ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 - Alfenas/MG - CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 - Fax: (35) 3299-1063 ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES FRANCO BASSI ROCHA Alfenas, MG 2010

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 - Alfenas/MG - CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 - Fax: (35) 3299-1063 ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES FRANCO BASSI ROCHA Trabalho de Conclusão de Curso apresentado por exigência para obtenção do título de licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas. Área de concentração: Análise. Orientador: Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos Alfenas, MG 2010

Franco Bassi Rocha Análise Funcional e Aplicações A banca examinadora abaixo-assinada, aprova o trabalho de conclusão de curso apresentado como parte dos requisitos para obtenção do certificado de conclusão do curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas. Aprovado em: de de 2010. Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos Orientador Prof. Dr. Evandro Monteiro Universidade Federal de Alfenas Prof. Dr. José Claudinei Ferreira Universidade Federal de Alfenas

Agradecimentos Agradeço primeiramente ao mestre de todos mestres, Deus, por ter me dado forças suficientes para que eu suportasse todas as dificuldades que foram impostas durante esses quatro anos de luta profunda. Essa conquista só foi concretizada graças a presença de Jesus em minha vida. Agradeço aos meus mestres da vida, Maria Olenca Bassi Rocha e Indalécio Rocha Júnior por me darem todo o incentivo e apoio durante o curso. Foi através das suas lições de vida que eu me tornei um cidadão de bem. Esse diploma é de vocês! Agradeço a minha noiva Fernanda, pelo incondicional apoio nas horas difíceis, pela compreensão nas horas em que estive ausente e por ter sido minha fortaleza na hora em que eu mais precisei. Esse título também é seu! Á minha avó Ana (ausente) pelo incentivo em seguir a carreira de docência. Agradeço ao corpo docente da Faculdade de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Alfenas-MG, em especial ao Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos por toda a dedicação, paciência e prontidão ao nossos vários encontros. Agradeço aos meus grandes amigos Fausto, Rodrigo, Julio, Gilberto, Jarne e Almir por esses quatro anos de convivência e aprendizado ao lado de vocês. 1

Resumo O presente trabalho é uma Introdução à Análise Funcional e suas aplicações. O desenvolvimento desta área deu-se, em consequência direta da fertilidade de suas aplicações em diversas áreas Matemáticas, especialmente as Equações Diferenciais Ordinárias, Equações Diferenciais Parciais, Equações Diferenciais Integrais, além da estreita interação com a Física, dentre outras áreas da Ciência. O objetivo deste trabalho foi realizar um estudo introdutório dos Espaços Normados de dimensão infinita, em particular, a teoria de operadores lineares em espaços normados, Teorema do ponto fixo de Banach e o Princípio da Limitação Uniforme para operadores Lineares Limitados. Palavras chave: Análise Funcional. Operadores Lineares. Ponto Fixo de Banach. Princípio da Limitação Uniforme 2

Abstract This work is an Introduction to Functional Analysis and its applications. The development of this area gave up, as a direct result of the fertility of their applications in various areas mathematics, especially Ordinary Differential Equations, Partial Differential Equations, Integral Equations, in addition to close interaction with physics, among other areas of science. The main objective this work was an introductory study of normad spaces of infinite dimension, in particular, the theory of linear operators in normed spaces, fixed point theorem of Banach and Principle of Limitation Uniform bounded linear operators. Words key: Functional analysis. Linear operators. Banach fixed point. Principle of uniform boundedness. 3

Sumário Introdução 5 1 Teoria Preliminar de Espaços Métricos 6 1.1 Bolas nos Espaços Métricos.......................... 9 1.2 Conjuntos Abertos e Fechados......................... 11 1.3 Distância de um Ponto a um Conjunto e Distância entre dois Conjuntos.. 16 1.4 Isometria.................................... 17 1.5 Sequências Convergentes............................ 18 1.6 Sequências Numéricas............................. 21 1.7 Caracterização de Conjuntos e Pontos através de Sequências........ 24 1.8 Limite de Funções................................ 25 1.9 Funções Contínuas............................... 29 1.10 Continuidade e Conjuntos Abertos e Fechados................ 32 1.11 Homeomorfismos................................ 34 1.12 Espaços Topológicos.............................. 37 1.13 Continuidade Uniforme............................. 38 1.14 Métricas Uniformemente Equivalentes..................... 44 1.15 Sequências de Cauchy - Espaços métricos completos............. 45 2 Análise Funcional 55 2.1 O Teorema de Baire.............................. 55 2.2 Completamento de Espaços Métricos..................... 57 2.3 O Teorema do Ponto Fixo de Contrações em Espaços Métricos (Teorema do Ponto Fixo de Banach)............................. 60 2.4 Espaços Topológicos Compactos........................ 63 2.5 Espaços Localmente Compactos........................ 72 2.6 Espaços Normados............................... 73 2.7 Compacidade em Espaços Normados..................... 76 2.8 Espaços Separáveis............................... 76 2.9 Operadores Lineares.............................. 77 2.10 Princípio da Limitação Uniforme....................... 81 2.11 Teorema da Aplicação Aberta e Gráfico Fechado............... 82 2.12 Teorema do Gráfico Fechado.......................... 83 3 Semigrupos 83 3.1 Aspectos Básicos................................ 83 Conclusão 86 4

Introdução Em matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar e representar um ponto desse espaço. A Análise Funcional é o ramo da matemática, e mais especificamente da Análise, que trata do estudo dos espaços Vetoriais de dimensão infinita. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações tais como transformada de Fourier e no estudo das Equações Diferenciais e Equações Integrais. Seu uso em geral está atribuído a Volterra. Um grande impulso para o avanço da Análise Funcional durante o século XX foi a modelagem, devida a John Von Neumann, da Mecânica Quântica em espaços de Hilbert. A Análise Funcional faz uso de muitos conceitos de Álgebra Linear. Durante o século XX diversas técnicas da Topologia foram introduzidas, principalmente a teoria do grau. Assim, a generalização da Álgebra Linear e a introdução da Topologia resultará nos dois pilares básicos da Análise Funcional. Para extrairmos apenas o conceito de distância (e, portanto, de convergência) separadamente de estruturas algébricas peculiares, definiremos axiomaticamente um objeto matemático chamado Espaço Métrico, isto é, um conjunto onde há uma maneira de se medir a distância entre dois elementos quaisquer dele. Com isto, poderemos tratar especificamente da Teoria de Convergência independentemente de outras estruturas que eventualmente possam ocorrer no referido conjunto. A definição de Espaço Métrico reune os dois ingredientes básicos da Análise Funcional; um conceito de convergência e uma noção geométrica, esta última ainda em uma forma muito simples. Este objeto matemático abstrato foi introduzido pelo famoso matemático francês Maurice Fréchet (1878-1973) na sua tese de doutoramento, escrita sob orientação de Henri Lebesgue (1875-1941), em 1906. Neste trabalho fazemos um estudo introdutório da Teoria de Análise Funcional. No Capítulo inicial fazemos uma revisão dos principais conceitos da Teoria de Espaços Metricos. Neste Capítulo estudamos bolas nos espaços métricos, conjuntos abertos e fechados, distâncias de ponto a conjuntos e distância entre conjuntos, Isometrias, Sequências, Continuidade, Continuidade Uniforme, Conjuntos Conexos, Completamento de espaços métricos e Conjuntos Compactos. E finalmente no segundo capítulo atacamos o objetivo principal do trabalho que foi o estudo dos espaços Normados de dimensão infinita. Iremos estudar também Compacidade em Espaços normados, Espaços Separáveis, Operadores Lineares e o Princípio da Limitação Uniforme. 5

1 Teoria Preliminar de Espaços Métricos Para esta seção utilizamos como referência KUHLKAMP (2002). Antes de começarmos a apresentar a definição formal de espaço métrico, apresentaremos informalmente este conceito. Para isso, observamos que a própria palavra métrica nos sugere a idéia de medida. Um dos exemplos mais intuitivos (que usaremos apara motivar a definição de métrica) é certamente o plano R 2, onde a distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une. Seja d a distância e A e B pontos distintos. Essa distância satisfaz as seguintes propriedades (a) d > 0 e d = 0 A = B (b) d(a, B) = d(b, A) (c) d satisfaz a desigualdade triangular A observação acima sugere a seguinte definição Definição 1.1 Seja M um conjunto. Uma métrica num conjunto M é uma função d : M M R + tal que associa a cada par ordenado de elementos x, y M um número real d(x,y) chamado de distância de x a y de modo que sejam satisfeitas as seguintes condições para x, y, z M (a) d(x, x) = 0; (b) Se x y então d(x, y) > 0; (c) d(x, y) = d(y, x); (d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Exemplo 1.1 A métrica zero-um. Qualquer conjunto M pode tornar-se um espaço métrico de maneira muito simples. Basta definir a métrica d : M M R + com d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1 se (x y). De fato (a) d(x, x) = 0 (b) d(x, y) = 1 (c) d(x, y) = d(y, x) (d) Se x=z temos que d(x, z) = 0 d(x, y) + d(y, z). Se x z temos que d(x, z) = 1 o que não pode ocorrer x=y e y=z simultaneamente. Logo, 1 = d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = 1 se x=y ou y=z 1 = d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = 2 se x y ou y z 6

Definição 1.2 O par (M,d) onde M é um conjunto e d uma métrica em M será chamado espaço métrico. Observação 1.1 Quando a métrica d for facilmente subentendida, podemos escrever apenas M para indicar o espaço métrico (M,d). Exemplo 1.2 Consideremos o conjunto dos números reais R e d(x, y) = x y. Mostraremos que d é uma métrica em R. (a) Se x y então x y > 0 e se x=y então x y = 0 (b) d(x, y) = x y = (y x) = y x = d(y, x) (c) x z = x y + y z x y + y z d(x, z) d(x, y) + d(x, z) Logo, d é uma métrica em R. Sendo assim (R, d) é um espaço métrico. Definição 1.3 Uma norma num espaço vetorial V é uma função. : V R tal que para quaisquer u, v V e λ escalar se tenha (a) v 0 e v = 0 v = 0 (b) λv = λ v (c) u + v u + v onde λ é o valor absoluto do escalar λ. Exemplo 1.3 Dado um espaço vetorial normado V, obtemos imediatamente uma métrica em v definindo d : V V R por d(u, v) = u v. (a) d(u, u) = u u = 0 (b) d > 0 pois u v > 0 (c) d(u, v) = u v = (v u) = v u = d(u, v) (d) d(u, z) = u z = u y + y z u y + y z = d(u, y) + d(y, z) Vimos que a partir de uma norma obtemos uma métrica. A partir de um produto interno obteremos uma norma. lembrando que um produto interno num espaço vetorial real V é uma função <, >: V V R tal que para quaisquer u, v, w V e λ escalar se tenha (a) < v, v > 0 e < v, v >= 0 v = 0 (b) < u, v > = < v, u > (c) < u + v, w > = < u, w > + < v, w > (d) < λu, w > = λ< u, v > 7

Para obter uma norma através de um produto interno colocamos v = < v, v >. Verifiquemos que as propriedades da definição de norma são satisfeitas por esta função. (a) v = < v, v > 0 e v = 0 < v, v > = 0 v = 0 (b) λv = < λv, λv > = λ < v, v > = λ < v, v > = λ v (c) Para provar que u + v u + v necessitamos do seguinte resultado Lema 1.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então < u, v > u v para todo u, v V. Demonstração: Dados u, v V, com u 0 temos logo, daí, segue que assim conclui-se que < v < u, v > u 2, v < u, v > u 2 > 0 < u, v >< u, v > < u, v >< u, v > < v, v > + < u, v >2 < u, u > 0 u 2 u 2 u 4 v 2 v 2 < u, v >2 2 + < u, v >2 u 2 0 u 2 u 4 < u, v >2 u 2 0 (multiplicando essa expressão por u 2 ) v 2 u 2 < u, v > 2 0 v u < u, v >. Vamos agora provar que u + v u + v. De fato, logo, u + v 2 =< u + v, u + v >=< u, u > +2 < u, v > + < v, v > u + v u 2 + 2 < u, v > + v 2 u + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 u + v u + v. Uma maneira simples e muito importante de obter espaços métricos é considerar um subconjunto de um espaço métrico e tomar a distância entre seus pontos a mesma do espaço original. Em outros termos, se (M, d) é um espaço métrico, todo subconjunto S X pode ser considerado um espaço métrico. Basta usar para os elementos de S a mesma distância que eles possuiam como elementos de M. Neste caso, dizemos que S é subespaço de M e a métrica de S se diz-se induzida pela de M. Definição 1.4 Se(M, d) é um espaço métrico e X M, então (X, d) é chamado subespaço de (M, d). 8

1.1 Bolas nos Espaços Métricos Definição 1.1.1 Sejam M um espaço métrico, a M, r > 0. (a) Chamaremos de bola aberta de centro a e raio r ao conjunto B(a; r) = {x M; d(a, x) < r}. (b) Chamaremos de bola fechada de centro a e raio r ao conjunto B[a; r] = {x M; d(a, x) r}. (c) A esfera de centro a e raio r será o conjunto S(a; r) = {x M; d(a, x) = r}. Se X M é um subespaço de M e a X, as bolas aberta e fechada de centro a e raio r em X serão indicadas respectivamente por B x (a; r) e B x [a; r] enquanto a esfera de centro a e raio r será indicada por S x (a; r). Exemplo 1.1.1 Consideremos o plano R 2 e as métricas d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2, d 1 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 e d 2 (x, y) = max{ x 1 y 1, x 2 y 2 } onde x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ). As bolas B[0; 1] relativamente as métricas d, d 1 e d 2 possuem respectivamente as formas das figuras abaixo. Figura 1: métrica d Figura 2: métrica d 1 Figura 3: métrica d 2 Para a métrica d temos que d(x, a) 1 (x 1 0) 2 + (x 2 0) 2 1 x 2 1 + x 2 2 1. Note que a expressão anterior é uma circunferência de centro em (0, 0) e raio r 1. Para a métrica d 1 temos que x 1 a 1 + x 2 a 2 1 x 1 + x 2 1, que é um quadrado de diagonais paralelas aos eixos coordenados de comprimento 2. Para a métrica d 2 temos que max{ x 1 a 1, x 2 a 2 } 1 max{ x 1, x 2 } 1. Daí, segue que x 1 1 e x 2 1 1 x 1 1 e 1 x 2 1. Note que a figura definida por essa expressão será um quadrado de lado 2. 9

Definição 1.1.2 Um subconjunto X de um espaço métrico M é dito limitado quando for possível obter K > 0 tal que d(x, y) K, x, y M. Observe que um conjunto X M é limitado se, e somente se, X B[a; r], para alguma bola B[a; r] de M. De fato, se X B[a; r] para algum a M e r > 0, então dados x, y X temos d(x, y) d(x, a) + d(y, a) r + r = 2r. Logo, se X B[a; r], então X é limitado. Por outro lado, se X é limitado, isto é, se existir K > 0 tal que d(x, y) K para quaisquer x, y X, então dado a X, tomamos r = K e teremos que d(x, a) K = r, x X, isto é X B[a; r]. Definição 1.1.3 Diremos que o espaço métrico M é limitado, ou que a métrica d é limitada, se existir K > 0 tal que d(x, y) K, x, y M. Definição 1.1.4 Seja X R. Se existir a R tal que x a x X, dizemos que X é limitado superiormente e que a é cota superior de X. Definição 1.1.5 Seja X R limitado superiormente. Um número b é dito supremo de X, quando é a menor das suas cotas superiores. Notação: sup X Dado um conjunto X R limitado superiormente, para que b R seja o supremo de X é necessário e suficiente que se tenha (a) x b x X; (b) Se x c x X, então b c. Definição 1.1.6 Seja X R. Se existir a R tal que a x x X, dizemos que X é limitado inferiormente e que a é cota inferior de X. Definição 1.1.7 Seja X R limitado inferiormente. Um número b é dito ínfimo de x, quando é a maior das suas cotas inferiores. Notação: inf X. Dado um conjunto X R, limitado inferiormente, para que b R seja o ínfimo de X é necessário e suficiente que sejam preenchidas as condições (a) b x, x X; (b) se c x x X, então c b. Antes de definir o diâmetro de um subconjunto X admitiremos como axioma o seguinte fato de que todo conjunto limitado X R possui supremo e ínfimo em R, isto é, existem a, b R, tais que a = infx e b = supx. 10

Definição 1.1.8 Seja X um subconjunto limitado de um espaço métrico M. Chamamos diâmetro de X ao supremo dos números d(x, y) com x, y X. Em outros termos temos diam X = sup d(x, y) onde x, y X. Definição 1.1.9 Sejam X e Y subconjuntos não vazios de um espaço métrico M. Iremos definir a distância entre X e Y como sendo o ínfimo das distâncias d(x, y) com x X e y Y. Notação: d(x, Y ). 1.2 Conjuntos Abertos e Fechados Definição 1.2.1 Seja A um subconjunto de um espaço métrico M. Um ponto a A é chamado ponto interior de A se existir r > 0 tal que B(a; r) A. Geometricamente, temos Figura 4: ponto interior Observe que a é um ponto interior de A pois a bola B(a; r) A. Agora, note que b não é um ponto interior de A pois a bola B(b; r 1 ) A, qualquer que seja r 1 > 0. Diremos que A é um conjunto aberto em M quando todo ponto de A for ponto interior de A. O conjunto de todos os pontos interiores de A será chamado de interior de A e denotado por int A. Exemplo 1.2.1 Seja X = {(x, y) R 2 ; x > 1}. aberto. Mostraremos que X é um conjunto De fato, dado (a, b) X temos que a > 1. Tomando r = a 1 > 0 teremos que B = B((a, b); r) X. De fato, se (x, y) B teremos Em particular, Dai segue que d((x, y), (a, b))< r. x a (x a) 2 + (y b) 2 < r x a < r. a r < x < a + r x (a r, a + r) x (1, 2a 1) 11

o que concluímos que x > 1 e (x, y) X. Logo B X. Disto conclui-se que X é aberto. Observação 1.2.1 Segue imediatamente da definição de conjunto aberto que A = {a} M é aberto se e somente se existir r > 0 tal que B(a; r) = {a}. Isso motiva a seguinte definição Definição 1.2.2 Quando {a} é um conjunto aberto em M dizemos que a é um ponto isolado. Se todo a M é isolado, M é dito discreto. Como exemplo da definição acima podemos citar os espaços métricos M 1 = N e M 2 = Z, ambos com a métrica induzida pela métrica usual de R, são espaços métricos discretos, isto é, dado a Z ou a N, a é um ponto isolado. De fato, tanto em Z como em N temos por exemplo B(a; 1) = {a}. Definição 1.2.3 Seja A um subconjunto de um espaço métrico M. Um ponto b M é dito ponto de fronteira de A se para todo r > 0, a bola B(b; r) contiver algum ponto de A e também algum ponto de M A. Geometricamente, Figura 5: ponto de fronteira Ao conjunto de todos os pontos de fronteira de A, chamamos de fronteira de A e denotaremos por A. Observação 1.2.2 Um conjunto é aberto se A A =. Exemplo 1.2.2 Consideremos novamente o conjunto X = {(x, y) R 2 ; x > 1}. Defina a fronteira de X. A fronteira do conjunto X é X = {(x, y) R 2 ; x = 1}. De fato, para qualquer y R e qualquer r > 0 temos B((1, y); r) X pois (1 + r, y) B((1, y); r) X e B((1, y); r) 2 (R 2 X) pois (1, y) B((1, y); r) (R 2 X). Teorema 1.2.1 Seja B = B(a; r) uma bola aberta num espaço métrico M e t B. Então existe s > 0 tal que B(t; s) B. Demonstração: Como t B, temos que d(t, a) < r, ou seja, s = r d(t, a) > 0. Consideremos então a bola B(t; s) e mostremos que B(t; s) B. De fato, se w B(t; s) então d(w, t) < s. Logo, 12

d(w, a) d(w, t) + d(t, a) d(w, a) < s + d(t, a) = r. Logo, w B e B(t; s) B. A figura abaixo nos traz a idéia geométrica deste Teorema e sua demonstração Figura 6: teorema1.2.1 Corolário 1.2.1 Toda bola aberta é um conjunto aberto. Teorema 1.2.2 Seja M um espaço métrico. (a) M e são abertos; (b) Se A 1, A 2,..., A n são abertos, então A 1 A 2... A n é aberto; (c) Se {A λ } λ L é uma família arbitrária de abertos, então A = A λ, com λ L é aberto. Demonstração:(a) M é aberto pois todo ponto de M é ponto interior de M, ou seja, existe m M tal que B(m; r) M. O conjunto vazio é aberto pois como o conjunto vazio não possui elemento, não pode existir elemento não esteja no seu interior. Para mostrar (b) seja B = A 1 A 2... A n. Se B =, então = A 1 A 2... A n A 1,..., A n são vazios. logo A 1,..., A n são abertos. Se B tomemos a B e mostremos que a intb. Como a B temos que a A 1,..., a A n. Como A 1, A 2,..., A n são abertos existem números positivos r 1, r 2,..., r n tais que B(a; r 1 ) A 1, B(a; r 2 ) A 2,..., B(a; r n ) A n. Tomando r =mín{r 1, r 2,..., r n } temos ou seja B(a; r) B(a; r 1 ),..., B(a; r) B(a; r n ) B(a; r) A 1,..., B(a; r) A n B(a; r) A 1 A 2... A n = B B(a; r) B logo, a intb. Para mostrar o item (c) seja a A. Então a A λ para pelo menos um λ L. Como a A λ é aberto, existe r.0 tal que B(a; r) A λ. Logo B(a; r) A λ = A. Logo A é aberto. 13

