Geometria Analítica e Álgebra Linear

NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Vetores no Espaço Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 019/Sem_01

Índice Vetores no Espaço Tridimensional... 1.1 Definição... 1. Operações com vetores... 1. Projeção ortogonal de um vetor sobre outro... 1.4 Exercícios propostos sobre vetores... 1 Referências Bibliográficas... 15 ii

Prof. Nunes 1 Vetores no Espaço Tridimensional.1 Definição Um vetor é uma classe de segmentos equipolentes. Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por B A, B A, ou B A, de modo que B A = B A = B A. Costuma-se indicar B A também por AB, ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como u. Desta forma temos que u = B A = AB. Observações: a) O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor u é indicado por u e chama-se norma de u. Se u = 1 dizemos que o vetor é unitário. Alguns autores utilizam para a norma de u a notação u. b) O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB. Assim, AB e BA só diferem entre si no sentido (se A B ). O vetor oposto do vetor AB é indicado também por AB ; o vetor oposto de u é u. c) O vetor nulo pode ser representado por 0 = A A = AA. Tem-se ainda que 0 = 0 e 0 = 0. d) Se u e v tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e indicamos por u // v. e) Dizemos que u e v são ortogonais, se uma flecha que representa u faz ângulo reto com uma flecha que representa v. Notação u v.. Operações com vetores..1 Adição

Prof. Nunes Propriedades da adição de vetores (A1) Propriedade Associativa: (u + v) + w = u + (v + w ) (A) Propriedade Comutativa: u + v = v + u (A) Elemento Neutro: u + 0 = 0 + u = u (A4) Elemento Oposto: u + ( u ) = 0 Ilustração da propriedade associativa (A1):

Prof. Nunes Observações: Podemos também definir a diferença entre vetores como: u v = u + ( v ) Exemplo: 1) Dados os vetores u e v destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura um representante para o vetor u v:.. Multiplicação de número real por vetor Dado um vetor v e um número real Se = 0 ou v = 0, então α v = 0 ; Se 0 e v 0, então α v é o vetor tal que: (i) α v é paralelo a v; (ii) α v e v tem mesmos sentidos se 0 ; (iii) α v e v tem sentidos contrários se 0 ; (iv) A norma de α v é α v = α v. Exemplos:, definimos o vetor α v, como: 1) Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real: a) Para = 0 : b) Para = 0:

Prof. Nunes 4 1 c) Para = 0 Proposição: Se u e v são paralelos e u 0, existe Definição: tal que v = α u. Dado um vetor u 0, chama-se versor do vetor u, um vetor unitário, paralelo e de mesmo sentido que u. Exemplo: 1) Dado um vetor u 0, mostre que o versor de u é u u. Chamando de v ao versor de u, temos que v = α u, com 0. v = α u v = α u = α u α = v = 1. Como 0 1, temos que α = u u Substituindo este valor de em v = α u, obtemos: v = α u v = 1 u u u =. Logo v =. u u u Propriedades da multiplicação de número real por vetor (M1) α (u + v) = α u + α v (M) (α + β) v = α v + β v (M) 1 v = v (M4) α (β v) = (α β) v = β (α v) Definição:, ( 1) Sejam v 1, v, v,....., v n vetores do n e 1,,,..., n. Chama-se combinação linear dos vetores v 1, v, v,....., v n, com coeficientes 1,,,..., n, ao vetor: v = α 1 v 1 + α v + α v +..... +α n v n. Definição: Uma base do é uma tripla ordenada de vetores (e 1, e, e ) do nenhum plano paralelo simultaneamente aos vetores e 1, e e e. u., tais que não existe

Prof. Nunes 5 Proposição: Dado um vetor qualquer v R, existe uma única tripla ordenada (, ) v = α 1 e 1 + α e + α e. 1,, tal que: Assim, na figura anterior temos: OR = α 1 e 1, OS = α e e OT = α e Sendo E = (e 1, e, e ) uma base do, escreve-se: v = OP = α 1 e 1 + α e + α e =( 1,, ) E. Exemplos: 1) Sendo u = (1,1,4) E e v = ( 1,,5) E, calcule: u v, na base E = (e 1, e, e ). u v = (1,1,4) E ( 1,,5) E = (,,8) E + (, 9, 15) E = (5, 7, 7) E Ou seja, u v = 5 e 1 7 e 7 e. ) Sendo u = ( 1,4, 1) E e v = (a, b, 1 ) E e w = (1, c, a + c) E, e sabendo que v + w = u, calcule os valores de a, b e c. Resposta: a = 1, b = e c = 0 Definição: Uma base E = (e 1, e, e ) é ortonormal se e 1, e e e são unitários ( e 1 = e = e = 1) e ortogonais dois a dois.

