Planejamento de Misturas

Transcrição

1 Na maioria dos planejamentos os níveis dos fatores são independentes. As propriedades de uma mistura são determinadas pelas proporções de seus ingredientes, e não por valores absolutos. Planejamento de Misturas A soma das proporções dos diversos componentes de uma mistura é sempre 100%.

2 Planejamento de Misturas Para especificar a composição da mistura, só precisamos fixar as proporções de n 1 componentes. Diagramas binários.

3 Diagramas Ternários

4 Diagramas Ternários Q x1 = 50% x2 = 10% x3 = 40% P x1 = 20% x2 = 50% x3 = 30% S x1 = 60% x2 = 30% x3 = 10%

5 Planejamentos de Misturas O modelo matemático escolhido define qual é o planejamento mais adequado. Os modelos mais utilizados são: Linear. Quadrático. Cúbico completo. Cúbico especial. Existem duas classes principais de planejamentos de mistura: Planejamento simplex-lattice. Planejamento simplex-centroid.

6 Modelos de Misturas Modelos de mistura para p componentes: Linear Efeito Principal Quadrático Efeito de Interação Binária Cúbico completo Cúbico especial Efeito de Interação Ternária

7 Interação entre os Ingredientes As interações entre os componentes geram curvaturas no modelo de mistura e podem ser de dois tipos: Interação de efeito sinérgico. Interação de efeito antagônico.

8 Simplex-Lattice {p, m} Simplex-Lattice: p componentes, com m + 1 pontos igualmente espaçados. Todas as combinações possíveis dos pontos são utilizadas. {2, 1} X1 X Qual modelo de mistura posso usar?

9 Simplex-Lattice {2, 2} X1 X2 0 1 ½ ½ 1 0 Modelo de mistura???

10 Simplex-Lattice {3, 2} X1 X2 X ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½ Qual modelo de mistura posso usar? Para usar o modelo cúbico completo seriam necessários quantos experimentos? Como seria representado o planejamento?

11 Simplex-Lattice

12 Simplex-Lattice

13 Simplex-Lattice A quantidade de pontos em um planejamento simplex-lattice {p, m} é: O planejamento simplex-lattice permite a obtenção de modelos cúbicos completos.

14 Simplex-Centroid É uma alternativa ao planejamento simplexlattice que permite a construção de modelos cúbicos especiais. Um planejamento simplex-centroid para p componentes possui 2 p 1 pontos. Componentes Formulações Simplex-lattice Simplex-centroid

15 Simplex-Centroid O planejamento é composto por: p permutações (1, 0, 0,..., 0). permutações (½, ½, 0,..., 0). permutações (1/3, 1/3, 1/3, 0,..., 0). Centróide (1/p, 1/p,..., 1/p). 2 p 3 p!!! k n k n k n

16 Simplex-Centroid

17 Planejamentos Simplex Para os planejamentos do tipo simplex a maioria dos pontos experimentais estão no contorno da região experimental e envolvem apenas p 1 componentes. É recomendável a utilização de pontos internos (axiais) além do centróide.

18 Simplex-Centroid com pontos internos Meia distância entre o componente puro e o centróide Eixo do componente 3

19 Mistura de dois componentes O modelo mais simples para uma mistura de dois componentes é o modelo aditivo, ou linear: ŷ b0 b1 x1 b2 x2 x 1x2 1 Os fatores x 1 e x 2 não são mais independentes e, portanto, a matriz X t X é singular.

20 Dois Componentes Modelo Linear A restrição de mistura pode ser utilizada para produzir modelos mais fáceis de interpretar. ŷ b0 b1 x1 b2 x2 x 1x2 1 ŷ b x x b x b x * * ŷ b b x b b x b x b x

21 Dois Componentes Modelo Linear O modelo linear de mistura para dois componentes possui apenas dois coeficientes, assim, são necessários apenas dois experimentos distintos. Os coeficientes do modelo são as próprias respostas para os respectivos componentes puros. X1 X É possível aumentar a precisão do modelo fazendo repetições dos ensaios.

