Rumo ao
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA A ciência encarregada de coletar, organizar e interpretar dados é chamada de ESTATÍSTICA. Seu objetivo é obter compreensão sobre os dados coletados. Muitas vezes utiliza-se de técnicas probabilísticas, a fim de prever um determinado acontecimento. ØNomenclatura População: quantidade total de indivíduos com mesmas características submetidos a uma determinada coleta de dados. Amostra: parte de uma população, onde se procura tirar conclusões sobre a população. Frequência Absoluta: quantidade de vezes que determinado evento ocorreu. Frequência Relativa: é a razão entre a frequência absoluta e a quantidade de elementos da população estatística. É conveniente a representação da frequência relativa em forma percentual.
Exemplo Uma pesquisa foi realizada com os 200 funcionários de agência do Banco do Nordeste, no intuito de analisarem as preferências por esportes. Dentre as opções esportivas foram fornecidas as seguintes opções: futebol, vôlei, basquete, natação, tênis e ciclismo. Observe os resultados: Futebol: 70 Vôlei: 50 Basquete: 40 Natação: 20 Tênis: 15 Ciclismo: 5
Vamos determinar a frequência relativa dos salários. R$ Frequência Absoluta Frequência Relativa 600 α 690 6 6/60 = 0,10 = 10% 690 α 780 15 15/60 = 0,25 = 25% 780 α 870 30 30/60 = 0,50 = 50% 870 α 960 6 6/60 = 0,10 = 10% 960 α 1050 3 3/60 = 0,05 = 5% Total 60 100%
MÉDIA ARITMÉTICA
MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre vários valores. É considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. Ela é na verdade, um valor de equilibrio. Para isso aqueles que estão acima da média doam para os que estão abaixo da média. É um perde-ganha exato: Tudo que se doa é exatamente igual a tudo que se perde. Para calculá-la basta somar todos os elementos e dividí-los pelo total de elementos.
Média Ponderada Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.
A mediana é o valor central dos dados estatísticos dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se o número de dadas do rol for par, temos que a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Exemplos: MEDIANA (Md) 1) A mediana dos dados 1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17 é 5 2) A mediana em 15, 12, 10, 2 vale (12 + 10) /2 = 11.
Como definir a posição da Mediana ØPopulação com N de Elementos Ímpar: Para a seguinte população: {1, 3, 5, 7, 9} A mediana será o 3º elemento que é 5 (nesse caso, igual à média). Caso a lista seja grande, para descobrir a posição do termo central basta fazer n+1. 2 Por exemplo, numa lista de 99 termos o termo central ocupará a posição 50,pois 99+1/ 2 = 100/2 = 50.
Como definir a posição da Mediana ØPopulação com N de Elementos Par: Na seguinte população: {1, 2, 4, 8, 9, 10} Não há um valor central, portanto a mediana é calculada tirando-se a média dos dois valores centrais (no caso, o 3 e 4 elemento). Logo, o valor da mediana é = (4+8)/2 = 6 (e a média é 5,666). Caso a lista seja grande, para descobrir a posição do termo central basta fazer n/2. Por exemplo, numa lista de 100 termos, o termo central ocupará a posição 50,pois 100/2 = 50. Dai fazemos amédia do termo d eposicçao 50 e o de posição 51.
MODA (Mo) A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode não existir e também não ser única. Exemplos: 1) O conjunto de números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9 tem moda 6. 2) O conjunto de números: 7, 6, 6, 8, 8, 9 tem modas 6 e 8. É, portanto, dito bimodal. 3) Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10. Como todos os dados têm a mesma frequência, dizemos que não existe moda.
COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?
Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item. Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: Nesse caso, essa sala de aulas tem 24 meninos e 36 meninas. Certo Errado
Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item. Considere todos os números X tais que: (1) X não pertence ao conjunto {2, 4, 7, 9, 12, 14}; (2) o conjunto {X, 2, 4, 7, 9, 12, 14} tem média aritmética e mediana iguais. Nesse caso, o produto de todos esses números X é inferior a 100. Certo Errado
Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item. Situação hipotética: Na revisão de um livro, o editor contou 20 páginas que tiveram 0, 1, 2, 3 ou 4 erros; 36 páginas que tiveram 5, 6, 7, 8 ou 9 erros. Prosseguindo, ele obteve os valores mostrados na tabela a seguir. Assertiva: Nesse caso, a frequência relativa para os dados da classe modal da tabela é de 40%. Certo Errado
A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos 30 alunos de uma sala de aula. Nesse caso, a média de idade dos alunos dessa sala é igual a a) 14 anos. b) 13 anos. c) 12 anos. d) 11 anos. e) 10 anos.
