Conjuntos Numéricos e Funções Exponenciais Números primos de Mersenne 2 p -1 Os números de Mersenne são números que estão uma unidade abaixo de uma potência de 2. Em outras palavras, M n = 2 n - 1. Um número M n é um primo de Mersenne se cumpre as duas condições abaixo: 1. é um número primo; 2. n é um número primo. 1. Qual é o maior número de Mersenne que você pode obter na calculadora com todos os seus dígitos a vista no display da calculadora? 2. Os números M 7 e M 11 são primos de Mersenne? Justifique. 3. Complete a tabela abaixo, seguindo o modelo e responda às questões a seguir: O número é primo? M1 2 1-1 = 1 Não é primo 1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 a) Se o número n é não é primo, M n pode ser primo? b) Se o número n é primo, M n é necessariamente primo? c) Se o número M n é primo, o número n é primo? 1
4. Confirme (ou não) suas respostas completando o quadro abaixo: O número é primo? M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 M19 M20 5. Qual é o maior número de Mersenne que você pode obter na calculadora com todos os seus dígitos a vista? Encontrar primos Mersenne é computacionalmente muito desafiador. Por exemplo, a descoberta de 1963 de que M 11213 é primitiva foi anunciada por um design de medidor postal especial, ilustrado abaixo, emitido em Urbana, Illinois (Estados Unidos). G. Woltman organizou um programa de pesquisa distribuída através da Internet, conhecido como GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), no qual centenas de voluntários usam seus computadores pessoais para executar partes da pesquisa. Os esforços dos voluntários do GIMPS tornam este projeto de computação distribuída o descobridor de todos os doze dos maiores primos conhecidos de Mersenne. Na verdade, a partir de 23 de janeiro de 2016, os participantes do GIMPS testaram e verificaram todos os expoentes abaixo de 34969871 e testaram todos os expoentes abaixo de 60371299 pelo menos uma vez (GIMPS). 6. Abaixo, temos os primeiros 1398 do número M 74 207 281. Quantos dígitos tem esse número? Em média, 4760 dígitos podem ser inseridos em uma página, quantas páginas seriam necessárias para imprimir o número M74207281? Elabore estratégias para determinar a quantidade de dígitos deste número. 30037641808460618205298609835916605005687586303030148484394169334554772321906799429689 365530077268832044821488239942672783529070090483643221801534819965224137228768431021338 628457366636150666753212277285935986405778025687564779586583214205117110963584426293657 2650387240710147982631320437143129112198392188761288503958771920355017186438665809954286 344460536606761717933683749624756782578361731044883934155387085250868537297205931251606 84978153267041474492829488344942944399900377683107249686825062286603997888454106223421 91545046452523868463034697248073341558528894973747787053275941448082695460497456828866 6263433778606155135449829439278896971727781417024785784082517381416997952971883137825815 646085559840480101227796366411816231874024198444633957114750089387335047175228230927696 0908368218257475859570148521239387340972873010415557408840313517334104245951181312377569 862268931591236073913864912702341514442871893227806578339072908082737776944438541558625 7. (Desafio) Quantos números primos de Mersenne, você pode encontrar entre 1 e 2 30-1? Elabore estratégias para determiner todos os primos de Mersenne no intervalo pedido. 2
Conjuntos Numéricos e Funções Exponenciais Números primos de Mersenne MATERIAL Calculadora CASIO fx-82 LA X, fx-991la X ou superior LEVEL 1º ano Ensino Médio ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS E TÉCNICAS Números Primos tem uma grande aplicação na criptografia de dados, permitindo que dados bancários, por exemplo, permaneçam seguros. Esta atividade permite a intercontextualização de funções exponenciais com Números Primos. Números Primos Para esta atividade, é indicado a revisão das definições básicas de números primos Esta atividade propõe uma contextualidade entre dois conteúdos aparentemente desconexos para uma análise mais profunda dos números primos de Mersenne; Quando uma célula