Sexta Feira. Cálculo Diferencial

Sexta Feira Cálculo Diferencial 15/0/013 Funções Reais Domínio, imagem e gráficos Código: EXA37 A Turmas: ELE1AN, MEC1AN Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial Tipos de Números Os números podem ser Naturais ( N ) ; Inteiros ( I ) ; Reais ( ) conjugados ( Z ) R : racionais ou irracionais e Complexos R / ir N I R / r Z Para estudarem-se as funções de uma variável, os números reais ( R ) devem estar bem definidos, pois estas funções são funções reais. Mas, também devem ser definidos conceitos como: constantes, variáveis, intervalo, etc. Números reais O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é representado pelo símbolo R. Os números reais podem ser fracionários n os negativos n os positivos... -3 - -1 0 1 3... Ex.:,7893. Números racionais São números que podem ser expressos na forma positivos ou negativos. p q, onde p e q são inteiros 1

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 15/0/013 Domínio, imagem e gráficos Ex.: 0 1, 1 1, 1, 1, 1 3, 7, 1 13 ou - 1, - 5 7, - 3, - 41 17,..., etc. racionais positivos,..., etc. racionais negativos Números (reais) irracionais São números que não podem ser postos na forma anterior p q e são por exemplo:, 3, - 5, π, e, etc. Variáveis e constantes Variável real Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um conjunto de números reais e representado por símbolos genéricos como x, y, z, K, s, tk, etc. Variável independente é uma variável que não depende de outra variável e pode assumir qualquer valor real. Variável dependente é uma variável que depende de outra variável, e portanto é uma relação matemática ou uma função real. Exemplo: y = f ( x) ou y = y( x) Significa: y é uma variável dependente que depende da variável x, onde x é uma variável independente. Constante Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é denominado constante e os símbolos genéricos (ou parâmetros) normalmente são a, b, c, K, etc., enquanto os específicos são sempre os mesmos, tais como π, e, 3, etc.

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial Intervalo O conjunto de valores que uma variável pode assumir é representado por intervalos, que são definidos a seguir. Sejam a e b números reais, tais que a < b. Intervalo aberto O intervalo aberto de a até b, denotado por ( b) reais x, tais que a,, é o conjunto de todos os números a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo. ( ) a b Intervalo fechado O intervalo fechado de a até b, representado por [ b] x, tais que a, é o conjunto de números reais a x b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo. [ ] a b Intervalo aberto à direita O Intervalo aberto à direita, de a até b, representado por [ a, b) é o conjunto de números reais x, tal que a x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b não pertence. [ ) a b Intervalo aberto à esquerda O Intervalo aberto à esquerda ( a, b ], b ao intervalo, a ao intervalo. ( ] a b 3

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 15/0/013 Domínio, imagem e gráficos Outros tipos de intervalos Existem também os intervalos não limitados representados pelos símbolos (infinito). + e Os intervalos Aberto de a até x tal que x > a. +, representado por (,+ ) ( a + a é o conjunto de todos os números reais Aberto de até a, representado por (,a) é o conjunto dos números reais x tal que x < a. ) - a a ao intervalo Fechado de a até reais x, tais que x a. +, representado por [,+ ) a é o conjunto de todos os números Fechado de [ a + até a, (,a], x a. ] - a a ao intervalo a ao intervalo O intervalo ( + ), é o conjunto dos números reais R. Noção de dependência ou funcionalidade. No cotidiano, sempre se depara com fatos que relacionam duas grandezas (variáveis), por exemplo: A área de uma circunferência A = π r depende de seu raio. A (variável) depende do r (variável), e diz-se que a variável dependente A é função de r, e representado por 4

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial ( r) A = f e a variável r é a variável independente, isto é, r pode assumir qualquer valor real que se desejar e variável dependente A ou função A assumirá o valor calculado por π r respectivo. Exemplo: O valor do selo colocado em uma carta depende do peso, isto é, Valor = f peso. ( ) Exemplo: A velocidade máxima de um carro depende da potência de seu motor, V = f P. ( ) Com isso pode-se criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação entre variáveis, esse conceito é o de função. Funções Reais Definição: Diz-se que uma variável dependente real y é função de uma variável independente real x, quando possuem uma correspondência tal que, a cada valor real de x corresponde, mediante uma certa lei, um e somente um valor de y. Definição: Função é uma lei, formada por variáveis independentes e parâmetros que fornecem uma variável dependente. Pode dizer-se que função é uma regra ou correspondência que associa um valor da variável dependente y, um e somente um valor, a cada valor da variável x. Uma função y é representada por y = f ( x) ou y = y( x), onde x variável independente, que pode variar livremente e y variável dependente y = y x. Lê-se: y é função de x, isto é, ( ) Domínio da variável independente O domínio da variável independente é o conjunto de valores numéricos que essa variável pode assumir. Domínio da função Definição: Domínio (ou campo de existência) de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a função é definida ou existe, isto é, possui valor finito e real. 5

