Conteúdo: Hedges Relações e Composições

Hedges: Operadores semânticos Atuam na modelagem de um sistema fuzzy da mesma forma que advérbios atuam em uma sentença. Modificam a natureza de um conjunto fuzzy. O hedge (limita) por condições ou exceções: Variável linguística(substantivo): Velocidade Etiqueta ou Estado ou label (adjetivo): baixa, média, alta Hedge (advérbio): pouco, muito, quase

Hedges: Operadores semânticos Classes de Hedges: Concentradores: muito, extremamente. Diluidores: pouco, levemente, mais ou menos. Complemento: não. Aproximadores: em torno, aproximadamente, perto de. Restrição de uma região fuzzy: abaixo de, acima de. Contraste: positivamente, geralmente.

Hedges: Operadores semânticos Da mesma forma que os advérbio e adjetivos, a ordem do hedge é importante: Não muito Alto Muito não Alto Múltiplos hedges podem ser aplicados a um único conjunto fuzzy Positivamente não muito Alto Múltiplos hedges Conjunto fuzzy

Hedges: Operadores semânticos O processamento dos hedges é de forma análoga à linguagem Positivamente não muito Alto (Positivamente (não (muito Alto)))

Hedges: Operadores semânticos Hedges podem ser usados no antecedente (premissas) e/ou no consequente (ação) Se custos são muito Altos Então as margens são Baixas Se pressão (t-1) é muito Baixa e pressão (t) é Alta Então incrementar aproximadamente Zero

Hedges: Concentradores Reduzem o espaço dos candidatos que pertencem ao conjunto fuzzy Muito, Extremamente μ A x μ MUITO A x Concentradores de Zadeh μ MUITO A x = μ A (x) 2 μ CONC A x = μ A (x) n, n 1,4

Exemplo 1: Hedges: Concentradores

Hedges: Concentradores Exemplo 2: Muito de Meia-Idade Meia-Idade

Hedges: Diluidores Diluem a função de pertinência para uma certa região fuzzy Um pouco, Levemente μ A x μ UM POUCO A x Contrariamente aos intensificadores, esses hedges devem ter valor de pertinência maior que a função básica.

Hedges: Diluidores Diluidores de Zadeh μ UM POUCO A x = μ A (x) 1/2 μ DILUIDOR A x = μ A (x) 1/n, n 1,8

Hedges: Diluidores Exemplo 1 Levemente Alto n=1/3 Um pouco Alto n=1/2 Para se obter o mesmo valor de (x) o elemento do domínio deve estar mais à esquerda Alto

Exemplo 2 Hedges: Diluidores

Hedges Concentradores e Diluidores Possuem o mesmo suporte que o conjunto original Mesmo valor no domínio para (x) = 0 e (x) = 1 Muito e Um pouco são os únicos hedges comutativos.

Complemento Hedges: Complemento

Hedges: Aproximadores Alargam ou estreitam uma região fuzzy (tipo sino) Transformam valores escalares em regiões fuzzy Em torno de, Aproximadamente, Perto de

Alargando Hedges: Aproximadores

Estreitando Hedges: Aproximadores

Hedges: Aproximadores Transformando em Número Fuzzy

Hedges: Restrição de uma região fuzzy Restringem o escopo da função de pertinência Acima de, Abaixo de

Hedges: Restrição de uma região fuzzy Acima: Somente aplicável a funções que diminuam conforme se mova o domínio da esquerda para a direita

Hedges: Restrição de uma região fuzzy Abaixo: Somente aplicável a funções que aumentem conforme se mova no domínio da esquerda para a direita.

Hedges: Contraste Muda a natureza da região fuzzy Positivamente ou Definitivamente: torna o conjunto menos fuzzy. Geralmente: torna o conjunto mais fuzzy.

Hedges: Contraste Positivamente: diminui a fuziness (DF). Fórmula de Zadeh μ DF A x = 2 μ A (x) 2 se μ A (x) 0.5 1 2{1 μ A x 2 } se μ A x < 0.5

Hedges: Contraste Muda a função aumentando os (x) acima de 0,5 e diminuindo os (x) abaixo de 0,5.

Hedges: Contraste Geralmente: aumenta a fuziness (AF). Fórmula de Zadeh μ AF A x = 0.5 μ A (x) 1/2 se μ A (x) 0.5 1 0.5{1 μ A x 1/2 } se μ A x < 0.5

Hedges: Contraste Muda a função reduzindo os (x) acima de 0,5 e aumentando os (x) abaixo de 0,5.

