Grupo A. Seja x o grau do divisor, então p x + q x p q. Sendo r o grau do resto, então r<xer N, logo o maior valor possível para o resto é p q.. a) P + Q R x + x x x x x x Como o maior expoente da variável x do polinômio P + Q R é, então ( P + Q R). b) P Q ( x)( x + x) x + x x x x x + x Analogamente ao item a, (PQ). c) ( P + Q) R [ x + ( x )]( x + x) 5 4 ( x x )( x + x) x + x x x x Analogamente ao item a, [( P + Q) R] 5.. ( P) m 0 m m e m. ( P) ( P) m 0 m 0 m ou m m 0 m 0 m 0 m m m m ou m m m m m 4. a) f( x) 0 x 5x + 6 0 x ou x. b) g( x ) 0 ax + bx + c 0 a b c 0. 5. Px ( ) axx ( + 0) + bxx ( + ) + cxx ( + 4) + 5a b+ c ax + 0ax + bx + bx + cx + 4cx + 5a b + c ax + bx + cx + 0ax + bx + 4cx + 5a b + c ( a + b + c) x + ( 0a + b + 4c) x + 5a b + c
Como Px ( ) 0, então: a + b + c 0 0a + b + 4c 0 5a b + c 0 L + L L+ L a + b + c 0 5a + 5c 0 6a + c 0 L + L a + b + c 0 a + c 0 0 0 a + b + c 0 5a + 5c 0 5a b + c 0 a + b + c 0 a + c 0 a + c 0 Logo o sistema é possível e indeterminado. Para c k, k R: k k a + k 0 a e + b + k 0 b k k V ; k; k, k R 6. hx ( ) 0 ( a+ b 5) x + ( b+ c 7) x+ a+ c 0 a + b 5 0 a + b + c 0 L+ L b + c 7 0 b + c 7 0 a + c 0 a + c 0 b b + c 7 a + c 0 Logo V {, 6, }. b 6 6 + c 7 a + c 0 7. Qx ( ) ax ( + x+ ) + ( bx+ c)( x+ ) ax + ax + a + bx + bx + cx + c ( a + b) x + ( a + b + c) x + a + c Como P Q, então: a + b a + b + c a + c 4 + b c a 4 a + b + c a + c b c a 4 Logo a + b + c + ( ) + 4. b 6 c a + 0 a + b c a + ( ) b 6 c a
8. Seja f ( x ) ax + bx + c, a 0, a, b, c R. Temos: f( 0) a 0 + b 0 + c f() a + b + c 4 f( ) a ( ) + b ( ) + c 0 c a + b + c a b + c 4 0 c a + b a b L+ L c a a b c a b c a b Logo, f( x) x + x +. 9. Observe que P( 0) a 0 + b 0 + c 0 + d d. Logo basta calcularmos o valor de d. Assim: P( ) a ( ) + b ( ) + c ( ) + d P( ) a ( ) + b ( ) + c ( ) + d P() a + b + c + d P( ) a + b + c + d 8a + 4b c + d a + b c + d a + b + c + d 8a + 4b + c + d 6b 0 L L b + d 0 a + b + c + d 8a + 4b + c + d Logo, P(0) d 0. L+ L4 L + L 8b + d 0 b + d 0 a + b + c + d 8a + 4b + c + d b 0 d 0 a + b + c + d 8a + 4b + c + d 0. alternativa C Temos que Ax ( ) Qx ( ) Bx ( ) + Rx ( ) Ax ( ) Qx ( ) Bx ( ) + Rx ( ) Ax ( ) Qx ( ) Bx ( ) + Rx ( ). Logo o quociente e o resto da divisão de A(x) por B(x) são, respectivamente, Qx e R(x).
