concluir que a função g é contínua em x Teste Intermédio 2 o ano 27.05.2009 Página 7 de 3
20. Como a função é contínua em R, também é contínua em x a, pelo que ga x a gx x a +gx Como ga x a +gx x 2 x 3 a 2 a + 3 x a + e como x a gx x 2 2x a 2 2a x a Então, como a função é contínua, vem que: x a +gx x a gx a2 a + 3 a 2 2a a + 3 2a 2a a 3 a 3 2. Como T 0 25 + 48e 0,05 0 25 + 48e 0 25 + 48 73 Teste Intermédio 2 o ano.03.2009 Então sabemos que zero minutos após o início do arrefecimento, ou seja, quando se interrompeu o processo de aquecimento, a temperatura da água era de 73 graus Celsius. Como T t 25 + 48e 0,05 t 25 + 48e 0,05 t 25 + 48 e 0,05 t 25 + 48 e 0,05 + 25 + 48 e 25 + 48 0 + 25 Então sabemos que um aumento arbitrariamente grande do tempo corresponde a uma temperatura de 25 graus Celsius, ou seja, com o passar do tempo a água vai arrefecer até aos 25 graus. 22. Calculando N0 temos que: N0 2000 2000 + 99e 0,0 0 + 99e 0 2000 + 99 2000 200 0 Exame 2008, Ép. especial Como N0 0, então o número de sócios da associação, zero dias após a constituição era de 0, ou seja, a associação foi constituída com 0 sócios. Calculando Nt Nt temos que: 2000 + 99e 0,0t 2000 + 99e 2000 0,0 + + 99e 2000 + 99 0 + 2000 Como Nt 2000 então, a um aumento arbitrário do valor de t corresponde um valor de N aproximadamente de 2000, ou seja, com o passar do tempo o número de sócios da associação aproxima-se indefinidamente de 2000. Exame 2008, a Fase 23. Para mostrar que a função f é contínua em x 0, temos que mostrar que f0 fx fx f0 2 0 + ln + 3 0 2 + ln 2 + 0 2 2 x + ln + 3x 2 0+ + ln + 3 0 + 2 + ln 2 + 0 2 e x + x fx x fx + 0 e0 0 0 0 0 Indeterminação e x + x e x e x + x x x x + + 2 Como f0 fx, então, podemos concluir que a função f é contínua em x 0 Teste Intermédio 2 o ano 29.05.2008 Página 8 de 3
24. Pela observação do gráfico podemos verificar que fx < 0 e que x 3 garantir que x 3 fx Assim temos que: Ou seja que não existe x 3 fx Resposta: Opção D 25. Calculando o valor do ite, temos: Resposta: Opção D < 0 e que x 3 + fx > 0 x 2 + 4 x 2 x 3 fx x 3 + fx x 2 + x 2 + 4 x 2 4 2 + 2 4 4 + 0 fx > 0, pelo que podemos x 3 + Exame 2007, 2 a fase Exame 2007, a fase 26. Para averiguar se a função f é contínua em x 0, temos que verificar se f0 fx f0 2 x 2 + 2x fx x 3 + x xx + 2 xx 2 + 3x 2 x 3x 2 x x2 x 2 x x x + 2 x 2 0 + 2 + 0 2 + 2 2 x 2 3 0+ 2 0 + ln0 + + 0 + 2 0 0 Indeterminação 3 3 3 2 Como f0 fx, então, podemos concluir que a função f é contínua em x 0 Teste Intermédio 2 o ano 5.03.2007 27. Para estudar a continuidade da função g no ponto de abcissa zero, temos que comparar os valores de g0, de gx e de gx g0 2 2x + gx 2 0+ + 0 + 0 + + e x gx 2x fx e0 2 0 0 0 0 Indeterminação 2 ex x 2 e x x 2 2 Como g0 gx, então a função g é descontínua à direita de zero e como g0 gx, então a função g também é descontínua à esquerda de zero. Resposta: Opção D Exame 2006, Ép. especial Página 9 de 3
28. Pela observação dos gráficos, podemos verificar que: fx k, k ]2, + [ x + fx x + E assim, temos que: fx x + gx fx x + gx x + k 0 Exame 2006, 2 a Fase 29. Sabendo que f é contínua, em particular é contínua em x 0, pelo que f0 fx Fazendo os cálculos, vem que: f0 k + sen 0 k + 0 k fx k + sen x k + sen 0 k + 0 k 3x + ln + x 3 0+ + ln + 0 + 0 + 0 + ln 0 0 0 Indeterminação 3x ln + x + 3 + x x 3+ 3+ 4 Assim, como fx 4 e a função é contínua, temos que f0 fx, ou seja: Resposta: Opção D k 4 30. Como N < M, então N M < 0, e assim temos que: P t Exame 2005, Ép. especial 5, 2 0 7 e N Mt 5, 2 0 7 en Mt 5, 2 0 7 