Universidade Federal do Rio de Janeiro. Produtos Tensoriais. de Módulos Bornológicos. Renata Arruda Barros

Universidade Federal do Rio de Janeiro Produtos Tensoriais de Módulos Bornológicos Renata Arruda Barros 2011

Produtos Tensoriais de Módulos Bornológicos Renata Arruda Barros Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Matemáticas, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências Matemáticas. Orientador: Nilson da Costa Bernardes, Jr., D. Sc. Rio de Janeiro Abril de 2011

Produtos Tensoriais de Módulos Bornológicos Renata Arruda Barros Orientador: Nilson da Costa Bernardes, Jr., D. Sc. Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Matemáticas, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências Matemáticas. Aprovada por: Presidente, Prof. Nilson da Costa Bernardes Júnior Prof. Antônio Roberto da Silva Prof. Carlos Kubrusly Prof. Daniel Marinho Pellegrino Prof. Dinamérico Pereira Pombo Junior Prof. Geraldo Marcio de Azevedo Botelho Prof. Ademir Fernando Pazoto

Agradecimentos Agradeço a Deus. Agradeço à Pós-Graduação do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro por ter me aceitado como discente. Agradeço a todos os professores que participaram da minha formação. Em especial, aos professores Antônio Roberto da Silva, Dinamérico Pombo Jr. e Luíza Amália de Moraes. Agradeço à Capes, pelo apoio financeiro. Agradeço aos funcionários da Pós-Graduação, pela presteza e pelo excelente convívio durante todos esses anos. Agradeço muitíssimo ao professor Nilson da Costa Bernardes Jr., por ter aceitado orientar a presente tese. Orientando-me objetivamente com muita dedicação, esmero e compreensão. Agradeço a toda minha família e aos bons amigos que estão sempre ao meu lado em todos os momentos. iii

RESUMO Produtos Tensoriais de Módulos Bornológicos Renata Arruda Barros Orientador: Nilson da Costa Bernardes, Jr., D. Sc. Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Matemáticas, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências Matemáticas. No presente trabalho estudaremos produtos tensoriais de módulos bornológicos sobre anéis bornológicos comutativos. Mostraremos que existe uma bornologia natural sobre o produto tensorial de modo que aplicações multilineares limitadas correspondem a aplicações lineares limitadas sobre o produto tensorial. Estabeleceremos certas propriedades dessa bornologia e apresentaremos algumas aplicações ao estudo de módulos de aplicações multilineares limitadas e módulos de polinômios homogêneos limitados. Palavras-Chave: Bornologia, Módulos Bornológicos, Produtos Tensoriais. Rio de Janeiro Abril de 2011 iv

ABSTRACT Tensor Products of Bornological Modules Renata Arruda Barros Orientador: Nilson da Costa Bernardes, Jr., D. Sc. Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Matemáticas, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências Matemáticas. In the present work we shall study tensor products of bornological modules over bornological commutative rings. We shall show that there is a natural bornology on the tensor product so that bounded multilinear mappings correspond to bounded linear mappings on the tensor product. We shall derive some properties of this bornology and present some applications to the study of modules of bounded multilinear mappings and modules of bounded homogeneous polynomial mappings. Key-words:Bornology, Bornological Modules, Tensor Products Rio de Janeiro Abril de 2011 v

Sumário 1 Módulos Bornológicos sobre Anéis Bornológicos 4 1.1 Conjuntos Bornológicos............................. 5 1.2 Anéis Bornológicos............................... 9 1.3 Módulos Bornológicos.............................. 10 2 Limites Inversos e Limites Diretos 16 2.1 Limites Inversos de Módulos Bornológicos.................. 17 2.2 Limites Diretos de Módulos Bornológicos................... 20 2.3 Limites Inversos Bornológicos de Módulos de Aplicações Lineares Limitadas....................... 23 3 Produtos Tensoriais Bornológicos 30 3.1 Bornologia Produto Tensorial......................... 31 3.2 Limites Diretos de Produtos Tensoriais Bornológicos............. 41 3.3 Uma Aplicação................................. 48 4 Módulos Bornológicos de Polinômios Homogêneos Limitados 54 1

Tese de Doutorado Renata Arruda Barros 08/04/2011

Introdução A noção de um subconjunto limitado de um espaço vetorial topológico (real ou complexo), que foi introduzida por Kolmogoroff [13] e von Neumann [17], desempenha um papel fundamental em Análise Funcional e nas suas aplicações. Como dois exemplos importantes, mencionemos que a caracterização dos espaços vetoriais topológicos normáveis dada por Kolmogoroff [13] e a classe dos espaços localmente convexos bornológicos [5], [15] são baseadas nesta noção. A coleção de todos os subconjuntos limitados de um espaço vetorial topológico é uma bornologia vetorial sobre o espaço e, consequentemente, essa bornologia vetorial particular é muito importante. Entretanto, bornologias vetoriais em geral têm se mostrado uma ferramenta bastante útil em Análise Funcional e têm sido estudadas, em diferentes contextos, por diversos autores (veja [1], [2], [3], [7], [9], [10], [12], [22], [23] e [24], por exemplo). Os livros [10] e [12] contêm diversos resultados e aplicações das bornologias em Análise Funcional, incluindo aplicações em Equações Diferenciais. O livro [11] apresenta um desenvolvimento da Teoria das Distribuições baseado na noção de bornologia. Trabalharemos aqui no contexto de módulos bornológicos sobre anéis bornológicos. 1

Módulos linearmente bornologizados foram estudados em [19] e [20]. Módulos bornológicos sobre anéis topológicos foram estudados em [21] e módulos vetorialmente bornologizados foram estudados em [18]. Nosso objetivo é estudar produtos tensoriais de módulos bornológicos. Para tanto, consideraremos uma noção um pouco mais geral: a de módulo bornológico sobre um anel bornológico. Se A é um anel topológico com topologia T e considerarmos A munido com a bornologia formada pelos seus subconjuntos T -limitados, estaremos, então, no contexto considerado em [21]. E, se considerarmos o anel A munido da bornologia discreta, recairemos, então, na noção de módulos vetorialmente bornologizados considerada em [18]. No Capítulo 1 apresentaremos algumas noções e resultados básicos a respeito de módulos bornológicos sobre anéis bornológicos. Nosso objetivo principal nesse capítulo é estabelecer a existência de bornologias de módulo iniciais e finais, e assim obtermos as construções básicas nessa categoria (produtos de módulos bornológicos, somas diretas de módulos bornológicos, etc). As demonstrações desses resultados são basicamente as mesmas apresentadas em [21] no contexto dos módulos bornológicos sobre anéis topológicos. Entretanto, apresentaremos essas demonstrações aqui nesse contexto mais geral por uma questão de completude. No Capítulo 2 apresentaremos algumas noções e resultados básicos a respeito de limites diretos e limites inversos, fundamentais à compreensão dos resultados demonstrados no Capítulo 3. No Capítulo 3, parte central do nosso trabalho, estudaremos produtos tensoriais de módulos bornológicos sobre anéis bornológicos comutativos. Mostraremos que existe uma 2

bornologia natural sobre o produto tensorial através da qual aplicações multilineares limitadas correspondem a aplicações lineares limitadas sobre o produto tensorial, e estudaremos em detalhe essa bornologia. Um de nossos resultados principais é a existência de um isomorfismo canônico de módulos bornológicos entre limites diretos de produtos tensoriais ( ) lim E (1) α 1 E α (n) n e o produto tensorial de limites diretos ( lim E (1) ) ( lim E (n) ). Como uma aplicação da teoria, daremos uma demonstração diferente do resultado principal de [8] usando a ferramenta do produto tensorial. No Capítulo 4 estudaremos polinômios homogêneos limitados entre módulos bornológicos sobre anéis bornológicos comutativos. Nosso resultado central nesse capítulo é a existência de um isomorfismo canônico de módulos bornológicos entre o módulo bornológico P b ( m E; F ) dos polinômios m-homogêneos limitados de E em F e o módulo bornológico L b (γ m (E); F ) das aplicações lineares limitadas de γ m (E) em F, onde γ m (E) é um certo submódulo bornológico do produto tensorial bornológico E E (m vezes). 3