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 15/0/013 Domínio, imagem e gráficos Se a função for do tipo y = P(x), para que ela exista, é suficiente ser real, então a condição é P(x) pertença aos números reais, ou seja, P (x) R. Se a função for do tipo y = P(x), para que ela exista, o valor interno à raiz deve ser positivo para ser nulo ou positivo, isto é, a condição é P ( x) 0. Se a função for do tipo y = P( x) Q( x), para que ela exista, não deve haver zero no denominador, então a condição é Q ( x) 0. Se a função for do tipo y = Q( x) P( x), para que ela exista, o denominador não pode se anular e a raiz deve ser positiva para ser real, então a condição é P ( x) > 0. Exemplos: Achar o domínio (campo de existência) das funções: a) y = x + 3 Onde x pode assumir qualquer valor real para o qual y exista e seja D x R / < x < + D : x R /, +. finito. Assim, seu domínio é : { } ou { ( )} y = f x = x b) ( ) + Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, então o D x R / < x < + D : x R /, +. domínio da função, novamente, é : { } ou { ( )} c) 3 y = x aqui x só não pode ter o valor, porque neste caso, y, logo o domínio é : x R / x D : x R / < x < < x < +. D { } ou { } Exercícios: Achar o domínio (campo de existência) das funções: a) y = x + 3 Onde x pode assumir qualquer valor real para o qual y exista e seja finito, isto é, tal que x + 3 0. Assim, seu domínio é ou 3 D : x R /, +. 3 D : x R / x < + b) y = l n ( x ) 6

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, isto é, tal que x > 0, então o domínio da função, é D : x R / < x < < x < +. { } c) 3 y = x Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, isto é, tal que x > 0, então o domínio da função, é D : { x R / x > } ou D : x R / < x < +. { } Imagem da função A imagem de uma função é o conjunto de valores numéricos que a variável dependente pode assumir. Exemplo: A função y = x + 3 deve ser analisada quanto a sua imagem. Assim, tem-se: I : y R/ < x < + pois esta é a região na qual a função existe. { } Contradomínio da função Definição: Contradomínio (ou campo de existência físico ou por definição) de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a função existe fisicamente ou é definida por um motivo subjetivo, isto é, possui valor finito e real. Exemplo: A função y = x + 3 deve ser analisada em seu contradomínio definido por C : x R / 10 < x < + 10 pois esta é a região na qual está se procurando certo efeito. { } Gráfico de uma função O gráfico de uma função y = f ( x) é o conjunto de todos os pontos do conjunto ( y) plano XY, onde x pertence ao domínio de f ( x) e y é a imagem de f ( x). x, no Exemplo: Esboce o gráfico da função ( x) restrição x 0. f definida pela expressão y = x, com a 7

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 15/0/013 Domínio, imagem e gráficos Y (ordenadas) y = x, x 0 x y 3 ( 4,3) 0 0 1 8 3 18 4 3 5 50 O ( 1,) 1 3 4 X (abscissa) Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim, o gráfico a seguir não representa uma função. Y P Relação matemática Q O x 0 Mesma abscissa x 0 X Para ser uma função, dois pontos distintos (em y ) de um gráfico não podem possuir a mesma abscissa (em x ). Domínio via gráfico O domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos do gráfico Y f ( x) O domínio de f ( x) X 8

Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial Imagem A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico. Y Imagem de f ( x) f ( x) O X Exercício: Analisar a função y = x 4. Dada a função y = x 4 (Condição de existência x 4 0 ) já que x 4 somente para 4 0 x 4 I : y R / 0 y < +. é definido x, o domínio de f ( x) é D { x R / ( 4 x < + ) } sua imagem é o intervalo { ( )} Então, para y 0. x y 4 0 8 13 3 0 4 9 3 = 1,73 : e a Y y = 4 x 0 4 X Domínio da função: { x R /(, 4] } é o domínio 4 x < +. Imagem da y R / 0,. função: { [ )} 9