mono-log e di-log (log-log)

Prática 1 Representação gráfica de dados 1 Representação de dados: uso de gráficos linearlinear, mono-log e di-log (log-log Nas atividades experimentais, muitas vezes, pretende-se estudar a maneira como uma grandeza varia com relação a outra. Por exemplo: De que modo o período de um pêndulo depende do seu comprimento? Além disso, mesmo supondo, por exemplo, uma partícula em movimento uniforme, a medida de uma posição em um momento particular não nos permite calcular a velocidade com alguma segurança e muito menos verificar se o movimento é de fato uniforme lembre-se de que uma única medida não é um indicador da quantidade relevante, pois pequenas flutuações sempre ocorrem. omo veremos adiante, é muito melhor medir a posição em instantes subsequentes e, deste conjunto de dados, calcular a relação entre tais quantidades (a velocidade média da partícula, neste caso. Em muitos casos, o método gráfico pode evidenciar essa relação mais claramente que a simples tabela de dados. Aqui veremos como otimizar nossos gráficos feitos em papel, de forma que a inserção dos pontos e a extração de informação físicamente relevante para o fenômeno estudado sejam as melhores possíveis. Você pode ver este estudo como a determinação das características desejáveis em um aplicativo ou software que você pode desenvolver no futuro. Nesse trabalho falaremos sobre a utilização de escalas lineares e logarítmicas. Sugerimos fortemente que você refaça todos os exemplos a seguir sozinho, no papel adequado, tomando os seguintes cuidados: Verifique se você precisará determinar o coeficiente linear (veja as definições abaixo. A escala dos eixos deverá ser adequada para permitir uma determinação gráfica de tal coeficiente, se ele tiver uma interpretação física interessante. Isso ficará mais claro nas próximas seções. No cálculo do coeficiente angular, use pontos da reta que melhor se adapta aos dados. Não use um ponto da tabela, a menos, claro, que a reta passe exatamente por ele. Escolha uma escala que permita o uso de quase todo o papel, mas sem que seja quebrada isto dificultaria enormemente a marcação de pontos e a leitura das coordenadas de um ponto qualquer no gráfico que você vai traçar. 1.1 Linear-Linear Escalas lineares são usadas em ambos os eixos; é a análise gráfica mais simples a ser feita. Vários casos são apresentados ao longo das disciplinas de laboratório por exemplo, o 1

1.1 Linear-Linear 2 gráfico da posição de um carrinho em função do tempo durante seu movimento retilíneo (uniforme ou não. Por exemplo, considere a Tabela 1.1, obtida em um certo experimento, durante o qual você mediu a posição de um objeto (y em certos instantes de tempo (x. A tabela indica, em seu cabeçalho, as unidades adotadas e as incertezas nas medidas. Observe que, no exemplo em questão, a incerteza em y é a mesma em todas as medidas; se não fosse, ela teria que ser indicada em cada linha da tabela. Note também que não há indicação da incerteza na variável x pois estamos desprezando-a. Isso é uma boa aproximação quando δx x δy y. x(s (y ± 10 (cm 0 29 1 53 2 81 3 99 4 136 5 145 6 182 7 194 8 207 9 237 10 282 Tabela 1.1: Tabela de pontos. Na coluna y, todos os pontos obtidos experimentalmente têm erros de ±10cm. Para fazer um gráfico adequado, que nos permita determinar as características interessantes do movimento, precisamos primeiro determinar: qual variável deve ser indicada no eixo vertical e qual a melhor escala a ser usada em cada eixo. EIXO VERTIAL: Em geral, vamos colocar no eixo vertical a variável que tem a maior incerteza relativa, ou seja, aquela que conhecemos com menor precisão. Esta escolha é feita porque os métodos de ajuste mais usados (veja o Apêndice correspondente desprezam as incertezas na variável de eixo horizontal (também chamada de variável independente para determinar a melhor curva que se adapta aos pontos obtidos pela experiência. Em alguns casos, poré, podemos ignorar este critério. Isso acontece quando, por exemplo, o coeficiente linear do gráfico com os eixos trocados tem uma interpretação física mais imediata e, portanto, é mais interessante.