e N M + 5, 2 0 7 e 5, 2 0 7 0 + 0 Assim temos que, se N < M então P t 0, o que, no contexto do problema, significa que se a taxa de natalidade for menor que a taxa de mortalidade, para valores arbitrariamente grandes do tempo a população das aves tende para zero, ou seja, se nascem menos aves do que as que morrem, com o passar do tempo a população das aves tende a extinguir-se. Exame 2005, a Fase 3. Como a função f é contínua no intervalo ], 0[, porque resulta de operações entre funções contínuas neste intervalo, e o denominador não se anula para os valores de x deste intervalo; e também é contínua no intervalo ]0, + [, porque também resulta de operações entre funções contínuas neste intervalo, e o denominador não se anula para os valores de x deste intervalo; resta averiguar a continuidade para x 0 Para averiguar se a função f é contínua em x 0, temos que verificar se f0 fx f0 3 0 + 2 2 0 + 2 2 2 3x + 2 fx 0 + 2x + 2 3x + 2 2x + 2 3 0 + + 2 2 0 + + 2 2 2 Página 0 de 3
e x fx x Como f0 fx fx, então, podemos concluir que a função f é contínua em x 0. Como 0 f também é contínua em R e em R, então a função f é contínua em R.. Exame 2004, Ép. especial 32. Sabendo que g é contínua, em particular é contínua em x 0, pelo que g0 gx gx Fazendo os cálculos, vem que: g0 k + cos 0 k + gx k + cos x k + cos 0 k + ln + x gx ln + 0+ 0 + ln 0 0 0 Indeterminação gx 0 + x Assim, como gx e a função é contínua, temos que: g0 gx, pelo que podemos calcular o valor de k: g0 gx k + k 0 Resposta: Opção B Exame 2004, a Fase 33. Como a função f é par e a reta de equação 0 é assintota do seu gráfico, então, como a observação do gráfico sugere, temos que: fx 0+ E assim, vem que: Resposta: Opção C fx fx 0 + + Exame 2004, a Fase 34. Aplicando as propriedades dos logaritmos e calculando o valor do ite, temos: fx ln x ln x + x + ln x ln x x ln x x x + x 2 35. Calculando o valor do ite, temos que: ln + x 2 ln + ln + 0 + ln 0 + Exame 2003, Prova para militares Resposta: Opção C log 2 x e x log 2 0 + e 0+ + 0 + Exame 2003, a fase - 2 a chamada Página de 3
36. Sabendo que f é contínua, em particular é contínua em t 60, pelo que f60 x 60 ft x 60 +ft, e mais especificamente f60 x 60 ft Fazendo os cálculos, vem que: f60 6 + A 2 0,0560 60 6 + A 2 0,05 0 6 + A 2 0 6 + A 6 + A t 60 ft 20 + 80 2 0,05t 20 + 80 2 0,05 60 20 + 80 2 3 t 60 20 + 80 2 3 20 + 80 8 20 + 0 30 Assim, como x 60 ft f60, podemos provar que A 24: f60 x 60 ft 6 + A 30 A 30 6 A 24 Exame 200, Prova para militares 37. Sabendo que f é contínua, em particular é contínua em x 0, pelo que fx f0 Fazendo os cálculos, vem que: f0 0 fx 0 fx lnx + k ln0 + k ln k 0 + Assim, como valor de k: Resposta: Opção C ln k e como a função é contínua, ou seja f0, podemos calcular o f0 ln k 0 k e0 k Exame 200, 2 a Fase 38. Para estudar a continuidade da função h no ponto de abcissa zero, temos que comparar os valores de h0, de hx e de hx h0 2 hx + ex + e 0+ + 2 hx 3x + 2 3 0+ + 2 0 + 2 2 Como h0 hx hx, então a função h é contínua no ponto de abcissa zero. Exame 200, a fase - 2 a chamada 39. Pela observação do gráfico, podemos verificar que a função f é contínua à esquerda do ponto de abcissa 4, e descontínua à direita, ou seja: Resposta: Opção B x 4 x 4 fx f4 e fx f4 + Exame 2000, a fase - 2 a chamada Página 2 de 3
40. Pela observação do gráfico, podemos verificar que: x 3 fx 0+ x 3 gx k, k R+ E assim, calculando o valor do ite, temos que: Resposta: Opção D fx x 3 gx x 3 fx gx 0 + k x 3 + k>0 Exame 999, a fase - 2 a chamada prog. antigo Página 3 de 3