. alternativa D Temos que P( x) x + x + x + Q( x)( x + ) + x +. Para x, + + + Q( )( + ) + + 5 Q( ) + Q( ) 4. Para x, + + + Q( )( + ) + + 40 Q( ) 4 + 4 Q( ) 9. Para x 0, 0 + 0 + 0 + Q( 0)( 0 + ) + ( 0 + ) Q( 0) + Q( 0) 0. Para x, + + + Q( )( + ) + + 4 Q() + Q().. Pelo Teorema de D'Alembert 4 Px ( ) x 7x + 4x m+ é divisível por x se, e somente se, P( ) 0. 4 Logo, 7 + 4 m + 0 7 + 4 + m m.. Fazendo a soma das frações, obtemos: A B c + + x + x x + 5 Ax ( )( x+ 5) + Bx ( + )( x+ 5) + Cx ( + )( x ) ( x + )( x )( x + 5) Ax ( + x 5) + Bx ( + 7x+ 0) + Cx ( x 6) ( x + )( x )( x + 5) x ( A + B + C) + x( A + 7B C) + ( 5A + 0B 6C) ( x + )( x )( x + 5) Portanto: x ( A + B + C) + x( A + 7B C) + ( 5A + 0B 6C) ( x + )( x )( x + 5) x + 40x + 5 ( x + )( x )( x + 5) Utilizando a identidade dos polinômios, montamos o sistema a seguir: A + B + C A + 7B C 40 5A + 0B 6C 5 L+ L 6L+ L A + B + C A + 8B 4 9A + 6B 7 4
L + L A + B + C A + 8B 4 B 5 Logo A, B 5 e C. C A B 5 4. Note que se Px ( ) 4x + x + ( m 4) x+ mé divisível por x +, então: Px ( ) Qx ( ) ( x+ ) Px ( ) Qx ( ) x + Px ( ) Q'( x) x +. Assim, basta determinarmos os valores de m para os quais P(x) é divisível por x +. Pelo Teorema de D'Alembert P(x) é divisível por x + se, e somente se, P 0. Então, P + + m 4 ( 4) + m 0 7 + 9 m + 4 4 + m 0 m 6. 8 4 Logo, Px ( ) 4x + x + ( 6 4) x 6 4x + x 0x 6. Dividindo P(x) por x + pelo algoritmo de Briot-Ruffini: 4 0 6 4 4 4 0 Obtemos o quociente 4x 4x 4, então: Px ( ) ( 4x 4x 4) x + Px ( ) ( 4x 4x 4) x + Px ( ) ( x x ) ( x+ ) Portanto o quociente da divisão de P(x) por x + x x. é 5
A B Ax ( ) + Bx ( ) Ax A + Bx B 5. + n ( x ) ( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) ( A + B) x + ( A B) ( x )( x ) x + A B Como + ( x )( x ) ( x ) ( x ), então: x + ( A + B) x + ( A B) A B + ( x )( x ) ( x )( x ) A B A + B ( ) A B A + B 6 A B L+ L B 7 A 7 B 7 A 4 6. Uma maneira: Utilizando a Divisão Euclidiana, temos: 00 x + x + x 00 98 98 96 ( x x ) x + x +... + x 98 + x + 98 96 ( x x ) x 96 + x + x ( x ) + x + x + 98 96 Logo, obtemos quociente x + x +... + x + e resto x +. Outra maneira: Da fórmula da soma dos termos de uma PG: 00 x 98 96 x + x +... + x + x 00 98 96 x ( x )( x + x +... + x + ) x 00 + x + ( x )( x 98 + x 96 +... + x + ) + x + 98 96 Logo o quociente é x + x +... + x + e o resto é x +. 6
5 4 7. Dividindo x + x + x + ax 4x + por x + x x + : 4 x 5 + x + x + ax 4x + x + x x + 4 x 5 x + x x x + 4 4x + ( a ) x 4x + 4x 8x + 4x ( a ) x Obtemos quociente x + 4 e resto ( a ) x. 5 4 Para que x + x + x + ax 4x + seja divisível por x + x x +, o resto da divisão anterior deve ser zero, ou seja, ( a ) x 0, x R a 0 a. 8. O polinômiop( x) x + ( ax ) + ( + ax ) é divisível por x a se, e somente se, o resto da divisão de P(x) por x a é nulo, ou seja, Pa ( ) 0. Assim: Pa ( ) a + ( aa ) + ( + a) a 0 a + a a + a + a a + a 0 a ou a 9. De acordo com o enunciado, temos F( x) G( x) Q( x) + R( x) F( x) R( x) Gx ( ) Qx ( ) 4 4 x + x + x x + ( x x + ) x + x x +. x + x + Fazendo a divisão na chave: x 4 + x x + x + x 4 x x x + x + x + x x + x 0 7