Definição 1.2.4 Um subconjunto F de um espeço métrico M é dito fechado quando seu complementar M F for aberto. Exemplo 1.2.3 Mostre que toda bola fechada B[a; r] num espaço métrico M é um conjunto fechado em M. De fato, inicialmente definimos a situação descrita pela figura abaixo e mostremos que o conjunto A = M B[a; r] é aberto em M. Se b A então s = d(a, b) r > 0. Note que z B(b; s) d(z, b) < s. Note também que d(a, b) d(a, z) + d(z, b) d(a, z) d(a, b) d(z, b) d(a, z) (s + r) s d(a, z) > r x B[a; r] x A. logo B(b; s) A. Portanto A é aberto. Figura 7: idéia geométrica do exemplo1.2.3 Lema 1.2.1 Sejam M e L dois conjuntos arbitrários. Para cada λ L seja B λ um subconjunto de M. Então (a) λ L B λ = M λ L(M B λ ); (b) λ L B λ = M λ L(M B λ ). Demonstração:(a) Dado x B λ temos que x B λ0 para algum λ 0 e consequentemente λ L x (M B λ0 ) onde x (M B λ ) e assim x M B λ ). Reciprocamente, se λ L λ L(M x M (M B λ ), então x B λ ) donde x (M B λ0 ) para algum λ 0 L, λ L λ L(M ou seja, x B λ0, e assim x B λ. Para provar o item (b) seja x B λ e assim temos λ L λ L que x B λ0 para algum λ 0 L. Deste fato temos que x (M B λ0 ) x λ L(M B λ ) e assim temos que x M (M B λ ) o que podemos observar que x B λ ) λ L λ L(M x (M B λ0 ) para algum λ 0 L, ou seja, x B λ0 x B λ. λ L 14

Teorema 1.2.3 Seja M um espaço métrico. (a) M e são fechados; (b) Se F 1, F 2,..., F n são conjuntos fechados então F 1 F2... Fn é fechado; (c) Se {F λ }, λ L é uma família arbitrária de conjuntos fechados, então F λ é fechado. Demonstração: Pelo teorema anterior segue que o complementar de M que é o conjunto é aberto, o que conclui-se que M é fechado. Para provar que é fechado basta provar que seu complementar M é aberto, fato este garantido pelo teorema anterior. Isto conclui a prova do item (a). Para provar o item (b) temos pelo lema 1.2.1 que F 1... Fn = M (M F 1 )... (M F n ) sendo F 1,..., F n fechados e M F 1,..., M F n abertos e assim, pelo teorema anterior A = (M F 1 )... (M F n ) é aberto. Logo, o conjunto F 1... Fn é fechado por ser o complementar do aberto A. Para provar o item (c) temos, também pelo lema 1.2.1 que Fλ = M (M F λ ), λ L, sendo os F λ fechados e os M F λ abertos e assim pelo teorema 1.2.2 (M F λ ) é aberto. Logo, seu complementar M (M F λ ) = F λ é fechado. Definição 1.2.5 Seja X um subconjunto de um espaço métrico M. Um ponto a M é chamado ponto de acumulação de X se para todo r > 0 a bola B(a; r) contiver algum ponto de X diferente de a. Ao conjunto de todos os pontos de acumulação de X é chamado derivado de X e denotado por X. Definição 1.2.6 Dado um subconjunto X de um espaço métrico M, chamaremos fecho de X ao conjunto obtido pela união de X aos seus pontos de acumulação e será denotado por X = X X Exemplo 1.2.4 Consideremos o conjunto dos números reais R e seu subconjunto Q dos números racionais. Vamos Mostrar que Q = R. De fato, dado um número real a, para provar que a Q devemos mostrar que toda bola aberta B(a; r) contém algum ponto de Q {a}. Seja r > 0, a bola B(a; r) é o intervalo (a r, a + r). Para encontrar um racional (diferente de a) neste intervalo, dividiremos a reta R em intervalos de extremos racionais e comprimento menor do que r, e mostraremos que um dos extremos desses intervalos está em (a r, a + r) e é diferente de a. Como o conjunto dos números naturais é ilimitado, existe um natural K > 1 e assim 1 < r. Os r K números da forma n 1 = n com n Z são números racionais e dividem a reta em intervalos K K de comprimento 1 conforme figura abaixo. K Fazendo A = {n Z; n < a + r} e tomando p=supa=máxa teremos K logo, p < a + r p+1 K k 15

Figura 8: reta com intervalos de comprimento de 1 K 0 p+1 K r = p K + 1 K r < p K Isso Mostra que p K (a; a + r) Q (a r; a + r) (Q {a}) e assim a Q. Portanto Q = R. Teorema 1.2.4 O fecho de qualquer conjunto é sempre um conjunto fechado. Demonstração: Seja M um espaço métrico e X M. Para mostrar que X é fechado, mostraremos que M X é aberto. Dado um ponto a M X temos que a X = X X. Logo existe r > 0 tal que B(a; r) X = ou seja, B(a; r) M X. Queremos mostrar que B(a; r) M X. Para tanto, observemos que se y B(a; r) então y é centro de uma bola aberta B(y; s) contida em B(a; r) e disjunta de X. Isto é, B(y; s) B(a; r) M X. Logo, y X e temos B(a; r) X = B(a; r) M X o que mostra M X ser aberto. Teorema 1.2.5 Um conjunto é fechado se e somente se F = F. Demonstração: Seja F = F. Do Teorema anterior temos que F é fechado. Logo, concluímos que F é fechado. Reciprocamente, suponhamos F fechado. Então o seu complementar M F é aberto. Logo, dado a M F existe r > 0 tal que B(a; r) M F ou seja, B(a; r) F =. Desta forma segue que a F. Mostramos então que F não tem elemento algum em M F, ou seja, F F. Como F = F F temos F F. Portanto F = F como queríamos. 1.3 Distância de um Ponto a um Conjunto e Distância entre dois Conjuntos Definição 1.3.1 Seja a um ponto e X um subconjunto não vazio de um espaço métrico M. Definiremos a distância do ponto a ao conjunto X como o número real d(a, X) = inf d(a, x), x X. Exemplo 1.3.1 Se X = {x 1, x 2,..., x n } é um conjunto finito, então d(a, X) é o menor dos n números d(a, x 1 ),..., d(a, x n ). Exemplo 1.3.2 Seja S 1 = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 = 1}. O círculo unitário do plano e (0, 0) R 2. Então d(0, z) = 1 para todo z S 1. Logo d(0, S 1 ) = 1. 16

Exemplo 1.3.3 Consideremos sobre R a métrica usual. Se p = 0 e A = {1, 12, 13 },... então d(p, A) = 0. De fato, dado ɛ > 0, sempre existe n N de maneira que ( d 0, 1 ) = 1 n n 0 = 1 n < ɛ. Logo, d(0, A) = inf { ( d 0, 1 ) = 1r } r, r N = 0, isto é, d(0, A) = 0. Definição 1.3.2 Seja (M, d) um espaço métrico. Dados os subconjuntos A e B de M, ambos não vazios, chama-se distância de A até B e indica-se por d(a, B) o número real não negativo definido da seguinte maneira d(a, B) = inf{d(x, y)/x A, y B}. Exemplo 1.3.4 Consideremos o R 2 dotado da métrica usual. Mostremos que a distância entre A = {(x, y) R 2 /y = 0} e B = {(x, y) R 2 /xy = 1} é nula. De fato, precisamos mostrar que dado ɛ > 0, existe p A e q B de maneira que d(p, q) < ɛ. Ora, dado ɛ > 0, existe um número natural n > 0 de modo que 1 < ɛ. Daí, ( n tomando p = (n, 0) e q = n, 1 ) teremos n Logo, d(a, B) = 0. d(p, q) = (n n) 2 + (0 1 n )2 = 1 n < ɛ. 1.4 Isometria Definição 1.4.1 Sejam M e N espaços métricos. Uma função f : M N é chamada imersão isométrica quando preserva distâncias, isto é, quando para quaisquer x, y M tivermos d(f(x), f(y)) = d(x, y). Exemplo 1.4.1 Seja f : R R 2 dada por f(x) = (x, 0). Mostre que a referida função é uma imersão isométrica. De fato, note que d(f(x), f(y)) = d((x, 0), (y, 0)) = (x y) 2 + (0 0) 2 = (x y) 2 = x y = d(x, y). Logo f : R R 2 dada por f(x) = (x, 0) é uma imersão isométrica. 17

Exemplo 1.4.2 Mostre que a função g : R 2 R 3 dada por g(x, y) = (x, y, 0) é uma imersão isométrica. De fato, observe que d(g(x, y), g(x, y )) = d((x, y, 0), (x, y, 0)) = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (0 0) 2 = (x x ) 2 + (y y ) 2 = d((x, y), (x, y )). Logo a referida função é uma imersão isométrica. Definição 1.4.2 Uma aplicação f : M N é chamada isometria se ela for uma imersão isométrica sobrejetiva. Exemplo 1.4.3 Mostre que a função f : R R dada por f(x) = x é uma isometria. De fato, observe que d(f(x), f(y)) = f(x) f(y) = x ( y) = (x y) = x y = d(x, y). A função é sobrejetiva pois dado b R basta tomar b R e teremos que f( b) = ( b) = b. Logo temos que a função é uma isometria. 1.5 Sequências Convergentes Definição 1.5.1 Uma sequência num espaço métrico M é uma função X : N M. A imagem do natural n pela função X será representado por x n e chamado de enésimo termo da sequência. Para representar uma sequência X : N M usaremos as seguintes notações (a) (x 1, x 2,...); (b) (x n ) n N ; (c) (x n ) n ; (d) (x n ). A notação {x 1, x 2, x 3,...} representará o conjunto X(N) dos pontos da sequência (x n ). Definição 1.5.2 Seja M um espaço métrico e (x n ) uma sequência em M. Diremos que (x n ) converge para a M se para cada ɛ > 0 pudermos obter n 0 N tal que d(x n, a) < ɛ para todo natural n n 0. Observação 1.5.1 Para indicar que (x n ) converge para a, escrevemos lim x n = a. Observação 1.5.2 Decorre da definição que lim x n = a para todo r > 0 for possível obter n 0 tal que x n B(a; r), n n 0 ou seja, qualquer bola aberta centrado em a contém todos os pontos da sequência (x n ) com eventual exceção de um número finito de pontos. 18

Exemplo 1.5.1 Consideremos R dotado da métrica usual. Mostre que a sequência (x 1, x 2,...) onde x n = n converge para o ponto 1. n + 1 De fato, dado ɛ > 0 tomemos r N 1 de maneira que < ɛ. Então n r temos r + 1 d(x n, 1) = n n + 1 1 = 1 n + 1 = 1 n + 1 < 1 r + 1 < ɛ o que garante nossa afirmação. Exemplo 1.5.2 Mostre que a sequência z n = (x n, y n ) = métrica usual converge para (1, 0). (1 + ) 1n ( 1)n, n em R 2 com a De fato, d((x n, y n ), (1, 0)) = = = = ) 1n ( 1)n (1 +, (1, 0) n 1 n + ( 1)2n 2 n 2 1 n + 1 2 n 2 2 n = 1 2. 2 n Logo dado ɛ > 0 e n 0 N tal que n 0 > 2 ɛ então n n o teremos d((x n, y n ), (1, 0)) = 2 n 2 n 0 < ɛ. Logo, lim z n = (1, 0). Definição 1.5.3 Dada uma sequência X : N M e um subconjunto infinito N 1 de N, onde N 1 = {n 1 < n 2 < n 3 <...}, a restrição X N1 : N 1 M da função X é chamada subsequência de (x n ) ao qual será denotada por (x n1, x n2, x n3,...) ou (x nk ). Exemplo 1.5.3 A sequência x n = ( 1) n possui subsequências (x 2k ) e (x 2k+1 ) onde cada subsequência é definida por x 2k = ( 1) 2k = 1 e x 2k+1 = ( 1) 2k+1 = ( 1) 2k ( 1) = 1. Note que x 2k é convergente com lim x 2k = 1 e (x 2k+1 ) é convergente com lim x 2k+1 = 1 k k. Logo (x n ) não é convergente. Teorema 1.5.1 Seja M um espaço métrico e (x n ) uma sequência em M. lim x n, ele é único. Se existir 19

Demonstração: Suponhamos lim x n = a e lim x n = b, com a b. Tomemos um ɛ = 1d(a, b). Da definição de limite de sequência temos que existem n 2 1, n 2 N tais que e Para K max{n 1, n 2 } temos simultaneamente. Logo, n n 1 d(x n, a) < ɛ n n 2 d(x n, b) < ɛ. d(x k, a) < ɛ e d(x k, b) < ɛ d(a, b) d(a, x k ) + d(x k, b) < ɛ + ɛ = 2ɛ = d(a, b) o que é um absurdo. Portanto se lim x n = a e lim x n = b teremos a = b ou seja, o limite de (x n ) é único. Definição 1.5.4 Diremos que uma sequência é limitada quando o conjunto X(N) = {x 1, x 2, x 3,...} for limitado. Teorema 1.5.2 Toda sequência convergente é limitada. Demonstração: Seja (x n ) uma sequência num espaço métrico M com lim x n = a. Então existe n 0 tal que d(x n, a) < 1 n n 0, isto é, x n B(a, 1) n n 0. Como o conjunto X = {x 1, x 2,..., x n0 } é finito, temos que X é limitado. Logo X(N) é um conjunto limitado pois X(N) = {x 1, x 2, x 3,...} X B(a, 1). Observação 1.5.3 A recíproca do Teorema anterior não é válida. O leitor poderá verificar que as sequências x n = ( 1) n e z n = i n em R e C respectivamente são limitadas mas não convergem. Teorema 1.5.3 Seja (x n ) uma sequência num espaço métrico M e a M. O ponto a é limite de uma subsequência (x n ) se, e somente se, para todo r > 0, a bola B(a; r) contiver uma infinidade de termos de (x n ). Demonstração: Se exisitir uma subsequência (x nk ) de (x n ) com lim x nk = a então dado r > 0 existe K 0 tal que x nk B(a; r) K K 0. Logo, B(a; r) contém uma infinidade de termos de (x n ). Reciprocamente, se para todo r > 0, B(a; r) contiver uma infinidade de termos de (x n ), podemos obter uma subsequência de (x n ) convergindo para a. Para tal, escolhemos x n1 B(a; 1) {x 1, x 2, x 3,...} 20

arbitrariamente. Como B(a; 1 2 ) contém uma infinidade de termos de (x n) existe n 2 > n 1 tal que x n2 B(a; 1 2 ). Conhecidos x n 1, x n2,..., x nk 1, existe n K > n K 1 tal que x nk B(a; 1 K ) pois B(a; 1 K ) contém uma infinidade de termos de (x n). A subsequência (x nk ) de (x n ) assim obtida satisfaz Portanto, d(x nk, a) < 1 K. lim x n K = a. Teorema 1.5.4 Seja (x n ) uma sequência num espaço métrico M. Se lim x n = a então toda subsequência de (x n ) converge e tem limite a. Demonstração: Seja (x nk ) uma subsequência de (x n ). Dado ɛ > 0, como lim x n = a, existe n 0 tal que d(x n, a) < ɛ n n 0. Sendo N 1 = {n 1 < n 2 < n 3 <...} infinito existe p tal que n p n 0. Logo, K > p n K n p n 0 d(x nk, a) < ɛ. Assim lim x nk = a. 1.6 Sequências Numéricas Analisaremos nesta seção algumas propriedades específicas das sequências de números reais e complexos quando estes conjuntos são considerados com suas métricas usuais. Definição 1.6.1 Uma sequência (x n ) de R é (a) crescente, quando x 1 < x 2 < x 3 <...; (b) não-crescente, quando x 1 x 2 x 3...; (c) decrescente, quando x 1 > x 2 > x 3 >...; (d) não-decrescente, quando x 1 x 2 x 3.... Observação 1.6.1 Qualquer sequência que pertencer a um desses tipos será chamada de sequência monótona. Teorema 1.6.1 Toda sequência monótona limitada em R é convergente. Demonstração: Façamos a demonstração para o caso em que (x n ) é não-decrescente. Como (x n ) é limitada, o conjunto é limitado e assim possui supremo. Seja a = sup X(N). Mostraremos que lim x n = a. Dado ɛ > 0, pela definição de supremo existe K tal que x K (a ɛ, a]. Como (x n ) é não decrescente, temos x n x K n K. Por outro lado, pela definição de supremo temos x n a n. Logo, x n (a ɛ, a] n K e lim x n = a. Teorema 1.6.2 Seja (x n ) uma sequência em R. Se lim x n = a > b então existe n 0 tal que x n > b n n 0. 21

Demonstração: Seja ɛ = a b > 0. Como lim x n = a, existe n 0 tal que x n (a ɛ, a+ɛ) n n 0. Em particular x n > a ɛ x n > a (a b) x n > b n > n 0. Teorema 1.6.3 Se (y n ) é uma sequência no conjunto dos números complexos com lim y n = b, então lim y n = b. Demonstração: Vejamos inicialmente que y n b y n b. Das desiqualdades e obtemos Ou seja, e Logo, d(y n, 0) d(y n, b) + d(b, 0) d(b, 0) d(b, y n ) + d(y n, 0) d(y n, 0) d(b, 0) d(y n, b). y n b y n b b y n y n b. y n b y n b. Voltando ao teorema, dado ɛ > 0, como lim y n = b, existe n 0 tal que n n 0 garante y n b < ɛ. Portanto n n 0 nos dá e assim lim y n = b. y n b y n b < ɛ Teorema 1.6.4 Sejam (x n ) e (y n ) sequencias de números complexos. Se lim x n = a e lim y n = b, então (a) lim (x n ± y n ) = a ± b (b) lim (x n y n ) = a b (c) Se b 0, lim ( xn y n ) = a b 22

Demonstração: (a) Dado ɛ > 0, existem n 1, n 2 N tais que x n a < ɛ 2 n n 1 e y n b < ɛ 2 n n 2. Fazendo n 0 = max{n 1, n 2 } então n n 0 temos (x n y n ) (a + b) x n a + y n b < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. A demonstração acima foi feita para a soma. Para a subtração, o raciocínio é análogo. Para mostrar (b) como (x n ) é uma sequencia convergente temos também que ela é limitada. Logo existe M b tal que x n M n N. Portanto x n y n ab = x n y n x n b + x n b ab x n (y n b) + b(x n a) = x n y n b + b x n a M y n b + M x n a. Logo, dado ɛ > 0 basta escolher n 0 tal que y n b < ɛ 2M e x n a < e n n 0 teremos x n y n ab < M ɛ 2M + M ɛ ɛ 2M 2M = ɛ. Para mostrar (c) seja M = max{ a, b }. Com isso temos que existe n 1 tal que y n > b 2 n n 1, pois lim y n = b. Assim, para n n 1 temos x n a y n b = x n b y n a y n b 1 = y n b x nb y n a < 2 1 b b x nb ab + ab y n a 2 b [ b(x 2 n a) + a(b y n ) ] = 2 b b x 2 n a + 2 a b b y n 2 2M b x 2 n a + 2M b b y n. 2 Portanto, dado ɛ > 0 escolhemos n 0 > n 1, tal que e desta forma teremos x n a < b 2 ɛ 4M e b y n < b 2 ɛ 4M n n 0 x n a y n b < 2M b 2 ɛ b 2 4M + 2M b 2 ɛ b 2 4M = ɛ. 23