1.2 Mono-log 3 300 250 200 y (cm 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 x (s Figura 1.1: Pontos da tabela 1.1 em um papel linear. ESALA: Note que a escala em cada eixo é completamente independente da outra. Por exemplo, em um eixo podemos definir as correspondências 1cm 1cm (no eixo y e 1cm 10s (no eixo y. Podemos até, a princípio, determinar zeros diferentes para cada eixo. Uma boa escala deve: Permitir que todos os valores da tabela (incluindo as barras de erro! sejam representados no papel. Os pontos devem ocupar (quase todo o papel. Permitir uma fácil leitura das coordenadas de um ponto qualquer da curva que será traçada. Se o coeficiente linear tiver uma interpretação física interessante, então sua determinação gráfica (direta deve ser possível. Para isso, a linha correspondente a x = 0 deve estar presente. Não existe uma resposta única para a melhor escala, mas existem, sim, escalas inapropriadas, como, por exemplo: escalas em dízimas (3cm = 10s, escalas que concentrem os pontos em uma pequena fração do papel (dificultando, assim, o traçado da melhor curva, etc. 1.2 Mono-log No que segue, utilizaremos o log na base de 10, indicado como Vamos analisar a seguinte função f(x: f(x = A exp(b x A e B x (1.1

1.2 Mono-log 4 onde f(x e A têm a mesma dimensão e B tem a dimensão de x 1 (pois só assim o argumento da exponencial é adimensional 1. Dividimos ambos os lados da equação acima por uma constante arbitrária 0, que tenha a mesma dimensão de f(x (e, portanto, a mesma de A, e tomamos o logaritmo de ambos os lados: ( f(x ( ( A A = eb x = [ ] + exp(b x (1.2 ( f(x = log10 (à + log10 [exp(b x], (1.3 ( f(x log10 (à = log10 [exp(b x], (1.4 onde f f(x/ e à A/. Para simplificar a expressão acima, precisamos mudar a base do logaritmo, usando a identidade já conhecida: e assim a equação (1.4 fica x ln x ln 10 ( f(x log10 (à = log10 [exp(b x] = ln [exp(b x] ln 10 ( Definindo Y log f(x 10 = log10 ( f (, D log A 10 = log10 (à e a expressão da Eq. (1.6 pode então ser escrita como (1.5 = B x, (1.6 ln 10 B B/ ln 10. (1.7 Y = D + B x (1.8 A equação acima diz que a relação entre Y e x é linear, ou seja, se os valores experimentais destas grandezas forem marcados em um papel linear, os pontos estarão alinhados (a menos de pequenas flutuações experimentais. No entanto, Y é, na verdade, o logaritmo de uma outra quantidade (Y = [f(x/] = [ f(x], ou seja, f(x = 10 Y. Portanto, se os valores de f(x forem marcados em um papel linear, eles não estarão alinhados. Veja o exemplo da Tabela 1.2 e Fig. 1.2. Um ajuste de uma curva a estes pontos não forneceria nenhuma informação visual diretamente, pois o comportamento claramente não é linear. Visualmente, a curva pode ser uma parábola, cúbica ou exponencial; é impossível dizer! Ao invés de adivinhar uma função, vamos usar uma abordagem completamente diferente: vamos deformar um dos eixos, de modo que os pontos fiquem (aproximadamente alinhados, isto é, dispostos ao longo de uma reta (a menos de flutuações naturais. Isso será útil apenas se esta deformação for matematicamente precisa, de modo que de fato seja possível extrair alguma informação da reta que poderá ser ajustada à nova disposição dos pontos. 1 Se o argumento da exponencial não fosse adimensional, teríamos alguns resultados absurdos, como, por exemplo, exp(1km (errado! = exp(1000m e, se ignorássemos as unidades, uma calculadora forneceria exp(1 = 2, 73 (errado! = 1, 97 10 434 = exp(1000. O mesmo argumento pode ser aplicado a uma função trigonométrica qualquer.

