Esta distribuição que aparece como caso limite da distribuição binomial em determinadas circunstâncias, é um bom modelo probabilístico de fenómenos aleatórios como número de clientes que chegam a um determinado posto de atendimento, número de chamadas que chegam a uma central telefónica num certo período de tempo, número de acidentes de viação que ocorrem numa determinada via durante um certo período de tempo, nº de partículas emitidas por uma substância radioactiva num intervalo de tempo, etc. Exercício: A um balcão de atendimento de um departamento dum Centro Comercial chegam clientes de acordo com uma distribuição de oisson de média 7 clientes/hora. ara uma determinada hora qual é a probabilidade de: i) Não chegarem mais de 3 clientes? ii) Chegarem pelo menos 2 clientes? iii) chegarem exactamente 5 clientes? RESOLUÇÃO: X-nº de clientes que chegam ao departamento do C.C./hora X 7 EX 7. X i i) X 3 ii) X 2 3 3 e 7 7 i i! i i X iii) X 5.277.88 X.9927 Há vários modelos de probabilidades que correspondem a distribuições de v.a. s contínuas, mas vamos somente estudar o modelo Gaussiano por ser um dos mais importantes, senão o mais importante dada a sua aplicabilidade..5.3 Distribuição Exponencial Definição: Uma v.a. X com função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por f x; exp x x, tem distribuição Exponencial de parâmetro, isto é Facilmente se verifica que E X Var X. Sendo portanto E X X 2 X Exp., isto é, o valor médio é o inverso do parâmetro e 8
.5.4 Distribuição Gaussiana Figura Definição: Uma v.a. cuja f.d.p. tem a seguinte expressão: f x x 2 2 2 e, x,, () 2 tem distribuição Gaussiana de parâmetros e respectivamente o valor médio e o desvio-padrão da distribuição, isto é, designa-se por X Gau,. No caso de = e =, temos a v.a. "standard" Gau(, ) e a sua f.d.p. obtém-se de () e representa-se pela letra grega x encontra-se representada esta função (curva de Gauss). 2 ex 2 2, x. Na figura seguinte Gau(,),45,4 5 Series,5, -4-3 -2-2 3 4 Figura 2 As f.d.p. das gaussianas não standard têm formas semelhantes como se pode ver. 9
,45,4 5 Series Series2,5, -4-2 2 4 6 Figura 3 Na figura anterior encontram-se as f.d.p. de duas gaussianas com o mesmo valor médio igual a, e desvios-padrão diferentes. A curva mais achatada corresponde ao desviopadrão 2 (maior dispersão em relação ao valor médio) e a outra tem desvio-padrão igual a. De facto a f.d.p. tem um máximo no ponto e a ordenada da f.d.p. nesse ponto é igual a f, isto é, decresce com (ver ()). 2 Na figura 4 podemos ainda ver vários gráficos da f.d.p. da Gaussiana com diferentes valores médios e /ou desvios-padrão. Figura 4 Note-se que se X Gau, então Y X Gau,. (2) A f.d. da v.a. X é dada por Fx x 2 exp 2 2 t 2 dt, x (3) e analogamente a f.d. da v.a. Y (Gau,) é dada por: 2
x x e t 2 2 dt, x (4) 2 Estes integrais não têm solução analítica logo tem de se recorrer a solução numérica. Uma vez que toda a gaussiana se pode converter numa gaussiana "standard" por meio da transformação (2), somente está tabelada a f.d. da Gau(, ). Dada a simetria da curva de Gauss tem-se a seguinte relação: x x, x (5) E assim, basta tabelar a função para valores positivos do argumento. ara exemplificação temos aqui alguns destes valores: x (x) x (x).5.7.955435..539828.6.9452.2.57926.7.955435.3.679.8.9647.4.655422.9.97284.5.69463.6.9452.6.725747 2.97725.7.75836 2..98236.8.78845 2.2.98697.9.8594 2.3.989276.84345 2.4.9983..864334 2.5.99379.2.88493 2.6.995339.3.9399 2.7.996533.4.99243 2.8.997445.5.93393 2.9.99834.6.9452 3.99865 Exemplo :Seja X Gau X 2 X. 5; 2 X 3 2 2 2 2. 6827, 2entãoY Gau, X X 3 3 2 X 2 5 2 3 X 5 2 2 22. 9545 5 2 X 2 7 2 5 X 7 23. 9973 2