Relações Crisp no mesmo espaço Relação Crisp Representa a presença ou ausência de associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos Relações binárias: são relações que envolvem dois conjuntos.

Relações Crisp no mesmo espaço Relação Crisp Sejam os conjuntos, U e V. O produto cartesiano desses conjuntos é: U V = {(x, y)/x ε U e y ε V}. Uma relação R(U, V) é um subconjunto de U V que pode ser definido como: μ R (x, y) = 1 se e somente se x, y R(U, V) 0 caso contrário Uma relação também é um conjunto e todas as operações de conjuntos crisp podem ser aplicadas.

Relações Crisp no mesmo espaço Exemplo: Sejam os conjuntos: U = {todos os sistemas contínuos de 2ª ordem} e V = {todos os polos dos sistemas contínuos de 2ª ordem} O produto cartesiano desses conjuntos esta dado por: U V = x, y x ε U e y ε V} Seja R uma relação que representa a relação de estabilidade entre o conjunto de todos os sistemas contínuos lineares de 2ª ordem e o conjunto de polos de tais sistemas. R é um subconjunto de U V.

Relações Crisp no mesmo espaço Suponha que: U = {x 1, x 2 } = {sistema 2ª ordem LVT, sistema de 2ª ordem LIT} V = {y 1, y 2, y 3 } = {pólo no lado esquerdo do plano s, pólo no eixo imaginário, pólo no lado direito do plano s} Então: R = { x 2, y 1, (x 2, y 2 )} = {(sistema de 2ª ordem LIT,pólo no lado esquerdo do plano s),(sistema de 2ª ordem LIT,pólo no eixo imaginário)} LVT: linear variante no tempo LIT: linear invariante no tempo

Relações Crisp no mesmo espaço R = { x 2, y 1, (x 2, y 2 )} = {(sistema de 2ª ordem LIT,polo lado esquerdo),(sistema de 2ª ordem LIT,polo eixo imaginário)} Matriz relacional Diagrama sagital y 1 y 2 y 3 x 1 0 0 0 x 2 1 1 0 x 1 x 2 y 1 y 2 y 3

Relações Fuzzy no mesmo espaço Relação Fuzzy: Representa a presença ou ausência de associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos fuzzy Exemplos: x é muito maior que y x é mais alto que y x é menos frio que y

Relações Crisp no mesmo espaço Relação Fuzzy Seja U V o produto cartesiano de 2 conjuntos fuzzy U e V. R(U, V) é um subconjunto fuzzy no espaço U V que pode ser definido como: Isto é: μ R x, y, onde x ε U e y ε V. R U, V = {[ x, y, μ R (x, y)]/ (x, y)ε U V A relação fuzzy também é um conjunto fuzzy, as operações com essas relações podem ser definidas utilizando os operadores: União, Interseção e Complemento.

Relações Crisp no mesmo espaço Exemplo: Sejam os conjuntos U = {R} e V = {R} E seja a relação fuzzy o valor de x é perto do valor de y, com x ε U e y ε V, supondo que o maior valor da diferença entre x e y é 5, a relação pode ser representada como: μ Perto x, y, = máx 5 x y 5, 0

Composições Fuzzy no mesmo espaço Sejam R x, y e S x, y duas relações fuzzy no espaço U V a interseção e união de R e S, isto é, as composições dessas duas relações definem-se como: μ R S x, y μ R S x, y = μ R (x, y) μ S (x, y) = μ R (x, y) μ S (x, y) Onde é qualquer t-norm e é qualquer t-conorm.

Composições Fuzzy no mesmo espaço Exemplo: Considere a afirmação: x é muito maior que y e y é muito próximo de x A afirmação não é verossímil! Para estabelecer uma função de pertinência para essa afirmação, deve-se observar e proceder como segue: A afirmação é uma composição de duas relações x é muito maior que y e y é muito próximo de x. As duas relações pertencem ao mesmo espaço U V. Criar funções de pertinência para cada relação: μ MM x, y e μ MP y, x. Obter μ MM MP x, y usando um t-norm adequado.