1.2 Mono-log 5 x(s (y ± 10 (cm 1 3 2 5 3 8 4 16 5 23 6 40 7 71 8 113 9 172 10 296 Tabela 1.2: Tabela de valores x(s y(cm. Na coluna y, todos os pontos obtidos experimentalmente têm erros de ±10cm. 300 y (cm 200 100 0 0 2 4 6 8 10 x (s Figura 1.2: Pontos da tabela 1.2 em um papel linear. Se a escala do eixo das ordenadas (vertical for alterada de modo a corresponder ao logaritmo dos valores indicados, estaremos construindo uma escala logarítmica. O que isto significa? Isto quer dizer que, ao invés de posicionarmos os números ao longo deste eixo em posições proporcionais a seus valores (como fazemos tradicionalmente em um papel linear: a distância entre 1 e 2 é mesma que entre 2 e 3; a distância entre 0 e 10 é o dobro da distância entre 0 e 5, e assim por diante, nós os colocaremos em posições porporcionais a seus logaritmos. Note que você não precisa calcular o logaritmo de todos os pontos da sua tabela experimental. O papel mono-log serve exatamente para evitar este trabalho e é extremamente prático: as marcações no eixo logarítmico são dispostas de modo a indicar o logaritmo do número indicado (adimensional! mais precisamente, as distâncias entre as marcações são proporcionais aos logaritmos dos números indicados. Perceba que o padrão ao longo deste eixo se repete periodicamente. ada pedaço é denominado uma década. O motivo pelo qual isto acontece pode ser visto se imaginarmos uma lista de pontos como a da Tabela 1.3.

1.2 Mono-log 6 y (y 1 0 2 0.301 4 0.602 10 1 20 (10 2 = (10 + (2 = 1 + 0.301 40 (10 4 = (10 + (4 = 1 + 0.602 100 = (10 2 = 2 (10 = 2 200 = (10 2 2 = 2 (10 + (2 = 2 + 0.301 400 = (10 2 4 = 2 (10 + (4 = 2 + 0.602 1000 = ( = 3 (10 = 3 2000 = ( 2 = 3 (10 + (2 = 3 + 0.301 4000 = ( 4 = 3 (10 + (4 = 3 + 0.602 Tabela 1.3: Neste exemplo, a variável y é adimensional. Os valores dos logaritmos são aproximados até a 3 a casa decimal. Você consegue ver o padrão se repetindo? Vamos voltar ao exemplo da Tabela 1.2. Se escolhermos = 1 cm (mesma unidade em que y é medido, então podemos marcar diretamente os valores de y no eixo vertical, pois y/ será adimensional (e portanto, e, portanto, o seu logaritmo é bem definido; sem inconsistência como a que mencionamos anteriormente em uma nota de pé de página e o seu valor não será alterado. Veja como ficam os pontos na Fig. 1.3. Assim, o cálculo de B através das Eqs. (1.7, (1.12 e (1.13 é imediato. Note, mais uma vez, que não é necessário calcular o lado direito da Eq. (1.13; na verdade, você pode medi-lo! Você deve perceber ao final que, quando construírmos um gráfico com o eixo horizontal linear (tradicional e o eixo vertical em uma escala logarítmica, uma função exponencial (1.1 será representada por uma reta veja a Eq. (1.8. 1.2.1 oeficientes da reta Vamos descobrir como extrair informações de um gráfico mono-log. Para isso, vamos começar com a tabela 1.4 supondo as unidades indicadas para cada coluna. Suspeitamos que exista uma relação exponencial entre x e y, tal que f(x, dado pela Eq. (1.1, deve ser bem próximo do y correspondente. Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de flutuações no processo de medida em um gráfico mono-log. Note que NÃO é necessário calcular o logaritmo dos y i! Vamos reescrever aqui a Eq. (1.1 e sua versão linear, Eq. (1.8: f(x = A exp(b x A e B x (1.9 Y = D + B x. (1.10 Vamos aplicar a Eq. (1.10 a dois pontos quaisquer da reta: {x 1, f(x 1 } e {x 2, f(x 2 }: [ f(x1 ] = (Ã + B x1