Exemplo 2: ara uma variável aleatória gaussiana temos: X Gau = = 2 = 3, X = - - 2 2 2 2.6827.9545 3. 9973 X Exercício: O tempo X necessário para realizar um teste de uma determinada disciplina é uma v.a. normalmente distribuída com valor médio 7 minutos e desvio-padrão 2 minutos. Quanto tempo se deve dar para fazer o teste se quisermos que pelo menos 9% dos alunos o completem? X 7 X x 2 x 7 2 x 7 x 7.9 2 2.9.28 x 2.28 7 85. 36.6 Aproximação da Binomial à Gaussiana Recordemos que uma v.a. binomial é uma v.a. discreta cuja função massa de probabilidade é (X ) n p p n,,,...,n, p. Quando o valor de n é grande esta expressão envolve cálculos muito morosos e podemos recorrer à distribuição gaussiana como aproximação. A justificação deste facto reside numa propriedade da distribuição binomial (entre outras distribuições). Exercício: A soma de v.a. s X i independentes de parâmetros n i (i=,, ) e p é ainda uma v.a. binomial de parâmetros n n n 2... n e p. (Intuitivamente este resultado é de fácil compreensão. Se a cada sucessão de n i provas de Bernoulli associarmos uma v.a. X i (i=,, ) que representa o número de sucessos nessas n I provas, sendo a probabilidade de sucesso constante e igual a p, X i bin i, p, a v.a. X X i representa o número de sucessos na totalidade das i n n n 2... n provas e assim é fácil perceber que se deverá ter X bi n, p). Logo, qualquer v.a. binomial pode ser considerada como soma de v.a. s binomiais independentes todas com o mesmo parâmetro p. 22
p() Um resultado muito importante em probabilidade é o Teorema Limite Central, segundo o qual a soma de v.a. s independentes com valor médio e variância finitos tem uma distribuição aproximadamente gaussiana (normal). Este teorema aplicado ao caso particular da distribuição binomial é conhecido por teorema de De Moivre-Laplace TEOREMA Seja X uma v.a. com distribuição binomial de parâmetros n e p. Se n é grande e p não está muito perto de ou de, a distribuição binomial é aproximada pela distribuição Gaussiana, isto é, X np npq x x ou de outro modo a v.a. X np npq standard., x () tem uma distribuição aproximadamente gausssiana OBSERV: Note-se que EX np e VarX npq q p. Como podemos comprovar pelos gráficos da página seguinte, esta aproximação é tanto melhor quanto mais simétrica for a distribuição da v.a. X, isto é, para valores de p próximos de.5. bi (; ),5, 2 4 6 8 2 Figura 5- f.m.p. Bi (; ) 23
p() p() p() bi (;,5),5, 2 4 6 8 2 Figura 6- f.m.p. Bi (;,5) bi (;,8) 5,5, 2 4 6 8 2 Figura 7- f.m.p. Bi (;,8),8,6,4,,8,6,4,2 bi (3; ) 2 3 4 Figura 8- f.m.p. Bi (3; ) 24
p() bi (3;,5),6,4,,8,6,4,2 5 5 2 25 3 35 Figura 9- f.m.p. Bi (3;,5) Exemplo: Calculemos a probabilidade de uma v.a. binomial com n=25 e p=.5 ser igual a 8, 9 ou usando a aproximação à normal e comparemos com a probabilidade exacta. O que pretendemos é 8 X 7 X 7 2 5 2 5 2 5. X.. 25 4 25 4 25 4 2. 2. 8 2. 2 (2).986.843.448 Se calcularmos a probabilidade exacta obtém-se: 25 8 X X X 7 i8 i 25.9 (3) 2 Quando estamos a considerar distribuições discretas a aproximação (2) pode ser melhorada fazendo a seguinte correcção de continuidade: 8 X 7.5 X.5.8 2.4772.288. 89.5 2.5 7.5 2.5 2.5 2.5 (4) (No caso de estarmos a trabalhar com somas de v.a. s contínuas não tem sentido utilizar esta correcção). 25