Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II

Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II ESALQ/USP 29/09/2016 (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 1 / 35

Um quarto do fatorial completo (Fatorial fracionado 2 k 2 ) Quando utilizar? Em situações em que há um número grande de fatores (k 5) O fatorial possui 2k 4 = 2k 2 tratamentos Ex. k = 6 fatores número de tratamentos = 2 6 2 = 2 4 = 16 Pode ser construído baseando-se num fatorial completo 2 k 2, isto é, com k 2 fatores Escolher, em seguida, dois geradores, representados por P e Q, e uma das relações definidoras: 1 I = +P e I = +Q (fração principal) 2 I = P e I = +Q 3 I = +P e I = Q 4 I = P e I = Q As quatro frações pertencem à mesma família pois são baseadas nos mesmos geradores, P e Q (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 2 / 35

Construção de um fatorial fracionado 2 k 2 Exemplo: k = 5 fatores: A, B, C, D e E Efeitos geradores: ABD e ACE Relações definidoras da fração principal: I = +ABD e I = +ACE Neste caso, D.I = +ABD 2 D = +AB e E.I = +ACE 2 E = +AC Vamos partir do fatorial completo 2 3 envolvendo os fatores A, B e C (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 3 / 35

Tabela: Fatorial fracionado 2 5 2 III dado pelas relações definidoras I = +ABD D = +AB e I = +ACE E = +AC Fatorial 2 3 A B C D = +AB E = +AC Trat. + + de + a + + be + + + abd + + cd + + + ace + + bc + + + + + abcde (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 4 / 35

Relação definidora completa de um fatorial. Consiste na relação de todas as colunas que são iguais à coluna identidade I No caso em questão, temos que I = (+ABD).(+ACE) = +A 2 BCDE = +BCDE Logo a relação definidora completa será: I = +ABD = +ACE = +BCDE ABD, ACE e BCDE, presentes na relação definidora completa, são chamadas palavras O número de letras da menor palavra da relação definidora fornece a resolução do fatorial considerado, no caso, resolução III Exercício 1. Obtenha a estrutura de associações para o fatorial do exemplo (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 5 / 35

I = +ABD = +ACE = +BCDE Associações: A = +BD = +CE = +ABCDE B = +AD = +ABCE = +CDE C = +ABCD = +AE = +BDE D = +AB = +ACDE = +BCE E = +ABDE = +AC = +BCD BC = +ACD = +ABE = +DE BE = +ADE = +ABC = +CD (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 6 / 35

Associações: l A A + BD + CE + ABCDE l B B + AD + CDE + ABCE l C C + AE + BDE + ABCD l D D + AB + BCE + ACDE l E E + AC + BCD + ABDE l BC BC + DE + ABE + ACD l BE BE + CD + ABC + ADE Exercício 2. Qual é resolução do fatorial fracionado 2 5 2 dado pelas relações definidoras I = ABCD e I = BCDE? Por que? (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 7 / 35

Exercício 3. Construa um outro fatorial fracionado 2 5 2 III pertencente à mesma família do fatorial fracionado apresentado no exemplo (Utilize, por exemplo, as relações definidoras I = +ABD e I = ACE) a) Obtenha sua relação definidora completa b) Obtenha sua estrutura de associações c) Responda. Se obtivermos resultados relativos às frações principal e alternativa considerada, o que estaremos estimando por meio de: 1 2 (l C + l C ), 1 2 (l C l C ), 1 2 (l E + l E ), 1 2 (l E l E ), 1 2 (l BC + l BC ) e 1 2 (l BE l BE )? Exercício 4. Obtenha a relação definidora completa e a estrutura de associações do fatorial fracionado 2 6 2 IV dado pelas relações I = +ABCE e I = +BCDF. Quando estimamos o efeito AB, o que estamos, na verdade, estimando? (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 8 / 35