Ou, ainda, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: 0 0 0 De qualquer forma, G( x) x x+. 0. alternativa A Temos P(x) P( x) Px ( ) P( x) Qx ( ) + Rx ( ) R(x) Q(x) Px ( ) Rx ( ) P( x) P( x) Qx ( ) x 4x + 5x P( x). x Fazendo a divisão na chave: x 4x + 5x x x + x x + 5x + x x x x + Logo, P ( x) x x +. 0 x x + x 4x + 7x x + x. Como a expressão é independente de x, então é uma constante, logo: x + 5x 8 k x + 5x 8 k( ax + 0x + b) ax + 0x + b x + 5x 8 akx + 0kx + bk a a ak 6 0k 5 k k bk 8 b 6 b 8 Logo, a + b 6 6 0. 8
. alternativa C Obtemos a soma dos coeficientes de um polinômio fazendo x. Logo a soma dos coeficientes do polinômio é: ( 4x x x ) 6 ( 4 ) 6 ( ) 6. a) Fatorando A(x) eb(x) em polinômios irredutíveis em Rx ( ), temos: 6 6 4 4 A( x) ( x a ) ( x + ax a x a ) [( x + a )( x a )] [ x ( x + a) a ( x + a)] ( x + a ) ( x a ) [( x a )( x + a)] ( x + a ) ( x a ) ( x + a) [( x + a)( x ax + a )] [( x a)( x + ax + a )] ( x + a) ( x + a) ( x a) ( x ax + a ) ( x ax + a ) 4 4 4 4 e B( x) ( x a x + a ) ( x + a x + a ) 4 4 [( x a ) ] ( x + a x + a a x ) 4 [( x a)( x + a)] [( x + a ) ( ax) ] 4 4 ( x + a) ( x a) ( x ax + a )( x + ax + a ) Observando as fatorações, vemos que: mdc ( A, B) ( x + a) ( x a )( x ax + a )( x + ax + a ) 4 4 mmc ( A, B) ( x + a) ( x a) ( x ax + a ) ( x + ax + a ) b) Para calcular o mdc dos polinômios Ax ( ) 6x x + 9x e 4 Bx ( ) 4x x + x 6x+, usaremos o método das divisões sucessivas: 4x 4 x + x 6x + 6x x + 9x 4x 4 + 6 x 6x + 4 x x 5 9 0 + 0 x + 7 x 4 x + x 65 9 x + 5x 0 9 9 x + x 9 9
x Como o resto x + é diferente do polinômio nulo, 9 9 continuamos o método das divisões, agora dividindo x 6x x + 9x por x + : 9 9 x x x + 9x x + 9 6 6x + 9x x 7x + 8 4x + 6x + 4x 6x + 0 Como o resto da divisão de 6x x + 9x por x x + é zero e o mdc deve ser um polinômio mônico, 9 9 temos que: 9 x x mdc ( AB, ) x + x + 9 9 ( x ) x O mmc de A(x) e B(x) é um polinômio mônico: mmc ( AB ( ) ( ), ) k Ax Bx mdc ( AB, ), k R *. Ax ( ) Para calcular tal polinômio, primeiro calculamos. mdc ( AB, ) 9 x x x + 9x x + 6 6x + 9x x 6x 4 4x + 6x + 4x 6x + Assim, Ax ( ) Bx ( ) mdc ( AB, ) 0 Ax ( ) mdc ( AB, ) 6x 4 6 x. Ax ( ) Bx ( ) 6 x mdc ( AB, ) 4 4 x x + x x + 4 4 Ax ( ) Bx ( ) mdc ( AB, ) 0
4 4 x x x + x x + 4 4 e, portanto, mmc ( AB, ) x x x x x + + 4 4 4 4 4 4 mmc ( AB, ) x x x + x x+. 4 4 4. alternativa A Temos: A x 9x + 0 ( x 0)( x + ) B x 00 x 0 ( x + 0)( x 0) C x + x + 0x x( x + x + 0) x( x + )( x + 0) Consequentemente, o mínimo múltiplo comum de A, B e C é dado por: x ( x + )( x 0)( x + 0) ( x + x)( x 00) 4 x + x 00x 00x Grupo B 5. alternativa D a) Falsa. Considere, por exemplo, os polinômios Px ( ) x e Qx ( ) x + ; ambos têm grau, mas x + ( x + ), que é um polinômio de grau 0. b) Falsa. Se P(x) for divisível por Q(x), então o resto é o polinômio nulo (para qual não está definido o grau) ou um polinômio de grau estritamente menor que. c) Falsa. O grau do quociente da divisão de um polinômio P(x) por Q(x), em que P n e Q m, com m n, ém n. Logo, como ambos têm grau, o grau do quociente é 0. d) Verdadeira. Dados dois polinômios quaisquer P(x) eq(x) de graus m e n, o grau de Px ( ) Qx ( ) é dado por m + n. e) Falsa. Considere o exemplo dado na alternativa A. 6. Temos que: Px ( ) + é divisível por ( x +, ) logo Px ( ) + ( x+ ) Qx ( ) P( ). P(x) é divisível por ( x, ) logo Px ( ) ( x ) Q( x) P().