Capítulo 1 Módulos Bornológicos sobre Anéis Bornológicos Na Seção 1.1 apresentaremos alguns preliminares sobre conjuntos bornológicos necessários à compreensão do texto. Nossa exposição sobre este tema foi baseada no Capítulo 1 de [22]. Na Seção 1.2 introduziremos o conceito de anel bornológico e apresentaremos alguns exemplos. Na Seção 1.3 introduziremos o conceito de módulo bornológico sobre um anel bornológico, o que engloba o conceito de módulo bornológico sobre um anel topológico estudado em [21] e o conceito de módulo vetorialmente bornologizado estudado em [18]. Estabeleceremos a existência de bornologias de módulo iniciais e finais e obteremos as construções básicas nessa categoria. Observamos que as demonstrações apresentadas no presente contexto são essencialmente as mesmas apresentadas em [21] no contexto de módulos bornológicos 4

sobre anéis topológicos. Para resultados de ordem puramente algébrica nos baseamos no livro [6]. 1.1 Conjuntos Bornológicos Definição 1.1. Uma bornologia sobre um conjunto X é uma coleção B de subconjuntos de X satisfazendo as seguintes condições: (BO1) Se B 1, B 2 B, então B 1 B 2 B; (BO2) Se B 1 B e B 2 B 1, então B 2 B; (BO3) Se x X, então {x} B. Um conjunto bornológico é um conjunto munido de uma bornologia. Neste trabalho, denotaremos a bornologia de um conjunto bornológico X por B X. Os elementos de B X são ditos os conjuntos limitados de X. Dados dois conjuntos bornológicos X e Y, uma aplicação f : X Y é dita limitada se f(b) B Y sempre que B B X, ou seja, se f leva conjuntos limitados de X em conjuntos limitados de Y. Claramente, a composição de duas aplicações limitadas é limitada. Exemplo 1.2. A coleção de todos os subconjuntos de um dado conjunto X é uma bornologia sobre X, dita a bornologia trivial. Exemplo 1.3. A coleção de todos os subconjuntos finitos de um dado conjunto X é uma bornologia sobre X, dita a bornologia discreta. 5

Exemplo 1.4. A coleção de todos os subconjuntos limitados de um espaço métrico X é uma bornologia sobre X. Definição 1.5. Sejam B e B duas bornologias sobre um mesmo conjunto X. Diz-se que B é mais fina que B (ou que B é menos fina que B) se a aplicação identidade de X munido de B em X munido de B é limitada, ou seja, se B B. Consideraremos o conjunto de todas as bornologias sobre X com a seguinte relação de ordem parcial: B B B é menos fina que B. (B B ) Note que a bornologia trivial sobre X é a menos fina de todas as bornologias sobre X e a bornologia discreta é a mais fina de todas as bornologias sobre X. Definição 1.6. Se X é um conjunto bornológico, uma coleção S de conjuntos limitados de X é dita uma base para a bornologia de X se todo conjunto limitado de X está contido em algum conjunto de S. Por exemplo, {X} é uma base para a bornologia trivial sobre X. Dados um conjunto X e uma coleção S de subconjuntos de X, é fácil verificar que S é uma base para uma bornologia B sobre X se, e somente se, S tem as seguintes propriedades: (B1) S é uma cobertura de X; (B2) A união de dois conjuntos de S está contida em um conjunto de S. 6

Nesse caso, dizemos que B é a bornologia gerada por S. Proposição 1.7. Seja X um conjunto, seja (Y α ) α I uma família de conjuntos bornológicos e, para cada α I, seja f α : X Y α uma aplicação. Seja B= {B X; f α (B) B Yα para todo α I}. Então B é a bornologia inicial sobre X para a família (f α ) α I no seguinte sentido: se g é uma aplicação de um conjunto bornológico Z em X munido da bornologia B, então g é limitada se, e somente se, cada uma das aplicações f α g é limitada. Em particular, B é a bornologia menos fina sobre X para a qual as aplicações f α são limitadas. Demonstração. É fácil verificar que B é uma bornologia sobre X para a qual cada aplicação f α é limitada. Então, sempre que g for limitada, f α g será limitada. Reciprocamente, se cada f α g é limitada e B é um conjunto limitado de Z, então f α (g(b)) é limitado em Y α para cada α I e, então, g(b) B por definição. Logo, g é limitada. Exemplo 1.8. Sejam X um conjunto bornológico e Y um subconjunto de X. A bornologia inicial sobre Y para a família unitária (f), onde f : Y X é a aplicação inclusão, é dita a bornologia induzida por X sobre Y. Exemplo 1.9. Seja (X α ) α I uma família de conjuntos bornológicos e considere o conjunto produto X = α I X α. A bornologia inicial para a família (pr α ) α I, onde pr α : X X α é a projeção canônica, é dita a bornologia produto sobre X. Proposição 1.10. Seja X um conjunto, seja (Y α ) α I uma família de conjuntos bornológicos 7

e, para cada α I, seja f α : Y α X uma aplicação. Seja B a coleção de todos os subconjuntos de X da forma F f α1 (B α1 )... f αn (B αn ) onde F é um subconjunto finito de X, n N,,..., I e B αj B Yαj para 1 j n. Então B é a bornologia final sobre X para a família (f α ) α I no seguinte sentido: se g é uma aplicação de X munido da bornologia B em um conjunto bornológico Z, então g é limitada se, e somente se, cada uma das aplicações g f α é limitada. Em particular, B é a bornologia mais fina sobre X para a qual as aplicações f α são limitadas. Demonstração. É fácil verificar que B é uma bornologia sobre X para a qual cada aplicação f α é limitada. Então, sempre que g for limitada, g f α será limitada. Reciprocamente, se cada g f α é limitada, então g leva cada conjunto limitado de X em um conjunto limitado de Z pela definição da bornologia de X. Portanto, g é limitada. Exemplo 1.11. Sejam X um conjunto bornológico e Y um conjunto. A bornologia final sobre Y para a família unitária (f), onde f é uma aplicação de X em Y, é dita a bornologia imagem direta de B X por f. Exemplo 1.12. Sejam X um conjunto bornológico e R uma relação de equivalência sobre X. A bornologia imagem direta de B X pela aplicação canônica ϕ : X X/R é dita a bornologia quociente sobre X/R. 8