Exemplo 8-4 de Montgomery Códigos em R # Planejamento expt = cube(~a+b+c+d, generators = c(e~a*b*c, F~B*C*D), n0=0) expt # Planejamento na sequência padrão stdorder(expt) # Entrada dos dados na sequência padrão y = c(6,10,32,60,4,15,26,60,8,12,34,60,16,5,37,52) # Análise utilizando a função lm modelo1 =lm(y ~ A*B*C*D*E*F, data=stdorder(expt)) summary(modelo1) (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 9 / 35

Planejamento run.order std.order A.as.is B.as.is C.as.is D.as.is E.as.is F.as.is 15 15 1-1 -1-1 -1-1 -1 3 3 2 1-1 -1-1 1-1 12 12 3-1 1-1 -1 1 1 10 10 4 1 1-1 -1-1 1 11 11 5-1 -1 1-1 1 1 9 9 6 1-1 1-1 -1 1 5 5 7-1 1 1-1 -1-1 2 2 8 1 1 1-1 1-1 16 16 9-1 -1-1 1-1 1 1 1 10 1-1 -1 1 1 1 13 13 11-1 1-1 1 1-1 7 7 12 1 1-1 1-1 -1 14 14 13-1 -1 1 1 1-1 8 8 14 1-1 1 1-1 -1 6 6 15-1 1 1 1-1 1 4 4 16 1 1 1 1 1 1 (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 10 / 35

Estimativas dos coeficientes do modelos de regressão Coefficients: (48 not defined because of singularities) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 27.3125 NA NA NA A 6.9375 NA NA NA B 17.8125 NA NA NA C -0.4375 NA NA NA D 0.6875 NA NA NA E 0.1875 NA NA NA F 0.1875 NA NA NA A:B 5.9375 NA NA NA A:C -0.8125 NA NA NA B:C -0.9375 NA NA NA A:D -2.6875 NA NA NA B:D -0.0625 NA NA NA C:D -0.0625 NA NA NA D:E 0.3125 NA NA NA A:B:D 0.0625 NA NA NA A:C:D -2.4375 NA NA NA (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 11 / 35

Estimativas dos efeitos > efeitos = na.omit(2*coef(modelo1)[-1]) > efeitos A B C D E F A:B A:C B:C A:D 13.875 35.625-0.875 1.375 0.375 0.375 11.875-1.625-1.875-5.375 B:D C:D D:E A:B:D A:C:D -0.125-0.125 0.625 0.125-4.875 Estimativas dos efeitos em ordem crescente > sort(efeitos) A:D A:C:D B:C A:C C B:D C:D A:B:D F E -5.375-4.875-1.875-1.625-0.875-0.125-0.125 0.125 0.375 0.375 D:E D A:B A B 0.625 1.375 11.875 13.875 35.625 Gráfico normal de probabilidades para os efeitos fatoriais > qqnorm(efeitos,main="", xlab="quantis teóricos", ylab="estimativas dos efeitos", col="blue") > qqline(efeitos, col="red") (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 12 / 35

Estimativas dos efeitos 0 10 20 30 1 0 1 Quantis teóricos Figura: Gráfico normal de probabilidades dos efeitos fatoriais (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 13 / 35

Analisando o gráfico normal de probabilidades dos efeitos fatoriais, podemos ver que os únicos efeitos que se destacam são: A, B e (AB + CE) Uma vez que os efeitos principais A e B se destacam, consideraremos que o efeito AB se sobressai sobre o efeito CE Chegamos, assim, ao modelo: ŷ = 27,3125 + 6,9375x 1 + 17,8125x 2 + 5,9375x 1 x 2 (1) Modelo e análise de resíduos library(lattice) modelo2 = rsm(y ~ FO(A,B) + TWI(A,B), data=stdorder(expt)) summary(modelo2) par(mfrow=c(1,3)) plot(modelo2) par(mfrow=c(1,1)) (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 14 / 35