1.7 Caracterização de Conjuntos e Pontos através de Sequências Nesta seção veremos de que forma se pode reconhecer conjuntos abertos, conjuntos fechados, pontos de acumulação e de fronteira através dos limites de sequências convergentes. Da definição de limite de sequência decorre que se A M é aberto no espaço M e (x n ) é uma sequência em M com lim x n = a A então existe n 0 tal que x n A n n 0. Teorema 1.7.1 Seja X M. Um ponto a M é ponto de acumulação de X se, e somente se, a é limite de uma sequência de pontos de X {a}. Demonstração: Seja a um ponto de acumulação de X. Então r > 0 temos que a bola aberta B(a; r) (X {a}). Daí, para r 1 = 1 existe um ponto x 1 B(a; r 1 ) (X {a}) e do mesmo modo, para r 2 = 1 2 existe um ponto x 2 B(a; r 2 ) (X {a}). Prosseguindo desta forma tomaremos r n = 1 n e obteremos x n B(a; r n ) (X {a}). Assim a sequência (x n ) está em X {a} e satisfaz d(a, x n ) < 1 n N o que garante lim n x n = a. Reciprocamente, se a é limite de uma sequência (y n ) de pontos de X {a}, então r > 0 existirá um n 0 tal que y n B(a; r) n n 0. Como y n (X {a}) n temos Logo, a X. B(a; r) (X {a}). Corolário 1.7.1 Seja X M. Um ponto a M pertence ao fecho de X se, e somente se, a é limite de uma sequência de pontos de X. Demonstração: Se a X = X X então a X ou a X. Se a X, a é limite de uma sequência constante x n = a de pontos de X. Se a X, pelo teorema anterior a é limite de uma sequência de pontos de X {a} e portanto de X. Reciprocamente, admitamos que lim x n = a onde x n X n. Se x n a n então (x n ) é uma sequência de pontos de X {a} e pelo teorema anterior temos que a X. Se existir algum K N tal que x k = a, então a X. Em qualquer caso temos a X = X X. Exemplo 1.7.1 Na reta com a métrica usual consideremos o conjunto X = (0, ). Note que todo ponto de X é ponto de acumulação de X. Com efeito, dado a X basta tomar a sequência x n = a + 1 n e teremos x n X {a} com lim a + 1 = a. Além disso, o ponto n 1 zero é ponto de acumulação de X pois a sequência está em X e lim n = 0. Teorema 1.7.2 Seja F M. F é fechado se, e somente se, para toda sequência (x n ) de pontos de F com lim x n = a M tivermos a F. Demonstração: Suponhamos F fechado, x n F n e lim x n = a. Se a F, então a M F que é aberto. Assim, existe n 0 tal que x n M F n n 0, contrariando a 24

hipótese de que x n F n. Logo, a F. Reciprocamente, suponhamos que toda sequência convergente de pontos de F tem seu limite em F, e mostremos que F = F. Como F F basta mostrar que F F. Seja então a F logo, existe uma sequência (x n ) em F tal que lim x n = a. Pela hipótese temos a F, logo F F, daí segue que F = F. Exemplo 1.7.2 Em R 2 com a métrica usual consideremos a bola B = B[0; 1] tal que 0 = (0, 0). Mostre que B é fechado. De fato, seja x n uma sequência em B com lim x n = a. Se a B então temos que d(a, 0) > 1. Tomando s = d(a, 0) 1 > 0, de lim x n = a obtemos n 0 tal que d(x n, a) < s n n 0. Neste caso d(0, x n ) > 1 n n 0 pois de vem d(0, a) d(0, x n ) + d(x n, a) d(0, x n ) d(0, a) + d(x n, a) > (s + 1) s = 1 e assim teríamos x n B contrariando a hipótese. Teorema 1.7.3 Seja X M. Um ponto b M é ponto de fronteira de X se, e somente se, existirem sequências (x n ) em X e (y n ) em M X com lim x n = lim y n = b. Demonstração: Seja b X. Note que X X, e temos que b X. Como b X, temos, pelo teorema 2.2.1, que b é limite de uma sequência de pontos de X. Como X = (M X) M X b M X. Assim, temos que b é limite de uma sequência de pontos de M X. Reciprocamente, se b = lim x n = lim y n com x n X e y n M X, então para todo r > 0, a bola B(b; r) contém pontos de X e M X. Portanto b X. Exemplo 1.7.3 Seja X R 2, o conjunto dos pontos de ordenada maior do que um, isto é, X = {(x, y) R 2 ; y > 1}. Observe que para todo real a, o ponto b = (a, 1) está na fronteira de X. De fato, de acordo com o teorema anterior, basta obervar que as sequências x n = ( a, 1 + 1 n ) e y n = ( a, 1 1 n são convergentes com lim x n = lim y n = b = (a, 1). 1.8 Limite de Funções ) estão X e R 2 X respectivamente. Essas sequências Definição 1.8.1 Sejam M e N espaços métricos, X M e a M um ponto de acumulação de X. Dada a função f : X N, diremos que f(x) tem limite b quando x tende para a e escrevemos 25

lim f(x) = b x a se dado ɛ > 0 existir δ > 0 tal que d(f(x), b) < ɛ x X {a} com d(x, a) < δ. Observação 1.8.1 Quando não existir b N que cumpra a condição da definição diremos que lim x a f(x) não existe. Observação 1.8.2 A função f não precisa estar definida no ponto a para que exista lim f(x). Caso exista f(a) e lim f(x), não é necessário lim f(x) = f(a). x a x a x a Teorema 1.8.1 (Unicidade do limite). Sejam M e N espaços métricos, X M e a X. Dada f : X N, se lim f(x) = b e lim f(x) = c então b = c. x a x a Demonstração: Se lim f(x) = b e lim f(x) = c então dado ɛ > 0 existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0 x a x a tais que d(f(x), b) < ɛ 2 e d(f(x), c) < ɛ 2 x X {a} com d(x, a) < δ 1 e d(x, a) < δ 2. Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. Então se x 1 X {a} e d(x 1, a) < δ temos d(f(x 1 ), b) < ɛ 2 e d(f(x 1 ), c) < ɛ 2. Logo, d(b, c) d(b, f(x 1 )) + d(f(x 1 ), c) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Como ɛ > 0 é arbitrário, concluímos que d(b, c) = 0 b = c. Exemplo 1.8.1 Sejam M e N espaços métricos, X M, b N e f : X N dada por f(x) = b x X. Note que para qualquer a X temos lim f(x) = b. De fato, dado ɛ > 0 x a temos que d(f(x), b) = d(b, b) = 0 < ɛ. Neste caso basta tomar δ como sendo qualquer n o positivo. Exemplo 1.8.2 Seja M um espaço métrico, X M, a X e f : X M dada por f(x) = x. Mostre que lim x a f(x) = a. De fato, tome ɛ > 0. Devemos exibir δ > 0 tal que d(f(x), a) = d(x, a) < ɛ x X {a} com d(x, a) < δ. Basta tomar δ = ɛ. De fato, se d(x, a) < δ então d(f(x), a) = d(x, a) < δ = ɛ. Logo, lim f(x) = lim x = a. x a x a Exemplo 1.8.3 Seja f : R R dada por f(x) = cx + d. Para cada a R mostraremos que lim x a f(x) = ca + d. Dado ɛ > 0 devemos exibir δ > 0 tal que x R com d(x, a) < δ cumpra d(f(x), ca+d) < ɛ. Queremos então que f(x) (ca + d) < ɛ cx + d ca d < ɛ c(x a) < ɛ 26

assim, Basta tomar δ = ɛ c c x a < ɛ d(x, a) < ɛ c. e teremos que lim cx + d = ca + d. x a Exemplo 1.8.4 Seja f : R R dada por f(x) = { 2 se x 1, x se x > 1. (1) Mostre que para a = 1 não existe lim x a f(x). Devemos mostrar que para qualquer b R não temos lim x a f(x) = b. Vamos dividir este problema em duas partes. (1 a ) b < 2 (2 a ) b 2. Para b < 2 tomamos um ɛ = 2 b > 0. Dado qualquer δ > 0 consideremos o ponto x = 1 δ. Assim, temos 2 d(x, a) = x a = 1 δ 2 1 = δ 2 = δ 2 < δ e f(x) = 2 pois x < 1. Logo, d(f(x), b) = f(x) b = 2 b = ɛ. Isso mostra que não temos lim f(x) = b. Considerando agora o caso em que b 2 tomemos x a ɛ = 1 { δ 2. Dado δ > 0 tomamos x = min 2, 1 }. Assim 2 e 1 < x 3 2. Logo, { δ d(x, a) = x 1 = min 2, 1 } < δ 2 d(f(x), b) = f(x) b = x b = (b x) = b x = b x = 2 3 2 = 1 2 = ɛ. Portanto neste caso não existe lim x a f(x) = b. Teorema 1.8.2 Sejam M e N espaços métricos, X M e a X. Dada uma função f : X N teremos lim f(x) = p se, e somente se, para toda sequência (x n ) em X {a} x a com lim x n = a tivermos lim f(x n ) = p. 27

Demonstração: Suponha lim f(x) = p. Então, dado ɛ > 0, existe um δ > 0 tal que x a x X {a} e d(x, a) < δ garante d(f(x), p) < ɛ. Se (x n ) é uma sequência em X {a} com lim x n = a, para este δ > 0 existe n 0 tal que d(x n, a) < δ n n 0. Logo d(f(x n ), p) < ɛ n n 0, e assim lim f(x n ) = p. Reciprocamente, suponha que não temos lim f(x) = p. x a Assim, existe ɛ > 0 tal que δ > 0 se pode obter um ponto x X {a} com d(x, a) < δ e d(f(x), p) ɛ. Logo, a sequência (x n ) assim obtida cumpre lim x n = a, mas não cumpre lim f(x n) = p, o que contradiz a hipótese, concluindo a demonstração. Teorema 1.8.3 Sejam C o plano complexo, M um espaço métrico, X M e a X. Se f, g : X C são tais que lim f(x) = b e lim g(x) = c, então x a x a (a) lim x a (f ± g)(x) = b ± c; (b) lim x a (fg)(x) = bc; ( ) f (c) lim (x) = b x a g c desde que c 0. Demonstração: Basta mostrar que lim (f ± g)(x n ) = lim [f(x n ) ± g(x n )] = b ± c para toda sequência (x n ) em X {a} com lim x n = a. Seja (x n ) uma tal sequência. Sabemos que lim [f(x n ) ± g(x n )] = lim f(x n ) ± lim g(x n ). Sendo lim f(x) = b e lim g(x) = c temos, x a x a pelo teorema anterior, que lim f(x n ) = b e lim g(x n ) = c. Assim lim (f ± g) (x n ) = b±c. Para o item (b) basta mostrar que lim (fg)(x n ) = lim [f(x n )g(x n )] = bc. Seja (x n ) uma sequência com lim x n = a. Sabemos que lim [f(x n )g(x n )] = lim f(x n ) lim g(x n ). Como lim f(x) = b e lim g(x) = c, pelo teorema anterior seque que lim f(x n ) = b e x a x a lim g(x n) = c. Assim, lim (f(x n)g(x n )) = lim f(x n ) lim g(x n ) = bc. ( ) [ ] f f(xn ) Para o item (c), necessitamos mostrar que lim (x n ) = lim = b g g(x n ) c, com ( ) f(xn ) lim f(x n) c 0 e g(x n ) 0. Note que lim = g(x n ) lim (x n). Sendo que lim f(x) = b e x a lim g(x) = c temos, pelo teorema anterior que lim f(x n) = b e lim g(x n ) = c. Assim, x a lim ( ) f(xn ) = g(x n ) completando a demonstração do Teorema. 28 lim f(x n) lim g(x n) = b c

1.9 Funções Contínuas Definição 1.9.1 Sejam M e N espaços métricos. Diremos que uma função f : M N é contínua num ponto a M quando dado ɛ > 0 pudermos obter um δ > 0 tal que d(f(x), f(a)) < ɛ x M com d(x, a) < δ. Diz-se que f : M N é contínua quando ela é contínua em todos os pontos a M. De maneira equivalente, f : M N é contínua no ponto a M quando dado qualquer bola B = B(f(a); ɛ) é possível encontrar uma bola B = B(a; δ) tal que f(b) B. No importante caso particular em que M R e f : M R, dizer que f é contínua no ponto a M significa afirmar que para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que x M e a δ < x < a + δ implicam f(a) ɛ < f(x) < f(a) + ɛ, ou seja, f transforma os pontos de M que estão no intervalo aberto (a δ, a + δ) em pontos do intervalo aberto (f(a) ɛ, f(a) + ɛ). Exemplo 1.9.1 Seja M = {1, 2, 3,...} o conjunto dos números naturais com a métrica induzida da reta. Se N é um espaço métrico qualquer, então mostre que toda função f : M N é contínua. De fato, dados a M e ɛ > 0 basta tomar δ = 1 e teremos que d(x, a) < δ fornece x = a e assim d(f(x), f(a)) = d(f(a), f(a)) = 0 < ɛ. Exemplo 1.9.2 Lembremos que uma imersão isométrica é qualquer aplicação f : M N tal que d(f(x), f(y)) = d(x, y) para quaisquer x, y M. Mostre que toda imersão isométrica é contínua. Dado ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ e teremos qualquer que seja y M. d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) = d(x, y) < δ = ɛ Teorema 1.9.1 Se M é discreto, então toda função f : M N é contínua. Demonstração: Dados a M e ɛ > 0, como M é discreto, então existe δ > 0 tal que B(a; δ) = {a}. Assim, se d(x, a) < δ, temos que x = a. Logo, o que mostra que f é contínua em a. d(f(x), f(a)) = d(f(a), f(a)) = 0 < ɛ 29

Exemplo 1.9.3 Seja a função f : R R dada por f(x) = x 2. Mostre que f é contínua no ponto a = 0. Dado ɛ > 0 queremos obter δ > 0 tal que d(f(x), f(a)) < ɛ x R com d(x, 0) < δ. Isto é, x 2 0 2 < ɛ x 2 < ɛ x < ɛ. Logo, basta tomar ɛ = δ e teremos d(f(x), f(0)) = x 2 0 2 = x 2 = x 2 < ɛ x R com d(x, 0) = x < δ. Definição 1.9.2 Diremos que uma função f : M N é uma função de Lipschitz quando existe c > 0 tal que d(f(x), f(y)) cd(x, y) quaisquer que sejam x, y M. Exemplo 1.9.4 Dada uma função f : M N e suponhamos que exista uma constante c > 0 (constante de Lipschitz) tal que d(f(x), f(y)) cd(x, y) qualquer que seja x, y M. Dizemos que f é uma aplicação lipschitziana. Mostre que f é contínua em cada ponto a M. De fato, dado ɛ > 0, tomemos δ = ɛ c. Então d(x, a) < δ d(f(x), f(a)) c.d(x, y) < c ɛ c = ɛ. Teorema 1.9.2 Sejam M e N espaços métricos, X M, a X e f : X N uma função. Então (a) se a X, f é contínua no ponto a; (b) se a X, f será contínua em a, se e somente se, lim x a f(x) = f(a). Demonstração: (a) Se a X, então temos que existe δ > 0 tal que B(a; δ) não contém nenhum ponto de X diferente de a. Logo B(a; δ) = {a} e portanto a é um ponto isolado. Logo, ɛ > 0, existe δ > 0 tal que d(a, x) < δ x = a, o que implica d(f(a), f(x)) = d(f(a), f(a)) = 0 < ɛ. Portanto f é contínua em a. Para provar o item (b) se f é contínua no ponto a, então dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que d(f(x), f(a)) < ɛ com d(x, a) < δ x X. Em particular, se x X e 0 < d(x, a) < δ teremos d(f(x), f(a)) < ɛ. Logo lim x a f(x) = f(a). Reciprocamente, se lim x a f(x) = f(a), dado ɛ > 0 existirá δ > 0 tal que d(f(x), f(a)) < ɛ x X {a} com d(x, a) < δ. Porém, como d(f(a), f(a)) = 0 < ɛ temos que se x X com d(x, a) < δ garante também d(f(x), f(a)) < ɛ. Logo f é contínua no ponto a. Teorema 1.9.3 Sejam M e N espaços métricos, X M e f : X N contínua. Se para todo a X, existe lim f(x), então a função F : X N dada por x a { é contínua. F (y) = lim x a f(y), se y X f(x), se y X X 30

Demonstração: Nos pontos isolados de X, sabemos, pelo item (a) do teorema anterior, que F é contínua. Seja então a X um ponto de acumulação de X. Se a X X, a definição de F nos dá lim f(x) = F (a) e se a X, por ser a X, temos também a X, e x a assim a continuidade de f fornece lim f(x) = f(a) = F (a). Assim, dado ɛ > 0 existe δ > 0 x a tal que x X e d(x, a) < δ d(f(x), F (a)) < ɛ. Agora afirmamos que 2 De fato, se y X, temos y X e d(y, a) < δ d(f (y), F (a)) < ɛ. d(f (y), F (a)) = d(f(y), f(a)) < ɛ 2 < ɛ. Se, porém, y X X, então de lim x y f(x) = F (y) temos que existe δ 1 > 0 tal que x X e d(x, y) < δ 1 garante d(f(x), F (y)) < ɛ. Sem perda de generalidade podemos supor 2 δ 1 δ d(a, y) o que nos dá B(y; δ 1 ) B(a; δ). Como y ( X X) X, existe z X tal que z B(y; δ 1 ) B(a; δ), isto é, d(z, y) < δ 1 e d(z, a) < δ. Logo, como queríamos. d(f (y), F (a)) d(f (y), f(z)) + d(f(z), F (a)) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ Teorema 1.9.4 Seja C o plano complexo e M um espaço métrico. Se f, g : M C são funções contínuas, então (a) f ± g são contínuas; (b) f.g é contínua; (c) f g é contínua em todo ponto x M tal que g(x) 0. Demonstração: Dado a M, se a for um ponto isolado, ou seja, a X, temos que as funções em questão são contínuas. Se, porém, a for um ponto de acumulação, então temos, pelo item (b) do teorema 3.2.2, que lim f(x) = f(a) e lim g(x) = g(a). Sabemos x a x a que lim x a (f ± g)(x) = f(a) ± g(a), lim x a (f.g)(x) = f(a).g(a) e lim x a ( f g ) (x) = f(a) g(a) (desde que g(a) 0). Logo, também pelo item (b) do Teorema 1.10.2 temos que f ± g, f.g e f g são contínuas em a. Observação 1.9.1 O Teorema anterior continua válido se substituirmos o conjunto dos números complexos C por outro conjunto, como R ou Q, por exemplo. Exemplo 1.9.5 Seja p : C C um polinômio. Mostre que todo polinômio p é uma função contínua. 31

Inicialmente, verifiquemos que f : C C definida por f(x) = x é contínua. De fato, dado a C e ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ e teremos d(f(x), f(a)) = d(x, a) < δ = ɛ sempre que d(x, a) < ɛ. Agora, pelo teorema anterior, temos que g : C C dada por g(x) = x 2 é contínua, pois g é o produto da função g por si mesma. Da mesma forma, é contínua a função h : C C dada por h(x) = x n qualquer que seja o natural n. Se a i C é uma constante qualquer, então o produto (a i h)(x) = a i x n é contínua. Finalmente, também pelo teorema anterior, todo polinômio p : C C, p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n é contínua. Em particular, como R C, se p : R R for um polinômio, p também é contínuo. Teorema 1.9.5 Se f : M N e g : N P são funções contínuas, então g f : M P é contínua. Demonstração: Seja ɛ > 0. Dado a M escrevamos b = f(a). Como g é contínua, existe δ 1 > 0 tal que y N e d(y, b) < δ 1 garante d(g(y), g(b)) < ɛ. Para facilitar a compreensão, veja a figura abaixo. Figura 9: funções compostas Como f é contínua, para este δ 1 > 0, existe δ > 0 tal que x M e d(a, x) < δ garante d(f(x), f(a)) < δ 1. Veja o esquema abaixo. Figura 10: funções compostas E assim, d(g(f(x)), g(f(a))) < ɛ sempre que d(x, a) < δ ou seja, d((g f(x), (g f)(a)) < ɛ sempre que d(x, a) < δ. Logo, g f é contínua no ponto a. Como a M é arbitrário, temos g f contínua em M, como queríamos. 1.10 Continuidade e Conjuntos Abertos e Fechados Teorema 1.10.1 Uma função f : M N é contínua se, e somente se, para todo aberto A N tivermos f 1 (A) aberto em M 32

