Bibliografia Recomendada Barros Neto, B.; Scarminio, I. S.; Bruns, R. E. Como Fazer Experimentos. Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments. Box, G. E. P.; Hunter, J. S.; Hunter, W. G. Statistics for Experimenters. Cornell, J. A. Experiments with mixtures. Portal de periódicos da CAPES http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ebona
Análise de Regressão Nos planejamentos fatoriais os fatores são estudados em dois níveis. Modelo Linear MAIS INFORMAÇÕES!!! Níveis Intermediários Planejamentos Fatoriais com dois níveis são uma etapa inicial!!!
Análise de Regressão Exemplo de análise de regressão 1ª Tentativa: modelo linear Na forma matricial
Análise de Regressão Qual a melhor reta? A melhor reta é aquela que passa o mais perto possível de todos os pontos. Para a melhor reta a soma dos quadrados dos resíduos deve ser a menor possível MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Análise de Regressão
Análise de Regressão Equações normais: Equação de Reta
Análise de Regressão Valores previstos e resíduos ΣResíduos = 0 ΣResíduos 2 0
Análise de Regressão O exame dos resíduos é fundamental para avaliar a qualidade do ajuste de qualquer modelo. A avaliação numérica dos resíduos é feita através da ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA). A análise de variância é baseada na decomposição algébrica dos desvios das respostas observadas em relação à média.
Análise de Regressão COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
Análise de Regressão ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA): Para cada soma quadrática está associado um grau de liberdade (GL): SQ T (n 1) SQ R (p 1) SQ r (n p) SQ/GL = MQ MQ r é uma estimativa da variância dos pontos em torno do modelo MQ r pode ser interpretada como uma medida do erro médio quadrático da equação de regressão
Análise de Regressão ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA): As MQ são utilizadas para avaliar se a equação de regressão é estatisticamente significativa. Para o teste de significância é usada uma distribuição F. O MODELO DE REGRESSÃO É ESTATISTICAMENTE SIGINIFICATIVO
TABELA ANOVA Análise de Regressão
Análise de Regressão Vamos praticar no STATISTICA!!!
Análise de Regressão Expansão da faixa de trabalho Analisem os novos dados!!!
Análise de Regressão Acréscimo do termo quadrático MODELO QUADRÁTICO Ajuste dos coeficientes pelo método dos mínimos quadrados.
Falta de Ajuste Lack of Fit Um exame cuidadoso dos gráficos dos resíduos deve ser considerado obrigatório. Se o experimento for realizada em duplicata, é possível usar essa informação para a estimativa do erro aleatório. SQ resíduo SQ erro puro SQ falta deajuste Desvio dos dados em torno da média Desvio do modelo em torno da média
Falta de Ajuste Lack of Fit ANOVA MAIS INFORMAÇÕES = MAIS EXPERIMENTOS Repetições Verdadeiras!!!
Análise de Regressão Expansão da faixa de trabalho com experimentos duplicados. Analisar a falta de ajuste do modelo linear. Fazer o ajuste para o modelo quadrático e analisar a falta de ajuste.
Metodologia da Superfície de Resposta As principais aplicações da MSR são: Mapeamento de uma superfície dentro da região explorada; Escolha das condições operacionais para obtenção de uma resposta especificada; Busca das condições ótimas ou, pelo menos, das melhores condições na região de interesse. A estratégia para otimização pode ser resumida em duas etapas: Experimentos de varredura para selecionar as variáveis (delineamentos fatoriais). Localizar/certificar a sub-região ótima usando análise da superfície de resposta para modelagem, refinamento e otimização.
Delineamentos Centrais Compostos São os mais indicados para a obtenção de modelos quadráticos. 0 k k k k 2 i i ij i j ii i i 1 i 1 j i i 1 y x x x x Quantidade de Fatores (k) Planejamentos Experimentais 3 k DCC 2 9 9 3 27 15 4 81 25 5 243 43
Delineamentos Centrais Compostos Um planejamento central composto para k fatores é formado de três partes: Uma parte chamada de fatorial (ou cúbica), contendo um total de n f pontos de coordenadas -1 ou +1. Uma parte axial (ou em estrela), formada por 2k pontos com todas as coordenadas nulas exceto uma, que é igual a um certo valor a (ou a). Um total de n c ensaios realizados no ponto central, onde todas as coordenadas são 0.
Delineamentos Centrais Compostos Para realizar um planejamento composto central, precisamos definir como será cada uma dessas três partes. Os pontos cúbicos são idênticos aos de um planejamento fatorial completo ou, dependendo do número de fatores, fracionário. Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um fatorial fracionário de resolução V. A escolha de resoluções menores não é muito trivial e dificulta a análise dos resultados.