Modelo Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 27.3125 1.1382 23.9955 1.648e-11 *** A 6.9375 1.1382 6.0950 5.377e-05 *** B 17.8125 1.1382 15.6493 2.392e-09 *** A:B 5.9375 1.1382 5.2164 0.000216 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Multiple R-squared: 0.9626,Adjusted R-squared: 0.9533 F-statistic: 103.1 on 3 and 12 DF, p-value: 7.837e-09 Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) FO(A, B) 2 5846.6 2923 141.024 4.619e-09 TWI(A, B) 1 564.1 564 27.211 0.000216 Residuals 12 248.8 21 Lack of fit 0 0.0 Inf Pure error 12 248.8 21 (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 15 / 35

Residuals 5 0 5 Residuals vs Fitted 14 5 4 Standardized residuals 1 0 1 2 5 4 Normal Q Q 14 Standardized residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Scale Location 14 5 4 10 20 30 40 50 2 1 0 1 2 10 20 30 40 50 Fitted values Theoretical Quantiles Fitted values Figura: Da esquerda para a direita: gráfico do resíduos vs valores ajustados; gráfico normal de probabilidades dos resíduos e gráfico das raízes quadradas dos valores absolutos dos resíduos padronizados vs valores ajustados (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 16 / 35

Analisando o gráfico do resíduos vs valores ajustados, observamos que não há observações atípicas; Analisando o gráfico normal de probabilidades dos resíduos, observamos que os erros têm distribuição aparentemente normal Analisando gráfico das raízes quadradas dos valores absolutos dos resíduos padronizados vs valores ajustados, observamos que a variabilidade se mantém constante com o aumento dos valores ajustados, não sugerindo uma eventual transformação dos dados Como os gráficos estão satisfatórios, o modelo está aparentemente adequado (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 17 / 35

Gráfico do efeito da interação AB library(lattice) xyplot(y ~ A, groups = B, type="a", data=stdorder(expt), ylab="encolhimento médio (%)", auto.key = list(space = "right", points = FALSE, lines = TRUE)) 60 Encolhimento médio (%) 50 40 30 20 10 1 1 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 A Figura: Gráfico do efeito da interação AB (temperatura do molde velocidade do parafuso) sobre a porcentagem de encolhimento do produto (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 18 / 35

A partir do gráfico da interação AB, observamos que o processo de moldagem por injeção é muito pouco sensível à temperatura do molde (A) quando a velocidade do parafuso (B) está em seu nível mais baixo Entretanto, é muito sensível à temperatura do molde quando a velocidade do parafuso está em seu nível mais alto Com a velocidade do parafuso em seu nível mais baixo, o processo de moldagem produz um encolhimento médio de aproximadamente 10% Baseando-se nesta análise inicial, o grupo de profissionais envolvidos resolveu adotar ambos os fatores em seus níveis mais baixos (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 19 / 35

Considerações adicionais: O modelo de regressão (1) utilizado para produzir os resíduos essencialmente removem os efeitos de locação de A, B e AB Os resíduos, portanto, podem conter informação sobre eventuais variabilidades não explicadas (somente quando o modelo de regressão está adequado!!). Vejamos um exemplo Gráfico dos resíduos vs tempo de espera (C) e box-plot dos resíduos vs tempo de espera (C) res = residuals(modelo2) plot(res ~ C, data=stdorder(expt), xlab="tempo de espera (C)", ylab="resíduos") abline(h=0) boxplot(res ~ C, data=stdorder(expt), xlab="tempo de espera (C)", ylab="resíduos") (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 20 / 35

Resíduos 6 2 2 6 Resíduos 6 2 2 6 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 Tempo de espera (C) 1 1 Tempo de espera (C) Figura: Gráfico dos resíduos vs tempo de espera, à esquerda, e box-plot dos resíduos vs tempo de espera, à direita (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 21 / 35