Prof. Nunes 6 Proposição: Seja E = (e 1, e, e ) uma base ortonormal. Se v = α 1 e 1 + α e + α e, então: v = α 1 + α + α. Exemplos: 1) Seja E = (e 1, e, e ) uma base ortonormal. Sendo u = (0,1,) E e v = (,4, 6) E, calcule: a) u Resposta: 5 b) v Resposta: 56 c) u + v Resposta: 45 d) u v Resposta: 61 e) u + 1 v Resposta: 7.. Produto escalar ou produto interno Sendo u e v vetores, definimos o número real u v, do seguinte modo: i) Se u = 0 ou v = 0, então u v = 0 (zero) ii) Se u 0 e v 0, então u v = u v cos θ, onde é o ângulo convexo entre os vetores u e v. ( 0 ). Se u v = 0, pode-se concluir que u = 0 ou v = 0? Não! Pois, u v u v = 0. Proposição: Se u = (α 1, α, α ) E e v = (β 1, β, β ) E e E = (e 1, e, e ) é uma base ortonormal, então: u v = α 1 β 1 + α β + α β.

Prof. Nunes 7 Demonstração: Da Lei dos Cossenos temos que: QP = u + u u v cos θ= = (α 1 + α + α ) + (β 1 + β + β ) u v (I) Mas temos também que: QP = u v = (α 1 β 1, α β, α β ) = (α 1 β 1 ) + (α β ) + (α β ) = (α 1 + α + α ) + (β 1 + β + β ) (α 1 β 1 + α β + α β ) (II) Igualando (I) com (II), obtemos: (α 1 + α + α ) + (β 1 + β + β ) u v= 1 + + + 1 + + 1 1 + + Logo concluímos que u v = α 1 β 1 + α β + α β. ( ) ( ) ( ) Observação: Seja E = (e 1, e, e ) uma base ortonormal. Se u = α 1 e 1 + α e + α e, então: u = α 1 + α + α = u u u u = u Assim, u = u u u u = u. ) Seja E = (e 1, e, e ) uma base ortonormal. Sendo u = (1, 1,5) E e v = (,4, 1) E, calcule: a) u v u v = 1 + ( 1) 4 + 5 ( 1) = 7 b) u u = 1 1 + ( 1) ( 1) + 5 5 = 7 c) v v = + 4 4 + ( 1) ( 1) = 1 d) o ângulo entre u e v u v = u v cos θ 7 = 7 1cos = arc cos ) Seja E = (e 1, e, e ) uma base ortonormal. Sendo u = (1,4,1) E e v = (0,1, 8) E, calcule: 7 7 a) ( u + v) u Resposta: b) (u v) (u + v) Resposta: 47 4) Seja E = (e 1, e, e ) uma base ortonormal. Sendo u = (, 1,0) E e v = (,, 0) E, 1 calcule o ângulo convexo entre os vetores u e v. Resposta: 6 rad

Prof. Nunes 8 Propriedades do produto escalar (PE1) u (v + w ) = u v + u w e (u + v) w = u w + v w (PE) (α u ) v = α (u v) = u (α v) (PE) u v = v u (PE4) u u 0; u u = 0 u = 0 1) Prove: a) u + v = u + u v + v Lembrando que u = u u u u = u, temos que: u + v = (u + v) (u + v) = u u + u v + v v = u + u v + v b) u v = u u v + v. Analogamente, temos: u v = (u v) (u v) = u u u v + v v = u u v + v c) u v u v (Desigualdade de Schwarz) u v = u v cos θ u v = u v cos θ = u v cos θ u v d) u + v u + v (Desigualdade Triangular) u + v = u + u v + v u + u v + v u + u v + v = ( u + v ) u + v ( u + v ) u + v u + v..4 Produto vetorial ou produto externo Se u // v, então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de u por v é o vetor nulo. Notação: u v = 0 ou u v = 0. Se u e v não são paralelos, então u v é um vetor com as seguintes características: a) u v = u v senθ; onde é o ângulo entre os vetores u e v. b) u v é ortogonal a u e a v; c) o sentido de u v pode ser dado pela regra da mão direita: Assim, nas figuras que seguem tem-se: u v = w e v u = w

Prof. Nunes 9 A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial: Observação: Se E = (e 1, e, e ) é uma base ortonormal, então e 1 e = e ou e 1 e = e. Temos ainda que e 1 e = e 1 e sen π = 1 1 1 = 1 Definição: Uma base ortonormal chama-se dextrógira se e 1 e = e e levógira se e 1 e = e. Observação: Se E = (i, j, k ) é uma base ortonormal dextrógira, então temos que: i j = k k i = j j k = i i k = j k j = i i i = 0, etc. Exemplo: 1) Apresente os vetores i, j e k na base E = (i, j, k ). Resposta: i = (1,0,0) E, j = (0,1,0) E e k = (0,0,1) E