1.2 Anéis Bornológicos Neste trabalho, um anel significará um anel com elemento unidade 1 0. Definição 1.13. Seja A um anel. Uma bornologia de anel sobre A é uma bornologia B sobre A que satisfaz as condições: (BA1) Se B 1, B 2 B, então B 1 + B 2 B; (BA2) Se B 1, B 2 B, então B 1 B 2 B. Isso é equivalente a dizer que as aplicações (a, b) A A a + b A e (a, b) A A ab A são limitadas se considerarmos A munido de B e A A munido da bornologia produto. Segue de (BA2) que, sempre que B B, B = ( 1)B B. Daí, a A a A é também uma aplicação limitada. Um anel bornológico é um anel munido de uma bornologia de anel. Note que se B é uma bornologia de anel sobre o anel A, então B é também uma bornologia de anel sobre o anel oposto A 0 ([6], Capítulo I, 8, no.3). Usualmente, consideramos o oposto de um anel bornológico como um anel bornológico dessa maneira. 9

Exemplo 1.14. A bornologia trivial sobre um anel A é uma bornologia de anel. Exemplo 1.15. A bornologia discreta sobre um anel A é uma bornologia de anel. Exemplo 1.16. Seja A um anel topológico munido da topologia τ A. Um subconjunto L de A é dito τ A -limitado à esquerda (respectivamente à direita) se, para toda vizinhança V de 0 em A, existe uma vizinhança W de 0 em A tal que W L V (respectivamente LW V ); L é τ A -limitado se é τ A -limitado à esquerda e τ A -limitado à direita ([25], Definição 16.1). A coleção B l (τ A ) (respectivamente B r (τ A ) e B(τ A )) de todos os subconjuntos de A τ A -limitados à esqueda (respectivamente τ A -limitados à direita e τ A -limitados) é uma bornologia de anel sobre A. Claramente, se A é comutativo, estas três bornologias coincidem. Uma pergunta natural, que não sabemos a resposta, é a seguinte: será que toda bornologia de anel sobre um anel A é da forma B r (τ A ) para alguma topologia de anel τ A sobre A? 1.3 Módulos Bornológicos Definição 1.17. Seja A um anel bornológico e seja E um A-módulo à esquerda (consideraremos que todos os módulos são unitários). Uma bornologia de A-módulo à esquerda sobre E é uma bornologia B sobre E que satisfaz as condições: (BM1) Se B 1, B 2 B, então B 1 + B 2 B; (BM2) Se B B e L B A, então LB B. 10

Isso é equivalente a dizer que as aplicações (x, y) E E x + y E e (a, x) A E ax E são limitadas se considerarmos E munido de B e E E e A E munidos das bornologias produto correspondentes. Um A-módulo bornológico à esquerda é um A-módulo à esquerda munido de uma bornologia de A-módulo à esquerda. Analogamente, definimos os conceitos de bornologia de A-módulo à direita e de A- módulo bornológico à direita. Se E é um A-módulo bornológico à direita, então E é um A 0 -módulo bornológico à esquerda. Por essa razão, nos restringiremos aos A-módulos bornológicos à esquerda e assim omitiremos a expressão à esquerda. Exemplo 1.18. Para todo anel bornológico A, a bornologia trivial sobre um A-módulo E é uma bornologia de A-módulo. Exemplo 1.19. Se A é um anel bornológico munido da bornologia discreta, então a bornologia discreta sobre um A-módulo E é uma bornologia de A-módulo. Exemplo 1.20. Todo anel bornológico A pode ser considerado um A-módulo bornológico. Exemplo 1.21. Sejam X um conjunto bornológico, A um anel bornológico e F um A- módulo bornológico. O conjunto B(X; F ) de todas as aplicações limitadas de X em F é 11

um submódulo do A-módulo produto F X de todas as aplicações de X em F. Um conjunto X de aplicações de X em F é dito equilimitado se X (B) := f(b) B F sempre que B B X. f X A coleção de todos os conjuntos equilimitados de B(X; F ) é uma bornologia de A-módulo, dita a bornologia da equilimitação. Exemplo 1.22. Seja A um anel topológico munido da bornologia B l (τ A ). Seja E um A-módulo topológico. Dizemos que um subconjunto B de E é τ E -limitado se para toda vizinhança V de 0 em E existir uma vizinhança W de 0 em A tal que W B V ([25], Definição 15.1). A coleção B(τ E ) de todos os subconjuntos τ E -limitados de E é uma bornologia de A-módulo sobre E. Seja G um grupo comutativo denotado aditivamente. Uma bornologia de grupo sobre G é uma bornologia B sobre G tal que B 1 B e B 1 + B 2 B sempre que B 1, B 2 B. Um grupo bornológico comutativo é um grupo comutativo munido de uma bornologia de grupo. Considerando Z munido da bornologia discreta e considerando G como um Z- módulo, uma bornologia de grupo sobre G é o mesmo que uma bornologia de Z-módulo sobre G. Nesse sentido, grupos bornológicos comutativos podem ser vistos como Z-módulos bornológicos. A partir deste momento, A denotará sempre um anel bornológico. 12

Teorema 1.23. Seja E um A-módulo, seja (F α ) α I uma família de A-módulos bornológicos e, para cada α I, seja f α : E F α uma aplicação A-linear. Então a bornologia B sobre E inicial para a família (f α ) α I dada por B= {B E; f α (B) B Fα para todo α I}, é uma bornologia de A-módulo. Logo, se g é uma aplicação A-linear de um A-módulo bornológico G em E (E munido com B), então g é limitada se, e somente se, cada uma das aplicações f α g é limitada. Em particular, B é a bornologia de A-módulo menos fina para a qual as aplicações f α são limitadas. Demonstração. Se B 1, B 2 B e L B A, então f α (B 1 + B 2 ) = f α (B 1 ) + f α (B 2 ) B Fα e f α (LB 1 ) = Lf α (B 1 ) B F α para todo α I, o que prova que B 1 + B 2 B e LB 1 B. Exemplo 1.24. Se E é um A-módulo bornológico e M é um submódulo de E, então a bornologia induzida sobre M é uma bornologia de A-módulo. Exemplo 1.25. Se (E α ) α I é uma família de A-módulos bornológicos e E = α I E α é o A-módulo produto, então a bornologia produto sobre E é uma bornologia de A-módulo. A não ser que se especifique o contrário, sempre que considerarmos um submódulo de um módulo bornológico (respectivamente um produto de módulos bornológicos) como um módulo bornológico, entenderemos que ele está munido da bornologia induzida (respectivamente da bornologia produto). 13

Teorema 1.26. Seja E um A-módulo, seja (F α ) α I uma família de A-módulos bornológicos e, para cada α I, seja f α : F α E uma aplicação A-linear. Seja S a coleção de todos os subconjuntos de E da forma L 1 x 1 +... + L m x m + f α1 (B α1 ) +... + f αn (B αn ), onde m, n N, L 1,..., L m B A, x 1,..., x m E,,..., I e B αj B Fαj para 1 j n. Então S é uma base para uma bornologia de A-módulo B sobre E final para a família (f α ) α I no seguinte sentido: se g é uma aplicação A-linear de E (E munido com B) em um A-módulo bornológico G, então g é limitada se, e somente se, cada uma das aplicações g f α é limitada. Em particular, B é a bornologia de A-módulo mais fina para a qual as aplicações f α são limitadas. Demonstração. Obviamente, S é uma cobertura de E. Dados C, D S, existem C, D S tais que C {0} C e D {0} D, donde C D C + D S. Logo, S é uma base para uma bornologia B sobre E. Claramente, B satisfaz (BM1) e (BM2), isto é, B é uma bornologia de A-módulo. Além disso, cada f α é limitada, o que implica que cada g f α é limitada sempre que g é limitada. Reciprocamente, se cada g f α é limitada, então g é limitada sobre cada elemento de S, donde g é limitada. Observação 1.27. Sob as condições do Teorema 1.26, se E é gerado por f α (F α ) α I então os conjuntos da forma f α1 (B α1 ) + + f αn (B αn ), onde n N,,..., I e B αj B Fαj para 1 j n, formam uma base para a bornologia de A-módulo final. 14