Demonstração: Suponha primeiramente que f seja contínua. Seja A N aberto e mostremos que f 1 (A) é aberto em M. De fato, para cada a f 1 (A) temos que existe um b tal que b = f(a) A. Pela definição de conjunto aberto, existe ɛ > 0 tal que B(b; ɛ) A. Como f é contínua, para este ɛ > 0 podemos obter δ > 0 tal que f(b(a; δ)) B(b; ɛ). Assim temos que f(b(a; δ)) A e B(a; δ) f 1 (A), onde concluímos que f 1 (A) é aberto. Reciprocamente, se para todo aberto A N tivermos f 1 (A) aberto em M, então dados a M e ɛ > 0 tomemos A = B(f(a); ɛ). Então, f 1 (A) é aberto e a f 1 (A). Logo, existe δ > 0 tal que B(a; δ) f 1 (A). Portanto f(b(a; δ)) A = B(f(a); ɛ) o que mostra ser contínua no ponto a. Como a M é arbitrário, temos f contínua em M. Teorema 1.10.2 Uma função f : M N é contínua se, e somente se, para todo fechado F N tivermos f 1 (F ) fechado em M. Demonstração: Seja f contínua. Se F N é fechado então N F é aberto e pelo teorema anterior temos que f 1 (N F ) é aberto em M. Logo f 1 (F ) = M f 1 (N F ) é fechado em M. Reciprocamente, suponha que f 1 (F ) é fechado em M sempre que F N é fechado em N. Então, se A N é aberto em N, temos que N A é fechado em N e pela hipótese f 1 (N A) é fechado em M. Logo f 1 (A) = M f 1 (N A) é aberto em M e pelo Teorema anterior, f é contínua. Exemplo 1.10.1 Seja M = [1, 2] {3} considerado com a métrica induzida da reta e seja f : M R dada por f(x) = 5 para x [1, 2] e f(3) = 6. Mostre que f é contínua. Solução: Seja o gráfico de f(x) Figura 11: gráfico de f(x) Dado A R temos quatro casos a analisar (a) 5 A e 6 A; (b) 5 A e 6 A; (c) 5 A e 6 A; (d) 5 A e 6 A. 33

No caso (a) temos f 1 (A) =. No caso (b) temos f 1 (A) = [1, 2]. No caso (c) tem-se f 1 (A) = {3}. No caso (d) tem-se f 1 (A) = M. Como, [1.2], {3}, M são subconjuntos abertos de M temos que, pelo teorema 3.3.1, f 1 (A) é sempre aberto em M. Logo, f é contínua. 1.11 Homeomorfismos Definição 1.11.1 Uma bijeção f : M N é chamada homeomorfismo quando f e sua inversa f 1 forem ambas contínuas. Quando isso acontece, dizemos que M e N são espaços homeomorfos. Exemplo 1.11.1 Mostre que f : C C dada por f(z) = kz, k 0 é um homeomorfismo. De fato,dado um número complexo w, para z = w temos f(z) = w. Logo f é sobrejetiva. k Para mostrar que f é injetiva, suponha que f(u) = f(v) o que implica que ku = kv u = v. Logo, f é injetiva. A inversa de f é dada por w = z k. Logo, como f(z) e f 1 (z) são contínuas temos que f é um homeomorfismo. Observação 1.11.1 A inversa de uma bijeção contínua não é necessariamente contínua. Definição 1.11.2 Dadas as métricas d 1 e d 2 num conjunto M, diremos que d 1 é mais fina do que d 2 e denotamos d 1 d 2 quando a identidade i 12 : (M, d 1 ) (M, d 2 ) for contínua. Da definição acima decorre que se d 1 d 2, então dados a M e ɛ > 0 podemos obter δ > 0 tal que d 2 (i 12 (x), i 12 (a)) < ɛ sempre que d 1 (x, a) < δ, ou seja, d 2 (x, a) < ɛ sempre que d ( x, a) < δ, ou ainda B 1 (a; δ) B 2 (a; ɛ) em que B 1 (a; δ) representa a bola aberta relativa a métrica d 1 e B 2 (a; ɛ) representa a bola aberta relativa a métrica d 2. Logo, dizer que d 1 d 2 significa dizer que toda bola aberta relativa a d 2 contém uma bola aberta relativa a d 1. Quando d 1 d 2 e d 2 d 1 diremos que d 1 e d 2 são equivalentes e escrevemos d 1 d 2. Em outros termos, d 1 d 2 quando a aplicação identidade i 12 : (M, d 1 ) (M, d 2 ) for um homeomorfismo. Exemplo 1.11.2 Seja d 1 a métrica usual em R e d 2 a métrica zero-um. Mostre que d 2 é mais fina do que d 1 e que d 1 não é mais fina do que d 2. De fato, a identidade i 21 : (R, d 2 ) (R, d 1 ) é contínua pois dados a R e ɛ > 0 basta tomar δ = 1 e teremos que d 2 (x, a) < δ implica em x = a, e assim Logo, d 2 d 1. d 1 (i 21 (x), i 21 (a)) = d(a, a) = 0 < ɛ. Por outro lado, a identidade i 12 : (R, d 1 ) (R, d 2 ) não é contínua pois dados a R e ɛ = 1, δ > 0 existe x R com x a e d 1 (x, a) < δ. Assim, d 2 (i 12 (x), i 12 (a)) = d 2 (x, a) = 1 = ɛ. 34

Logo, d 1 d 2 Exemplo 1.11.3 Sejam d 1 e d 2 duas métricas num conjunto M tais que d 1 (x, y) = 2d 2 (x, y). Mostre que d 1 d 2. De fato, a identidade i 12 : (M, d 1 ) (M, d 2 ) é contínua. De fato, dado a M e ɛ > 0 basta tomar δ = 2ɛ e teremos d 2 (i 12 (x), i 12 (a)) = d 2 (x, a) = 1 2 d 1(x, a) < 1 2 δ = ɛ sempre que d 1 (x, a) < δ. Daí segue que d 1 d 2. Por outro lado, para i 21 : (M, d 2 ) (M, d 1 ), dados a M e ɛ > 0 basta tomar δ = ɛ 2 e teremos d 1 (i 21 (x), i 21 (a)) = d 1 (x, a) = 2d 2 (x, a) < 2δ = ɛ sempre que d 2 (x, a) < δ. Assim i 21 é contínua e d 2 d 1. Logo d 1 d 2. Teorema 1.11.1 Sejam d 1 e d 2 métricas num conjunto M. Se existir α > 0 tal que d 2 (x, y) αd 1 (x, y) x, y M, então d 1 d 2. Demonstração: Seja i 12 : (M, d 1 ) (M, d 2 ) a aplicação identidade. Dados a M e ɛ > 0 basta tomar δ = ɛ α e então quando d 1(x, a) < δ teremos d 2 (i 12 (x), i 12 (a)) = d 2 (x, a) αd 1 (x, a) < α ɛ α = ɛ. Logo, i 12 é contínua e d 1 d 2. Corolário 1.11.1 Se existirem α, β > 0 tais que d 2 (x, y) αd 1 (x, y) βd 2 (x, y) para quaisquer x, y M, então d 1 d 2. Demonstração: Pelo Teorema anterior, de d 2 (x, y) αd 1 (x, y) temos d 1 d 2. Por outro lado de αd 1 (x, y) βd 2 (x, y) temos que d 1 (x, y) β α d 2(x, y) d 2 d 1. Logo, d 1 d 2. n Exemplo 1.11.4 Em R n consideremos d(x, y) = x i y i 2, d 1 (x, y) = i=1 n x i y i e d 2 (x, y) = max x i y i com 1 i n. Mostre que d, d 1 e d 2 são métricas equivalentes. Pelo corolário acima basta mostrar que d 2 (x, y) d(x, y) d 1 (x, y) nd 2 (x, y). 35 i=1

A primeira e terceira desigualdades são imediatas. Resta mostrar que d(x, y) d 1 (x, y). De fato, d(x, y) 2 = d 1 (x, y) 2 = n x i y i 2 i=1 n x i y i 2 + 2 i=1 i=1 n x i y i x i y i o que implica o que conclui a solução do exemplo. d(x, y) 2 d 1 (x, y) 2 d(x, y) d 1 (x, y) Teorema 1.11.2 Uma função f : M M 1 M 2... M n, f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) é contínua se, e somente se cada função f i com 1 i n for contínua. Demonstração: Seja f contínua e seja f i = p i f onde p i : M 1... M n M i é a projeção p i (x 1,..., x n ) = x i que é contínua, tendo então que a composição f i = p i f é contínua. Reciprocamente, se cada f i for contínua, então dados a M e ɛ > 0 existem δ 1, δ 2,..., δ n > 0 tais que d i (f i (x), f i (a)) < ɛ n sempre que d(x, a) < δ i. Assim, fazendo δ = min{δ 1,..., δ n } então d(x, a) < δ garantirá d(f(x), f(a)) = d((f 1 (x),..., f n (x)), (f 1 (a),..., f n (a))) = n d i (f i (x), f i (a)) 2 < i=1 n ( ɛ 2 n) i=1 = n ɛ2 n 2 = ɛ n < ɛ. Portanto, f é contínua. Exemplo 1.11.5 (Projeção estereográfica) Sejam S 1 = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1} e p = (0, 1). A projeção estereográfica π : S 1 {p} R é a função que a cada ponto u S 1 {p} associa o ponto π(u) obtido pela interseção do eixo das abscissas com a semi-reta de origem p, e que contém o ponto u. Se u = (s, t), para determinar analiticamente o ponto π(u), recorremos à equação da reta que passa por p e u e fazemos sua interseção com a reta 36

y = 0. A equação da reta citada é y = t 1 x + 1. Esta reta intercepta a reta y = 0 no s ponto em que 0 = t 1 s x + 1 ou seja, (t 1)x + s = 0 ou ainda x = s t 1 = s 1 t. ( ) s Assim, se u = (s, t) S 1 {p}, então π(u) = 1 t, 0 que identificamos com o número s real. Queremos mostrar que π é um homeomorfismo. Para tanto, mostraremos 1 t inicialmente que π é um bijeção. Dado a R, consideremos a reta que passa por (α, 0) e p = (0, 1). A equação desta reta é y = x α + 1. Para verificar se existe u S1 {p} tal que π(u) = (α, 0) = α basta verificar se existe algum ponto comum à reta y = x α + 1 e ao conjunto S 1 {p}. Isto é, verificar se existe algum ponto da forma (x, x ) α + 1 diferente ( de p com x, x ) α + 1 = 1. Resolvendo esta equação obtemos duas soluções. Uma é ( ) 2α o ponto p = (0, 1) que não interessa e a outra é o ponto u = α 2 + 1, α2 1 que é o α 2 + 1 único ponto de S 1 {p} tal que π(u) = (α, 0). Isto mostra que π é injetiva e sobrejetiva. A continuidade de π decorre do item (c) do Teorema 1.10.4. Do que acabamos de fazer decorre que a inversa de π, é a função φ : R S 1 {p} dada por φ(α) = 1 α 2 + 1 (2α, α2 1) que é contínua em virtudde do Teorema anterior. Logo, π é um homeomorfismo. 1.12 Espaços Topológicos Para determinar se uma função f : M N é contínua ou não basta conhecer os abertos de M e N. É possível também, para verificar a continuidade de f : M N conhecendo apenas os fechados de M e N. Esses dois resultados mostram que não necessitamos das métricas de M e N para estudar a continuidade de funções M N. Sendo o estudo das funções contínuas de grande interesse na matemática de um modo geral, surge a idéia de se definir uma classe de espaços nos quais ainda se possa definir continuidade. Para se obter tal generalização, dado um conjunto M precisamos determinar quais dos seus subconjuntos serão chamados abertos. É necessário também que estes conjuntos satisfaçam as propriedades dos conjuntos abertos dos espaços métricos, ou seja (a) e M são abertos; (b) a reunião arbitrária de abertos é aberta; 37

(c) a interseção finita de abertos é aberta. Definição 1.12.1 Dado um conjunto X e uma família τ de subconjuntos de X, diremos que τ é uma topologia em X se (a), X τ; (b) Se A λ τ λ L, onde L é un conjunto arbitrário de índices, então A λ τ com λ L; (c) Se A 1, A 2,..., A n τ então a interseção A 1 A 2... A n τ. Definição 1.12.2 Um espaço topológico é um par (X, τ) onde X é um conjunto qualquer e τ é uma topologia em X. Os elementos de τ são chamados conjuntos abertos. Exemplo 1.12.1 Mostre que todo espaço métrico é um espaço topológico. De fato, dado um espaço métrico (M, d), como os abertos de M são reuniões de bolas abertas de M, basta tomarmos τ como sendo um conjunto X M, tal que x é uma reunião de bolas abertas de M e τ será uma topologia em M. O espaço topológico (M, τ) terá os mesmos abertos que (M, d). Definição 1.12.3 Sejam (X, τ) um espaço topológico, Y X e τ 1 = {A Y, A τ}. A topologia τ 1 é chamada topologia induzida por τ em Y e (Y, τ 1 ) é chamado subespaço de (X, τ). Definição 1.12.4 Sejam X e Y espaços topológicos. Uma função f : X Y será dita contínua quando para todo aberto A Y tivermos f 1 (A) aberto em X. Definição 1.12.5 Diremos que uma bijeção f : X Y é um homeomorfismo se f e f 1 forem contínuas. 1.13 Continuidade Uniforme Estudamos as funções contínuas anteriormente. Vimos que uma função f : M N era contínua num ponto a M se para todo ɛ > 0 pudéssemos obter δ > 0 tal que d(f(x), f(a)) < ɛ sempre que d(x, a) < δ. Chamaremos a atenção para dois fatos. O primeiro deles é que continuidade é um fenômeno local, f pode ser contínua em um ponto a M e descontínua em outro ponto b M. O segundo é que mesmo quando f é contínua em dois pontos a, b M, para um mesmo ɛ > 0, o δ > 0 que encontraremos para o ponto a poderá ser diferente daquele que encontraremos para o ponto b. Em resumo, δ depende de ɛ e de a, ou seja, δ = δ(ɛ, a). As funções que são contínuas em todos os pontos do domínio para as quais for possível determinar δ > 0 que independa do ponto a em questão serão chamadas uniformemente contínuas. Com isso, podemos introduzir a primeira definição desta seção. 38

Definição 1.13.1 Sejam M e N espaços métricos. uma função f : M N é dita uniformemente contínua quando para cada ɛ > 0 for possível obter δ > 0 tal que d(f(x), f(y)) < ɛ para quaisquer x, y M com d(x, y) < δ. Observação 1.13.1 Se f : M N é uniformemente contínua, f também é contínua. Exemplo 1.13.1 Seja M um espaço métrico qualquer e f : M M a aplicação identidade. Mostre que f é uniformemente contínua. Dado ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ e teremos que d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) = d(x, y) < δ = ɛ. Exemplo 1.13.2 Seja f : R R dada por f(x) = 5x + 3. Mostre que f é uniformemente contínua. De fato, dado ɛ > 0, queremos obter δ > 0 tal que x y < δ garante f(x) f(y) < ɛ. Assim f(x) f(y) = 5x + 3 (5y + 3) = 5(x y) = 5 x y. Daí x y < ɛ 5 sempre que x y < ɛ. Portanto basta tomar δ = ɛ 5 e teremos que Logo, f é uniformemente contínua. x y < δ f(x) f(y) = 5 x y < 5δ = 5 ɛ 5 = ɛ. Exemplo 1.13.3 Mostre que a função f : R R dada por f(x) = x 2 não é uniformemente contínua. Para provar isto, precisamos exibir um ɛ > 0 tal que, para qualquer δ > 0 possamos encontrar uma par de pontos x e y tais que x y < δ e f(x) f(y) ɛ. Tomemos ɛ = 1. Dado δ > 0 sejam x > 1 δ e y = x + δ 2. Então x y = δ 2 < δ e f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y = x + y δ 2 = x + x + δ δ 2 2 = 2x + δ δ 2 2 > 2x δ 2 = 1 δ δ = 1 = ɛ. 39

Teorema 1.13.1 Toda função de Lipschitz é uniformemente contínua. Demonstração: Sejam M e N espaços métricos, f : M N lipschitziana, digamos com constante de Lipschitz c, isto é, d(f(x), f(y)) cd(x, y) para quaisquer x, y M. Dado ɛ > 0 basta tomar δ = ɛ e teremos que c Logo, f é uniformemente contínua d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) cd(x, y) < cδ = c ɛ c = ɛ. Exemplo 1.4 Seja f : X R dada por f(x) = x 2 onde X R é um conjunto limitado. Mostre que f é uniformemente contínua. Demonstração: sendo X limitado, existe A > 0 tal que x A para todo x X. Assim, quaisquer que sejam x, y X temos f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y ( x + y ) x y 2A x y. Portanto, f é uma função de Lipschitz (com constante de Lipschitz 2A), e pelo teorema anterior, uniformemente contínua. Exemplo 1.13.4 Mostre que a função f : [0, ) R dada por f(x) = x é uniformemente contínua. ( ɛ ) 2 De fato, dado ɛ > 0, se tomarmos δ 1 = teremos que 4 x 0 < δ 1 f(x) f(0) = x 0 = x < δ 1 = ɛ 4 [ e assim para x, y 0, δ ] 1 temos 2 f(x) f(y) = x y x + y < ɛ 4 + ɛ 4 = ɛ 2. Por outro lado, para qualquer α > 0 temos f(x) f(y) = x y = x y x + y x y 2 α e pelo Teorema anterior f [α, ) é uniformemente contínua. Tomando então α = δ 1 2 obtemos δ 2 > 0 tal que para x, y [α, ) com x y < δ 2 temos f(x) f(y) < ɛ. Fazendo agora 2 δ = min{δ 1, δ 2 }, se x y < δ e x, y [0, α] ou x, y [α, ) vale f(x) f(y) < ɛ 2 < ɛ. Se x y < δ e digamos x < α < y então α, x [0, α] e y α < δ 2 com y, α [α, ) e assim 40

f(x) f(y) f(x) f(α) + f(α) f(y) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Logo, f é uniformemente contínua. Teorema 1.13.2 Sejam M, N e P espaços métricos. Se f : M N e g : N P são uniformemente contínuas então g f : M P é uniformemente contínua. Demonstração: Dado ɛ > 0, como g é uniformemente contínua, existe δ 1 > 0 tal que para quaisquer u, v N com d(u, v) < δ 1 garante d(g(u), g(v)) < ɛ. Por outro lado, para este δ 1 > 0 a continuidade uniforme de f nos fornece δ > 0 tal que para quaisquer x, y M com d(x, y) < δ temos d(f(x), f(y)) < δ 1. Isto garante então d(g(f(x)), g(f(y))) < ɛ ou seja, d((g f)(x), (g f)(y)) < ɛ para quaisquer x, y M com d(x, y) < δ. Logo, g f é uniformemente contínua. Exemplo 1.13.5 Seja f : [0, a] R dada por f(x) = x 3. Mostre que f é uniformemente contínua. Tomemos h : [0, a] R e g : [0, ) R dadas por h(x) = x 3 e g(y) = y. Pelo exemplo anterior vimos que g(y) = y é uniformemente contínua. Por outro lado h é uniformemente contínua por ser de Lipschitz: d(h(x), h(z)) = x 3 z 3 = x z x 2 + xz + z 2 x z ( x 2 + xz + z 2 ) x z (a 2 + a 2 + a 2 ) = 3a 2 x z. Logo, pelo Teorema anterior f é uniformemente contínua pois f = g h. Exemplo 1.13.6 Seja X C limitado e f : X C dada por f(x) = x 6. Mostre que f é uniformemente contínua. De fato, seja f = h g onde g : X C é dada por g(x) = x 2 e h : g(x) C é dada por h(y) = y 3. Como X é limitado, segue que g(x) = x 2 é uniformemente contínua. Além disso, como X é limitado, g(x) também é ainda mais, h é lipschitiziana, pois d(h(y), h(w)) = y 3 w 3 = y w y 2 + yw + w 2 y w ( y 2 + yw + w 2 ) y w (b 2 + b 2 + b 2 ) = 3b 2 y w. Daí seque que h é uniformemente contínua. Logo f = h g é uniformemente contínua. Teorema 1.13.3 Sejam f, g : M C funções uniformemente contínuas. Então f + g e f g são uniformemente contínuas. 41