1.2 Mono-log 7 10 4 10 2 90 80 70 60 50 40 30 20 y/ 10 2 90 80 70 60 50 40 y/ 10 1 9 8 7 6 5 4 30 3 20 2 10 1 9 8 7 6 5 4 10 0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 3 0.3 2 0.2 1 0 2 4 6 8 10 12 14 x (s 10-1 0 2 4 6 8 10 12 14 x (s Figura 1.3: Pontos da Tabela 1.2 marcados em dois papéis com escala logarítmica no eixo y. onfira a leitura das coordenadas dos pontos em ambos os eixos, em cada gráfico. Note que não é possível mudar a escala do eixo vertical, como se faz normalmente em um eixo linear; só o que podemos fazer é deslocar as décadas. x(s y (m/s f(x (m/s x 1 y 1 f(x 1 x 2 y 2 f(x 2 x 3 y 3 f(x 3 x 4 y 4 f(x 4 Tabela 1.4: As duas primeiras colunas indicam os dados retirados de um experimento. A terceira coluna indica o valor esperado por um modelo teórico deste experimento, dado matematicamente pela Eq. (1.1. [ f(x2 ] = (Ã + B x2. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos logo [ f(x2 ] [ f(x1 ] = B x 2 B x 1 (1.11 B = [ f(x2 ] [ f(x1 ] x 2 x 1 (1.12 Note que, pela Eq. (1.12, B (e B têm a unidade correta. Note também que o valor de B independe do valor da constante arbitrária escolhida devido à seguinte propriedade

1.2 Mono-log 8 do logaritmo: [ f(x2 ] [ f(x1 ] ( f(x2 =. (1.13 f(x 1 B é o coeficiente angular da reta. Não é correto chamá-lo de tangente da reta, pois, se mudarmos a escala do eixo horizontal, então a inclinação da reta mudará, mas o valor de B, não. Lembre-se de que o parâmetro B na Eq. (1.9 é B B ln(10. O esquecimento deste fator é um erro grave, mas frequentemente é atribuído a erros experimentais! Na prática, para calcular o parâmetro B da Eq. (1.1, devemos primeiro determinar B usando a Eq. (1.12. Para isso, basta escolher dois pontos quaisquer da reta (e não da tabela que melhor se adapta aos pontos experimentais uma dica é escolher 2 pontos cujas coordenadas sejam facilmente determinadas. As coordenadas verticais, ou seja, f(x 1 e f(x 2 devem ser lidas diretamente da escala no eixo vertical. O numerador da Eq. (1.12 é o logaritmo (na base 10 da razão destas coordenadas. O denominador, claro, é a diferença entre as coordenadas horizontais destes mesmos 2 pontos. O último passo é usar a Eq. (1.7 para determinar B. O coeficiente linear D da Eq. (1.1 é facilmente obtido, como em um gráfico linear, ou seja, Y = D quando x = 0: Y (x = 0 = D (1.14 ( ( f(0 A = log 10 (1.15 f(0 = A. (1.16 Lembre-se, contudo, de que o valor lido na escala logarítmica é o valor original y/, e não Y ; o parâmetro A na Eq. (1.9 é o valor lido diretamente na escala do eixo vertical, quando a reta que melhor descreve os pontos corta o eixo x = 0. No exemplo da Fig. 1.3, podemos estimar y/ 2, ou seja, y 2 cm. omo exercício, considere o gráfico da Fig. 1.4, onde os pontos experimentais foram omitidos para não sobrecarregar a figura. Suponha que a reta seja o melhor ajuste a eles e que já tenha sido previamente determinada por algum método. Obtenha a expressão para a reta y(x.

1.3 Di-Log 9 10 2 10 1 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Figura 1.4: Gráfico de f(x em função de x em um papel monolog. 1.3 Di-Log Vamos analisar a seguinte função f(x: f(x = A x B. (1.17 Podemos escrever, com as constantes arbitrárias D 0 e 0 : f(x D = A ( x B D B, f(x = Ã( xb, onde f f(x/d, Ã A B /D e x x/. Vale lembrar que f(x e D têm a mesma dimensão e tem a mesma dimensão de x. alculando o logaritmo de ambos os lados: { f( x } = log10 {Ã ( x B } ( f( x = log10 (Ã + log10 [ ( x B ] ( e definindo Y = log f(x 10 D = log10 ( f (, X = log x 10 = log10 ( x e ( A B (Ã E = log D 10, (1.18

