Aula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I
Sistema de malha fechada G(s) G(s) G(s)
Sistema de malha fechada K O Root Locus é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada, quando K varia. Aqui vamos fazer sempre para K >, mas também é possível construir o Root Locus para K < ou para - < K <.
Root Locus (RL) Lugar Geométrico das Raízes (LGR) Mas o Root Locus é na verdade o lugar geométrico dos polos, ou seja, das raízes da equação característica, do sistema de malha fechada Plano Complexo jω eixo imaginário eixo real Logo, o Root Locus é traçado no plano complexo É fácil de observar que o Root Locus é SIMÉTRICO em relação ao eixo real Ou seja, a parte de cima é um espelho da parte de baixo
Como já sabemos, a função de transferência de malha fechada (FTMF) do sistema é dada por F.T. 1+ G(s) G(s)H(s) e os polos de malha fechada deste sistema são as raízes da equação característica da FTMF É fácil de mostrar que estas raízes da equação característica da FTMF são as mesmas raízes que 1 + G(s) H(s)
Ou seja, calcula-se a expressão 1 + G(s) H(s) e depois calcula-se as raízes do numerador. Estas serão raízes da equação característica da FTMF sem a necessidade de calcular a FTMF Na verdade, a equação característica desta FTMF é justamente o numerador de 1 + G(s) H(s)
Exemplo 1: K (s + 1) (s 4) 1 s Observe que: 1 + G(s)H(s) 1 + K (s + 1) (s 4)s
Exemplo 1 (continuação) logo, 1 + G(s)H(s) s + (K 4)s + (s 4)s e portanto, a equação característica da FTMF é dada por: K s + (K 4)s + K que poderia igualmente ser obtida (embora com um pouco mais de contas) através do denominador da FTMF, que é dada por: FTMF s K (s + 1)s + (K 4)s + K
Exemplo : Vamos fazer o Root Locus do sistema M.F. K (s ) (s + 5) Observe que: 1 + G(s)H(s) K (s ) 1 + (s + 5) (K + 1)s + (5 (s + 5) K)
Exemplo (continuação) K (s ) (s + 5) Logo, a equação característica do sistema M.F. é: ( K + 1) s + (5 K) e o único polo de M.F. é: s (K 5) (K + 1)
Exemplo (continuação) K (s ) (s + 5) Portanto, o Root Locus deste sistema é o lugar geométrico de s s (K 5) (K + 1) no plano complexo, quando varia-se o K, para K >.
Exemplo (continuação) Observe que: se K se K s 5 s + Portanto, é fácil de observar que o Root Locus deste sistema é o segmento de reta no eixo real entre 5 e +, isto é [ 5,+]. eixo imaginário x 5 o eixo real
Exemplo (continuação) Na verdade, o segmento de reta que vai de 5 para, quando K vai de a. e note que K,5 quando s. K K,5 K eixo imaginário x 5 o eixo real
Exemplo (continuação) Como este sistema de M.F. é de 1ª ordem, e portanto, o único polo de M.F. é real, este Root Locus fica inteiramente localizado no eixo real. K K,5 eixo imaginário K x 5 o eixo real
Exemplo (continuação) O Root Locus permite-nos ver que para K <,5 o sistema M.F. é estável, pois neste caso o único polo M.F. estará no SPE, enquanto que para K,5 o sistema M.F. não é estável. K K,5 eixo imaginário K x 5 o eixo real
Exemplo 3: s K + s 3 Observe que: 1 + G(s)H(s) 1 + (s K 1)(s + 3) s + s s + + (K s 3 3)
Exemplo 3 (continuação) K s + s 3 Logo, a equação característica do sistema M.F. é: s + s + (K 3) e os polos de M.F. são: s 1 ± 4 K
Exemplo 3 (continuação) K s + s 3 Portanto, o Root Locus deste sistema é o lugar geométrico de s s 1 ± 4 K no plano complexo, quando varia-se o K, para K >.