da planilha contem um número de mais de 6 dígitos, esse número aparece em notação científica. Se deseja visualizar todos os dígitos, é necessário colocar o cursor em cima da célula e configurar a calculadora de maneira que a parte inferior da tela da calculadora mostre, em vez da fórmula, o valor da célula. Para fazê-lo tem que proceder da seguinte maneira: EXEMPLOS DE SOLUÇÕES ATIVIDADE 01 O maior número primo de Mersenne que a calculadora consegue identificar através da função FACT é IDENTIFICANDO N Esta atividade constitui um importante exercício no processo familiaridade com o tema: Números Primos de Mersenne e ter habilidade em fornecer exemplos, através da função FACT. Para visualizar a fatorização de um número: Insira o número e pressione =; Utilize a função FACT (SHIFT x). 1023= qx Se o número for primo o resultado não se altera. CALCULADORA Alguns números não podem ser fatorizados. Se um dos fatores for igual ou superior a 1.018.081 ou dois mais fatores primos do valor tem mais que três dígitos. A parte que não pode ser fatorizado ficará entre parênteses na tela. Logo o maior número primo que a calculadora identifica é o número 1.018.057. Perceba que a calculadora não identifica o também número primo 1.018.091 O fato da calculadora ter uma limitação é importante para que o estudante possa traçar novas estratégias. Por exemplo: o número 1.018.081 3
Ou um dos fatores é superior ou igual a 1018081 (e no caso ele seria um número primo) ou dois ou mais fatores possuem mais do que três dígitos. Neste caso, é mais difícil perceber que não conseguem num tempo hábil identificar números primos, passando por todos os divisores. São implementadas teorias para que novos números primos de Mersenne sejam identificados. ATIVIDADE 02 O número M 7=2 7 1 é primo, visto que 7 é primo e 127 é um número primo. Em contrapartida, M11 não o é O número M 11 tem dois fatores primos 23 e 89. A utilização da função FACT dá indiretamente outros exemplos de números primos, por exemplo: o número 89 acima é um número primo. ATIVIDADE 03 Para determinar os valores da coluna M n, podemos utilizar o modo Tabela w9 w 9 2^[$p1 = R10= = OPORTUNIDADE Este é um ótimo momento para estimular o cálculo mental com os seus estudantes. Perceba que para todos os números que não são primos o Número de Mersenne também não o será e que mesmo que um número seja primo o seu número de Mersenne não será necessariamente primo. 4
O número é primo? M1 2 1-1 = 1 Não é primo 1 M2 2 2-1 = 3 É primo 3 M3 2 3-1 = 7 É primo 7 M4 2 4-1 = 15 Não é primo 3x5 M5 2 5-1 = 31 É primo 31 M6 2 6-1 = 63 Não é primo 3 2 x7 M7 2 7-1 = 127 É primo 127 M8 2 8-1 = 255 Não é primo 3x5x17 M9 2 9-1 = 511 Não é primo 7x73 M10 2 10-1 = 1023 É primo 1023 a) Se o número n é não é primo, M n pode ser primo? Não b) Se o número n é primo, M n é necessariamente primo? Não c) Se o número M n é primo, o número n é primo? Sim ATIVIDADE 04 O número é primo? M11 2 11-1 = 2 047 Não é primo 23x89 M12 2 12-1 = 4 095 Não é primo 3 2 x5x7x13 M13 2 13-1 = 8 191 É primo 8191 M14 2 14-1 = 16 383 Não é primo 3x43x127 M15 2 15-1 = 32 767 Não é primo 7x31x151 M16 2 16-1 = 65 535 Não é primo 3x5x17x257 M17 2 17-1 = 131 071 É primo 131 071 M18 2 18-1 = 262 143 Não é primo 3 2 x151x193 M19 2 19-1 = 524 287 É primo 524 287 M20 2 20-1 = 1 048 575 Não é primo 3x5 2 x11x31x41 Este é um ótimo momento para estimular o cálculo mental com os seus estudantes. Perceba que para todos os números que não são primos o Número de Mersenne também não o será e que mesmo que um número seja primo o seu número de Mersenne não será necessariamente primo. ATIVIDADE 05 O maior número primo analisando a tabela dos exercícios 3 e 4 é o Primo de Mersenne M 19 = 2 19-1. ATIVIDADE 06 Esta atividade deverá ser realizada após a introdução da atividade Quantidade de dígitos de um número muito grande. Não há problemas em deixar algumas perguntas sem respostas. Na Matemática, há várias perguntas que estão sem resposta por séculos, milênios, as chamadas conjecturas. 5
O número acima, ou seja, o quadragésimo nono primo de Mersenne tem 22 338 618 dígitos. ATIVIDADE 07-6