Demonstração: Dado ɛ > 0, pela continuidade uniforme de f existe δ 1 > 0 tal que d(f(x), f(y)) = f(x) f(y) < ɛ 2 sempre que d(x, y) < δ 1. Do mesmo modo, pela continuidade uniforme de g existe δ 2 > 0 tal que d(g(x), g(y)) = g(x) g(y) < ɛ sempre que 2 d(x, y) < δ 2. Tomando então δ = min{δ 1, δ 2 } teremos d((f + g)(x), (f + g)(y)) = f(x) + g(x) f(y) g(y) f(x) f(y) + g(x) g(y) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ desde que d(x, y) < δ. Logo, f +g é uniformemente contínua. Para o caso f g o raciocínio é análogo. Definição 1.13.2 Dada uma função f : M N 1 N 2... N k, o qual é definida por f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f k (x)), as funções f i : M N i são chamadas coordenadas de f. Se p i : N 1... N k N i é a projeção sobre N i, vale f i = p i f, i = 1, 2,..., k. Observemos que as projeções p i são lipschitzianas, e portanto uniformemente contínuas, para qualquer uma das três métricas (a) d(x, y) = k d(x i, y i ) 2 ; (b) d 1 (x, y) = i=1 k d(x i, y i ); i=1 (c) d(x, y) = max{d(x 1, y 1 ),..., d(x k, y k )} onde x = (x 1,..., x k ) e y = (y 1,..., y k ). De fato temos d(p i (x), p i (y)) = d(x i, y i ) k d(x j, y j ) 2 j=1 = d(x, y) d(p i (x), p i (y)) = d(x i, y i ) k d(x j, y j ) j=1 = d 1 (x, y) d(p i (x), p i (y)) = d(x i, y i ) max{d(x 1, y 1 ),..., d(x k, y k )} = d 2 (x, y). 42

Teorema 1.13.4 Se p é uma das métricas acima, então uma função f : M (N 1 N 2 ) é uniformemente contínua se, e somente se, suas coordenadas f 1 : M N 1 e f 2 : M N 2 o forem. Demonstração: se f é uniformemente contínua então f i = p i f é uniformemente contínua por ser uma composição de funções uniformemente contínuas. Reciprocamente, se f 1 e f 2 são uniformemente contínuas, dado ɛ > 0 existem δ 1, δ 2 > 0 tais que d(f 1 (x), f 1 (y)) < ɛ 2 sempre que d(x, y) < δ 1 e d(f 2 (x), f 2 (y)) < ɛ 2 sempre que d(x, y) < δ 2. Assim, fazendo agora δ = min{δ 1, δ 2 } teremos d(f 1 (x), f 1 (y)) < ɛ 2 e d(f 2(x), f 2 (y)) < ɛ sempre que d(x, y) < δ. 2 Se usarmos em N 1 N 2 a métrica d(u, v) = d(u 1, v 1 ) 2 + d(u 2, v 2 ) 2 temos sempre que d(x, y) < δ. d(f(x), f(y)) = d((f 1 (x), f 2 (x)), (f 1 (y), f 2 (y))) = d(f 1 (x), f 1 (y)) 2 + d(f 2 (x), f 2 (y)) 2 ( ɛ 2 ( ɛ ) 2 < + 2) 2 = ɛ 2 2 < ɛ Usando a métrica d 1 (u, v) = d(u 1, v 1 ) + d(u 2, v 2 ) em N 1 N 2 temos d 1 (f(x), f(y)) = d 1 ((f 1 (x), f 2 (x)), (f 1 (y), f 2 (y))) = d(f 1 (x), f 1 (y)) + d(f 2 (x), f 2 (y)) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ sempre que d(x, y) < δ. Finalmente, também para a métrica d 2 (u, v) = max{d(u 1, v 1 ), d(u 2, v 2 )} temos d 2 (f(x), f(y)) = d 2 ((f 1 (x), f 2 (x)), (f 1 (y), f 2 (y))) = max{d(f 1 (x), f 1 (y)), (f 2 (x), f 2 (y))} < ɛ 2 < ɛ sempre que d(x, y) < δ. Portanto f é uniformemente contínua em relação a qualquer uma das métricas. Corolário 1.13.1 Se p é uma das métricas usadas no teorema anterior, então uma função f : M (N 1... N k, p) é uniformemente contínua se, e somente se, cada coordenada f i = p i f : M N i o for. Observação 1.13.2 A continuidade uniforme não é uma propriedade topológica, e sim métrica. Isto é, uma função f : M N uniformemente contínua pode perder esta propriedade se trocarmos á métrica de M e ou a de N por outra equivalente. 43

1.14 Métricas Uniformemente Equivalentes Se f : (M, d) (N, d ) é uniformemente contínua, não é suficiente, em geral termos d 1 d e d 1 d para garantir a continuidade uniforme de f : (M, d 1 ) (N, d ), de f : (M, d) (N, d 1) e f : (M, d 1 ) (N, d 1). Para tanto, é necessário uma relação mais forte entre as métricas do que a simples equivalência. Essa relação é chamada equivalência uniforme. Definição 1.14.1 Uma bijeção uniformemente contínua f : M N é chamada homeomorfismo uniforme quando sua inversa f 1 : N M for também uniformemente contínua. Definição 1.14.2 Duas métricas d 1 e d 2 num conjunto M são ditas uniformemente equivalentes quando a aplicação identidade i 12 : (M, d 1 ) (M, d 2 ) for um homeomorfismo uniforme. Exemplo 1.14.1 Dado um espaço métrico (M, d), mostre que d 1 (x, y) = uniformemente equivalente a d. d(x, y) 1 + d(x, y) é Basta mostrar que a aplicação identidade i : (M, d) (M, d 1 ) é um homeomorfismo uniforme. Dado ɛ > 0, tomando δ = ɛ teremos que d(x, y) < ɛ garante d 1 (i(x), i(y)) = d 1 (x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) d(x, y) < δ = ɛ. Logo, i é uniformemente contínua. Por outro lado, para a inversa i 1 : (M, d 1 ) (M, d), dado ɛ > 0 tomando δ = teremos que d 1 (x, y) < δ garante d(x, y) 1 + d(x, y) < ɛ 1 + ɛ d(x, y) + ɛd(x, y) < ɛ + ɛd(x, y) d(x, y) < ɛ ɛ 1 + ɛ ou seja d(i 1 (x), i 1 (y)) < ɛ, o que mostra a continuidade uniforme de i 1. Logo d e d 1 são uniformemente equivalentes. Exemplo 1.14.2 Dado um espço métrico (M, d) mostre que a métrica d 2 (x, y) = min{1, d(x, y)} é uniformemente equivalente a d. Para tanto, basta mostrar que a aplicação identidade j : (M, d) (M, d 2 ) é um homeomorfismo uniforme. Dado ɛ > 0, tomando δ = ɛ então d(x, y) < δ teremos d 2 (j(x), j(y)) = d 2 (x, y) = min{1, d(x, y)} d(x, y) < δ = ɛ 44

logo, j é uniformemente contínua. Por outro lado, para j 1 : (M, d 1 ) (M, d), dado ɛ > 0, tomando δ = min{1, ɛ} teremos que se d 2 (x, y) < δ 1 então min{1, d(x, y)} < 1 e assim min{1, d(x, y)} = d(x, y). Logo, e d 2 (x, y) = d(x, y) d(j 1 (x), j 1 (y)) = d(x, y) = d 2 (x, y) < δ ɛ. Portanto, j 1 é uniformemente contínua. Teorema 1.14.1 Sejam d 1 e d 2 métricas em M. Se existirem constantes α, β > 0 tais que d 1 (x, y) αd 2 (x, y) βd 1 (x, y) para quaisquer x, y M então d 1 e d 2 são uniformemente equivalentes. Demonstração: Basta observar que as aplicações identidade i 12 : (M, d 1 ) (M, d 2 ) e i 21 : (M, d 2 ) (M, d 1 ) são lipschitzianas e portanto uniformemente contínuas. Sendo assim, d 1 d 2. 1.15 Sequências de Cauchy - Espaços métricos completos Definição 1.15.1 Seja (x n ) uma sequência num espaço métrico M. Diremos que (x n ) é uma sequência de Cauchy se dado ɛ > 0 existir n 0 tal que d(x n, x m )< ɛ sempre que m, n n o. Teorema 1.15.1 Se (x n ) é uma sequência convergente num espaço métrico M, então (x n ) é de Cauchy. Demonstração:Seja lim x n = a. Então dado ɛ > 0 existe n o tal que d(x n, a) < ɛ 2 para todo n n o. logo, para m, n n o temos d(x n, x m ) d(x n, a) + d(a, x m ) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ Portanto, (x n ) é de Cauchy. A recíproca deste teorema não é verdadeira. Isto pode ser observado tomando a sequência x n = 1 no espaço métrico M = (0, ) com a métrica induzida da reta real n 45

R. Para mostrar que esta sequência (x n ) é de Cauchy, dado ɛ > 0 basta tomar n o > 2 ɛ que para m, n n o teremos d(x n, x m ) = 1 n 1 m 1 n + 1 m = 1 n + 1 m 1 n o + 1 n o = 2 n o < 2 ɛ 2 = ɛ Teorema 1.15.2 Se uma sequência de Cauchy (x n ) possui uma subsequência convergente (x nk ) com lim x nk = a, então (x n ) converge e lim x n = a. Demonstração:Dado ɛ > 0, como lim x nk = a, existe k o tal que d(x nk, a) < ɛ para todo 2 k k o. Por outro lado, sendo (x n ) de Cauchy existe m 1 tal que d(x n, x m ) < ɛ 2 sempre que m, n m 1. Tomando agora m o = max{m 1, n ko } e fixando um natural k k o com n k > m o, isto é fixemos um termo x nk da subsequência (x nk ) com n k m o. Então, para n m o temos d(x n, a) d(x n, x nk ) + d(x nk, a) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Portanto, lim x n = a. Teorema 1.15.3 Toda sequência de Cauchy é limitada. Demonstração: Seja (x n ) uma sequência de Cauchy num espaço métrico M. Então para ɛ = 1 existe n o tal que d(x n, x m ) < 1 sempre que m, n n o. Em particular para n n o d(x n, x mo ) < 1 ou seja, x n B(x no ; 1). Logo, fazendo X = {x 1, x 2,..., x no 1}, temos x(n) = X {x no, x no+1,...} X B(x no ; 1) Como X é limitado por ser finito, temos X B(x no ; 1) limitado e assim x(n) é limitado, ou seja, (x n ) é limitada. 46

Definição 1.15.2 Diremos que um espaço métrico M é completo quando toda sequência de Cauchy em M for convergente. Exemplo 1.15.1 Consideremos a reta real R com sua métrica usual. sequência de Cauchy em R. Vamos mostrar que R é completo. Seja (x n ) uma De fato, pelo teorema anterior, sabemos que (x n ) é limitada. Se (x n ) for monótona, temos que (x n ) converge. Se porém, (x n ) não for monótona, poderemos garantir sua convergência pelo que segue. Tomamos y n = inf{x n, x n+1,...}. Então (y n ) é monótona pois y 1 y 2.... Como (x n ) é limitada, digamos a x n b para todo n, então pela definição de y n temos a y n b para todo n. Logo temos que (y n ) converge. Seja então lim y n = p. dado ɛ > 0 existe n 1 tal que y n p < ɛ 3 para todo n n 1. Sendo (x n ) de Cauchy existe n 2 tal que x n x m < ɛ 3 sempre que m, n n 2. Da definição acima de ínfimo segue que para cada n existe i n n tal que y n x in y n + ɛ 3. Fazendo n o = max{n 1, n 2 }, para n n o teremos x n p x n x in + x in y n + y n p < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Portanto lim x n = p e isto mostra que (x n ) é convergente e R é completo. Teorema 1.15.4 Se M é completo e N é um subespaço fechado de M, então N é completo. Demonstração: Seja (x n ) uma sequência de Cauchy em N. Como M é completo, (x n ) converge em M, isto é, existe a M tal que lim x n = a. Assim, temos que a N (pois N é fechado em M). Portanto, (x n ) é convergente em N e N é completo. Teorema 1.15.5 Se N é um subespaço de completo de M, então N é fechado em M. 47

Demonstração: Seja (x n ) uma sequência de pontos de N com lim x n = a M. Dai temos que (x n ) é de Cauchy. Sendo N completo (x n ) converge em N. Isto é, existe b N tal que lim x n = b. Pela unicidade do limite de uma sequência temos b = a, pois caso contrário a sequência (x n ) teria dois limites distintos em M. Portanto, a N e dai temos que N é fechado em M. Teorema 1.15.6 Se M e N são completos, então M N é completo. Demonstração: Sejam M e N espaços métricos completos e consideremos em M N temos d(x, y) = d(x 1, y 1 ) 2 + d(x 2, y 2 ) 2 onde x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ). Dada uma sequência de Cauchy z n = (x n, y n ) em M N temos d(x n, x m ) d(x n, x m ) 2 + d(y n, y m ) 2 = d(z n, z m ) e d(y n, y m ) d(x n, x m ) 2 + d(y n, y m ) 2 = d(z n, z m ). Portanto, o fato de (z n ) ser uma sequência de Cauchy garante que (x n ) e (y n ) também são. Como M e N são completos, (x n ) e (y n ) são convergentes. Digamos lim x n = a e lim y n = b. Portanto, dado ɛ > 0 existem n 1 e n 2 tais que d(x n, a) < ɛ 2 para todo n n 1 e d(y n, b) < ɛ 2 para todo n n 2. Tomando n o = max{n 1, n 2 } para n n o teremos d(z n, (a, b)) = d((x n, y n ), (a, b)) = d(x n, a) 2 + d(y n, b) 2 ( ɛ 2 ( ɛ ) 2 = + 2) 2 2(ɛ) 2 = 4 = ɛ < ɛ. 2 Logo, lim z n = (a, b) e M N é completo. 48

Corolário 1.15.1 Se M 1, M 2,..., M k são espaços métricos completos então temos que o produto cartesiano M 1 M 2... M k é completo. Teorema 1.15.7 Se f : M N é uma isometria, então M é completo se e somente se N o for. Demonstração: Sejam M completo e f : M N uma isometria. Dada uma sequência de Cauchy (y n ) em N, a sequência x n = f 1 (y n ) é também de Cauchy, pois, d(x n, x m ) = d(f(x n ), f(x m )) = d(y n, y m ). Sendo M completo, (x n ) converge. Seja lim x n = a. Então, da continuidade de f temos que lim f(x n) = f(a) = lim y n. Portanto (y n ) é convergente e N é completo. Analogamente mostra-se a outra parte. Definição 1.15.3 Um espaço vetorial normado e completo em relação à métrica induzida por esta norma é chamado espaço de Banach. Como exemplos simples de espaços de Banach temos a reta R e espaço vetorial R n. Com o intuito de obter outros espaços de Banach apresentaremos agora o espaço ß(X, R) das funções reais limitadas f : X R definidas num conjunto qualquer X. Observe que ß(X, R) com a soma e produto por escalar λ R usuais e é um espaço vetorial. (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λf)(x) = λf(x) Podemos definir uma norma em ß(X, R) pondo f = sup{ f(x) ; x X} Esta norma induz em ß(X, R) a métrica d(f, g) = f g. O exemplo a seguir estabelece que o espaço vetorial aqui descrito é um espaço de Banach. Exemplo 1.15.2 O espaço ß(X, R) com a métrica d(f, g) = f g é completo. 49

Seja (f n ) uma sequência de Cauchy neste espaço. Então, dado ɛ > 0 existe n o tal d(f m, f n ) < ɛ para quaisquer m, n n o. Então se m, n n o temos d(f m (x), f n (x)) < ɛ. Logo para cada x X a sequência (f n (x)) é de Cauchy em R. Como R é completo, (f n (x)) é convergente, isto é, existe lim f n (x). Então, para cada x X façamos lim f n(x) = f(x). Desta forma obtemos uma nova função f : X R. Queremos mostrar agora que f ß(X, R) e que neste espaço lim f n = f, isto é Ou seja, lim d(f n, f) = lim f n f = 0. sup f n (x) f(x) 0 quando n. Como (f n ) é de Cauchy, dado ɛ > 0 existe k tal que d(f m, f n ) < ɛ 2 sempre que m, n k. Isto é, m, n k garantem f m (x) f n (x) < ɛ 2 para todo x X. obteremos Se para cada x X fizermos m nessa ultima desigualdade f(x) f n (x) ɛ 2 < ɛ para todo x X e n k. Em particular f(x) f k (x) < ɛ para todo x X, e assim f(x) = f(x) f k (x) + f k (x) f(x) f k (x) + f k (x) < ɛ + f k (x) para todo x X. Como f k ß(X, R), existe A tal que f k (x) A para todo x X. Logo, f(x) < ɛ + A para todo x X. Isto mostra que f é limitada, ou seja, f ß(X, R). Além disso, de para todo x X e n k vem f(x) f n (x) ɛ 2 < ɛ sup f(x) f n (x) ɛ 2 < ɛ,x X 50

para todo n k ou seja, d(f n, f) < ɛ para todo n k. Portanto lim f n = f e ß(X, R) é completo. O exemplo a seguir mostra que o espaço das funções contínuas C([a, b], R) é completo. Exemplo 1.15.3 O espaço C([a, b], R) com a métrica d(f, g) = f g onde temos que f g = sup{ f(x) g(x) ; x [a, b]} é completo. Consideremos (f n ) uma sequência de Cauchy nesse espaço. Dai temos que d(f m (x), f n (x)) < ɛ sempre que m, n n 0 x [a, b]. Note que (f n (x)) é de Cauchy em R. Como R é completo temos que existe lim f n (x). Para cada x [a, b] fazemos lim f n (x) = f(x). A partir dai obteremos uma nova função f : [a, b] R e mostremos agora que f C([a, b], R) e que neste espaço lim f n = f lim d(f n, f) = lim f n f = 0. Como (f n ) é de Cauchy dado ɛ > 0 k > 0 tal que f m (x) f n (x) < ɛ sempre que m, n k. Fazendo m teremos 2 que f(x) f n (x) ɛ < ɛ x [a, b] e n k. Considere agora uma sequência de funções 2 contínuas f n : [a, b] R com lim f n = f em C([a, b], R). Então dado ɛ > 0 existe k tal que d(f n, f) < ɛ 3 n k. Logo f n(x) f(x) < ɛ 3. Como f k é contínua, dado a 1 [a, b] existe δ > 0 tal que f k (a 1 ) f k (x) < ɛ 3 x [a, b] com d(x, a 1 ) < δ. Dai se x [a, b] e d(x, a 1 ) < δ teremos que f(a 1 ) f(x) f(a 1 ) f k (a 1 ) + f k (a 1 ) f(x) f(a 1 ) f k (a 1 ) + f k (a 1 ) f k (x) + f k (x) f(x) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ o que concluímos que f é contínua, ou seja, f C([a, b], R). Definição 1.15.4 Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial com produto interno que é completo em relação à métrica oriunda deste produto interno. Conforme vimos anteriormente o R n é completo em relação a métrica usual. Sendo esta métrica exatamente a que vem do produto interno canônico do R n < x, y >= n x i y i i=1 onde x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) é um espaço de Hilbert. Exemplo 1.15.4 O espaço vetorial M = {f : [0, 2] R} onde f é contínua com o produto interno 51