A distribuição das notas dos 20 alunos de uma sala de aula na prova de matemática está mostrada na tabela a seguir. Nessa situação, a moda dessas notas é igual a a) 6,0. b) 6,5. c) 7,0. d) 7,5. e) 8,0.
Considere que o peso de 5 pessoas, juntas em um elevador, seja de 340 kg. Se, em determinado andar, mais um indivíduo entrar no elevador, sem que dele ninguém desça, e a média aritmética dos pesos dessas 6 pessoas passar a ser de 70 kg, esse sexto indivíduo pesa a) 68,3 kg. b) 69 kg. c) 70 kg. d) 80 kg. e) 82 kg.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
DEFINIÇÃO Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!. Exemplo: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Princípio da Contagem Os primeiros passos da humanidade na matemática estavam ligados a necessidade de contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situações se tornavam mais complexas, ficando cada vez mais difícil fazer contagens a partir da enumeração dos elementos. Problema: Para eleição de uma comissão de ética, há quatro candidatos a presidente (Adolfo, Márcio, Bernardo e Roberta) e três a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos). Quais os possíveis resultados para essa eleição? Para facilitar, vamos montar um esquema...
O esquema que foi montado recebe o nome de árvore das possibilidades, mas também podemos fazer uso de tabela de dupla entrada: Novamente podemos verificar que são 12 possibilidades de resultado para eleição.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Você sabe como determinar o número de possibilidades de ocorrência de um evento, sem necessidade de descrever todas as possibilidades? Vamos considerar a seguinte situação: Edgar tem 2 calças (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca). Quantas são as maneiras diferentes que ele poderá se vestir usando uma calça e uma camiseta? Edgar tem duas possibilidades de escolher uma calça, para cada uma delas, são quatro as possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número de maneiras diferentes de Edgar se vestir é 2.4 = 8. Como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação, dizemos que foi aplicado o PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.
De maneira mais simples poderíamos dizer que: Se um evento é determinado por duas escolhas ordenadas e há n opções para primeira escolha e m opções para segunda, o número total de maneiras de o evento ocorrer é igual a n.m. De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. EVENTO = etapa1 x etapa2 x etapa3 x... etapa n
Análise Combinatória
Permutação Simples Análise Combinatória É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora.muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras. Usa muito o aspecto visual. Fórmula: P n = n! Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!
Exemplo Resolvido Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4. 3. 2. 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA...
ØE se houver elementos repetidos? Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos descontar os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.
Arranjo Análise Combinatória É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo), em que a ordem FAZ diferença. Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia. Fórmula: Dica: O ARRANJO ordena! èdica: DEVE ser resolvido usando o P. F da Contagem
Análise Combinatória Exemplo Resolvido Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Solução: As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas; para a segunda, 9; e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10. 9. 8 = 720. Observe que 720 = A10,3
Combinação Análise Combinatória É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo), em que a ordem NÃO faz diferença. Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos. Fórmula: Dica: A COMBINAÇÃO agrupa!
Exemplo Resolvido Análise Combinatória Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula chegaremos a: C 5,2 = 5! / [(5-2)!. 2!] = 5! / (3!. 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10 E não tem um atalho?
Método Prático Análise Combinatória Esse método agilizará a resolução das questões. Para isso basta usar a regra: rebobinar o n até o total de p itens e divide pelo p fatorial. Exemplos: C 5, 2 = C 10, 4 = C 8, 1 = C 7, 5 =
COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?
