Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 130 Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 Fernando Brito Soares Cátia Fernandes Erica Marujo Daniel Monteiro º: ome: Data: 8 de ovembro de 008, 11:00 Duração: 5 minutos ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todas as perguntas nas folhas do enunciado. Escreva o seu número e nome na primeira página. ão desagrafe nenhuma folha. I (35%) o País do atal, o Pai atal decidiu fazer um estudo sobre a produtividade dos seus duendes na fábrica de brinquedos ao longo dos últimos 100 anos. Desse estudo, foram apurados os seguintes resultados, nos quais B corresponde ao número total de brinquedos produzidos por ano (em milhões), e H corresponde ao número médio de dias de trabalho dos duendes, num ano: R B,H =0,8; s B =000; s H =100; B i =100000; H i =1600; H =350 a) (0%) Com base nesta informação, determine a equação da recta de regressão de B em relação a H (assuma que b>0). Interprete os valores de a e b. Foram ainda a puradas as seguintes informações sobre este estudo: H i ln B i =500; ln B i =8100 ; ln B =7 b) (15%) Ajuste estes dados a uma função exponencial. Qual das duas relações lhe parece mais adequada aos dados: a linear ou a exponencial? II (35%) a) (15%) Considere os seguintes cronogramas e respectivas rectas de regressão para a evolução do consumo de café de dois alunos da Faculdade de Economia ao longo dos três anos de licenciatura: 1
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 130 Aluno de Economia 130 Aluno de Gestão 0 0 tempo (em trimestres) tempo (em trimestres) Comente, em não mais do que 5 linhas, a seguinte afirmação: Se quisermos fazer previsão para a evolução do consumo de café dos dois alunos, conhecermos os respectivos índices de sazonalidade é igualmente útil. b) (0%) Considere os mais recentes dados trimestrais do IE para a evolução do PIB a preços correntes (em milhões de Euros): Ano Trimestre I II III IV 006 39569 39015 38850 3801 007 199 079 0678 0098 008 171 1337 n.d. n.d. Estime a tendência para o ano de 006 pelo método das médias móveis de período. III (30%) Conhece se a seguinte informação referente às quantidades consumidas e respectivos preços de dois bens, nos anos 006 e 007: AO 006 AO 007 Preço Quantidade Preço Quantidade Leite 6 1 8 X=? Pão Y=? 0 3 19 a) Sabendo que o Índice de Paasche de Quantidades para o ano 007 com base em 006 é igual a 1,09 e que o Índice da Despesa Total para o ano 007 com base em 006 é igual a 1,7 indique: a 1 ) (15%) Qual o valor assumido por X. a ) (15%) Qual o valor assumido por Y.
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 Correcção Mini Teste A I (35%) o País do atal, o Pai atal decidiu fazer um estudo sobre a produtividade dos seus duendes na fábrica de brinquedos ao longo dos últimos 100 anos. Desse estudo, foram apurados os seguintes resultados, nos quais B corresponde ao número total de brinquedos produzidos por ano (em milhões), e H corresponde ao número médio de dias de trabalho dos duendes, num ano: R B,H =0,8; s B =000; s H =100; B i =100000; H i =1600; H =350 a) (0%) Com base nesta informação, determine a equação da recta de regressão de B em relação a H (assuma que b>0). Interprete os valores de a e b. A recta de regressão de B em relação a H é dada pela seguinte expressão: B a bh, onde B é a variável explicada ou dependente e H a variável explicativa ou independente. Assim, com a informação disponível no enunciado, para encontrarmos o valor de b, sabemos qu e: R sh 100 B,H 0,8 b 0,8 b s B 000 0,8 b 0,8 000 b 16 b b 100 Mas como pelo enunciado assumimos que b 0, então a hipótese correcta neste caso é b. Em relação ao valor de a, sabemos que será determinado por: a B b H o entanto, para podermos determinar este valor, primeiro torna se necessário calcular o valor da média da variável B (número médio de brinquedos produzidos por ano). Uma vez de B i que conhecemos o valor da variância de B e, torna se fácil calcular este valor: s B i 1 B i B 000 100000 B B 1000000 B 1000 B 1000 Mas uma vez mais, neste caso, só faz sentido considerarmos o valor positivo, logo: B 1000 Assim, o valor do coeficiente a será: a B b H a 1000 350 a 00 Logo, a recta de regressão de B em relação a H é dada por: B 00 H 3
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 O valor de a corresponde à ordenada na origem da recta, ou seja, corresponde ao número de brinquedos produzidos por ano, em milhões, caso os duendes não trabalhassem nenhum dia. Como neste caso o valor de a é negativo, não faz sentido interpretarmos este valor pelo seu sentido literal. O máximo que podemos afirmar é que a produção de brinquedos só começa a partir do momento em que os duendes trabalham um determinado número mínimo de dias num ano (ou seja, para que B 0 H 100, isto é, a produção de brinquedos só começa se os duendes trabalharem no mínimo 100 dias por ano, em média). O valor de b corresponde ao declive da recta de regressão, e é geralmente designado por coeficiente de regressão. este caso, o valor de b diz nos que quando os duendes trabalham, em média, um dia a mais por ano, o valor da produção total de brinquedos aumenta em milhões, em média. Foram aind a apuradas as seguintes informações