A partir de qualquer um dos gráficos apresentados na figura anterior, observamos que a variabilidade (ou dispersão) dos valores de encolhimento é aparentemente menor quando consideramos um menor tempo de espera Temos que o desvio padrão dos oito resíduos em que C está em seu nível inferior é S(C ) = 1,629801 e o desvio padrão dos oito resíduos em que C está em seu nível superior é S(C + ) = 5,695785. A estatística F C = ln S 2 (C + ) S 2 (C ) tem distribuição aproximadamente normal se as duas variâncias, σ 2 (C + ) e σ 2 (C ) forem iguais Para ilustrar os cálculos, o valor de F C é FC = ln S 2 (C + ) (5,695785)2 S 2 (C = ln ) (1,629801) 2 = 2,502537 (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 22 / 35

Conjunto de contrastes para o fatorial 2 6 2 e resíduos do modelo (1) A B C D E F A:B A:C B:C A:D B:D C:D D:E A:B:D A:C:D res -1-1 -1-1 -1-1 1 1 1 1 1 1 1-1 -1-2.50 1-1 -1-1 1-1 -1-1 1-1 1 1-1 1 1-0.50-1 1-1 -1 1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 -0.25 1 1-1 -1-1 1 1-1 -1-1 -1 1 1-1 1 2.00-1 -1 1-1 1 1 1-1 -1 1 1-1 -1-1 1-4.50 1-1 1-1 -1 1-1 1-1 -1 1-1 1 1-1 4.50-1 1 1-1 -1-1 -1-1 1 1-1 -1 1 1 1-6.25 1 1 1-1 1-1 1 1 1-1 -1-1 -1-1 -1 2.00-1 -1-1 1-1 1 1 1 1-1 -1-1 -1 1 1-0.50 1-1 -1 1 1 1-1 -1 1 1-1 -1 1-1 -1 1.50-1 1-1 1 1-1 -1 1-1 -1 1-1 1-1 1 1.75 1 1-1 1-1 -1 1-1 -1 1 1-1 -1 1-1 2.00-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1 1 1-1 7.50 1-1 1 1-1 -1-1 1-1 1-1 1-1 -1 1-5.50-1 1 1 1-1 1-1 -1 1-1 1 1-1 -1-1 4.75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1-6.00 (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 23 / 35

Com base na tabela de contrastes, podemos, para cada coluna, calcular o desvio padrão dos resíduos para cada grupo de sinais, digamos S(i + ) e S(i ), i = 1,..., 15 Então F i = ln S 2 (i + ) S 2 (i ) é uma estatística que pode ser utilizada para avaliar a magnitude dos efeitos de dispersão no experimento (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 24 / 35

Gráfico normal de probabilidade dos efeitos de dispersão (F i ) modelo1 = lm(y ~ A*B*C*D*E*F, data=stdorder(expt)) modelo2 = rsm(y ~ FO(A,B)+TWI(A,B), data=stdorder(expt)) res = residuals(modelo2) X = model.matrix(modelo1) n = nrow(x)/2 S2_plus= (((t(x==+1) %*% (res^2)) -(t(x==+1) %*% res)^2/n)/(n/2-1)) S2_minus=(((t(X==-1) %*% (res^2)) -(t(x==-1) %*% res)^2/n)/(n/2-1)) Fstat=log(S2_plus/S2_minus) ind=1-is.na(coef(modelo1)) Fstat=Fstat[ind==1][-1] names(fstat)=names(coef(modelo1))[ind==1][-1] round(sort(fstat),2) qqnorm(fstat,main="", col="blue", xlab="quantis teóricos", ylab="efeitos de qqline(fstat, col="red") (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 25 / 35

Efeitos de dispersão (F_i) 0.5 0.5 1.5 2.5 1 0 1 Quantis teóricos Figura: Gráfico normal de probabilidade dos efeitos de dispersão (F i ) (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 26 / 35