Exemplo 3 (continuação) Observe que: se K s 3 e s 1 eixo imaginário K K x 3 x 1 eixo real
Exemplo 3 (continuação) além disso: se K < 4 se K 4 s 1 ± s 1 4 K polos reais polos reais e duplos eixo imaginário K K 4 K x 3 1 x 1 eixo real
Exemplo 3 (continuação) e ainda: se K 3 s o Root Locus passa pela origem eixo imaginário K K 4 K 3 K x 3 1 x 1 eixo real
Exemplo 3 (continuação) Mas este Root Locus não fica restrito ao eixo real, pois se K > 4 s K K K 4 1 ± j K eixo imaginário K 3 4 complexos conjugados com parte real 1 e a parte imaginária variando de a. K x 3 1 x 1 eixo real K
Exemplo 3 (continuação) Resumindo, Este Root Locus tem ramos E mostrando os ramos deste Root Locus com cores diferentes, como faz o Matlab K eixo imaginário K K 4 K 3 K x 3 1 x 1 eixo real K
Exemplo 3 (continuação) E mostrando os ramos deste Root Locus com cores diferentes, como faz o Matlab K eixo imaginário K K 4 K 3 K x 3 1 x 1 eixo real K
Exemplo 3 (continuação) O Root Locus permite-nos ver que para K 3 o sistema M.F. não é estável, enquanto que para K > 3 o sistema M.F. é estável, pois neste caso os polos M.F. estarão no SPE. K eixo imaginário K K 4 K 3 K x 3 1 x 1 eixo real K
Note que o Root Locus depende apenas do produto G(s) H(s) e não de G(s) ou de H(s) separadamente. Portanto, se os sistemas de malha fechada abaixo satisfazem G 1 (s) H 1 (s) G (s) H (s) então os Root Locus destes dois sistemas serão o mesmo
A expressão G(s) H(s) é chamada de função de transferência do sistema em malha aberta (FTMA). G(s) H(s) (FTMA) é como malha fosse aberta aqui tornando-se aberta
Portanto, os polos e zeros de G(s) H(s) são chamados de polos e zeros de malha aberta. Vamos chamar de n e m o número de polos e zeros de G(s) H(s), respectivamente ou seja: n número de polos de malha aberta m número de zeros de malha aberta
Regras para a construção do Root Locus A seguir vamos apresentar 8 regras que auxiliarão na elaboração do esboço do Root Locus para um sistema de malha fechada com FTMA dada por G(s) H(s).
Regra #1 Número de ramos
Regra #1 Número de ramos O número de ramos n de um Root Locus é o número de polos de malha aberta, ou seja, o número de polos de G(s) H(s). n nº ramos nº polos de G(s) H(s)
Regra # Intervalos com e sem Root Locus no eixo real
Regra # Intervalos com e sem Root Locus no eixo real Um ponto s no eixo real pertencerá ao Root Locus se houver um número ímpar de polos e zeros reais de malha aberta a direita de s. ou seja, se houver um número ímpar de polos e zeros reais de G(s) H(s) a direita de s.
Exemplo 4: Aplicação da Regra # Intervalos com e sem Root Locus no eixo real x x o x x o x o x o eixo real x x o o o x x eixo real
Exemplo 4 (continuação) Aplicação da Regra # x x o x o x o eixo real x x o x o o x o o x x eixo real
Exemplo 5: Aplicação da Regra # Intervalos com e sem Root Locus no eixo real Considere o sistema de M.F. no qual G(s)H(s) K (s + 1)(s + )(s + 3) x x x 3 1 eixo real
Regra #3 Pontos de início e término dos ramos do Root Locus
Regra #3 Pontos de início e término dos ramos do Root Locus Os n ramos do Root Locus começam nos n polos de malha aberta ou seja, começam nos n polos de G(s) H(s) m dos n ramos do Root Locus terminam nos m zeros de malha aberta ou seja, terminam nos m zeros de G(s) H(s) e os restantes: (n m) ramos do Root Locus terminam no infinito ( )
Regra #3 Pontos de início e término dos ramos do Root Locus (continuação) Note que (n m) é a diferença entre o número de polos de malha aberta n e o número de zeros de malha aberta m i.e., a diferença entre o número de polos e zeros de G(s) H(s) Se n m então (n m), e portanto nenhum ramo termina no infinito ( ) Logo, se o número de polos de malha aberta for igual ao número de zeros de malha aberta, então nenhum ramo termina no infinito ( )
Regra #4 Assíntotas no infinito
Regra #4 Assíntotas no infinito Para os (n m) ramos do Root Locus que não terminam nos m zeros de malha aberta, isto é, os m zeros finitos de G(s) H(s), pode-se determinar a direção que eles vão para o infinito no plano complexo. γ ângulo da assíntota com o eixo real γ 18º (i + 1) (n m) i,1,, L
Regra #4 Assíntotas no infinito (continuação) Aplicando-se a fórmula obtém-se a tabela abaixo: n m γ ângulo da assíntota com o eixo real 1 18º 9º e 9º 3 6º, 6º e 18º 4 45º, 45º, 135º e 135º 5 36º, 36º, 18º, 18º e 18º 6 3º, 3º, 9º, 9º, 15º e 15º : : : : : :
Regra #5 Pontos de interseção das assíntotas com o eixo real
Regra #5 Pontos de interseção das assíntotas com o eixo real As (n m) assíntotas no infinito ficam determinadas pelas suas direções (ângulos γ) e pelo ponto onde eles se encontram no eixo real, σ o dado pela expressão: σ o n Re(p ) i i 1 j 1 (n m) m Re(z j )
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos Primeiro constrói-se a equação 1 + G(s) H(s), e daí obtém-se uma expressão para K em função de s: K(s) então calcula-se a derivada de Kem relação a s, dk/ds Agora, através da equação abaixo em s dk ds obtém-se os pontos s do eixo real onde há encontro de ramos
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos (continuação) A equação em s dk ds em geral tem um número de soluções s s 1 s s s s 3 s s 4 s s 5 maior que o número de pontos de encontro de ramos no eixo real É necessário cancelar as soluções que não sejam pontos pertencentes ao Root Locus s s 1 s s s s 3 s s 4 s s 5
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos (continuação) eixo real Quando há encontro de ramos no eixo real pode ser ramos que se encontram e ENTRAM no eixo real ou ramos que se encontram e PARTEM do eixo real.