Observação 1.28. Ao contrário do que acontece com as bornologias iniciais, a bornologia final sobre E e a bornologia de A-módulo final sobre E podem ser diferentes. Por exemplo, considere A = R munido com a bornologia usual (que é dada pela sua métrica usual) e considere F 1 = F 2 = R visto como um R-módulo bornológico. Seja E = R 2 visto como um R-módulo e sejam f 1 : x F 1 (x, 0) E e f 2 : y F 2 (0, y) E. Sabemos que a bornologia final B sobre E para a família (f α ) α {1,2} é formada pelos conjuntos da forma X f 1 (B 1 ) f 2 (B 2 ), onde X E é finito e B 1, B 2 F 1 = F 2 são limitados. Como f 1 ([0, 1]) B, f 2 ([0, 1]) B e f 1 ([0, 1]) + f 2 ([0, 1]) = [0, 1] 2 B, vemos que B não é uma bornologia de R-módulo. Exemplo 1.29. Se E é um A-módulo bornológico e M é um submódulo de E, então a bornologia quociente sobre o A-módulo quociente E/M é uma bornologia de A-módulo. Temos então um caso especial onde a bornologia final sobre E e a bornologia de A-módulo final sobre E coincidem. Exemplo 1.30. Sejam (E α ) α I uma família de A-módulos bornológicos e E = E α o α I A-módulo soma direta da família (E α ) α I. A bornologia soma direta sobre E é a bornologia de A-módulo final para a família (λ α ) α I, onde λ α : E α E é a injeção canônica (α I). Pela Observação 1.27, os conjuntos da forma λ α1 (B α1 ) + + λ αn (B αn ), onde n N,,..., I e B αj B Eαj for 1 j n, formam uma base para essa bornologia. 15

Capítulo 2 Limites Inversos e Limites Diretos Nas Seções 2.1 e 2.2 apresentaremos os conceitos de limite inverso bornológico e limite direto bornológico de módulos bornológicos sobre anéis bornológicos. Observamos que, ao contrário de [6], não exigimos que os conjuntos de índices nos sistemas diretos sejam dirigidos. Na Seção 2.3 falaremos sobre limites inversos bornológicos de módulos bornológicos de aplicações lineares limitadas. Um dos principais resultados desta seção é a existência de um isomorfismo entre o módulo bornológico das aplicações lineares limitadas de lim E α em lim F λ e o módulo bornológico lim L b (E α, F λ ). Os resultados desta seção, no contexto dos módulos bornológicos sobre anéis topológicos, podem ser encontrados em [8] e as demonstrações são análogas àquelas estabelecidas no referido artigo. 16

2.1 Limites Inversos de Módulos Bornológicos Definição 2.1. Sejam I um conjunto não-vazio munido de uma relação de ordem parcial, E α um A-módulo (α I) e u αβ : E β E α uma aplicação A-linear (α, β I com α β). Dizemos que (E α, u αβ ) α I é um sistema inverso de A-módulos sempre que u αα = 1 Eα para todo α I e u αβ u βγ = u αγ para todo α, β, γ I com α β γ. u βγ E γ E β u αγ u αβ E α Definição 2.2. Seja (E α, u αβ ) α I um sistema inverso de A-módulos. Seja E o A-módulo produto α I E α e definamos lim E α = {x E; (u αβ pr β )(x) = pr α (x), sempre que α β}, onde pr α : E E α é a projeção de E em E α para todo α I. lim E α é um submódulo de E, dito o limite inverso do sistema (E α, u αβ ) α I. Para cada α I, a restrição u α de pr α a lim E α é dita a aplicação A-linear canônica de lim E α em E α. Por construção, u α = u αβ u β, sempre que α β. u αβ E β E α u β u α lim E α 17

Proposição 2.3. Vale a seguinte propriedade universal: para todo A-módulo F e para toda família (v α ) α I de aplicações A-lineares v α : F E α satisfazendo v α = u αβ v β para todo α β, existe uma única aplicação A-linear v : F lim E α tal que v α = u α v para todo α I. v α F v E α F β u αβ v α E β v E α u α lim E α Demonstração. Seja v : F lim E α definida por v(y) = (v α (y)) α I. Como (u αβ pr β )(v(y)) = u αβ (v β (y)) = v α (y) = pr α (v(y)), vemos que v está bem definida, no sentido de que realmente aplica F em lim E α. Claramente v é A-linear. Além disso, (u α v)(y) = u α (v(y)) = pr α (v(y)) = v α (y) (y F ), donde v tem todas as propriedades desejadas. Agora, se w : F lim E α é uma outra aplicação com as propriedades desejadas, então pr α (w(y)) = u α (w(y)) = v α (y) (α I, y F ), e, assim, vemos que w = v. 18

Definição 2.4. Dizemos que (E α, u αβ ) α I é um sistema inverso de A-módulos bornológicos se (E α, u αβ ) α I é um sistema inverso de A-módulos e, além disso, cada E α é um A-módulo bornológico e cada u αβ é limitada. Definição 2.5. Seja (E α, u αβ ) α I um sistema inverso de A-módulos bornológicos. Sejam lim E α e u α (α I) como na Definição 2.2, e lim E α munido da bornologia inicial B para a família (u α ) α I. Pelo Teorema 1.23, lim E α munido de B é um A-módulo bornológico, dito o limite inverso bornológico do sistema (E α, u αβ ) α I. A bornologia inicial B para a família (u α ) α I é dita a bornologia limite inverso e, a não ser que se mencione o contrário, consideraremos sempre o limite inverso munido de tal bornologia. Proposição 2.6. Vale a seguinte propriedade universal: para todo A-módulo bornológico F e para toda família (v α ) α I de aplicações A-lineares limitadas v α : F E α satisfazendo v α = u αβ v β para todo α β, existe uma única aplicação A-linear limitada v : F lim E α tal que v α = u α v para todo α I, onde u α : lim E α E α é a aplicação A-linear canônica para todo α I. v α F v E α F β u αβ v α E β v E α u α lim E α, Demonstração. Pela Proposição 2.3, existe uma única aplicação A-linear v : F lim E α tal que v α = u α v para todo α I. Além disso, v : F lim E α é limitada, visto que 19

cada v α é limitada. Observação 2.7. Se (E α ) α I é uma família de A-módulos bornológicos (onde I é um conjunto não-vazio arbitrário), então munindo I da relação de igualdade e definindo u αα = 1 Eα para todo α I, tem-se que (E α, u αα ) α I é um sistema inverso de A-módulos bornológicos e seu limite inverso bornológico coincide com o A-módulo bornológico produto E α. α I 2.2 Limites Diretos de Módulos Bornológicos Definição 2.8. Sejam I um conjunto não-vazio munido de uma relação de ordem parcial, E α um A-módulo (α I) e u βα : E α E β uma aplicação A-linear (α, β I com α β). Dizemos que (E α, u βα ) α I é um sistema direto de A-módulos se u αα = 1 Eα para todo α I e u γβ u βα = u γα para α, β, γ I com α β γ. u βα E α E β u γα E γ u γβ Definição 2.9. Seja (E α, u βα ) α I um sistema direto de A-módulos. Seja E o A-módulo soma direta α I E α e, para cada α I, seja λ α : E α E a injeção canônica. Seja M o submódulo de E gerado por todos os elementos da forma λ α (x α ) (λ β u βα )(x α ), onde α β e x α E α, e definamos lim E α = E/M. 20