1.3 Di-Log 10 obtemos Y = E + BX. (1.19 Ou seja, ao construírmos um gráfico com ambos os eixos em uma escala logarítmica, do tipo lei de potência, como a Eq. (1.17, será representada por uma reta veja a Eq. (1.19. Um exemplo concreto pode ser visto na Tabela 1.5 e na Fig. 1.5 x(s (y ± 10 (cm 0 6.75 1 19.37 2 59.15 3 116.78 4 194.67 5 284.53 6 402.63 7 486.98 8 681.85 9 1131.30 Tabela 1.5: Tabela de pontos. Na coluna y, todos os pontos obtidos experimentalmente têm erros de ±10cm. 10 4 1400 1200 1000 y (cm 800 600 400 200 y/d 10 2 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 2 4 6 8 10 x (s 10 1 9 8 7 6 5 4 3 2 10 0 1 2 3 4 5 6 7 89 10-1 10 1 20 3040 10 2 200 400 x/ Figura 1.5: Gráficos correspondente à Tabela 1.5 em um papel linear (à esquerda e em um papel di-log (à direita. Note a escolha das décadas no gráfico di-log. Quais os coeficientes linear e angular do gráfico à direita? 1.3.1 oeficientes da reta Vamos partir de uma tabela x y, supondo as unidades indicadas para cada coluna:

1.3 Di-Log 11 x (s y (m/s x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 Suspeitamos que exista uma relação do tipo lei de potência como a Eq. (1.17 entre x e y = f(x. Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de flutuações no processo de medida em um gráfico di-log. Note que NÃO é necessário calcular o logaritmo dos x i nem dos y i! Se escolhermos = 1s (mesma unidade em que x é medido e D = 1m/s (mesma unidade em que y é medido, então podemos marcar diretamente os valores de x e y no eixo vertical. Analogamente ao caso do gráfico mono-log, podemos calcular o coeficiente angular B da Eq. (1.19 através da expressão B = ( f(x2 D log10 ( f(x1 D ( x2 log10 ( x1 = ( log f(x2 10 f(x 1 ( x2 x 1, (1.20 o que mostra que o valor de B independe da escolha das constantes arbitrárias e D. As coordenadas necessárias para o cálculo acima (x 1, f(x 1, x 2 e f(x 2 devem ser feitas como no eixo vertical do gráfico mono-log, ou seja, diretamente na escala do eixo correspondente. Note que, no gráfico di-log, o coeficiente angular é, por construção, a potência na Eq. (1.17 como deveria ser, ambos são adimensionais. O coeficiente linear E da Eq.1.18 pode ser lido diretamente do gráfico di-log no ponto onde X = 0, como de costume, mas cuidado: iso acontece quando X (x/ = 0, ou seja, onde x = (igual a 1s no exemplo em questão. Este eixo frequentemente não coincide com o eixo vertical do seu gráfico. Isto depende da posição das décadas horizontais escolhida por você como visto na Figura 1.3 (para as décadas verticais, isto é completamente arbitrário. A partir dos valores adotados para e D, do valor obtido anteriormente para B e da leitura no gráfico do valor de E, pode-se obter o valor de A, que é a grandeza fisicamente relevante. No exemplo em questão, digamos que medimos, diretamente do gráfico, E = E o e que tenhamos obtido, através da Eq. (1.20, um valor de B = B o. Portanto, E o = ( A (1s B o 1m/s Note, a partir da Eq. (1.17, que a unidade de A é dada por: [A] = [f(x] [x] B = [y] [x] B, ( A =. (1.21 1 m/s Bo+1 que, no atual exemplo, fica [A] = m s s B = m s. B+1 Portanto, a Eq. (1.21 fornece A diretamente nas unidades compatíveis com as já adotadas. Em outras palavras, o valor obtido diretamente da leitura da escala do eixo vertical no gráfico di-log (quando x = é o valor de A nas unidades corretas. omo exercício, determine a equação da reta no gráfico da Figura 1.6.

1.3 Di-Log 12 10 4 y/d 10 2 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 20 30 40 10 2 200 400 x/ Figura 1.6: Gráfico de f em função de x em um papel di-log.