< f, g >= 2 0 (f.g) não é um espaço de Hilbert. Para provar esta afirmação tomemos a sequência f n : [0, 2] R dada por f n (x) = 1, se x 1 nx + n + 1, se 1 < x < 1 + 1 n 0, se x 1 + 1 n Isto é, entre os pontos 1 e 1 + 1 n, f n é tal que seu gráfico é o segmento de reta unindo os pontos (1; 1) e (1 + 1n ) ; 0. Observemos que f n é uma sequência de Cauchy. Temos d(f n, f n+p ) = f n f n+p = < f n f n+p, f n f n+p > 2 = 0 2 (f n f n+p )(f n f n+p ) = = 0 (f n f n+p ) 2 1 1+ n + p (px p) 2 1 } {{ } I(n,p) 1 1+ + n 1 ( nx + n + 1) 2. 1+ n + p } {{ } J(n,p) Agora note que lim I(n, p) = lim J(n, p) = 0. Logo, lim d(f n, f n+p ) = 0 ou seja, dado ɛ > 0 existe n o tal que n n o garante d(f n, f n+p ) < ɛ para todo p. Isto mostra que (f n ) é de Cauchy. Mostraremos agora que (f n ) não converge em M. Para tanto, suponhamos que f seja uma função em M tal que lim f n = f. Então, se tivermos f(a) 1 para algum a < 1 teremos f n (a) f(a) > 0 52

e assim d(f n, f) = 2 0 2 (f n f) 2 = 0 1 f n f 2 0 1 (f n f) 2 = 0 (1 f) 2 > 0 para todo n. Logo lim d(f n, f) 1 0 (1 f) 2 > 0 contrariando a hipótese de que lim f n = f em M. Por outro lado, se para algum a > 1 tivéssemos f(a) 0, então f n (a) f(a) = f(a) > 0 desde que 1 + 1 n < a, ou seja, 1 n teríamos 1 1 < a 1 ou ainda n >. Logo, para n > a 1 a 1 2 d(f n, f) = = 0 2 1 1+ 2 (f n f) 2 n 1 1+ n f n f 2 f 2 > 0 o que contraria a hipótese de que lim f n = f. Portanto, se lim f n = f devemos ter necessariamente f(x) = { 1, se x < 1 0, se x > 1. Se, porém, f cumpre estas condições, então f não é contínua, isto é, f M. Isto prova que não existe lim f n em M. 53

Teorema 1.15.8 Sejam M e N espaços métricos, com N completo. Se X M e se f : X N é uniformemente contínua então existe lim f(x) para todo a X X. x a Demonstração: Para demonstrar este teorema mostraremos que para toda sequência (x n ) em X com lim x n = a, existe lim f(x n ). Seja então (x n ) uma sequência em X com lim x n = a. Então (x n ) é de Cauchy. Por outro lado, a continuidade de f assegura que dado ɛ > 0 é possivel obter δ > 0 tal que d(f(x), f(y)) < ɛ sempre que d(x, y) < δ com x, y X. Sendo (x n ) de Cauchy, para este δ > 0 existe n o tal que d(x n, x m ) < δ sempre que m, n n o. Assim, para m.n n o teremos d(f(x n ), f(x m )) < ɛ e (f(x n )) é uma sequência de Cauchy em N. Como N é completo existe lim f(x n ) e, consequentemente existe lim f(x). x a Teorema 1.15.9 Sejam X M denso, N um espaço métrico completo e f : X N uniformemente contínua. Então a função F : M N dada por é uniformemente contínua. F (y) = { lim x y f(y), se y X f(x), se y M X Demonstração: Do teorema anterior sabemos que para todo y M X existe lim x y f(x). Assim, F está bem definida e pelo teorema 3.2.3 garante a continuidade de F. Mostraremos agora que F é uniformemente contínua. Dado ɛ > 0, a continuidade de f nos fornece δ > 0 tal que d(f(x), f(z)) < ɛ 2 para quaisquer x, z X com d(x, z) < δ. Sejam y, v M com d(y, v) < δ. De X denso em M obtemos sequências (x n ) e (z n ) em X com lim x n = y e lim z n = v. Então lim d(x n, z n ) = d(y, v), δ e portanto existe n o tal que d(x n, z n ) < δ para todo n n o, o que fornece d(f(x n ), f(z n )) < ɛ 2 para todo n n o. Logo, d(f (y), F (v)) = d(lim f(x n ), lim f(z n )) = lim d(f(z n ), f(x n )) ɛ 2 < ɛ. Isto mostra que F é uniformemente contínua. 54

2 Análise Funcional 2.1 O Teorema de Baire Para esta seção usamos como referência OLIVEIRA (2005) e KUHLKAMP (2002). Teorema 2.1.1 Sejam M um espaço métrico completo e F 1 F 2 F 3... uma sequencia decrescente de subconjuntos fechados não vazios de M com lim diamf n = 0. Então contém exatamente um ponto. F = n=1 Demonstração: Como os conjuntos F n são não vazios para cada n N escolhemos arbitrariamente um ponto x n F n. Mostraremos que a sequência (x n ) assim obtida é se Cauchy. Dado ɛ > 0, como lim diamf n = 0, existe n o tal que diamf n < ɛ para todo n n o. Assim, para m, n n o temos F n d(x n, x m ) < ɛ pois x n, x m F no visto que F n F no e F m F no. Portanto (x n ) é de Cauchy. Como M é completo (x n ) converge. Seja lim x n = a. Vamos provar que a F. De fato, dado um natural n qualquer temos x k F n para todo k n. Assim para todo n, ou seja, lim x k = a F n, x a F n = F. Quanto à unicidade observe-se que se existe um ponto b n=1 n=1 F n com a b, então diamf n d(a, b) > 0 para todo n, o que contraria a hipótese lim diamf n = 0. Portanto não existe b a F, ou seja F = {a} como queríamos. [ Exemplo 2.1.1 Em R n consideremos as bolas fechadas B n = B 0; 1 ]. Observe que temos n B 1 B 2 B 3... e lim diamb n = 0 e cada B n é fechado e não vazio, o Teorema anterior garante que B n contém exatamente um ponto. Observando que 0 B n para todo n obtemos n=1 B n = {0}. n=1 55

Teorema 2.1.2 Seja F n uma sequência de subconjuntos fechados de um espaço métrico completo M tais que int F n = para todo n. Então int F n =. n=1 Outra forma de enunciar o teorema de Baire é a seguinte: Se A n é uma sequência de subconjuntos abertos e densos de um espaço métrico completo M, então A = n=1 é denso em M. A equivalência dessas duas formas de enunciar o teorema de Baire decorre dos seguintes fatos: 1. F n é fechado e int F n = se, e somente se, A n = M F n é aberto e denso em M 2. Se A n = M F n então A n = M n=1 n=1 Demonstração: Para provar o Teorema mostraremos que a interseção de um sequência de subconjuntos abertos e densos em M é denso em M. Dada uma bola qualquer B(a; r) em M mostraremos que B(a; r) A 1. Seja a 1 B(a; r) A 1. Pelo fato de A 1 ser aberto existe r 1 > 0 tal que A n F n B 1 = B [a 1 ; r 1 ] A 1 B(a; r). Sem perda de generalidade podemos supor r 1 1. Como A 2 é denso em M temos B(a 1 ; r 1 ) A 2. Seja a 2 B(a 1 ; r 1 ) A 2. Pelo fato de A 2 ser aberto existe r 2 > 0 tal que B 2 = B [a 2 ; r 2 ] A 2 B(a 1 ; r 1 ). Podemos supor também r 2 1 2. Notemos que B 1 B 2 e diam B 1 2.1 = 2. Observe também que diam B 2 2. 1 2 B n tais que: = 1. Por indução obtemos uma sequência de bolas fechadas 1. B 1 B 2 B 3... 2. B n para todo n 3. lim diam B n = 0. Então pelo teorema anterior temos que B n = {p}. n=1 56

De B n A n segue que {p}= B n n=1 A n = A n=1 Como B 1 B(a; r) temos B n B(a; r) para todo n e assim {p} = B n B(a; r). n=1 Portanto p B(a; r) A e A é denso em M como queríamos. Definição 2.1.1 Um subconjunto H de um espaço métrico M é magro em M quando H = H n onde para cada n, int Hn =. n=1 Exemplo 2.1.2 O conjunto dos números racionais Q é magro em R. Para comprovação deste fato basta lembrar que o conjunto dos racionais é enumerável o que garante ser Q = x Q{x} e que int {x} = para qualquer x. Teorema 2.1.3 (Teorema de Baire) Se um espaço métrico M é completo e M = onde cada F n é fechado em M, então pelo menos para um n temos int F n n=1 F n Demonstração: Se fosse int F n = para todo n, então M = F n seria magro em M e assim pelo Teorema 2.1.2 teríamos int M = em M, que é absurdo. n=1 2.2 Completamento de Espaços Métricos Definição 2.2.1 Um completamento de um espaço métrico é um par (N, φ) onde N é um espaço métrico completo e φ : M N é uma imersão isométrica com φ(m) denso em N. Exemplo 2.2.1 Consideremos os conjuntos Q dos números racionais e R dos reais ambos munidos da métrica d(x, y) = x y. Tomando φ : Q R dada por φ(x) = x teremos que φ é imersão isométrica e que φ(q) = Q é denso no espaço completo R. Logo R é um completamento de Q. Teorema 2.2.1 Todo espaço métrico possui um completamento. 57

Demonstração: Sejam M um espaço métrico e p um ponto fixado em M. Consideremos o espaço C(M, R) das funções contínuas e limitadas f : M R que é completo. Definimos uma função f : M C(M, R) dada por f(a) = f a : M R onde f a (x) = d(x, a) d(x, p). Observamos que f está bem definida, isto é, que f a : M R é contínua e limitada para todo a M. De fato, f a é contínua por ser a diferença entre duas funções contínuas e é limitada porque para todo x M vale f a (x) = d(x, a) d(x, p) d(a, p). Constatamos também que f é uma imersão isométrica, pois d(f(a), f(b)) = d(f a, f b ) = f a f b = sup f a (x) f b (x) = sup d(x, a) d(x, p) [d(x, b) d(x, p)] = sup d(x, a) d(x, b) sup d(a, b) = d(a, b) e para x = b temos f a (b) f b (b) = d(a, b) d(b, p) [d(b, b) d(b, p)] = d(a, b) = d(a, b) o que assegura onde x X ou seja, sup f a (x) f b (x) = d(a, b), d(f(a), f(b)) = d(a, b). Como, porém, nada nos garante a densidade de f(m) em C(M, R), fazemos N = f(m) C(M, R). Assim, N é completo por ser subespaço fechado do espaço completo C(M, R). Definindo ϕ : M N por ϕ(a) = f a teremos que ϕ é imersão isométrica e ϕ(m) = N. Portanto (N, ϕ) é um completamento de N. Teorema 2.2.2 Se (N, ϕ) e (P, ψ) são dois dois completamentos arbitrários de M, então existe uma isometria f : N P tal que ψ = f ϕ. 58

Demonstração: Sejam N e P espaços métricos completos, ϕ : M N e ψ : M P imersões isométricas tais que ϕ(m) = N e ψ(m) = P. Para definir a função f desejada notemos que dado y N, existe uma sequência (a n ) em M com lim ϕ(a n ) = y, pois ϕ(m) é denso em N. Como (ϕ(a n )) é de Cauchy em N e ϕ é uma imersão isométrica, (a n ) é de Cauchy em M. Assim, (ψ(a n )) é uma sequência de Cauchy em P visto que ψ é também imersão isométrica. Como P é completo, existe lim ψ(a n ) em P. Colocamos então f(y) = lim ψ(a n ). Observe que f está bem definida, pois o limite de (ψ(a n )) independe da sequência (a n ) visto que se então lim ϕ(a n) = lim ϕ(b n ) = y lim d(ψ(a n), ψ(b n )) = lim d(a n, b n ) = lim d(ϕ(a n ), ϕ(b n )) = 0 e assim lim ψ(a n) = lim ψ(b n ). Para mostrar que f é imersão isométrica, obervemos que dados x, y N como ϕ(m) é denso em N existem sequências (a n ) e (b n ) em M com x = lim ϕ(a n ) e y = lim ϕ(b n ). Então, pela continuidade da função distância d e das funções ϕ e ψ temos d(f(x), f(y)) = d( lim ψ(a n ), lim ψ(b n )) = lim d(ψ(a n ), ψ(b n )) = lim d(a n, b n ) = lim d(ϕ(a n ), ϕ(b n )) = d( lim ϕ(a n ), lim ϕ(b n )) = d(x, y). Assim, f é imersão isométrica. Para mostrarmos que f é sobrejetiva consideremos z P. Como ψ(m) é denso em P, existe uma sequência (a n ) em M com lim ψ(a n ) = z. Consideremos a sequência (ϕ(a n )) em N. Sendo ψ e ϕ imersões isométricas e (ψ(a n )) uma 59

sequência de Cauchy, a sequência (ϕ(a n )) é também de Cauchy. Logo, existe y N tal que y = lim ϕ(a n ). Assim f(y) = lim ψ(a n ) = z. Logo, f é uma isometria. Finalmente, para mostrar que f ϕ = ψ, dado a M tomamos y = ϕ(a) e (a n ) uma sequência com lim a n = a. Então, (f ϕ)(a) = f(ϕ(a) = f(y) = lim ψ(a n ) = ψ(a). Logo, f ϕ = ψ. 2.3 O Teorema do Ponto Fixo de Contrações em Espaços Métricos (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Definição 2.3.1 Uma função f : M N é uma contração se existir uma constante positiva k < 1 tal que para quaisquer x, y M. constante k < 1. d(f(x), f(y)) kd(x, y) Observe que uma contração é uma função de Lipschitz com Definição 2.3.2 Um ponto fixo de uma função f : M M é um ponto p M tal que f(p) = p. Naturalmente, nem toda função f : M M possui um ponto fixo. Por outro lado, para a função identidade i : M M todo ponto de M é ponto fixo. A função f : R R dada por f(x) = x 2 possui dois pontos fixos: 0 e 1. Teorema 2.3.1 Seja M um espaço métrico completo. Então, toda contração f : M M possui um único ponto fixo. Além disso, dado um ponto qualquer a M, a sequência (f n (a)) = (f(a), f 2 (a), f 3 (a),...) é convergente e seu limite é o ponto fixo de f. Demonstração: Seja f : M M uma contração com d(f(x), f(y)) kd(x, y). Dado a M façamos a 1 = f(a) a 2 = f(a 1 ) = f(f(a)) = f 2 (a) a 3 = f(a 2 ) = f(f 2 (a)) = f 3 (a). a n = f n (a). 60

Mostraremos que a sequência (a n ) assim definida é de Cauchy. Temos d(a 1, a 2 ) = d(f(a), f(a 1 )) kd(a, a 1 ) d(a 2, a 3 ) = d(f(a 1 ), f(a 2 )) kd(a 1, a 2 ) k 2 d(a, a 1 ). Por indução, supondo d(a n 1, a n ) k n 1.d(a, a 1 ) obtemos d(a n, a n+1 ) = d(f(a n 1 ), f(a n )) kd(a n 1, a n ) k n d(a, a 1 ). Logo, d(a n, a n+p ) d(a n, a n+1 ) + d(a n+1, a n+2 ) +... + d(a n+p 1, a n+p ) k n d(a, a 1 ) + k n+1 d(a, a 1 ) +... + k n+p 1 d(a, a 1 ) = (k n + k n+1 +... + k n+p 1 )d(a, a 1 ) < (k n + k n+1 +... + k n+p 1 +...)d(a, a 1 ) k n = 1 k d(a, a 1). Como k < 1, temos que k n 0 quando n e assim lim k n 1 k d(a, a 1) = 0. k n Dado ɛ > 0, existe n o tal que 1 k d(a, a 1) < ɛ para todo n n o. Consequentemente, para todo p N, temos d(a n, a n+p ) < ɛ desde que n n o ou seja, (a n ) é de Cauchy. Como M é completo, (a n ) é convergente. Seja lim a n = b. Então f(b) = lim f(a n ) = lim a n+1 = b. Logo, b é um ponto fixo de f. Resta mostrar que b é o único ponto fixo de f. Suponhamos que exista c b em M com f(c) = c. Então, d(b, c) = d(f(b), f(c)) kd(b, c) < d(b, c) o que é absurdo. Portanto, b é o único ponto fixo de f como queríamos. 61

Exemplo 2.3.1 Seja f uma função contínua e lipschitziana em Ω = I a B b onde I a = {t; t t 0 a} B b = {x; x x 0 b}. Se f M em Ω, então existe uma e única solução de x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0 { } 1 em I α onde α < min c, b e c é a constante de lipschitz. M De fato, nosso objetivo é encontrar uma função x : I α R definida num intervalo I α que contenha t 0 no seu domínio tal que x(t 0 ) = x 0 e para todo t I α x (t) = f(t, x(t)). Graficamente, Inicialmente as condições x = f(t, x) e x(t 0 ) = x 0 podem ser englobadas em uma única condição x(t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds Tome os intervalos I α = (t 0 α, t 0 + α) e B b = [x o b, x 0 + b] em R. Com esses intervalos teremos as seguintes condições (a) I α B b Ω; (b) f(t, x) M (t, x) I α B b ; (c) α.c < 1; Considere agora o espaço métrico C(I α ; B b ) formado pelas aplicações contínuas x : I α B b com a métrica do supremo e defina F : C(I α ; B b ) C(I α ; B b ) da seguinte forma: [F (x)](t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds x C(I α ; B b ) t I α 62

Com isso há alguns pontos a verificar t (a) [F (x)](t) x 0 = f(s, x(s))ds t t 0 M αm b t 0 t (b) F (x)(t) F (x)(t ) = f(s, x(s))ds t t M t Notemos agora que para x, w C(I α ; B b ) quaisquer vale t F (x)(t) F (w)(t) = [f(s, x(s)) f(s, w(s))]ds t 0 onde t, s I α. Portanto o que implica t t 0 f(s, x(s)) f(s, w(s)) ds t c x(s) w(s) ds t 0 c sup x(s) w(s) t t 0 αc sup x(s) w(s) sup [F (x)](t) [F (w)](t) α.c x w F (x) F (w) α.c x w. Logo F é uma contração do espaço métrico completo C(I α ; B b ) em si mesmo, e dai existe uma única aplicação contínua x : I α B b tal que F (x) = x ou seja x(t) = x 0 + t 2.4 Espaços Topológicos Compactos t 0 f(s, x(s))ds. Teorema 2.4.1 Seja [a, b] um intervalo em R e {I λ } λ L uma família de intervalos abertos em R com [a, b] λ L I λ. Então existem λ 1, λ 2,..., λ n em L tais que [a, b] I λ1 I λ2... I λn. Demonstração: Seja X o conjunto dos pontos x [a, b] tais que o intervalo [a, x] pode ser coberto por uma reunião finita dos I λ, isto é, [a, x] I λ1... I λk. Evidentemente, a X e, dado x X, a < x < x implica x X, logo X é um intervalo da forma [a, c) ou da forma [a, c], onde c = sup X. Afirmamos que c X, donde X = [a, c].com efeito,c pertence a um certo intervalo I λo. Escolhamos arbitrariamente um ponto x I λo, com a x < c. 63

Tem-se x X e portanto [a, x] I λ1... I λk. Segue-se que [a, c] I λ1... I λk I λo, donde c X. Se fosse c < b, existiria ɛ > 0 suficientemente pequeno para que c + ɛ < b e [c, c + ɛ] I λo. Então seria [a, c + ɛ] I λ1... I λk I λo e portanto (c + ɛ) X, uma contradição. Logo c = b e X = [a, b]. Corolário 2.4.1 Se [a, b] λ L A λ onde cada A λ é um conjunto aberto em R, então existem λ 1, λ 2,..., λ n L tais que [a, b] A λ1 A λ2... A λn. Demonstração: Como cada conjunto aberto é uma reunião de bolas abertas, e as bolas abertas em R são intervalos abertos, se [a, b] λ L A λ temos [a, b] µ S I µ onde cada I µ é um intervalo aberto. Pelo teorema anterior obtemos µ 1, µ 2,..., µ n S tais que [a, b] I µ1 I µ2... I µn. Naturalmente existem então λ 1, λ 2,..., λ n L tais que I µi A λi para cada i = 1, 2,..., n. Logo, como queríamos. [a, b] A λ1 A λ2... A λn Definição 2.4.1 Sejam X um espaço topológico e Y X. Uma cobertura de Y é uma família C = {C λ } λ L de subconjuntos de X tal que Y λ L C λ. Se cada C λ for um conjunto aberto em X, diremos que C é uma cobertura aberta de Y. Se existir L L tal que Y λ L C λ diremos que C = {C λ } λ L é uma subcobertura de C para Y. Definição 2.4.2 Um subconjunto K de um espaço topológico X será dito compacto quando toda cobertura aberta de K possuir uma subcobertura finita 64