O A-módulo lim E α é dito o limite direto do sistema (E α, u βα ) α I. Sejam π : E lim E α a sobrejeção canônica e, para cada α I, u α = π λ α : E α lim E α ; u α é dita a aplicação A-linear canônica de E α em lim E α. Por construção, u α = u β u βα, sempre que α β, [ ] e lim E α = u α (E α ). Além disso, se, para quaisquer α, β I, existir γ I tal que α I α γ e β γ, então lim E α = α I u α (E α ). u βα E α E β u α u β lim E α Proposição 2.10. Vale a seguinte propriedade universal: para todo A-módulo F e para toda família (v α ) α I de aplicações A-lineares v α : E α F satisfazendo v α = v β u βα para todo α β, existe uma única aplicação A-linear v : lim E α F tal que v α = v u α para todo α I. v α E α F lim E v α F u βα v β u α v α E β E α Demonstração. Seja M como na Definição 2.9 e seja v : lim E α F definida por v((x α ) α I + M) = α I v α (x α ). Como v(λ α (x α ) (λ β u βα )(x α )) = v α (x α ) + v β ( u βα (x α )) = v α (x α ) v β (u βα (x α )) = v α (x α ) v α (x α ) = 0 21

sempre que α, β I, α β e x α E α, vemos que v está bem definida, no sentido de que o seu valor não depende da escolha do representante da classe. Claramente v é A-linear. Além disso, (v u α )(x α ) = v(π(λ α (x α ))) = v α (x α ) (x α E α ), donde v tem todas as propriedades desejadas. Agora, se w : lim E α F é uma outra aplicação com as propriedades desejadas, então w((x α ) α I + M) = w(π( α I λ α (x α ))) = w( α I u α (x α )) = α I w(u α (x α )) = α I v α (x α ), donde w = v. Definição 2.11. Dizemos que (E α, u βα ) α I é um sistema direto de A-módulos bornológicos se (E α, u βα ) α I é um sistema direto de A-módulos e, além disso, cada E α é um A-módulo bornológico e cada u βα é limitada. Definição 2.12. Seja (E α, u βα ) α I um sistema direto de A-módulos bornológicos. Sejam lim E α e u α (α I) como na Definição 2.9, e lim E α munido da bornologia de A-módulo final C para a família (u α ) α I. Pelo Teorema 1.26, lim E α munido de C é um A-módulo bornológico, dito o limite direto bornológico do sistema (E α, u βα ) α I. A bornologia final C para a família (u α ) α I é dita a bornologia limite direto e, a não ser que se mencione o contrário, consideraremos sempre o limite direto munido de tal bornologia. 22

Proposição 2.13. Vale a seguinte propriedade universal: para todo A-módulo bornológico F e para toda família (v α ) α I de aplicações A-lineares limitadas v α : E α F satisfazendo v α = v β u βα para todo α β, existe uma única aplicação A-linear limitada v : lim E α F tal que v α = v u α para todo α I, onde u α : E α lim E α é a aplicação A-linear canônica para todo α I. v α E α F lim E v α F u βα v β u α v α E β E α Demonstração. Análoga à da Proposição 2.6. Observação 2.14. Se (E α ) α I é uma família de A-módulos bornológicos (onde I é um conjunto não-vazio arbitrário), então munindo I da relação de igualdade e definindo u αα = 1 Eα para todo α I, tem-se que (E α, u αα ) α I é um sistema direto de A-módulos bornológicos e seu limite direto bornológico coincide com a soma direta bornológica α I E α. 2.3 Limites Inversos Bornológicos de Módulos de Aplicações Lineares Limitadas Se E e F são A-módulos, denotamos por L a (E; F ) o A-módulo de todas as aplicações A-lineares de E em F. 23

Sejam E e F A-módulos bornológicos. O conjunto L b (E; F ) = L a (E; F ) B(E; F ) de todas as aplicações A-lineares limitadas de E em F é um submódulo de L a (E; F ) e de B(E; F ). A bornologia da equilimitação sobre B(E; F ) induz uma bornologia de A-módulo sobre L b (E; F ). A menos que se diga o contrário, consideraremos L b (E; F ) munido desta bornologia. Sejam (E α, u βα ) α I um sistema direto de A-módulos bornológicos, (F λ, v λµ ) λ J um sistema inverso de A-módulos bornológicos, E = lim E α, F = lim F λ, e denotemos por u α : E α E (α I) e v λ : F F λ (λ J) as aplicações A-lineares limitadas canônicas. Consideremos em I J a seguinte relação de ordem parcial: (α, λ) (β, µ) α β e λ µ. Além disso, para (α, λ) (β, µ) em I J, consideremos a aplicação A-linear limitada Φ (α,λ)(β,µ) : L b (E β ; F µ ) L b (E α ; F λ ) que a cada ϕ associa Φ (α,λ)(β,µ) (ϕ) = v λµ ϕ u βα. E α u βα E β Φ (α,λ)(β,µ) (ϕ) ϕ F λ F µ v λµ Proposição 2.15. ( L b (E α ; F λ ), Φ (α,λ)(β,µ) )(α,λ) I J é um sistema inverso de A-módulos bornológicos. 24

Demonstração. Como (E α, u βα ) α I é um sistema direto de A-módulos bornológicos, u αα = 1 Eα para cada α I e u γα = u γβ u βα sempre que α β γ. Analogamente, como (F λ, v µλ ) λ J é um sistema inverso de A-módulos bornológicos, v λλ = 1 Fλ para cada λ J e v λν = v λµ v µν sempre que λ µ ν. Então, para cada (α, λ) I J, Φ (α,λ)(α,λ) (ϕ) = v λλ ϕ u αα = ϕ para qualquer ϕ L b (E α ; F λ ), ou seja, Φ (α,λ)(α,λ) : L b (E α ; F λ ) L b (E α ; F λ ) é a aplicação identidade. Além disso, se α β γ e λ µ ν, então Φ (α,λ)(γ,ν) = Φ (α,λ)(β,µ) Φ (β,µ)(γ,ν) pois, para qualquer ϕ L b (E γ ; F ν ), tem-se Φ (α,λ)(γ,ν) (ϕ) = v λν ϕ u γα = (v λµ v µν ) ϕ (u γβ u βα ) = v λµ (v µν ϕ u γβ ) u βα = v λµ (Φ (β,µ)(γ,ν) (ϕ)) u βα = (Φ (α,λ)(β,µ) Φ (β,µ)(γ,ν) )(ϕ). Φ (α,λ)(β,µ) L b (E α ; F λ ) L b (E β ; F µ ) Φ (α,λ)(γ,ν) Φ (β,µ)(γ,ν) L b (E γ ; F ν ) Portanto, ( L b (E α ; F λ ), Φ (α,λ)(β,µ) é um sistema inverso de A-módulos bornológicos. )(α,λ) I J Passemos a investigar o A-módulo bornológico lim L b (E α ; F λ ). Para cada (α, λ) I J, definamos a aplicação A-linear limitada Ψ (α,λ) : ϕ L b (E; F ) Ψ (α,λ) (ϕ) = v λ ϕ u α L b (E α ; F λ ). 25