Composições Fuzzy no mesmo espaço Exemplo: Suponha que as as relações μ MM e μ MP estão representadas pelas matrizes abaixo, com U = x 1, x 2, x 3 e V = {y 1, y 2, y 3, y 4 }. Na matriz do lado direito apresenta-se a composição dessas relações. μ MM x, y = μ MP y, x = y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 0.8 1 0.1 0.7 x 2 0 0.8 0 0 x 3 0.9 1 0.7 0.8 x 1 x 2 x 3 y 1 0.4 0.9 0.3 y 2 0 0.4 0 y 3 0.9 0.5 0.8 y 4 0.6 0.7 0.5 μ MM x, y μ MP y, x y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 0.4 0 0.1 0.6 x 2 0 0.4 0 0 x 3 0.3 0 0.7 0.5 A maioria dos graus de pertinência são menores que 0.5, isto significa que a afirmação é pouco verossímil.

Composições Crisp em espaços diferentes Sejam P(U, V) e Q(V, W) duas relações crisp nos espaços U V e V W respectivamente. Composição R(U, W) das relações crisp P e Q é: R(U, W) = P(U, V) Q(V, W)

Composições Crisp em espaços diferentes R(U, W) = P(U, V) Q(V, W) Onde R(U, W) é um subconjunto de U W tal que: x, z R U, W se e somente se y V / x, y P e y, z Q

Composições Crisp em espaços diferentes Na composição crisp, o cálculo de cada elemento é obtido através do produto booleano das matrizes P(U, V) e Q(V, W). Onde: Cada multiplicação ou e booleano é tratado como o mínimo ou produto Cada soma ou ou booleano é tratado como o máximo. μ P Q x, z = { x, z, máx y [mín(μ P x, y, μ Q y, z )]} μ P Q x, z = { x, z, máx y [μ P x, y μ Q y, z ]}

Composições Crisp em espaços diferentes P(U,V) Q(V,W) x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 4 z 1 z 2 z 3 z 4 R(U,W)=P(U,V) Q(V,W) z 1 x 1 x 2 x 3 z 2 z 3 z 4

Composições Crisp em espaços diferentes

Composições Fuzzy em espaços diferentes A composição de duas relações fuzzy P(U, V) e Q(V, W) é análoga ao caso crisp, exceto que no caso fuzzy os conjuntos são conjuntos fuzzy com: μ P x, y ε 0,1 μ Q y, z ε 0,1

Composições Fuzzy em espaços diferentes De modo similar à composição crisp, a composição fuzzy pode ser calculada como: Onde: μ P Q (x, z) = sup[μ P x, y μ Q y, z ] y V é uma composição sup-star e é um t-norm. P e Q possuem universos de discurso discretos e podem ser representados por um diagrama sagital ou uma matriz relacional.

Composições Fuzzy em espaços diferentes Exemplo: U = {x 1, x 2, x 3 } V = {y 1, y 2, y 3, y 4 } W = {z 1, z 2, z 3 } E as matrizes relacionais μ MM x, y e μ MP y, z x é muito maior que y E y é muito próximo de z μ MM x, y μ MP y, z μ MM MP x, z =? μ MM x, y = y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 0.8 1 0.1 0.7 x 2 0 0.8 0 0 x 3 0.9 1 0.7 0.8 μ MP y, z = z 1 z 2 z 3 y 1 0.4 0.9 0.3 y 2 0 0.4 0 y 3 0.9 0.5 0.8 y 4 0.6 0.7 0.5

Composições Fuzzy em espaços diferentes As composições máx-mín e máx-produto são obtidas como segue: Máx{Mín[μ MM x, y, μ MP y, z ]} Máx{μ MM x, y μ MP y, z } z 1 z 2 z 3 x 1 0.6 0.8 0.5 x 2 0 0.4 0 x 3 0.7 0.9 0.7 z 1 z 2 z 3 x 1 0.42 0.72 0.35 x 2 0 0.32 0 x 3 0.63 0.81 0.56 No caso crisp, os resultados são os mesmos se for o máx-mín ou o máx-produto. Já no caso fuzzy os resultados são diferentes. Esta é uma diferença entre o crisp e o fuzzy para composição de relações em espaços diferentes.

Composições Fuzzy em espaços diferentes

Composições Fuzzy em espaços diferentes Caso particular: Relação Fuzzy P é apenas um conjunto fuzzy: μ P x, y = μ P x U = V

Composições Fuzzy em espaços diferentes