Teorema 2.4.2 Se X é um espaço toplógico compacto e F X é fechado, então F é compacto. Demonstração: Sejam X compacto e F X fechado. Se F λ L A λ onde cada A λ é aberto então, ( ) X = A λ (X F ) λ L é uma cobertura aberta de X. Sendo X compacto, existem λ 1, λ 2,..., λ n L tais que Logo, X A λ1 A λ2... A λn. e F é compacto. F A λ1 A λ2... A λn Teorema 2.4.3 Seja X um espaço topológico de Hausdorff. Se K X é compacto, então K é fechado em X. Demonstração: Seja K X compacto. Para mostrar que K é fechado mostraremos que X K é aberto. Para cada a X devemos obter uma vizinhança aberta U de a tal que U (X K). Como X é de Hausdorff, para cada x K existem abertos U x e V x com a U x e x V x tais que U x V x =. Então a coleção {V x } x K forma uma cobertura aberta para K. Sendo K compacto existem x 1, x 2,..., x n K tais que K V x1 V x2... V xn. Assim U = U x1 U x2... U xn é um aberto e vale U (V x1 V x2... V xn ) = Daí U K = ou seja, U (X K) e a int(x K) e portanto X K é aberto e K é fechado. Teorema 2.4.4 Seja M um espaço métrico. Se K M é compacto, então K é limitado. Demonstração: Seja K M compacto. Para cada x K seja A x = B(x; 1). Então {A x } x K é uma cobertura aberta de K. Sendo K compacto existem x 1, x 2,..., x n K tais que K A x1 A x2... A xn. Como cada A xi é limitado, a reunião finita A x1 A x2... A xn é limitada e assim K é limitado. Teorema 2.4.5 Um conjunto K R é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado. 65

Demonstração: Seja K R compacto. Como R é um espaço de Hausdorff, temos que K é fechado. O Teorema anterior garante que K é limitado. Reciprocamente, seja K R fechado e limitado. Então existem a, b R tais que K [a, b]. Temos então que K = K [a, b] donde segue que K é fechado no compacto [a, b]. assim, pelo teorema 6.1.2 temos que K é compacto. Teorema 2.4.6 A imagem de um conjunto compacto por uma função contínua é compacta. Demonstração: Seja K X um conjunto compacto e f : X Y contínua. Mostraremos que f(k) Y é compacto. Seja {A λ } λ L uma cobertura aberta de f(k). Como f é contínua, B λ = f 1 (A λ ) é aberto para todo λ L. Além disso, é claro que K λ L B λ. Como K é compacto, existem λ 1, λ 2,..., λ n L tais que K B λ1 B λ2... B λn. Logo, f(k) f(b λ1 B λ2... B λn ) = f(b λ1 ) f(b λ2 )... f(b λn ) A λ1 A λ2... A λn e assim f(k) é compacto. Exemplo 2.4.1 Mostre que a circunferência S 1 = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1} é compacta. De fato, seja a função f : R R 2 dada por f(t) = (cos(t), sin(t)) é contínua, [0, 2π] é compacta e f([0, 2π]) = S 1 e pelo teorema anterior S 1 é compacta. Definição 2.4.3 Dizemos que um subconjunto K de um espaço métrico M é totalmente limitado quando dado ɛ > 0 existir um conjunto finito F = {a 1, a 2,..., a n } em M tal que n K B(a i ; ɛ) Exemplo 2.4.2 Mostre que todo conjunto limitado em R é totalmente limitado. i=1 Para provar esta afirmação basta mostrar que todo intervalo [a, b] em R é totalmente limitado. Tomemos então um intervalo [a, b] e ɛ > 0. Sejam a 1 = a a 2 = a + ɛ a 3 = a + 2ɛ. a k = a + (k 1)ɛ. a n = a + (n 1)ɛ 66

onde n é tal que Desta forma obtemos [a, b] K a + (n 1)ɛ b < a + nɛ. n B(a i ; ɛ) e portanto [a, b] é totalmente limitado. i=1 Teorema 2.4.7 Sejam K um espaço topológico compacto e F n uma sequência de conjuntos fechados não vazios em K com F 1 F 2 F 3... então, F i i=1 Demonstração: Para cada n seja A n = K F n. Então A n é aberto para todo n e de F 1 F 2 F 3... decorre A 1 A 2 A 3.... Suponha por absurdo que F i = Então K = i=1 A n será uma cobertura aberta de K. Sendo K compacto, esta cobertura n=1 admite uma subcobertura finita K = A n1 A n2... A nk. Se n = max{n 1, n 2,..., n k } então teremos K = o que é absurdo. Logo F i. i=1 n A j = A n e consequentemente j=1 F n = K A n = [ Exemplo 2.4.3 Para cada n N seja F n = 1 n, 1 ]. Então cada F n está contido no n [ compacto K = [ 1, 1] e F 1 F 2... e pelo Teorema anterior temos que 1 n, 1 ] n Teorema 2.4.8 Se K é um subconjunto compacto de um espaço métrico M e C é uma família de abertos de M cobrindo K então existe um número positivo r tal que para todo a K existe aberto A a C com B(a; r) A a. Demonstração: Seja C uma cobertura aberta do compacto K. Então existem A 1, A 2,..., A n em C tais que K A 1 A 2... A n. Consideremos as funções f i : K R dadas por n f i (x) = d(x, M A i ) e f : M R dada por f(x) = f i (x). Como cada f i é contínua, f também é contínua. Dai temos que f(k) é compacto. Dado a K existe i, com 1 i n tal que a A i, dai f(a) f i (a) > 0. Assim 67 i=1 n=1

f(k) (0, ). Como f(k) é compacto no espaço de Hausdorff R temos que f(k) é fechado em R. Desta forma, existe s > 0 tal que f(a) s para todo a K. Seja r = s. Para todo a K temos n n f i (a) s = n.r. i=1 Logo existe i {1, 2,..., n} com f i (a) r e e B(a; r) A i como queríamos. d(a, M A i ) = f i (a) r Corolário 2.4.2 Sejam K um espaço métrico compacto e C uma cobertura aberta de K. Então existe um número positivo r tal que para todo subconjunto S K com diams < r, existe um aberto A em C com S A. Demonstração: Pelo Teorema anterior existe r > 0 tal que para cada x K se pode obter uma aberto A em C com B(x; r) A. Sejam S K com diams < r e p S. Então S B(p; r) e pelo Teorema anterior existe um aberto A em C com B(p; r) A. Logo S A. Definição 2.4.4 Sejam M um espaço métrico compacto e C uma cobertura aberta de M. Um número positivo r, fornecido pelo colorário anterior, tal que para todo subconjunto S de M com diams < r exista um aberto A em C com S A é chamado número de Lebesgue de C. Teorema 2.4.9 Sejam M e N espaços métricos e f : M N contínua. Se M é compacto então f é uniformemente contínua. Demonstração: Dado ɛ > 0, pela continuidade de f, para cada x M existe δ x > 0 tal que d(x, y) < δ x assegura d(f(x), f(y)) < ɛ. Observe que o conjunto de todas as bolas de 2 centro x e raio δ x, com x M constituem uma cobertura aberta para M. Ou seja, temos M = B(x; δ x ). x M Seja δ > 0 um número de lebesgue para esta cobertura. d(y, z) < δ existe x M com y, z B(x; δ x ). Logo Então dados y, z M com d(f(y), f(z)) d(f(y), f(x)) + d(f(x), f(z)) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Portanto f é uniformemente contínua. 68

Teorema 2.4.10 Seja K um subconjunto de um espaço métrico M. As seguintes condições são equivalentes: (a) K é compacto; (b) toda sequência em K possui uma subsequência convergente; (c) K é completo e totalmente limitado. Demonstração:(a) (b). Suponhamos K compacto e consideremos uma sequência (x n ) em K. Façamos X n = {x n, x n+1, x n+2,...} e seja F n o fecho de X n em K. Então, os F n são fechados em K, F 1 F 2... e F n para todo n. Logo pelo teorema 6.1.7 teremos Seja F n. n=1 a F n. n=1 Então, dado r > 0 temos B(a; r) X n para todo n, isto é, existem índices k arbitrariamente grandes com x k B(a; r). Logo B(a; r) contém uma infinidade de termos de (x n ) e dai a é limite de uma subsequência de (x n ). (b) (c). Suponhamos que toda sequência em K possua uma subsequência convergente. Se K não for completo existe alguma sequência de Cauchy (x n ) em K que não converge. Pela nossa hipótese (x n ) tem uma subsequência convergente e dai concluímos que (x n ) é convergente o que é uma contradição. Por outro lado, se K não for totalmente limitado existe ɛ > 0 tal que para qualquer subconjunto finito F de M temos K a F B(a; ɛ). Então dado a 1 K qualquer K B(a 1 ; ɛ). Tomando a 2 K B(a 1 ; ɛ) temos K Por indução, obtidos a 1, a 2,..., a n 1 com 2 B(a i ; ɛ). i=1 69

tomamos a n K n 1 i=1 B(a i ; ɛ) e teremos n 1 K B(a i ; ɛ) K i=1 n B(a i ; ɛ). i=1 A sequência (a n ) assim obtida está em K e satisfaz d(a i, a j ) ɛ para todo i j. Logo (a n ) não tem subsequência de Cauchy, não podendo ter subsequência contrariando a hipótese. (c) (a). Seja K completo e totalmente limitado. Suponhamos por absurdo que K não é compacto. Então existe uma cobertura aberta C de K que não admite subcobertura finita. Como K é totalmente limitado, existe um subconjunto finito F de M tal que K a F B(a; 1 2 ) ou seja K = a F [ ( K B a; 1 )]. 2 Assim, K pode ser decomposto num número finito de subconjuntos cada qual com diâmetro menor ou igual a 1. Pelo menos um desses conjuntos, digamos K 1, não está contido em uma reunião finita alguma de elementos de C. como K 1 é totalemnte limitado, K 1 pode ser decomposto num número finito de subconjuntos cada qual com diâmetro menor ou igual a 1 2. Pelo menos um desses conjuntos, digamos K 2, não está contido em uma reunião finita alguma de elementos de C. Prosseguindo dessa forma obtemos K 1 K 2 K 3... com K n para todo n e diamk n 1 n. Então se K n o fecho de K n em K teremos que K 1 K 2 K 3... é uma cadeia de subconjuntos fechados do espaço completo K com K n para todo n e lim diamk n = 0. Logo temos que existe p K tal que K n = {p}. n=1 Como p K, existe A em C tal que p A. De lim diamk n = 0 obtemos n o tal que K no A e assim K no A, o que é uma contradição. Logo K é compacto. Teorema 2.4.11 Um conjunto K R n é compacto se e somente se K é fechado e limitado. 70

Corolário 2.4.3 O fecho de todo subconjunto limitado de R n é compacto. Teorema 2.4.12 Se M é espaço métrico compacto então M é completo. Demonstração: Seja (x n ) uma sequência de Cauchy em M. Como M é compacto, temos que (x n ) possui uma subsequência convergente. Logo, (x n ) converge e dai M é completo. Definição 2.4.5 Seja f : X Y uma função. Diremos que f é aberta quando para todo aberto A X tivermos f(a) aberto em Y. Diremos que f é fechada quando para todo fechado F X tivermos f(f ) fechado em Y. Exemplo 2.4.4 Num produto cartesiano de espaços métricos M = M 1 M 2... M n as projeções p i : M M i definidas por p i (x 1, x 2,... x n ) = x i são abertas. De fato, como as métricas d(x, y) = d (x, y) = n [d(x i, y i )] 2 i=1 n d(x i, y i ) i=1 d (x, y) = max d(x i, y i ) onde 1 i n são equivalentes, os abertos de M relativos a d, d e d são os mesmos. portanto, basta mostrar que p i é aberta em relação a uma dessas métricas. Mostraremos que p i é aberta usando a métrica d em M. Sendo A M aberto e x i p i (A). Então existe x A tal que p i (x) = x i. Como A é aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) A, mas como estamos usando a métrica d temos B(x; r) = B(x 1 ; r)... B(x n ; r) onde B(x i ; r) é a bola aberta de centro x e raio r em M i. Além disso e assim p i (A) em M i. portanto p i é aberta. B(x i ; r) = p i (B(x; r)) p i (A) Teorema 2.4.13 Sejam M 1 e M 2 espaços métricos. Então M 1 M 2 é compacto se, e somente se, M 1 e M 2 o forem. Demonstração: Se M 1 M 2 é compacto então M 1 e M 2 serão compactos pois são imagens do compacto M 1 M 2 pelas funções contínuas p i : M 1 M 2 M i, onde p i é definida por p i (x 1, x 2 ) = x i para i {1, 2}. Reciprocamente, vamos mostrar que se M 1 e M 2 são compactos então toda sequência em M = M 1 M 2 possui uma subsequência convergente. Seja (z n ) uma sequência em M. Então (z n ) = (x n, y n ) sendo (x n ) uma sequência em 71

M 1 e (y n ) uma sequência em M 2. Como M 1 é compacto, (x n ) possui uma subsequência convergente. Seja (x n ) n N1 convergente. Sendo M 2 compacto, a sequência (y n ) possui uma subsequência converge. Seja (y n ) n N2 uma subsequência convergente. Neste caso,(x n ) n N2 é também convergente. Seja a = lim x n e b = lim y n, com n N 2. Então (z n ) n N2 é uma subsequência convergente de (z n ) com lim n = lim (x n, y n ) = (a, b). Logo M é compacto. Corolário 2.4.4 Sejam M 1, M 2,..., M k espaços métricos. Então M = M 1... M k é compacto se, e somente se cada M i, 1 i k for compacto. 2.5 Espaços Localmente Compactos Definição 2.5.1 Diremos que um espaço topológico X é localmente compacto se cada ponto de X possuir uma vizinhança compacta. Exemplo 2.5.1 Mostre que todo espaço compacto X é localmente compacto. De fato, dado p X, o próprio X é uma vizinhança compacta de p. Exemplo 2.5.2 Mostre que a reta real R é localmente compacta. Dado p R, tomamos K = [p 1, p + 1] e temos que p int K = (p 1, p + 1). Além disso, K é compacto por ser um subconjunto fechado e limitado de R. Portanto K é uma vizinhança compacta de p em R e R é localmente compacto. Exemplo 2.5.3 Mostre que o R n é localmente compacto. Se p R n, tomamos B = B[p; 1] e temos que p intb = B(p; 1). Além disso, como B é um subconjunto fechado e limitado de R n, o temos que B é compacto. Logo R n é localmente compacto. Teorema 2.5.1 Seja X localmente compacto. Se F X é fechado então F é localmente compacto. Demonstração: Dado um ponto p F, como X é localemnte compacto, existe um compacto K em X com p intk. fazendo L = K F temos p int F L. Como F é fechado em X, temos que L é fechado no compacto K. Assim temos que L é compacto. Portanto, L é uma vizinhança compacta de p em F, e F é localmente compacto. Teorema 2.5.2 Seja f : X Y contínua, aberta e sobrejetiva. Se X é localmente compacto então Y também o é. 72

Demonstração: Seja p Y. Como f é sobrejetiva, existe a X tal que f(a) = p. Como X é localmente compacto, existe uma vizinhança compacta V de a em X. Então a intv e V é compacto. Como f é aberta, f(v ) é vizinhança de p = f(a). Por outro lado, a continuidade de f garante que f(v ) é compacto. Assim f(v ) é vizinhança compacta de p e Y é localmente compacto. Teorema 2.5.3 Sejam M 1,..., M n espaços métricos e M = M 1... M n. então M é localmente compacto se, e somente se, cada M i é localmente compacto. Demonstração: Seja M localmente compacto. Então do fato de as projeções p i : M M i dadas por p i (x 1,..., x n ) = x i serem contínuas, abertas e sobrejetivas temos pelo teorema anterior que M i é localemnte compacto para i {1,..., n}. Reciprocamente, suponhamos que cada M i é localemnte compacto. Então dado x = (x 1,..., x n ) em M, cada x i possui uma vizinhança compacta K i em M i. Diante disso a vizinhança K = K 1... K n é compacta e dai M é localmente compacto. 2.6 Espaços Normados Nesta seção vamos recordar a definição de norma. Definição 2.6.1 Uma norma num espaço vetorial X é uma função. : X R que satisfaz: (a) ξ 0 e ξ = 0 ξ = 0; (b) αξ = α ξ α R, ξ X; (c) ξ + η ξ + η, ξ, η X. O espaço (X,. ) é chamado espaço normado. Note que todo espaço normado é um espaço métrico. De fato, devemos verificar as propriedades de métrica. Seja d : X X R dada por d(x, y) = x y. Observe que (a) d(x, y) = x y 0 e d(x, y) = x y = 0 x y = 0 x = y; (b) d(x, y) = x y = 1(y x) = 1 y x = y x = d(y, x), x, y X; (c) d(x, z) = x z = x y +y z x y + y z = d(x, y)+d(y, z), x, y, z X. Definição 2.6.2 Um espaço normado que é completo com a métrica induzida por esta norma é chamado de espaço de Banach. Definição 2.6.3 Duas normas. 1 e. 2 num espaço vetorial X são equivalentes se existem A, B > 0 tais que A ξ 1 ξ 2 B ξ 1, ξ X 73

Observação 2.6.1 (a) Normas equivalentes num espaço X geram a mesma topologia (b) Normas equivalentes possuem as mesmas sequências de Cauchy. Portanto se. 1 e. 2 são equivalentes e (X,. 1 ) é de Banach então (X,. 2 ) também é de Banach. Seja X um espaço vetorial e seja A X. Iremos definir L(A) como sendo o conjunto de todas as combinações lineares finitas dos elementos de A. Diremos que A é linearmente independente se toda combinação linear finita de elementos de A que são iguais a zero implica que os coeficientes dessa combinação são todos nulos. Definição 2.6.4 Seja X um espaço vetorial e A X. Diremos que A é base de X se A for linearmente independente e L(A) = X. Se existe uma base finita de X com n elementos, diz-se que a dimensão algébrica de X, denotada por dim X é igual a n. De outra forma diz-se que a dimensão de X é finita. Teorema 2.6.1 Seja X um espaço vetorial de dimensão finita. Então todas as normas em X são equivalentes. Demonstração: Seja {e 1, e 2,..., e n } uma base de X. Vamos mostrar que toda norma n. é quivalente a ξ = α j em que ξ = α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + α n e n. Note que para 1 j n temos j=1 ξ = n α j e j j=1 n α j e j j=1 max{ e j } = B ξ, n α j j=1 onde B = max{ e j }, 1 j n. Por outro lado, devemos provar que existe A tal que para todo ξ X tem-se ξ A ξ. Para isto, suponha por absurdo que para todo N N exista ξ N X tal que ξ N A ξ N. Note que ξ N > N ξ N ξ N ξ N > N ξ N ξ N ou seja ξ N ξ N > N ξ N ξ N. 74

Façamos ξ N = η N e notemos que η N = 1. Assim 1 > N η N. Do fato de termos η N = 1 temos que B x (0, 1) é compacta (dimensão finita), o que implica ser sequêncialmente compacta, isto é existe η o B x (0, 1), ou seja η o = 1 tal que η Nj η o em B x (0, 1). Dai, η o η o η Nj + η Nj η o η Nj + η Nj B η o η Nj + 1 N j que converge para zero quando j, ou seja η o = 0 o que implica que η o = 0 o que é absurdo pois η o = 1. Corolário 2.6.1 Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é um espaço de Banach. Demonstração: Como todas as normas são equivalentes vamos provar que (X,. ) é k completo onde ξ = α j. Seja (ξ n ) uma sequência de Cauchy. Note que ξ n ξ m j=1 converge para zero quando n, m. Observe que ξ n = α n 1e 1 +... + α n ke k, ξ m = α m 1 e 1 +... + α m k e k, dai temos que Portanto, (ξ n ξ m ) = (α n 1 α m 1 )e 1 +... + (α n k αm k )e k. ξ n ξ m = k αi n αi m 0 i=1 quando n, m. Note ainda que α n j α m j k αi n αi m 0 i=1 para todo j = 1, 2,..., k. Logo (αj n ) n N é de Cauchy em R e dai αj n αj. o Defina agora ξ o = α1e o 1 +... + αne o n X. Vamos mostrar que ξ n ξ o 0. Observe que lim ξ n ξ o = lim k k Portanto ξ o é o limite de ξ n quando n. 75 k αi n αi o = 0. i=1