Prof. Nunes 10 Propriedades do produto vetorial (PV1) u (v + w ) = u v + u w ou (u + v) w = u w + v w (PV) (α u ) v = α (u v) = u (α v) (PV) u v = v u Proposição: Se E = (i, j, k ) é uma base ortonormal dextrógira, e se u = (a, b, c) E e v = (m, n, p) E, então: i j k u v = det [ a b c]. m n p Demonstração: u v = (a i + b j + c k ) (m i + n j + p k ) = am i i + an i j + ap i k + bm j i + bn j j + bp j k + cm k i + cn k j + cp k k = an k ap j bm k + bp i + cm j cn i = (bp cn) i (ap cm) j + (an bm) k = det [ b c a c i j k a b ] i det [ n p m p ] j + det [ m n ] k = det [ a b c] m n p Exemplos: 1) Sendo E = (i, j, k ) uma base ortonormal dextrógira, u = (1,1,) E e v = (1, 1, 4) E, calcule u v: u v = det [ i j k 1 1 ] = i + 7j k. 1 1 4 Resposta: u v = i + 7j k ) Sendo E = (i, j, k ) uma base ortonormal dextrógira, calcule u v nos seguintes casos: a) u = (,1,0) E e v = (1,, ) E Resposta: ( ) E Mas x = 5 a + b = 5 1 + b = 5 1 + b = 5 b =, 4, 7 9, 10,8 b) u = (,1, 1) E e v = (,5,4) E Resposta: ( ) E ) Obtenha x tal que x j = k e x = 5, sendo E = (i, j, k ) uma base ortonormal dextrógira. x = a i + b j + c k x j = det [ i j k a b c] = k a k c i = k a = 1 e c = 0. 0 1 0

Prof. Nunes 11 Logo x = i ± j Resposta: x = i ± j 4) Obtenha x tal que x (i j) = 0 e x (i + k ) = i 1 k, sendo E = (i, j, k ) uma base ortonormal dextrógira. x = a i + b j + c k x (i j) = 0a 1 + b ( 1) + c (0) = 0 a = b x (i + k ) = i 1 k det [ i j k a a c] = i 1 k 1 0 a i + (c a) j a k = i 1 k a = 1 a = 1 1 c a = 0 c = 0 c = 1 Logo x = 1 i + 1 j + k Resposta: x = 1 i + 1 j + k 5) Obtenha x tal que x u, x v e x = 10, sabendo que u v = i + 4 j + k, sendo E = (i, j, k ) uma base ortonormal dextrógira. u v = 1 + 4 + ( ) = 5 Sabemos que x = α (u v) x = α u v 10 = 5 =,8,4 Logo x = ± (u v) = ± (i + 4 j + k )= ( ) E Resposta: x = ±(,8,4 ) E 6) Obtenha x tal que x (1,1,1) E, x (,1,) E e x = 6, sendo E = (i, j, k ) uma base, 1, 1 ortonormal dextrógira. Resposta: ( ) E Interpretação geométrica do produto vetorial Assim, a área do paralelogramo que tem u e v como lados, é a norma do produto vetorial destes vetores, isto é S = u v.

[u, v, w ] = [u, w, v] = [w, u, v] Prof. Nunes 1..5 Produto misto Dados os vetores u, v e w, o produto misto destes vetores é um número real representado por u v w ou [u, v, w ]. (Efetua-se primeiro o produto vetorial) Nulidade do produto misto Dados os vetores u, v e w, o produto misto destes vetores u v w = 0 se: i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou ii) u // v (pois neste caso u v = 0 ), ou iii) Os três vetores são coplanares. Proposição: Se E = (i, j, k ) é uma base ortonormal dextrógira, e se u = (a, b, c) E, v = (m, n, p) E e w = a b c (r, s, t) E, então: u v w = det [ m n p]. r s t Demonstração: i j k Sabemos que u v = det [ a b c]=det [ b c a c a b ] i det [ n p m p ] j + det [ m n ] k m n p b c a c a b Logo u v = det n p, det m p, det m n. Então E a b c b c u v w = a c a b det r det s + det t = det n p m p m n m n p r s t Exemplo: 1) Calcule o produto misto dos vetores u = (1,,1) E, v = (1,0,1) E e w = (1,,) E, sendo E = (i, j, k ) é uma base ortonormal dextrógira. u v w a b c 1 1 = det m n p = det 1 0 1 = 4 r s t 1 Resposta: u v w = 4 Propriedades do produto misto (PM1) [u 1 + u, v, w ] = [u 1, v, w ] + [u, v, w ] [u, v 1 + v, w ] = [u, v 1, w ] + [u, v, w ] [u, v, w 1 + w ] = [u, v, w 1 ] + [u, v, w ] (PM) [α u, v, w ] = [u, α v, w ] = [u, v, α w ] = α [u, v, w ] (PM) O produto misto [u, v, w ] muda de sinal permutando-se dois vetores: [u, v, w ] = [v, u, w ] = [v, w, u ] [u, v, w ] = [w, v, u ] = [w, u, v]