Daí obtemos o sistema ( ) + ( ) + a ( ) + b + + a + b b a 0. 7. Utilizando o método da chave: 4 x 4x 0x + ax + b x x + 5 4 x + x 5x x x 8 x 5x + ax + x x + 5x 8x + ( a + 5) x + b 8x 8x + 90 ( a ) x + b + 90 R( x) Para que um polinômio seja divisível por outro, necessariamente Rx ( ) 0. Daí obtemos a 0 a b + 90 0 b 90. 4 8. Para que o polinômio x + 4x x + ax + b seja um quadrado perfeito, podemos escrevê-lo na forma ( px + qx + r ). Desenvolvendo o quadrado, obtemos: x 4 + 4x x + ax + b 4 p x + pqx + ( q + pr ) x + qrx + r. Portanto p pq 4 r q + pr qr a b Se p q r a b 9 p ou p pq 4 q + pr qr a r b
Se p q r a b 9 Nas duas situações, a e b 9. 9. a) Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: k k 0 k 0k 0 0 Logo o quociente e o resto da divisão de f por x + k são, respectivamente, x x 0e 0. b) De acordo com o item anterior, podemos escrever f ( x + k) ( x x 0 ). Como as raízes do polinômio x x 0são e 5, podemos decompor f da seguinte forma: f ( x + k) ( x 5) ( x + ) 0. Utilizando o teorema do resto, do enunciado temos que P( ), P() 4 e P( ). A divisão de P(x) por ( x ) ( x + ) pode ser representada por Px ( ) ( x ) ( x+ ) Qx ( ) + Rx ( ), onde R(x) tem grau máximo igual a, já que o divisor possui grau igual a. Representando R( x ) ax + bx + c, temos: P( x ) ( x ) ( x + ) Q( x ) + ax + bx + c P( ) P() P( ) [( ) ] ( + ) Q( ) + a ( ) + b ( ) + c ( ) ( + ) Q() + a () + b () + c [( ) ]( + ) Q( ) + a( ) + b ( ) + c 0 Q( ) + a b + c 0 Q() + a + b + c 0 Q( ) + 4a b + c a b + c a + b + c 4a b + c
a b + c b 4a b + c a + c 0 b 4a + c L+ L L+ L a + c 0 b a c b a Logo o resto da divisão desejada é R( x ) ax + bx + c x + x.. alternativa E Como x 5x + 4 tem raízes e 4, temos x 5x + 4 ( x )( x 4) e, além disso, Px ( ) ( x )( x 4) Qx ( ) + 4x+. Por outro lado, o resto da divisão de P(x) por x 8 é igual a 8 P P( 4) ( 4 )( 4 4) Q( 4) + 4 4 + 0 Q( 4) + 4 4 + 9.. alternativa A Pelo teorema do resto: P( ) 0, pois P(x) é divisível por x. Além disso, o resto da divisão de q(x) por x é igual a q(). Obtém-se q() substituindo x em Px ( ) ( x ) qx ( ) + 0, ou seja, P( ) ( ) q( ) + 0. Como P() 0, temos 0 q( ) + 0 q( ) 5.. Pelo teorema do resto: f( ) ( ) + ( ) + k( ) f() + + k f ( ) k f() k + Como os restos são iguais, k k + k, logo f() f( ). O divisor é de grau, logo podemos escrever o resto na forma Rx ( ) ax+ b. Além disso, f( x) ( x + ) ( x ) q( x) + ax + b. Substituindo x por e, obtemos o sistema a + b b a + b a 0. Logo o resto é Rx ( ). 4