Ψ (α,λ) (ϕ) u α E α E F λ Notemos que a família (Ψ (α,λ) (ϕ)) (α,λ) I J lim L a (E α ; F λ ). De fato, se (α, λ) (β, µ) e ϕ é um elemento arbitrário de L b (E; F ), tem-se v λ F ϕ Φ (α,λ)(β,µ) (Ψ (β,µ) (ϕ)) = v λµ (Ψ (β,µ) (ϕ)) u βα = v λµ (v µ ϕ u β ) u βα = (v λµ v µ ) ϕ (u β u βα ) = v λ ϕ u α = Ψ (α,λ) (ϕ). Lema 2.16. Sejam (G α ) α I uma família não-vazia de A-módulos bornológicos, G um A-módulo e, para cada α I, seja q α : G α G uma aplicação A-linear. Suponha que G = [ q α (G α )] ([R] denota o submódulo gerado por R). Seja B a bornologia de α I A-módulo final para a família (q α ) α I. Para cada A-módulo bornológico H e para cada conjunto X L a (G; H), as seguintes condições são equivalentes: (a) X é equilimitado em L b (G; H); (b) X q α = {q q α ; q X } é equilimitado em L b (G α ; H) para todo α I. Demonstração. Claramente, (a) implica em (b). Vejamos a recíproca. Seja B B arbitrário. Existem L 1,..., L m B A, x 1,..., x m G,,..., I, B α1 B Gα1,..., B αn B Gαn, tais que B L 1 x 1 + +L m x m +q α1 (B α1 )+...+q αn (B αn ). 26

Como G = [ q α (G α )], segue de (b) que X é pontualmente limitado. Em particular, α I X (x i ) é limitado em H e, consequentemente, L i X (x i ) é limitado em H para todo i = 1,..., m. Por outro lado, por hipótese, (X q αj )(B αj ) B H para todo j = 1,..., n. Assim, da inclusão X (B) L 1 X (x 1 )+ +L m X (x m )+(X q α1 )(B α1 )+ +(X q αn )(B αn ), e do fato do conjunto à direita ser limitado em H resulta que X (B) B H. Logo, X é equilimitado em L b (G; H). Proposição 2.17. A aplicação Ψ : ϕ L b (E; F ) Ψ(ϕ) = ( Ψ (α,λ) (ϕ) ) (α,λ) I J lim L b(e α ; F λ ) é um isomorfismo de A-módulos bornológicos. Demonstração. Claramente, Ψ é A-linear. Seja g = (g (α,λ) ) (α,λ) I J lim L b (E α ; F λ ) arbitrário. Fixemos λ J e consideremos a família (g (α,λ) ) α I. Se α β, g (β,λ) u βα = v λλ g (β,λ) u βα = Φ (α,λ)(β,λ) (g (β,λ) ) = g (α,λ). Logo, como E = lim E α, existe uma única aplicação A-linear limitada θ λ : E F λ tal que g (α,λ) = θ λ u α para todo α I (Proposição 2.6). A família (θ λ ) λ J de aplicações A-lineares limitadas satisfaz θ λ = v λµ θ µ, sempre que λ µ. De fato, para todo α I, 27

tem-se θ λ u α = g (α,λ) = Φ (α,λ)(α,µ) (g (α,µ) ) = v λµ g (α,µ) u αα = v λµ g (α,µ) = v λµ θ µ u α. [ ] Lembrando que E = u α (E α ), conclui-se que θ λ = v λµ θ µ, sempre que λ µ. Como α I F = lim F λ, existe uma única aplicação A-linear limitada ϕ : E F tal que θ λ = v λ ϕ para todo λ J (Proposição 2.13). Finalmente, Ψ(ϕ) = (v λ ϕ u α ) (α,λ) I J = (θ λ u α ) (α,λ) I J = (g (α,λ) ) (α,λ) I J = g, sendo ϕ o único elemento de L b (E; F ) cuja imagem por Ψ é g. Claramente, Ψ é limitada. Mostremos que Ψ 1 é limitada. Com efeito, seja Y um conjunto limitado arbitrário em lim L b (E α ; F λ ). Para cada (α, λ) I J, designemos por q (α,λ) a aplicação A-linear q (α,λ) : (g (β,µ) ) (β,µ) I J lim L b (E β ; F µ ) g (α,λ) L b (E α ; F λ ). Então q (α,λ) (Y) é equilimitado em L b (E α ; F λ ) para todo (α, λ) I J. Pelo que acabamos de ver, para cada g = (g (α,λ) ) (α,λ) I J Y existe uma única ϕ g L b (E; F ) tal que Ψ(ϕ g ) = g. Afirmamos que X = {ϕ g ; g Y} = Ψ 1 (Y) é equilimitado em L b (E; F ). 28

Mas, como B F é a bornologia inicial para a família (F λ, v λ ) λ J, X é equilimitado em L b (E; F ) se, e somente se, v λ X é equilimitado em L b (E; F λ ) para todo λ J. Seja λ J arbitrário e mostremos que v λ X é pontualmente limitado. Realmente, seja x E. Então existem,..., I e x α1 E α1,..., x αn E αn tais que x = u α1 (x α1 )+ +u αn (x αn ). Portanto, (v λ X )(x) = {(v λ ϕ g )(x); g Y} n = {(v λ ϕ g )( u αi (x αi )); g Y} = { = { i=1 n (v λ ϕ g u αi )(x αi ); g Y} i=1 n g (αi,λ)(x αi ); g Y} i=1 n q (αi,λ)(y)(x αi ). i=1 Mas, como q (αi,λ)(y) é equilimitado em L b (E αi ; F λ ) (i = 1,..., n) e B Fλ é uma bornologia n de A-módulo, então o conjunto q (αi,λ)(y)(x αi ) é limitado em F λ ; logo, (v λ X )(x) B Fλ. i=1 Pela arbitrariedade de x, acabamos de verificar que v λ X é pontualmente limitado. Finalmente, como q (α,λ) (Y) = (v λ X ) u α é equilimitado em L b (E αi ; F λ ) para todo α I, o Lema 2.16 garante que v λ X é equilimitado em L b (E; F λ ) e a demonstração está concluída. 29

Capítulo 3 Produtos Tensoriais Bornológicos Neste capítulo estudaremos produtos tensoriais de módulos bornológicos sobre anéis bornológicos comutativos. Na Seção 3.1 mostraremos que existe uma bornologia natural sobre o produto tensorial através da qual aplicações multilineares limitadas correspondem a aplicações lineares limitadas sobre o produto tensorial e estudaremos em detalhe essa bornologia. Na Seção 3.2 estudaremos limites diretos de produtos tensoriais bornológicos. Na Seção 3.3 faremos uma aplicação da teoria desenvolvida nas duas seções anteriores, apresentando uma demonstração curta no contexto dos módulos bornológicos sobre anéis bornológicos do principal resultado de [8]. 30

