Controlabilidade Uma representação (ou realização) de um sistema dinâmico no espaço de estados: x = Ax + Bu ou equivalentemente o par (A, B), é dito controlável (completamente controlável, de estado controlável) se, para qualquer estado inicial x 0, qualquer tempo t 1 > 0 e qualquer estado final x 1, existe uma entrada u(t) tal que x 0 seja levado a x 1 em t 1. Caso contrário o sistema é nãocontrolável (não é completamente controlável, é de estado não-controlável).
Controlabilidade (cont.) Se um sistema é controlável, então é possível levá-lo de qualquer estado inicial para qualquer estado final em tempo finito usando suas entradas. Se um sistema é controlável, então é possível alocar arbitrariamente os polos do sistema através de realimentação de estado. Obs: dependendo da posição relativa dos novos polos, os ganhos podem ser demasiadamente elevados e a precisão necessária pode tornar a alocação impraticável.
Controlabilidade (cont.) O par (A, B) é controlável se e só se a matriz de controlabilidade: Pc = B AB A B K A B 2 n 1 [ ] tiver pleno posto de linhas.
Sistema Estabilizável Um sistema, ou representação (ou realização) de um sistema no espaço de estados: x = Ax + Bu ou equivalentemente o par (A, B), é dito estabilizável se todos os modos não-controláveis do sistema forem estáveis. Isto é, se os polos que não podem ser alocados através da realimentação de estado forem estáveis.
Observabilidade Um sistema (representação, realização) x = Ax + Bu, y = Cx + Du ou equivalentemente o par (A, C), é dito observável se, para todo tempo t 1 > 0 o estado inicial puder ser determinado a partir dos históricos da entrada u(t), e da saída y(t) no intervalo [0, t 1 ]. Caso contrário o sistema é nãoobservável.
Observabilidade (cont.) Se um sistema é observável, então é (teoricamente) possível obter o histórico de estado a partir das medidas de y(t) e u(t) para algum período de tempo dado. Se um sistema é observável, então é possível alocar arbitrariamente os polos da dinâmica do erro de um observador de estado., Obs: dependendo da posição dos polos, os ganhos do observador podem ser demasiadamente elevados e a precisão necessária pode tornar a alocação impraticável
Observabilidade (cont.) O par (A, C) é observável se e só se a matriz de observabilidade C CA Po = M n 1 CA tiver pleno posto de colunas.
Sistema Detectável Um sistema (representação, realização) x = Ax + Bu, y = Cx + Du ou equivalentemente o par (A, C), é dito detectável se todos os modos não-obseráveis do sistema forem estáveis. Isto é, se os polos que não podem ser alocados através, dos ganhos do observador de estado forem estáveis
Realimentação de Estados Sistema Original (MA) Sistema com realimentação de estados (MF) Polos do sistema em MF = autovalores de A BK
Problema O que fazer se o estado x não está disponível? Por exemplo, se a saída y contiver apenas a primeira componente do vetor de estado? (C=[1 0... 0]) x = [posição velocidade aceleração] T y = posição Solução: estimar o estado a partir das informações disponíveis.
1 a Tentativa Copiar a dinâmica u Sistema y Observador x Problema: Estimativa do estado inicial
Análise do erro Erro: Dinâmica do erro: A dinâmica do erro é igual à dinâmica do sistema original
2 a Tentativa: realimentação da saída u Sistema y Observador x
Análise do erro Erro: Dinâmica do erro:
Observador de Estado: Polos da dinâmica do erro = autovalores de A LC
Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0
Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0
Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0
Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0
Observador de estado O projeto pode ser feito usando qualquer método que permita a obtenção de L tal que [A-LC] seja estável. Alocação de polos: det(si-a+lc) = polinômio característico desejado Projeto de realimentação de estado com A = A T e B = C T Solução: L = K T
Observador de estado det(m)=det(m T ) det(si-m)=det([si-m] T )=det(si-m T ) autovalores M = autovalores de M T No projeto de realimentação de estado obtemos o vetor k tal que autovalores de A-Bk = P Desejamos autovalores de A-LC = P O Ou autovalores de [A-LC] T = P O Autovalores de A T -C T L T = P O
Observador de estado A dinâmica do observador deve ser mais rápida do que aquela desejada para a planta. Ou seja a parte real dos autovalores de A-LC (que precisa ser negativa para que o observador seja estável) precisa ser maior (em módulo) do que a parte real dos polos desejados para a dinâmica do sistema. Em geral a parte real dos polos do observador deve ser de 2 a 6 vezes a parte real do polo mais rápido do sistema. Observadores com dinâmica muito rápida são sensíveis a ruídos de medição que podem comprometer as estimativas.
Realimentação de estado com observador
Realimentação de estado com observador Escrevendo a dinâmica em função de x e e:
Realimentação de estado com observador A equação de estado é a seguinte (estados: x e e): Autovalores do observador e da planta são alocados independentemente ( princípio da separação ).
Observador de ordem reduzida Seja o sistema da forma: Por que estimar o estado x 1 se ele já está disponível? (y=x 1 )
Observador de ordem reduzida Exemplo para sistema de segunda ordem: Observador de ordem plena:?
Observador de ordem reduzida Mas: Usar:
Observador de ordem reduzida Por que?
Observador de ordem reduzida Observador de ordem reduzida Análise do erro
Observador de ordem reduzida Problema: como obter? Da dinâmica do sistema temos que:
Observador de ordem reduzida Chegamos então a: estimação saída entrada Mas se o sinal de saída for ruidoso? A derivada será um problema...
Usando: Observador de ordem reduzida
Observador de ordem reduzida
Observador de ordem reduzida Generalizando para M+O variáveis de estado:
Observador de ordem reduzida Polos da dinâmica do erro = autovalores de a bb L b a ab Projeto com A = a bb T e B = a ab T L b = k T
Comentários A dinâmica do observador deve ser mais rápida do que aquela desejada para a planta. A dinâmica do observador não afeta o desempenho (passado o transitório inicial). A dinâmica do observador afeta a qualidade da estabilidade. Um remédio é o uso de métodos especiais de projeto de observadores (tópico de outras disciplinas).