4. alternativa D Como ( x + )( x )( x ) é de grau, o resto da divisão de Px ( ) por tal polinômio tem grau menor ou igual a, ou seja, R( x ) ax + bx + c, a, b, c R. Assim, podemos escrever: Px ( ) ( x+ )( x )( x ) Qx ( ) + ax + bx+ c Além disso, já que P( ) 5, P( ) e P( ), temos: ( + )( )( ) Q( ) + a( ) + b( ) + c 5 ( + )( ) ( ) Q( ) + a + b + c ( + )( )( ) Q( ) + a + b + c a b + c 5 a + b + c 4a + b + c a b c Consequentemente, Rx ( ) x x+. 5. Sendo q(x)er( x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de px ( )por ( x ), temos px ( ) qx ( ) ( x ) + rx ( ). Lembrando que o resto da divisão de r( x)por x é, temos r (). Assim, p() q()( ) + r() r(). 6. Sendo Px ( ) Qx ( ) Dx ( ) + Rx ( ), temos: Px ( ) ( x 4)( x + ) + ax+ b, onde Rx ( ) ax+ b P ( ) 0 P( ) ( )( ) a + b 0 6 a + b R( ) 9 R( ) a + b 9 a + b a + b 6 a a + b 9 b 7. Como Px ( ) ( x 4)( x + ) + ax+ b, 4 Px ( ) ( x 4)( x + ) + x+ 7 Px ( ) x x + x+. 7. alternativa A 9 8 7 6 5 4 ( x )( x + x + x + x + x + x ) 4 5 4 ( x ) x ( x + x + x + x + x + ) 4 4 ( x ) x ( x ( x + ) + x ( x + ) + x + ) 4 4 4 4 x ( x )( x + )( x + x + ) x ( x )( x + x + ) 4 4 4 6 x ( x )(( x ) + x + ) x (( x ) ) x ( x ) 4 4 x (( x ) ) x ( x + )( x ) 5
8. alternativa C Temos: x n x x n + x n n n x + x + + x n x n + x n x n x x + 0 n n n Assim Qx ( ) x + x + x + + x+. 9. alternativa B SendoP( x) x 7 x 7 + p, pelo teorema do resto, para que a divisão de P(x) por x tenha resto zero, devemos ter 7 7 P() 0 + p 0 p. 40. alternativa C Fazendo a divisão de f por x, temos: x 4 x x + x + x x 4 + x x x x x + x + x x x + x 0 Logo, f ( x )( x x ) ( x )( x )( x + ) ( x + )( x )( x )( x + ) ( x )( x )( x + ). Consequentemente, outro divisor de f é, por exemplo, ( x + ). 6
4. alternativa A Pelo método da chave: x ax + bx + x + 5x a + 5 x 5x + x x ( a + 5) x + ( b + ) + a + 5 a + 5 ( a + 5) x + 5 b + 5a + 9 x a 5 R( x) Para que um polinômio seja divisível por outro, obrigatoriamente b + 5a + 9 0 a 5 Rx ( ) 0, daí a 5 0 b. Portanto a soma pedida é ( ) + ( 5) 7. 4. Para que os polinômios sejam idênticos, devemos ter: a + b b + c a b c 0 a b 0 c Portanto a soma pedida é + 0 +. 4. alternativa D O polinômio Px ( )tem como raízes (dupla) e (simples). então: P( x ) K ( x ) ( x ) x + ax + bx + c K Logo, Px ( ) x x + 5x 6. Portanto a soma pedida é ( ) + 5 + ( 6). 44. é raiz dupla de Px ( ). Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos: 0 a b a + a + b + a + Necessariamente, temos a + b + 0 a + 0 a b. 7
45. alternativa C Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x k é P(k), logo P(k) R. R Analogamente, o resto da divisão de Px ( ) + por x k é R R Pk ( ) +, logo Pk ( ) + 4. Assim, R R 4 + 4 R 4 R 8. 46. Como m é raiz de P(x), então: 6 5 Pm ( ) 0 m ( m+ ) m + 0 6 6 5 5 m m m m m 6 5 6 5 Logo, Px ( ) x ( + ) x + x x +. Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x é 6 5 P(). Assim, P() x + 0. 47. alternativa C Note que: p x 4x + ( x )( x ) q x x + ( x ) r x 9 ( x + )( x ) Logo, m x e n ( x )( x )( x + ) x x 9x + 9. Finalmente, n m x x 9x + 9 x + x x 0x + 0. 48. Observemos que x 4 é raiz dupla de P(x), enquanto x éraiz simples. Sendo P(x) do º grau, temos Px ( ) ax ( + )( x 4). Já que P( 0), obtemos a( 0 + )( 0 4) 6a a e, portanto, Px ( ) ( x+ )( x 4) ( x + )( x 8x + 6) ( x 8x + 6x + x 8x + 6) x 4x + 6x +. 8