Efeitos de dispersão (F i ) em ordem crescente > round(sort(fstat),2) A:C A F B:C B:D B E A:B A:C:D A:D D -0.41-0.38-0.30-0.24-0.19-0.19-0.04 0.11 0.23 0.42 0.51 C:D A:B:D D:E C 0.51 0.52 0.72 2.50 O gráfico normal de probabilidades dos efeitos de dispersão (F i ) indica que o fator C tem exerce um efeito positivo grande sobre a dispersão Portanto, fixando o tempo de espera, C, em seu menor nível contribuirá para a redução da variabilidade do encolhimento (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 27 / 35

Figura: Encolhimento médio e amplitude do encolhimento (R) em função dos níveis dos fatores A, B e C (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 28 / 35

Fatorial fracionado 2 k p Temos k fatores com 2 níveis cada Fração 1 2 p do fatorial 2k. Notação: 2 k p São necessários p geradores não associados para a sua construção Relação definidora completa: p geradores e suas interações Ver Tabela 8-14 para obter as frações com maior resolução possível e mínima aberração (ver conceito no livro) Exemplo: Um oitavo do fatorial 2 7 (fatorial fracionado 2 7 3 IV ) ou seja, E = ±ABC F = ±BCD G = ±ACD I = ±ABCE I = ±BCDF I = ±ACDG (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 29 / 35

Fatorial fracionado 2 k p Relação definidora completa da fração principal: I = +ABCE = +BCDF = +ACDG = +ADEF = +BDEG = +ABFG = +CEFG Considerando que os efeitos de interações envolvendo três ou mais fatores são desprezíveis, temos excelente informação sobre os efeitos principais. Ex. A = +BCE = +ABCDF = +CDG = +DEF = +ABDEG = +BFG = +ACEFG Temos, por outro lado, que efeitos de interações duplas estão associados a outros efeitos de interações duplas. Ex AB = +CE = +ACDF = +BCDG = +BDEF = +ADEG = +FG = +ABCEFG ou, resumidamente, ou, ainda, AB = +CE = +FG l AB +AB + CE + FG (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 30 / 35

Tabela: Construção do fatorial fracionado 2 7 3 IV (fração principal) i A B C D E = +ABC F = +BCD G = +ACD 1 2 + + + 3 + + + 4 + + + + 5 + + + + 6 + + + 7 + + + 8 + + + + 9 + + + 10 + + + + 11 + + + + 12 + + + 13 + + + 14 + + + + 15 + + + + 16 + + + + + + + (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 31 / 35

Projeções do fatorial 2 k p Consideremos o exemplo anterior. Temos, então, que: A, B, C e D formam, por exemplo, um fatorial completo 2 4 A, B e C; A, B e D; A, C e D; B, C e D formam, por exemplo, fatoriais completos 2 3 com 2 repetições Como utilizar essa informação no planejamento? (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 32 / 35

Exemplo: k = 7 fatores: Fator 1, Fator 2,..., Fator 7 variável resposta y = produção Estamos quase certos de que os fatores 2, 3, 6 e 7 e possivelmente algumas de suas interações afetam a produção O papel dos demais fatores não é muito conhecido mas acreditamos que não afetam a produção (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 33 / 35

Estratégia de planejamento: Fatores 2, 3, 6 e 7 atribuídos, respectivamente, às colunas A, B, C e D Fatores 1, 4 e 5 atribuídos, respectivamente, às colunas E, F, e G Se estivermos certos, E, F e G não serão significativos e terminaremos com um fatorial completo 2 4 envolvendo os fatores A, B, C e D (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 34 / 35

Exercícios Exercícios 3 e 4 (Ver transparência 8) Experimento do helicóptero (fatorial completo). Verifique a influência dos fatores sobre a variabilidade dos tempos de queda dos helicópteros. Para isso, construa o gráfico normal de probabilidades dos efeitos de dispersão e interprete-o Faça os itens (a) e (e) do exercício 8-26 (Montgomery, 2001, p.355-7) (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 35 / 35