3.1 Bornologia Produto Tensorial 1 0. Neste capítulo, A designará um anel bornológico comutativo com elemento unidade No que se segue n denota um número inteiro maior ou igual a 2. Se E 1,..., E n e F são A-módulos, denotamos por L a (E 1,..., E n ; F ) o A-módulo de todas as aplicações A-multilineares de E 1... E n em F. Sejam E 1,..., E n e F A-módulos bornológicos. O conjunto L b (E 1,..., E n ; F ) = L a (E 1,..., E n ; F ) B(E 1... E n ; F ) de todas as aplicações A-multilineares limitadas de E 1... E n em F é um submódulo de L a (E 1,..., E n ; F ) e de B(E 1... E n ; F ). A bornologia da equilimitação sobre B(E 1... E n ; F ) induz uma bornologia de A-módulo sobre L b (E 1,..., E n ; F ). A menos que se diga o contrário, consideraremos L b (E 1,..., E n ; F ) munido desta bornologia. Sejam E 1,..., E n e F A-módulos. Denotamos por E 1... E n o A-módulo produto tensorial dos A-módulos E 1,..., E n e por φ : (x 1,..., x n ) E 1... E n x 1... x n E 1... E n a aplicação canônica [6,14]. Além disso, dados B 1 E 1,...,B n E n, definimos B 1... B n = {x 1... x n ; x 1 B 1,..., x n B n } = φ(b 1... B n ). Sabemos que, para cada aplicação A-multilinear f de E 1... E n em F, existe uma única aplicação A-linear de E 1... E n em F, que denotamos por u f, tal que f(x 1,..., x n ) = u f (x 1... x n ) para todo (x 1,..., x n ) E 1... E n. 31

Além disso, a aplicação f E 1... E n F φ u f E 1... E n f L a (E 1,..., E n ; F ) u f L a (E 1... E n ; F ) é um isomorfismo de A-módulos ([6], Capítulo 2, 3). Teorema 3.1. Sejam E 1,..., E n A-módulos bornológicos. Então existe uma única bornologia de A-módulo B sobre o produto tensorial E 1... E n que satisfaz a seguinte propriedade: para todo A-módulo bornológico F e para toda aplicação A-multilinear f : E 1... E n F, temos que: f é limitada u f é limitada (onde E 1... E n está munido da bornologia B). Demonstração. Seja S a coleção de todos os conjuntos da forma (B 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r ), onde r N e B i,1,..., B i,r B Ei para cada 1 i n. Claramente, S é uma cobertura de E 1... E n. Se B = (B 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r ) e C = (C 1,1... C n,1 ) +... + (C 1,s... C n,s ), 32

são dois elementos de S, então completando com conjuntos da forma {0}, se necessário, podemos supor que r = s, e assim, B C (D 1,1... D n,1 ) +... + (D 1,r... D n,r ), onde D i,j = B i,j C i,j B Ei para todo 1 i n e todo 1 j r. Daí concluímos que S é uma base para uma bornologia B sobre E 1... E n. Como B+C = (B 1,1... B n,1 )+...+(B 1,r... B n,r )+(C 1,1... C n,1 )+...+(C 1,r... C n,r ), B + C S. Além disso, se L B A, então LB (LB 1,1 B 2,1... B n,1 ) +... + (LB 1,r B 2,r... B n,r ) S, e temos que B é uma bornologia de A-módulo. Além disso, a aplicação canônica φ : (x 1,..., x n ) E 1... E n x 1... x n E 1... E n é limitada se considerarmos E 1... E n munido com a bornologia B. Daí, se u f é limitada, então f = u f φ é uma composta de aplicações limitadas, donde f é limitada. Suponhamos agora que f é limitada. Seja B = (B 1,1... B n,1 )+...+(B 1,r... B n,r ) B. Então, u f (B) = u f (φ(b 1,1... B n,1 ))+...+u f (φ(b 1,r... B n,r )) = f(b 1,1... B n,1 )+...+f(b 1,r... B n,r ). Como f é limitada, f(b 1,1... B n,1 )+...+f(b 1,r... B n,r ) B F, provando que u f é limitada. Falta mostrar a unicidade de B. Suponha que B é uma bornologia de A-módulo sobre E 1... E n que também satisfaz a propriedade enunciada no teorema. Sejam F = E 1... E n munido de B e F = E 1... E n munido de B. Considere o diagrama 33

abaixo: φ E 1... E n φ Id F onde Id é a aplicação identidade de F em F. Obviamente, Id : F F é limitada. Logo, como B satistaz a propriedade enunciada no teorema, φ = Id φ : E 1... E n F é limitada. Então, F φ((b 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r )) = (B 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r ) B para todo B i,1,..., B i,r B Ei, 1 i n, donde concluímos que S B, e, portanto, B B. Reciprocamente, considere o diagrama: E 1... E n F φ Id F onde Id é a aplicação identidade de F em F. Como φ : E 1... E n F é limitada e B satisfaz a propriedade enunciada no teorema, segue que Id : F F é limitada. Logo, B B, o que completa a demonstração. φ A bornologia B, obtida no Teorema 3.1, é dita a bornologia produto tensorial sobre E 1... E n. Segue da demonstração do referido teorema que se S i é uma base para a bornologia B Ei (1 i n), então os conjuntos da forma (B 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r ), 34

onde r N e B i,1,..., B i,r S i para cada 1 i n, formam uma base para B. A não ser que se mencione o contrário, sempre consideraremos o produto tensorial de módulos bornológicos como um módulo bornológico munido da bornologia produto tensorial. Proposição 3.2. (Comutatividade) Sejam E 1,..., E n A-módulos bornológicos e seja π uma permutação de {1,..., n}. Considere a única aplicação A-linear α : E 1... E n E π(1)... E π(n) tal que α(x 1... x n ) = x π(1)... x π(n). Então α é um isomorfismo de A-módulos bornológicos. Proposição 3.3. (Associatividade) Sejam E 1,..., E n A-módulos bornológicos e seja G o A-módulo obtido colocando uma certa escolha de parênteses na expressão E 1... E n. Considere a única aplicação A-linear β : E 1... E n G que leva x 1... x n na expressão obtida de x 1... x n colocando a mesma escolha de parênteses de antes. Então β é um isomorfismo de A-módulos bornológicos. De fato, sabemos que α e β são isomorfismos de A-módulos. Que tais aplicações são limitadas e possuem inversas limitadas segue imediatamente da forma dos conjuntos limitados básicos na bornologia produto tensorial. Portanto, α e β são isomorfismos A-módulos bornológicos. Teorema 3.4. Sejam E 1,..., E n, F A-módulos bornológicos. Então a aplicação 35

ψ : f L b (E 1,..., E n ; F ) u f L b (E 1... E n ; F ) é um isomorfismo de A-módulos bornológicos. Demonstração. Sabemos que f L a (E 1,..., E n ; F ) u f L a (E 1... E n ; F ) é um isomorfismo de A-módulos e, pelo Teorema 3.1, f é limitada se, e somente se, u f é limitada. Logo, ψ é um isomorfismo de A-módulos. Falta mostrar que ψ e ψ 1 são limitadas. Seja X um subconjunto equilimitado de L b (E 1,..., E n ; F ) e seja B = (B 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r ) um conjunto limitado básico para a bornologia produto tensorial sobre E 1... E n. Então, ψ(x )(B) = u f (B) = (f(b 1,1... B n,1 ) +... + f(b 1,r... B n,r )) f X f X X (B 1,1... B n,1 ) +... + X (B 1,r... B n,r ) B F. Isso prova que ψ(x ) é um subconjunto equilimitado de L b (E 1... E n ; F ) e ψ é limitada. Reciprocamente, seja Y um subconjunto equilimitado de L b (E 1... E n ; F ) e seja C = C 1... C s um conjunto limitado básico para a bornologia produto sobre E 1... E n. Então, (ψ 1 (Y))(C) = f(c 1... C s ) = u f (C 1... C s ) = Y(C 1... C s ) B F. f ψ 1 (Y) f ψ 1 (Y) 36