CESPE Considere a seguinte situação hipotética. Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus para ir de sua casa até o terminal de ônibus no centro da cidade e, a partir daí, ele dispõe de 5 linhas de ônibus para chegar ao seu local de trabalho. Nessa situação, considerando-se que o trabalhador possua as mesmas opções para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de ida e volta ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus de sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do trabalho ao centro e do centro de volta para casa, então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 escolhas distintas para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho. Certo Errado
CESPE Com relação a contagem e combinatória, julgue o item seguinte. Considere que as senhas dos correntistas de um banco sejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros são letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, e os 4 últimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elas tenham a letra A na primeira posição das letras e o algarismo 9 na primeira posição dos algarismos é superior a 600.000. Certo Errado
Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue o item seguinte. Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação. Certo Errado CESPE
Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue o item seguinte. Com Bruna, Leila e Roberto classificados em posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação. Certo Errado CESPE
CESPE Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de escolas públicas revelou as atividades extra-curriculares de suas preferências: teatro, música, coral, dança e xadrez. Acerca dessa pesquisa, julgue o item que se segue. O número de modos diferentes que se pode dispor 3 livros de teatro, 3 livros de música e 2 livros de xadrez, em uma estante, de modo que livros do mesmo assunto permaneçam sempre juntos, é superior a 400. Certo Errado
CESPE Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue o item a seguir. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. Certo Errado
Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue o item a seguir. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. Certo Errado CESPE
CESPE Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitalizadas, são separadas e distribuídas entre 7 servidores 4 servidores recém-contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação. A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 entre os 7 servidores, para digitalizar um processo de 2 páginas, é superior a 20. Certo Errado
CESPE Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um relator e um técnico, julgue o próximo item. A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000. Certo Errado
CESPE Julgue o seguinte item, relativos a raciocínio lógico, a princípios de contagem e probabilidade e a operações com conjuntos. Situação hipotética: A ANVISA, com objetivo de realizar a regulação de um novo medicamento, efetua as análises laboratoriais necessárias. Essas análises são assistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos farmacêuticos. Desses técnicos, 3 possuem cargo de chefia de equipe e por isso não trabalham juntos. Assertiva: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipes participa sempre apenas um dos três técnicos farmacêuticos chefes, então a quantidade de equipes distintas com 4 técnicos farmacêuticos que poderão ser formadas é inferior a 25. Certo Errado
CESPE Considere as proposições P e Q a seguir. P: Todo processo que tramita no tribunal A ou é enviado para tramitar no tribunal B ou no tribunal C. Q: Todo processo que tramita no tribunal C é enviado para tramitar no tribunal B. A partir dessas proposições, julgue o item seguinte. Se 10 processos que chegarem ao tribunal A em determinado dia forem separados de forma aleatória em dois grupos de 5 processos cada, um para ser encaminhado ao tribunal B, e outro, para o tribunal C, então essa separação poderá ser feita de, no máximo, 240 formas diferentes. Certo Errado
123805. Para cumprimento de um mandado de busca e apreensão serão designados um delegado, 3 agentes (para a segurança da equipe na operação) e um escrivão. O efetivo do órgão que fará a operação conta com 4 delegados, entre eles o delegado Fonseca; 12 agentes, entre eles o agente Paulo; e 6 escrivães, entre eles o escrivão Estêvão. Em relação a essa situação hipotética, julgue o item a seguir. A quantidade de maneiras distintas de se escolher os três agentes para a operação de forma que um deles seja o agente Paulo é inferior a 80. Certo Errado
123806. Para cumprimento de um mandado de busca e apreensão serão designados um delegado, 3 agentes (para a segurança da equipe na operação) e um escrivão. O efetivo do órgão que fará a operação conta com 4 delegados, entre eles o delegado Fonseca; 12 agentes, entre eles o agente Paulo; e 6 escrivães, entre eles o escrivão Estêvão. Em relação a essa situação hipotética, julgue o item a seguir. Considerando todo o efetivo do órgão responsável pela operação, há mais de 5.000 maneiras distintas de se formar uma equipe para dar cumprimento ao mandado. Certo Errado
CESPE Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: Basta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente modificada. Considerando a situação apresentada e a proposição correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item. A quantidade de maneiras distintas de se formar o placar de 6 votos a favor e 5 contra, na decisão do assunto polêmico pelos presentes no referido colegiado, é inferior a 500. Certo Errado
CESPE Julgue o próximo item, a respeito de contagem. Se a enfermaria de um hospital possuir cinco leitos desocupados e se cinco pacientes forem ocupar esses leitos, então haverá mais de 100 formas diferentes de fazer essa ocupação. Certo Errado
PROBABILIDADE
Probabilidade Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual. QUERO : é o evento favorável, ou seja, qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. TENHO : é o espaço amostral, ou seja, o conjunto formado por todos os resultados possíveis.
Probabilidade Há várias situações envolvendo Probabilidade, e consequentemente muitas maneiras diferentes de interpretar e resolver as questões. Alguns detalhes são muito importantes como por exemplo: üdefiniro número de eventos; üimpor Ordem; üagir com otimismo; ülembrar que : e = x / ou = + Veremos a seguir alguns tipos mais comuns.