Escolha de a Planejamento esférico Para o estudo de regiões esféricas a melhor escolha seria a k Planejamento Rotacional A rotacionalidade permite uma homogeneidade da variância em todas as direções. Para ser rotacional um planejamento cuja porção cúbica seja um fatorial completo ou um fatorial fracionário de resolução V deve ter a 4 n f Planejamento Box-Behnken É um planejamento esférico e no mínimo aproximadamente rotacional, porém são necessários apenas três níveis para as variáveis.
Escolha de a Planejamento cúbico Permite o estudo de regiões cúbicas fazendo a = 1.
Quantidade de Pontos Centrais As repetições no ponto central têm duas finalidades: Fornecer uma medida do erro puro; Estabilizar a variância da resposta prevista. Para estabilizar a variância é ideal fazer de 3 a 5 ensaios repetidos se o planejamento for esférico ou 2 a 3 se for cúbico.
Delineamentos Centrais Compostos Uma outra vantagem dos planejamentos centrais compostos é que, por serem formados por partes distintas, podemos construí-los seqüencialmente. Para evitar a existência de erro sistemático em relação as respostas dos diferentes blocos é necessário que a blocagem seja ortogonal. A blocagem será ortogonal se a n n n f a ca 2 n n f cf Quando fazemos o planejamento em blocos ortogonais estamos sacrificando a rotacionalidade, porém, existem exceções
Exemplo 1 Planejamento central composto rotacional para três fatores: Desidratação osmótica de abacaxi (Barros Neto et al., 2001). Fatores: (A) tempo de contato; (B) temperatura do processo; (C) concentração da solução osmótica. Resposta: perda de peso relativa.
Factor M ean/interc. (1)A (L) (2)B (L) (3)C (L) Regr. Coefficients; Var.:%PP; R-sqr=,75191; A dj:,70229 (2**(3) c 3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; M S Residual=3,50942 DV: %PP Regressn Std.E rr. t(15) p -95,% +95,% Coeff. Cnf.Lim t Cnf.Lim t 54,12842 0,429775 125,9460 0,000000 53,21238 55,04446 1,24252 0,506923 2,4511 0,026983 0,16204 2,32300 2,55285 0,506923 5,0360 0,000148 1,47236 3,63333 1,90296 0,506923 3,7539 0,001915 0,82248 2,98344 ANOV A; Var.:%P P; R-sqr=,75191; Adj:,70229 (2**(3 3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Pure Error=,56473 DV: %PP Factor SS df MS F p (1)A (L) 21,0843 1 21,08431 37,3352 0,003632 (2)B (L) 89,0020 1 89,00202 157,6010 0,000232 (3)C (L) 49,4550 1 49,45502 87,5729 0,000726 Lack of Fit 50,382411 4,58022 8,1105 0,028910 Pure Error Total SS 2,2589 4 212,182718 0,56473
62 60 58 56 54 Predicted Values 52 50 48 46 46 48 50 52 54 56 58 60 Observed Values
4 3 2 1 0 Raw Residuals -1-2 -3-4 46 48 50 52 54 56 58 60 62 Predicted Values
C = 0 2,0 C = 0 1,5 B 1,0 0,5 0,0-0,5 56 54 52 50 48 46 44 42 40-1,0-1,5-2,0-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 A 56 54 52 50 48 46 44 42 40
Factor A B C Critical values; Variable: %P P (2**(3) central com posit Solution: m axim um Predicted value at solution: 58,42687 Observed Critical Observed Minimum Values Maximum Predicted Value; V ar.:%pp; R-sqr= -1,68179 0,868892 1,681793-1,68179 0,640952 1,681793-1,68179 0,788969 1,681793 Factor Constant (1)A (L) A (Q) (2)B (L) B (Q) (3)C (L) C (Q) 2L by 3L Predicted -95,% Conf. +95,% Conf. -95,% Pred. +95,% Pred. 3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Re DV: %PP Regressn Value Coeff. * Coeff. Value 56,31824 1,24252 0,868900 1,07963-0,71500 0,754987-0,53982 2,55285 0,641000 1,63637-1,46984 0,410881-0,60393 1,90296 0,789000 1,50144-0,86173 0,622521-0,53644-0,84750 0,505749-0,42862 58,42687 57,47891 59,37482 56,20933 60,64440
x 1 tempo 210 tempo 0,8689 53 210 256,05 53 x 2 temperatura 40 temperatura 0,6410 6 40 43,85 6 x 3 concetração 65 concentração 0,7890 3 65 67,38 3
Exemplo 2 Planejamento Box-Behnken para três fatores: Preparo de pudins com introdução de proteína solúvel de soja e soro de queijo (Castro, 1991). Fatores: (x 1 ) proteína de soja; (x 2 ) leite integral; (x 3 ) soro. Resposta: aceitabilidade obtida através de escala hedônica.