2.7 Compacidade em Espaços Normados Lema 2.7.1 (Lema de Riesz) Sejam X um subespaço vetorial fechado próprio do espaço normado (N,. ). Então, dado α (0, 1) existe ξ N X tal que ξ = 1 e ξ η α, η X. Demonstração: Seja ζ N X. Como X é fechado então d(ζ, X) = c = inf{d(ζ, η)} com η X. Como α (0, 1) então 1 α > 1, assim c > c, da definição de ínfimo, existe α w X com c ζ w c α. Definimos ξ = ζ w e para todo η X tem-se ζ w ξ η = ζ w ζ w η = 1 c ζ w ζ w η ζ w ζ w α. Teorema 2.7.1 A bola fechada B[0, 1] num espaço vetorial normado N é compacta se e somente se dim N é finita. Demonstração: Todo subconjunto fechado e limitado num espaço vetorial de dimensão finita é compacto. Se N não tem dimensão finita, vamos construir uma sequência (ξ j ), ξ j = 1 j e (ξ j ) não tem subsequência convergente. Seja ξ 1 N, ξ 1 = 1. Note que L({ξ 1 }) é um espaço normado de dimensão igual a 1, o que implica que L({ξ 1 }) é completo, o que implica também que L({ξ 1 }) é fechado. Pelo Lema de Riesz dado α = 1 2 existe ξ 2 com ξ 2 = 1 e ξ 1 ξ 2 1 2. Seja agora L({ξ 1, ξ 2 }). Pelo mesmo argumento acima L({ξ 1, ξ 2 }) é fechado, logo existe ξ 3 N, com ξ 3 = 1, ξ 1 ξ 3 1 2 e ξ 2 ξ 3 1 2. Prosseguindo indutivamente existe uma sequência (ξ j ) B[0, 1] com ξ j ξ k 1 2 para todo j k e portanto B[0, 1] não é compacta. 2.8 Espaços Separáveis Definição 2.8.1 Seja N um espaço normado. Uma base de Schauder de um espaço normado N é uma sequência (ξ n ) em N em que cada vetor ξ N associa-se uma única sequência de escalares (α j ) tais que ξ = j=1 α j ξ j := lim n α j ξ j. j=1 Definição 2.8.2 Um espaço métrico é separável se existe um subconjunto enumerável e denso nesse espaço. Proposição 2.8.1 Seja N um espaço vetorial normado. (a) Se N possui base de Shauder, então N é separável. 76

(b) N é separável se, e somente se existir um subconjunto de N que é enumerável, total e linearmente independente. Demonstração: Se existe uma base de Shauder (ξ n ) dado ξ X existe (α n ) tal que ξ = α n ξ n o que é equivalente a dizer que para todo ɛ > 0 existe n o N tal que ξ n=1 n α k ξ k < ɛ, n n o. Seja B o conjunto formado por todas as combinações lineares k=1 finitas de (ξ n ) com coeficientes racionais. Este subconjunto de X é enumerável e denso. Dado ξ X ξ = lim n α j ξ j. Como Q R e Q = R dados α j R existe q j R tal que α j q j < ɛ. Logo, para todo ɛ > 0 ξ k q j ξ j ξ j=1 ɛ + < ɛ + ɛ j=1 k α j ξ j + j=1 k α j q j ξ j j=1 k ξ j. j=1 k α j ξ j q j ξ j j=1 Isto prova (a). Para provar (b) como em (a) as combinações lineares finitas com coeficientes racionais do conjunto total formam um subespaço denso de N e do fato de estas combinações lineares serem enumeráveis segue que N é separável. Reciprocamente, se N é separável, existe um subconjunto enumerável e denso {ξ 1, ξ 2,..., ξ n,...}. Escolha η 1 como sendo o primeiro dos ξ n não nulo. Escolha η 2 como sendo o segundo dos ξ n não nulo de forma que {η 1, η 2 } seja linearmente independente. Procedendo assim sucessivamente construimos uma sequência {η 1, η 2,..., η n } que gera o mesmo espaço vetorial e esta última é enumerável e linearmente independente. 2.9 Operadores Lineares Definição 2.9.1 Um operador linear entre os espaços vetoriais X e Y é uma aplicação T : domt X Y, em que seu domínio domt é um subespaço vetorial e T (ξ + αη) = T (ξ) + αt (η) para todos ξ, η domt e todo escalar α F. 77

Exemplo 2.9.1 São exemplos de operadores lineares o operador Id : X X dado por Id(x) = x (operador identidade) e D : C 1 ([0, 1] : R) C 0 ([0, 1] : R) dado por D(f) = f (operador derivada). Exemplo 2.9.2 O operador T t : C(R : R) C(R : R) definido por T t (f)(x) = f(t + x) é linear. Este operador é chamado operador translação. Este operador é linear. De fato, T t (f + αg)(x) = (f + αg)(t + x) = f(t + x) + αg(t + x) = T t (f)(x) + αt t (g)(x) Observação 2.9.1 Seja T : domt X Y um operador linear. (a) Img(T ) = T (domt ) e N(T ) = {ξ domt : T ξ = 0} são subespaços vetoriais; (b) Se dim(dom T)=n então dim(img T) n; (c) T 1 : Img(T ) domt existe se e somente se N(T ) = {0}, e existindo, é um operador linear. Teorema 2.9.1 Seja T : N 1 N 2 um operador linear entre espaços normados. Então as seguintes proposições são equivalentes: (a) sup ξ 1 T ξ <, ou seja, a imagem da bola unitária é limitada; (b) existe C > 0 de modo que T ξ C ξ, ξ N 1 ; (c) T é uniformemente contínuo; (d) T é contínuo; (e) T é contínuo em zero. Demonstração: (a) (b). Seja C = sup ξ 1 T ξ, se ξ 0 N 1 então o que implica para todo ξ N 1. Para mostrar (b) (c) se ξ, η N 1 então ( ) ξ T sup ξ ξ 1 T ξ = C 1 T (ξ) C T (ξ) C ξ ξ T ξ T η = T (ξ η) C ξ η 78

onde concluímos que T é Lipschitz e portanto uniformemente contínua. Disso temos que T é contínua, e portanto contínua no zero. Resta mostrar agora que (e) (a). De fato, como T é contínua em zero, temos que dado ɛ = 1 existe δ > 0 tal que se ξ < δ então T ξ < 1. Portanto, se ξ 1 então δξ δ o que implica que T (δξ) 1 e dai T ξ 1 δ para todo ξ B(0, 1) e assim sup ξ 1 T ξ 1 δ. Definição 2.9.2 Um operador linear contínuo é também chamado limitado, e o conjunto dos operadores limitados de N 1 em N 2 será denotado por B(N 1, N 2 ). Será usado B(N ) como abreviação de B(N, N ). Exemplo 2.9.3 Seja N = (C(R : R),. ).O operador T t : N N definido por T t (f)(x) = f(t + x) é limitado. De fato, T t (f)(x) = f(t + x) < f o que implica que sup x R T t (f)(x) < f e dai T t (f) < f. Proposição 2.9.1 Se T : N 1 N 2 é linear e dimn 1 < então T é limitado. Demonstração: Defina a norma ξ = ξ + T ξ. anterior é mesmo uma norma: Verifiquemos que a expressão ξ 0. Se ξ = 0 ξ + T ξ = 0 ξ = 0 ξ = 0 αξ = αξ + T (αξ) = α ξ + α T (ξ) = α ξ ξ + η = ξ + η + T (ξ + η) = ξ + η + T ξ + T η ξ + η + T ξ + T η = ξ + η. Usando o fato de que todas as normas são equivalentes temos o que implica que T é limitada. T ξ ξ C ξ T ξ C ξ Vamos verificar que B(N 1, N 2 ) é um espaço vetorial com as operações usuais, e decorre que é uma norma em B(N 1, N 2 ). De fato, se T := sup T ξ, ξ N 1 e ξ 1 T B(N 1, N 2 ), T = 0 T ξ = 0, ξ N 1, ou seja T = 0; αt = sup ξ 1 αt ξ = α sup ξ 1 T ξ = α T T + S = sup ξ 1 T ξ + Sξ sup ξ 1 ( T ξ + Sξ ) T + S. 79

O próximo resultado responde de forma bem simples sob quais condições B(N 1, N 2 ) é um espaço de Banach. Teorema 2.9.2 Se N é um espaço normado e B um espaço de Banach então B(N, B) é de Banach. Demonstração: Seja (T n ) n=1 uma sequência de Cauchy em B(N, B). Para cada ξ N tem-se T n ξ T k ξ T n T k ξ e dai segue que (T n ξ) n=1 é de Cauchy em B e converge para η B. Defina T : N B por T ξ = η, o qual é claramente linear. Vamos mostrar que este operador é limitado e T n T em B(N, B). Dado ɛ > 0 existe N(ɛ) de maneira que se n, k > N(ɛ) então T n T k < ɛ. Pela continuidade da norma segue que T n ξ T ξ = lim k T n ξ T k ξ ɛ ξ, n N(ɛ), e (T n T ) B(N, B) com T n ξ T ξ ɛ. Como B(N, B) é um espaço vetorial e T = T n + (T T n ), segue que T B(N, B). A desigualdade T n T ɛ para todo n N(ɛ) mostra que T n T e B(N, B) é completo. Definição 2.9.3 Sejam f : X Z e g : Y Z aplicações entre conjuntos. f é uma extensão de g, ou g é uma restrição de f, se Y X e para todo t Y tem-se f(t) = g(t). Denota-se f Y = g Teorema 2.9.3 Seja T : domt N B, com domt denso em N, um operador linear limitado. Então T possui uma única extensão T B(N, B). Além disso T = T. Demonstração: Sejam ξ N e ξ n ξ com {ξ n } domt. Como T ξ n T ξ m T ξ n ξ m temos que {T ξ n } é de Cauchy em B, logo convergente. Defina η = T ξ = lim T ξ n. Vamos mostrar que T está bem definida e que T = T. Se ξ ξ, (ξ n) domt, então a sequência ξ 1, ξ 1, ξ 2, ξ 2,..., ξ n, ξ n,... ξ é de Cauchy. Logo, pelo mesmo argumento acima temos que T ξ 1, T ξ 1, T ξ 2, T ξ 2,... η. Como {T ξ n } é uma subsequência dessa última tem-se que η = η e T : N B está bem definido. T é linear e extensão de T, pois se ξ domt considere a sequência ξ, ξ, ξ,..., e T ξ = lim T ξ = T ξ. Agora, para ξ N, usando a continuidade da norma de forma que T T. Por outro lado T ξ = lim T ξ n lim T ξ n = T ξ n, 80

T = sup ξ domt T ξ sup ξ N T ξ = T, com ξ = 1. Suponha agora que S seja outra extensão de T e seja ξ N. Então para toda sequência {ξ n } domt, ξ n ξ, tem-se T ξ n = Sξ n e por continuidade T ξ = Sξ. Logo S = T. Definição 2.9.4 Se N é um espaço normado, então o espaço de Banach B(N, F) será denotado por N e é chamado de espaço dual. Cada elemento de N é chamado de funcional linear contínuo em N. 2.10 Princípio da Limitação Uniforme Teorema 2.10.1 Seja a família de operadores {T α } α J ξ B temos em B(B, N ) tal que para cada sup α J T α ξ <. Então sup α J T α < Demonstração: Seja E k = {ξ B : T α ξ k, α J = α J Tα 1 (B(0, k)) fechado. Note que B = E k. Logo, pelo Teorema de Baire existe um E m com k=1 IntE m, o que implica que existe B(ξ o, r) E m para algum ξ o e para algum r > 0. Seja ξ um ponto qualquer em B. Mostremos agora que De fato, η = ξ o + r ξ 2 ξ B(ξ o, r) E m. η ξ o = ξ o + r ξ 2 ξ ξ o = ξ r ξ 2 < r. Como η E m temos que ( ) r T ξ α 2 ξ = T α η T αξ o T α η + T αξ o m + m = 2m. 81

Logo, T α ( ) (ξ) 4m, α J o que implica ξ r T α (ξ) 4m r ξ e daí sup α J T α 4m r <. Corolário 2.10.1 Teorema de Banach-Steinhaus. Seja {T n } n=1 uma sequência em B(B, N ) tal que para todo ξ B existe o limite T ξ := lim T n ξ. Então sup n T n < e T é um operador linear em B(B, N ) Demonstração: Mostremos inicialmente que T é linear. De fato, T (ξ + η) = lim T n (ξ + η) = lim T n ξ + lim T n η = T ξ + T η; T (αξ) = lim T n (αξ) = α lim T n ξ = αt ξ. Como para todo ξ B existe lim T n ξ, temos que sup n T n ξ < e pelo princípio da limitação uniforme temos sup n T n <. Note agora que e portanto T é limitado. T ξ = lim T n ξ = lim T n ξ lim T n ξ sup T n ξ 2.11 Teorema da Aplicação Aberta e Gráfico Fechado Recordemos que uma aplicação aberta entre espaços topológicos é dita aberta se a imagem de todo subconjunto aberto é aberto. Pelo fato da demonstração ser muito técnica preferimos omití-la. Teorema 2.11.1 (Aplicação Aberta). Se T B(B 1, B 2 ) com Img(T ) = B 2, então T é uma aplicação aberta. Corolário 2.11.1 Se T B(B 1, B 2 ) é bijetiva entre B 1 e B 2, então T 1 também é uma aplicação linear contínua. Corolário 2.11.2 Seja X é um espaço vetorial tal que. 1 e. 2 são normas em X que tornam X um espaço de Banach. Se existe c > 0 tal que ξ 1 c ξ 2, ξ X então as normas são equivalentes. Demonstração: Seja X 1 = (X, ξ 1 ) e X 2 = (X, ξ 2 ). Seja Id : X 2 X 1. Então ξ 1 c ξ 2 e dai temos que Id B(X 2, X 1 ) e como Id é sobrejetora nesses espaços pelo Teorema da Aplicação Aberta obtemos que Id 1 : X 1 X 2 é um operador contínuo e dai temos que Id : X 1 X 2 é limitado, isto é, existe c > 0 tal que ξ 2 c ξ 1 1 c ξ 2 ξ 1 c ξ 2 e dai. 2 e. 1 são equivalentes. 82 n

2.12 Teorema do Gráfico Fechado Sejam N 1 e N 2 espaços normados, então N 1 N 2 = {(ξ 1, ξ 2 ) : ξ 1 N 1, ξ 2 N 2 } é um espaço normado com (ξ, η) = ξ N1 + η N2. Sejam agora B 1 e B 2 espaços de Banach. Então B 1 B 2 = {(b 1, b 2 ) : b 1 B 1, b 2 B 2 } é um espaço de Banach (ξ, η) = b 1 B1 + b 2 B2 Definição 2.12.1 Se T : domt N 1 N 2 é um operador entre espaços normados, definimos o gráfico de T como sendo o conjunto G(T ) = {(ξ, T ξ) N 1 N 2 : ξ domt } Definição 2.12.2 Um operador linear T : domt N 1 fechado em N 1 N 2. N 2 é fechado se G(T ) for Proposição 2.12.1 Se T : B 1 Banach então T é fechado. B 2 é um operador linear contínuo entre espaços de Demonstração: Seja ξ m ξ com T ξ n η. Como ξ domt e T é contínuo temos que T ξ n T ξ = η e portanto T é fechado. Teorema 2.12.1 (Gráfico fechado). Se T : B 1 B 2 é um operador linear, então T é contínuo se, e somente se T é fechado. Demonstração: Se T é fechado temos que G(T ) = {(x, T x) : x domt } B 1 B 2 é fechado e dai temos que G(T ) é de Banach. Seja π 1 : G(T ) domt e π 2 : G(T ) ImgT as projeções π 1 (x, T x) = x e π 2 (x, T x) = T x, para x domt. Note que π 2 e π 1 são limitadas. De fato π 2 (x, T x) = T x x + T x = (x, T x) π 2 é limitada; π 1 (x, T x) = x x + T x = (x, T x) π 1 é limitada. Note que π 1 é bijetora e π 1 é limitada. Observe também que π 1 : G(T ) B 1 é um operador linear entre espaços de Banach e dai pelo Teorema da Aplicação Aberta π1 1 : B 1 G(T ) é limitada. Logo T = π 2 π1 1 é limitada. 3 Semigrupos 3.1 Aspectos Básicos Definição 3.1.1 Seja L(X) o conjunto dos operadores lineares limitados de um espaço de Banach X em X. Dizemos que uma aplicação S : R L(X) é um semigrupo de operadores lineares limitados de X, quando: (1) S(0) = I, onde I é o operador identidade de X, 83

(2) S(t + s) = S(t)S(s) para todo s, t R. Dizemos que o semigupo S é de classe C o se lim (S(t) I)x = 0, x X. t 0 + Dizemos que o semigrupo S é de contração, quando S < 1. Definição 3.1.2 O operador A : D(A) X definido por S(h) I A(x) = lim x, x D(A), h 0 h onde D(A), o domínio de A, é dado por { S(h) I D(A) = x X : existe lim h 0 h é dito o gerador infinitesimal do semigrupo S. Quando A é o gerador infinitesimal de um C o - semigrupo S, denotamos S = e At. } x Observação 3.1.1 O conjunto D(A) é um subespaço vetorial de X e A é um operador linear. Este fato decorre direto da definição 3.1.2. Teorema 3.1.1 Existe M 1 tal que S(t) Me wt para todo t 0 sendo w uma constante positiva. Demonstração: Vamos mostrar que existe δ > 0 tal que S(t) é limitada em [0, δ], posto que, do contrário, existiria uma sequência t n 0 + tal que S(t) n para todo n N e do Teorema da Limitação Uniforme existiria ao menos um x X tal que S(t n )x n e isso contraria a definição de S(t) ser um C o -semigrupo. Logo S(t) M para todo t [0, δ] e como S(0) = 1 segue que M 1. Agora note que dado t > 0 pelo algoritmo de Euclides, existe n N tal que t = nδ + r onde 0 r δ. Assim, S(t) = S(nδ + r) = S(nδ) S(r). Utilizando a propriedade de semigrupo S(t + s) = S(t)S(s) temos que S(t) = S(δ) n S(r) M n M Observamos que t = nδ + r implica que n t δ e, portanto, 84

S(t) M t δ M = e t δ ln M = Me tw onde w = 1 ln M. δ Exemplo 3.1.1 Denotemos por T (t) o operador de C(X, R) definido como T (t) : C(X, R) C(X, R), T (t)f(x) = f(x + t). onde C(X, R) é o espaço das funções contínuas e limitadas num conjunto X. Mostre que T é um semigrupo e encontre o gerador infinitesimal. De fato, da definição, temos que Por outro lado, De onde concluímos que T (0)f(x) = f(x) f C(X, R) T (0) = I. T (t + s)f(x) = f(x + t + s) T (t) T (s)f(x) = T (t)f(x + s) = f(x + s + t). T (t) T (s)f(x) = T (t + s)f(x) f C(X, R) T (t) T (s) = T (t + s). Portanto, T é um semigrupo de operadores em C(X, R). Para calcular o gerador infinitesimal calculamos o seguinte limite T (h)f(x) f(x) lim h 0 + h f(x + h) f(x) = lim h 0 + h = f (x) = Af(x). Denotando por A o gerador infinitesimal de T, temos e ainda D(A) = {f C(X, R); f C(X, R)} A(f) = d dx f. O operador A é um operador linear, mas não é limitado. Seja f C(X, R), então T (t)f(x) = f(x + t) sup f(y) T (t)f(x) f y R o que implica que sup f 1 T (t)f(x) 1 e dai T (t) L(X) 1 onde concluímos que T (t) é um semigrupo de contração. 85

Conclusão Neste trabalho concluímos que a Análise Funcional é de extrema utilização devido a sua ligação com outras teorias matemáticas, especialmente no estudo das equações diferenciais e equações integrais. 86

Referências [1] DOMINGUES, H. Espaços métricos e introdução a topologia. São Paulo: Editora Atual, 1982. [2] KUHLKAMP, N. Introdução a Topologia Geral. 2 a ed. Florianópolis: Editora da UF- SC.2002. [3] LIMA, E.Espaços Métricos. 2 a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. [4] OLIVEIRA, C. Introdução a Análise Funcional. 2 a Ed. Rio de Janeiro: IMPA,2005 87