123822. Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue. Se 2 dos 30 passageiros selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. Certo Errado
120030. Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Gödel disputaram, no parque da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero. A partir dessa tabela, julgue o item subsequente. Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser uma mulher da família Russel será superior a 20%. Certo Errado
122245. Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item. Considere que de uma urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10, uma pessoa deva retirar, aleatoriamente, duas bolas ao mesmo tempo. Nesse caso, a probabilidade de que seja 12 a soma dos números das bolas retiradas é superior a 9%. Certo Errado
123815. O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte: 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas; 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas. Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte. A probabilidade de que um papiloscopista, escolhido ao acaso, tenha se dito igualmente satisfeito ao executar qualquer uma entre as duas tarefas mencionadas, dado que se sente satisfeito ao executar pelo menos uma das duas tarefas, é inferior a 0,15. Certo Errado
CESPE Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três disciplinas optativas para alunos do quinto semestre: Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado Empresarial (EME). Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades: 70 em INT; 45 em MAP; 60 em EME; 25 em INT e MAP; 35 em INT e EME; 30 em MAP e EME; 15 nas três disciplinas. Com base nessas informações, julgue o item que se segue. Ao se escolher um aluno ao acaso, a probabilidade de ele estar matriculado em apenas duas das três disciplinas será maior que a probabilidade de ele estar matriculado apenas em INT. Certo Errado
CESPE Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta apenas por casais e seus filhos. Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A B C, em que A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade}; B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade}; C = {casais com pelo menos 4 filhos}. Considerando que n(p) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha que n(a) = 18; n(b) = 20; n(c) = 25; n(a B) = 13; n(a C) = 11; n(b C) = 12 e n(a B C) = 8. O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos. Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir. Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos de 4 filhos será superior a 0,3. Certo Errado
CESPE Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos: A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos (diabética e fumante). A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes). Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pessoas do grupo e a quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas fumantes desse grupo, então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 70%. Certo Errado
CESPE Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte. Selecionando-se aleatoriamente um dos veículos parados na blitz,a probabilidade de ser escolhido um em que o motorista estivesse sem documento de habilitação para dirigir seria inferior a 25%. Certo Errado
CESPE Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5. Certo Errado
CESPE Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. Considerando que, após concurso público, sejam admitidos novos policiais no batalhão, de modo que a quantidade dos novos policiais do sexo masculino admitidos seja igual ao triplo da quantidade de novos policiais do sexo feminino, e que, devido a essas admissões, 0,7 passe a ser a probabilidade de se escolher, ao acaso, um policial do sexo masculino desse batalhão, então, no batalhão haverá mais de 15 policiais do sexo feminino. Certo Errado
CESPE Se, na presente prova, em que cada questão tem quatro opções de resposta, um candidato escolher ao acaso uma única resposta para cada uma das quatro primeiras questões, então a probabilidade de ele acertar exatamente duas questões será igual a a) 1/2. b) 9/16. c) 27/128. d) 9/256.
LOGARITMO
Na Matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 10 10 = 10 3 ). De maneira geral, para quaisquer dois números reais a e b, onde b >0 e b 1, temos: a é o logaritmando b é a base c é o logaritmo DEFINIÇÃO log a = c Þ b = b c a
PROPRIEDADES ØPropriedade do Produto Exemplo: a) log 3 12 + log 3 5 = log 3 12.5 = log 3 60
PROPRIEDADES ØPropriedade do Quociente Exemplo: a) log 3 72 - log 3 12 = log 3 72/12 = log 3 6
PROPRIEDADES ØPropriedade da Potência Exemplo: a) log 3 7 2 = 2. log 3 7
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Ao construir o gráfico de uma função Logarítmica, temos: FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE
122231. O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função ƒ(x) = ln x = logex tem inúmeras aplicações científicas. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. O número de Euler é menor que o número racional 2,72. Certo Errado
122232. O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função ƒ(x) = ln x = logex tem inúmeras aplicações científicas. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. Se r = 2,718718718... é uma dízima periódica, então a diferença r - e é um número racional. Certo Errado
122233. O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função ƒ(x) = ln x = log e x tem inúmeras aplicações científicas. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. A função exponencial g(x) = e x, função inversa de ln x, é uma função crescente. Certo Errado
122234. O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função ƒ(x) = ln x = logex tem inúmeras aplicações científicas. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. A equação ln x = -4 tem uma única solução. Certo Errado
122235. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. Se h(x) = x é a função módulo, então o domínio da função composta (ƒoh)(x) = ln x é o conjunto dos números reais. Certo Errado
122236. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. Se a > 0 e ln a [10, 20), então ln a2 [100, + ). Certo Errado