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos (continuação) Para um ponto s s onde há encontro de ramos no eixo real, calculamos a segunda derivada de K(s) em s s d K ds s s'
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos (continuação) Se d K ds s s' < s eixo real ramos que se encontram e PARTEM do eixo real
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos (continuação) Se d K ds s s' > s eixo real ramos que se encontram e ENTRAM no eixo real
Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos (continuação) Se d K ds s s' s eixo real mais de ramos que se encontram neste ponto prosseguir para Regra #7 Encontro de mais de dois ramos
Exemplo 6: Aplicação da Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos Retornando ao Exemplo 1, fazendo tem-se que: e portanto: K (s + 1) 1 + G(s)H(s) 1 + (s 4)s dk ds K (s + s ) (s + 1) (s 4)s (s + 1) s 1 s Logo, s 1 e s são os pontos onde há encontro de ramos
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6 Para se saber o valor de K em cada um destes pontos é necessário substituí-los (s 1 e s ) na expressão de K Logo, os pontos onde há encontro de ramos são K (s 4)s (s + 1) s 1 1 s 1 (K 1) e K (s 4)s (s + 1) s 4 s (K 4)
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6 os pontos onde há encontro de ramos são s 1 (K 1) e s (K 4) K 4 K 1 s s 1 eixo real
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6 Agora para se saber se cada um destes encontro de ramos são de ramos que CHEGAM ou de ramos que PARTEM, é necessário calcular a segunda derivada d K ds 18 (s + 1) 3 substituindo-se pelos pontos onde há encontro de ramos: s 1 e s d K ds s 1 18 (s + 1) 3 s 1 3 < ramos que PARTEM do eixo real d K ds s 18 (s + 1) 3 s + 3 > ramos que ENTRAM no eixo real
Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6 Logo, os pontos onde há encontro de ramos são: s 1 (K 1) ramos que PARTEM do eixo real s (K 4) ramos que ENTRAM no eixo real K 4 K 1 s s 1 eixo real
Exemplo 7: Aplicação da Regra #6 Pontos do eixo real onde há encontro de ramos Retornando ao Exemplo 5 então G(s)H(s) K (s + 1)(s + )(s + 3) K 1 + G(s)H(s) 1+ (s + 1) (s + ) (s + 3) K (s + 1)(s + )(s s 3 6s 11s + 6 3) dk 3s ds 1s 11
Exemplo 7 (continuação) Aplicação da Regra #6 logo, fazendo dk ds 3s 1s 11 s,58 s 1,43 agora, observando os intervalos com e sem Root Locus no eixo real (exemplo 5) x x x 3 1 concluímos que somente uma das soluções, s 1,43 está num intervalo com Root Locus eixo real
Regra #7 Encontro de mais de dois ramos
Regra #7 Encontro de mais de dois ramos Na aplicação da regra anterior se d K ds s s' isto significa que há encontro de mais de dois ramos e tem que se continuar a derivar K(s) para derivadas de ordem mais altas até que k d K k ds η d K η ds s s' k 3, 4,5,L para algumη
Regra #7 Encontro de mais de dois ramos Se η d K η ds s s' e k d K k ds s s' isto significa que há encontro de η ramos em s ou seja, η ramos CHEGAM e η ramos PARTEM em s (continuação) para k < η O encontro de 3 ramos ou mais não é muito comum Certamente ocorre com menos frequência que o encontro de ramos (Regra #6) Portanto esta Regra #7 não é sempre utilizada. Somente naqueles casos em que, ao aplicar a Regra #6, nós encontrarmos d K ds s s'
Regra #7 Encontro de mais de dois ramos (continuação) Um encontro de 3 ramos em s pode ter o seguinte aspeto 3 ramos CHEGAM e 3 ramos PARTEM em s s eixo real
Regra #7 Encontro de mais de dois ramos (continuação) Um encontro de 4 ramos em s pode ter o seguinte aspeto 4 ramos CHEGAM e 4 ramos PARTEM em s s eixo real
Exemplo 8: Aplicação da Regra #7 Encontro de mais de dois ramos G(s)H(s) (s K 3 1) 1 + G(s)H(s) K s 3 + 1 dk 3s ds s d K ds s 6s s aplicar Regra #7 (a começar pela derivada de 3ª ordem)
Exemplo 8 (continuação) Aplicação da Regra #7 3 d K 3 ds s 6 3 ramos CHEGAM e 3 ramos PARTEM em s K Este exemplo apenas ilustra a aplicação da Regra #7 Para fazer o esboço deste Root Locus completo é necessário aplicar todas as regras encontro de 3 ramos em s,5 +,866j K x K 1 K x s 1 K x,5,866j K K eixo real
Obrigado! Felippe de Souza felippe@ubi.pt