Prof. Nunes 1 (PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos u v w =u v w e Interpretação geométrica do produto misto Assim, o volume do paralelepípedo da figura anterior é: V = u v w cos θ = u v w Exemplo: 1) Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u = (,1,4) E, v = (, 1,) E e w = (5,4,1) E, sendo E = (i, j, k ) é uma base ortonormal dextrógira. Resposta: V = 9. Projeção ortogonal de um vetor sobre outro Expresse vetorialmente a projeção ortogonal de um vetor v sobre um vetor u. a = proj u v = α u b = v a (v a) u = 0 (v α a) u = 0 v u α u = 0 α = Logo, a = proj u v = α u = ( Resposta: proj u v = ( v u u ) u v u u ) u v u u.4 Exercícios propostos sobre vetores Considere em todos estes exercíciose = (i, j, k ) uma base ortonormal dextrógira.

1) Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos: a) u = (1,,10) E, v = (, x, 0) E Resposta: x = 6 b) u = (0,, x) E, v = (0,,6) E Resposta: x = 4 c) u = i j k e v = x i 9 j k Resposta: x = 6 Prof. Nunes 14 ) Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos: a) u = (1,,0) E, v = (,1,14) E e w = (,4, a) E Resposta: a = 14 b) u = a i j, v = a j + k e w = i + j + k 1 1 Resposta: a = ) Dados u = i, v = i + j + k e w = i + 6 j + 6 k, escrever, se possível, w como combinação linear de u e v. Resposta: w = 4 u + 6 v 4) Dados u = (,0,0) E, v = (1,1,1) E e w = (,6,) E, escrever, se possível, w como combinação linear de u e v. Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares. 5) Sendo u =, v =, e o ângulo entre os vetores u e v é de radianos, ache: a) u + v Resposta: 1 b) o versor de (u + v) Resposta: 1 c) (u + v) (u v) Resposta: 5 6) Determinar o ângulo entre os vetores u e v, sabendo-se que: u +v u + v + w = 0, u =, v =, w = 4. Resposta: 1 = arc cos 4 7) Seja um paralelogramo construído sobre os vetores u e v. Determinar o ângulo entre as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: u =, v = 1 e o ângulo entre os 7 vetores u e v é de radianos. Resposta: = arc cos 6 7 8) Sabendo que v = (1, 1,1) E, calcular o(s) vetor(es) u = (α, β, γ) E, que satisfaçam simultaneamente as condições abaixo: a) u i b) u v = 0 c) u v = 6 Resposta: u = ±(0,,) E 9) Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v, cujas diagonais são: u + v = (0,,5) E e u v = (,1,1) E. Resposta: 5 10) Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo. 1 Resposta: = arc cos 70

Prof. Nunes 15 11) Calcule u + 4v, sabendo que u = 1 e v =, e a medida em radianos do ângulo entre v e u é. Resposta: 5 1) Ache v tal que v =, e seja ortogonal a u = (,, 1) E e a w = (, 4,6) E. Resposta: v = ±( i j k ) 1) Ache um vetor unitário ortogonal a u = (1,,1) E e a v= (,,) E. Resposta: v = ± 1 ( i j k ) 6 14) A medida em radianos entre u e v é de. Sendo u = 1 e v = 7, calcule: u v ² e 1 u v. Resposta: 147 7 4 e, respectivamente. 4 8 15) Dados u = i j+6k ; v= i 5j + 8k e w = i+k, calcule: a) a área do paralelogramo construído sobre u e v; Resposta: 49 b) o volume do paralelepípedo construído sobre u, v e w ; Resposta: 7 c) a altura do paralelepípedo. 1 Resposta: 7 16) Calcular os valores de m para que o vetor u +v seja ortogonal a w u onde: u = (, 1, m) E ; v= (m+, 5, ) E e w = (m, 8, m) E. Resposta: m = 6 ou m = 17) Resolva o sistema { x (i + j + 4k ) = 9 x ( i + j k ) = i + k Resposta: x = i + j + k Referências Bibliográficas 1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores..a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1984.. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica Um tratamento Vetorial. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997. 4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1987. 5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear..a Edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 010. 6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica..a Edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 010.