Logo, ψ 1 (Y) é um subconjunto equilimitado de L b (E 1,..., E n ; F ) e ψ 1 é limitada. Proposição 3.5. Sejam E 1,..., E n, F 1,..., F n A-módulos bornológicos e u 1 : E 1 F 1,..., u n : E n F n aplicações A-lineares limitadas. Então a única aplicação A-linear u 1... u n : E 1... E n F 1... F n que satisfaz (u 1... u n )(x 1... x n ) = u 1 (x 1 )... u n (x n ) é limitada. Demonstração. Seja B = (B 1,1... B n,1 ) +... + (B 1,r... B n,r ) um conjunto limitado básico para a bornologia produto tensorial sobre E 1... E n. Então, (u 1... u n )(B) = (u 1 (B 1,1 )... u n (B n,1 )) +... + (u 1 (B 1,r )... u n (B n,r )) que é limitado em F 1... F n. Proposição 3.6. Sejam E 1,..., E n, F 1,..., F n A-módulos bornológicos. Então a aplicação Φ : L b (E 1 ; F 1 )... L b (E n ; F n ) L b (E 1... E n ; F 1... F n ) 37

dada por Φ(u 1,..., u n ) = u 1... u n é uma aplicação A-multilinear limitada. Demonstração. Claramente, Φ é A-multilinear. Se X j é um subconjunto equilimitado de L b (E j ; F j ) (1 j n) e B = (B 1,1 B n,1 ) + + (B 1,r B n,r ) é um conjunto limitado básico da bornologia produto tensorial sobre E 1 E n, e se X = X 1 X n, então Φ(X )(B) = (u 1... u n )(B) = (u 1,...,u n) X (u 1,...,u n) X (u 1 (B 1,1 )... u n (B n,1 ) +... + u 1 (B 1,r )... u n (B n,r )) (X 1 (B 1,1 ) X n (B n,1 )) + + (X 1 (B 1,r ) X n (B n,r )), que é limitado em F 1 F n. Isso prova que Φ(X ) é um subconjunto equilimitado de L b (E 1 E n ; F 1 F n ). Pelo Teorema 3.1, existe uma única aplicação A-linear limitada, dita canônica, correspondente à aplicação Φ da Proposição 3.6. A aplicação canônica L b (E 1 ; F 1 ) L b (E n ; F n ) L b (E 1 E n ; F 1 F n ), associa cada produto tensorial de aplicações lineares limitadas u 1 u n à aplicação linear limitada u 1 u n : E 1 E n F 1 F n. Essa aplicação não é necessariamente injetiva nem sobrejetiva e, por causa disso, a notação u 1 u n pode 38

provocar confusão. Então, a não ser que se mencione o contrário, u 1 u n denotará a aplicação A-linear limitada dada pela Proposição 3.5. Proposição 3.7. Sejam (E (1) ) α1 I 1,..., (E (n) ) αn I n Então a aplicação A-linear canônica Ψ : ( que satisfaz I 1 E (1) ) ( I n E (n) ) famílias de A-módulos bornológicos. (,...,) I 1 I n ( E (1) E (n) ), Ψ ( ) ( (x (1) ) α1 I 1 (x (n) ) αn In = x (1) x (n) )(,...,) I 1 I n, é limitada. Demonstração. Considere a aplicação A-multilinear dada por f : ( I 1 E (1) ) ( I n E (n) ) (,...,) I 1 I n ( E (1) ) E α (n) n f ( ) ( (x (1) ) α1 I 1,..., (x (n) ) αn In = x (1) x (n) )(,...,) I 1 I n. A inclusão f (( I 1 B (1) ) ( I n B (n) )) (,...,) I 1 I n ( B (1) mostra que f é limitada. Então Ψ = u f é limitada pelo Teorema 3.1. ) B α (n) n É conhecido que a aplicação Ψ da Proposição 3.7 não é necessariamente injetiva nem sobrejetiva ([6], Capítulo II, 3, Exercício 3). Todavia, há um caso particular em que tal Ψ é um isomorfismo de A-módulos: Ψ : ( ) E α F (E α F ), α I α I 39

onde (E α ) α I é qualquer família de A-módulos e F é um A-módulo livre e finitamente gerado ([6], Capítulo II, Corolário 3 da Proposição 7). Infelizmente, mesmo nesse caso particular, se E α (α I) e F estiverem munidos de bornologias de A-módulo, não é necessariamente verdadeiro que Ψ é um isomorfismo de A-módulos bornológicos, como podemos ver no exemplo abaixo. Exemplo 3.8. Seja K um corpo não trivialmente valorizado com valor absoluto e elemento identidade 1. Considere K munido com a bornologia formada pelos conjuntos que são limitados com respeito ao valor absoluto. Seja E = K visto como um espaço vetorial sobre K munido com a bornologia de K e seja F = K visto como um espaço vetorial sobre K mas munido da bornologia trivial. Então a aplicação canônica Ψ : E N F (E F ) N é um isomorfismo de espaços vetoriais que, pela Proposição 3.7, é limitado. Mostremos que Ψ 1 não é limitada. Como Ψ 1( (x n y n ) n N ) = (xn y n ) n N 1, temos que Ψ 1( ({1} F ) N) = E N {1}. Claramente ({1} F ) N é um subconjunto limitado de (E F ) N, mas E N {1} não é limitado em E N F. De fato, suponha, por absurdo, que E N {1} é limitado em E N F. Então E N {1} está contido num conjunto limitado básico de E N F da forma [( ) ] [( ) ] B n,1 F + + B n,r F, n N n N onde B n,j é limitado em E (1 j r, n N). Para cada n N, seja c n = sup{ λ ; λ B n,1... B n,r }. 40

Note que c n < já que B n,1,..., B n,r são conjuntos limitados com respeito ao valor absoluto. Escolha x n E tal que x n > nc n (n N). Podemos escrever (x n ) n N 1 = r ( ) ( r (bn,j ) n N y j = y j b n,j )n N 1, j=1 j=1 onde b n,j B n,j e y j F (1 j r, n N). Então, nc n < x n = para todo n N, o que é absurdo. r r y j b n,j cn y j j=1 j=1 3.2 Limites Diretos de Produtos Tensoriais Bornológicos Sejam (E (1), u (1) β 1 ) α1 I 1,..., (E (n), u (n) β n ) αn I n sistemas diretos de A-módulos bornológicos. Para cada 1 j n, considere o A-módulo bornológico E (j) = lim E α (j) j e seja u (j) α j : E (j) α j E (j) a aplicação A-linear limitada canônica (α j I j ). Considere I = I 1 I n munido com a seguinte relação de ordem parcial: (,..., ) (β 1,..., β n ) β 1,..., β n. Para cada (,..., ) (β 1,..., β n ) em I, defina w (β1,...,β n)(,...,) = u (1) β 1 u (n) β n : E α (1) 1 E α (n) n E (1) β 1 E (n) β n, 41