22 Dois Componentes Modelo Quadrático A ampliação mais simples do modelo linear é o modelo quadrático: ŷ b b x b x b x b x b x x x x 1 x x 1 x x x 1 x yˆ b x x b x b x b x 1 x b x 1 x b x x ŷ b b b x b b b x b b b x x ŷ b x b x b x x * * *

23 Mistura de três componentes Modelo linear: ŷ b x b x b x * * *

24 Mistura de três componentes Modelo quadrático: ŷ b x b x b x b x x b x x b x x * * * * * *

25 Mistura de três componentes Modelo cúbico completo (simplex lattice): ŷ b x b x b x b x x b x x b x x d x x x x * * * * * * * d x x x x d x x x x b x x x * * * Modelo cúbico especial (simplex centróide): ŷ b x b x b x b x x b x x b x x b x x x * * * * * * *

26 Avaliação Estatística dos Modelos A construção de modelos de mistura é um caso particular de ajuste por mínimos quadrados. A significância estatística desses modelos deve ser avaliada com uma análise de variância. Um modelo com mais parâmetros explicará uma soma quadrática maior. Ao acrescentar um termo um grau de liberdade do resíduo é transferido para a regressão. O teste F indica se a ampliação do modelo é necessária.

27 Estudo de Caso 1 Planejamento de mistura para três componentes: formulação de um achocolatado em pó com substituição de 42% dos sólidos do leite por uma mistura de proteínas (Castro, I. A.; Silva, R. S. F.; Tirapegui, J.; Borsato, D.; Bona, E. Simultaneous optimization of response variables in protein mixture formulation: constrained simplex method approach. International Journal of Food Science and Technology, v.38, p , 2003). Componentes da mistura: (HG) gelatina hidrolisada; (WG) proteína de trigo; (SPI) isolado protéico de soja. Respostas: (SENS) avaliação sensorial; (PDCAAS) avaliação nutricional; (NPR) avaliação nutricional; (CUSTO) custo proporcional da mistura.

28 Estudo de Caso 1

29 Funções de Desejabilidade É uma técnica de otimização simultânea desenvolvida por Derringer & Suich (1980). O primeiro passo é converter cada resposta yi em uma função de desejabilidade individual di. Os componentes da mistura (ou fatores de outros tipo de planejamento) são ajustados para maximizar a desejabilidade global.

30 Desejabilidades Individuais Para maximizar uma propriedade (unilateral).

31 Desejabilidades Individuais Para minimizar uma propriedade (unilateral).

32 Desejabilidades Individuais Para atingir um valor alvo usa-se uma função bilateral.

33 Misturas com Restrições Existem casos em que certas limitações são impostas nas proporções dos componentes. Quando se tem limites uma nova região do planejamento de misturas deve ser utilizada. No caso de limites inferiores os planejamentos do tipo simplex ainda podem ser utilizados. Para o caso de limites e superiores a região experimental é uma forma irregular e outros tipos de planejamento diferente do simplex devem ser utilizados.

34 Pseudocomponentes A utilização de pseudocomponentes permite a utilização dos planejamentos do tipo simplex quando existe uma restrição inferior para os componentes da mistura. Para o caso geral de p componentes: Codificação (Pseudocomponente) Descodificação (Componente Original)

35 Pseudocomponentes Exemplo Imagine que para uma determinada mistura ternária existam as seguintes restrições: Monte um planejamento simplex-lattice {3,2}. X 1 X 2 X ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½ Pseudocomponentes Descodificação X 1 X 2 X 3 0,65 0,20 0,15 0,35 0,50 0,15 0,35 0,20 0,45 0,50 0,35 0,15 0,50 0,20 0,30 0,35 0,35 0,30

36 Pseudocomponentes Exemplo Região experimental (componentes originais):

37 Estudo de Caso 2 Aplicação de pseudocomponentes para avaliar o comportamento reológico de misturas ternárias de polpas de frutas (BRANCO, I. G. & GASPARETTO, C. A. Aplicação da metodologia de superfície de resposta para o estudo do efeito da temperatura sobre o comportamento reológico de misturas ternárias de polpa de manga e sucos de laranja e cenoura. Ciência e Tecnologia de Alimentos, v.23, suplemento, p , 2003). Componentes da mistura: X 1 = polpa de manga ; X 2 = suco de laranja; X 3 = suco de cenoura. Restrições para os componentes: X 1 60%; X 2 10%; X 3 10%.

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