sobre este estudo: H i ln B i =500; ln B i =8100 ; ln B =7 b) (15%) Ajuste estes dados a uma função exponencial. Qual das duas relações lhe parece mais adequada aos dados: a linear ou a exponencial? este caso, a função exponencial terá a seguinte forma: B AB H i, i em que A e B são os parâmetros que definem a função exponencial, B i é a variável explicada e H i é a variável explicativa. Uma vez que não é possível aplicarmos o método dos mínimos quadrados directamente a esta função por esta não ser linear, teremos que logaritmizar esta função de modo a transformá la numa função linear, isto é, na equação de uma recta: H B i AB B B ' i a ' b ' H i ' ln B i ln AB H i ln B i ln A H i ln i Onde: B i ' ln B i ; a ' ln A ; b ' ln B ; H i ' H i Assim, ao aplicarmos o método dos mínimos quadrados a esta recta de regressão, o valor de b ' é dado por: b ' ln B i 1 500 350 7 0,5 100 E o valor de a ' será: H i ln B i H ln B i 1 H i ln B i i 1 H H ln B i 1 H i ln B i H ln B i H i 1 H i H s H a ' ln A ln B b' H 7 0,5 350 168 Logo: ln B i 168 0,5Hi
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 Para podermos transformar esta equação novamente na equação da relação exponencial temos que fazer: ' 8 a ' ln A A e a A e 16 b ' ln B B e b' A e, 1,69 Logo, a função exponencial é dada por: B e 168 1,69 H Para averiguarmos qual das relações é mais adequada aos dados temos que comparar o coeficiente de determinação de cada uma das relações (linear e exponencial). Uma vez que no caso da relação exponencial não é possível determinar o coeficiente de determinação para a equação inicial por esta não ser linear, temos que calcular o coeficiente de determinação aplicada à equação da recta logaritimizada: Relação Linear: R Linear 0,8 Relação Exponenci al: b ' R Exponencial Onde: s ln B s H 0,5 100 0,7815 3 s ln B ln B i i 1 Assim, como: ln B 8100 100 7 3 R Exponencial 0,7815 R Linear 0,8 Podemos concluir que a relação linear se ajusta melhor aos dados do que a relação exponencial. 5
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 II (35%) a) (15%) Considere os seguintes cronogramas e respectivas rectas de regressão para a evolução do consumo de café de dois alunos da Faculdade de Economia ao longo dos três anos de licenciatura: 130 Aluno de Economia 130 Aluno de Gestão 0 0 tempo (em trimestres) tempo (em trimestres) Comente, em não mais do que 5 linhas, a seguinte afirmação: Se quisermos fazer previsão para a evolução do consumo de café dos dois alunos, conhecermos os respectivos índices de sazonalidade é igualmente útil. A afirmação é falsa. É possível observar que o comportamento cíclico do consumo de café, evidente em ambos os casos, é sazonal somente no caso do aluno de Economia. Em particular, o aluno de Economia consome acima da tendência no primeiro e quarto trimestres, e abaixo no segundo e terceiro. Já o consumo do aluno de Gestão não apresenta sazonalidade (por exemplo, para o primeiro trimestre, consome acima da tendência no primeiro ano, abaixo no segundo e na tendência no terceiro). Assim, conhecer o índice de sazonalidade apenas será útil no caso do aluno de Economia, onde servirá para corrigir em alta ou em baixa as estimativas dadas pela recta da tendência. b) (0%) Considere os mais recentes dados trimestrais do IE para a evolução do PIB a preços correntes (em milhões de Euros): Ano Trimestre I II III IV 006 39569 39015 38850 3801 007 199 079 0678 0098 008 171 1337 n.d. n.d. Estime a tendência para o ano de 006 pelo método das médias móveis de período. Uma vez que iremos estimar a tendência somente para o ano de 006, só precisamos de considerar parte da tabela: 6
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 Ano Trimestre PIB 006 007 MM não centradas MM centradas I 39569 - II 39015 - - 38861,5 III 38850 3910,75 393 IV 3801 39560,75 39777,5 I 199 - II 079 - - uma primeira fase, estimamos as médias móveis não centradas de modo a preencher a co luna MM não centradas : MM I III, 06 P IB I, 06 PIB II, 06 PIB III, 06 PIB IV, 06 T I 39569 39015 38850 3801 38861, 5 MM II IV, 06 P IB II, 06 PIB III, 06 PIB IV, 06 PIB I, 07 T I 39015 38850 3801 199 393 MM T IV I, 06 07 PIB III, 06 PIB IV, 06 PIB I, 07 PIB II, 07 338850 3801 199 079 39777,5 uma segunda fase, centramos as médias móveis de modo a obter a tendência T para o ano de 006: MM II, 06 MM MM T II III, 06 T III IV, 06 T I 38861,5 393 3910,75 T MM IV, 06 T MM MM III IV, 06 T IV I, 06 07 3393 39777,5 39560,75 De notar que apenas conseguimos estimar a tendência para o terceiro e o quarto semestres de 006, uma vez que a utilização de médias móveis de período implica que se percam os dois primeiros valores (tendência para o primeiro e segundo semestres de 006). 7
Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 III (30%) Conhece se a seguinte informação referente às quantidades consumidas e respectivos preços de dois bens, nos anos 006 e 007: AO 006 AO 007 Preço Quantidade Preço Quantidade Leite 6 1 8 X=? Pão Y=? 0 3 19 a) Sabendo que o Índice de Paasche de Quantidades para o ano 007 com base em 006 é igual a 1,09 e que o Índice da Despesa Total para o ano 007 com base em 006 é igual a 1,7 indique: Q P 07/06 a 15 ) u a 1) ( % Q al o valor ssumido por X. i 1 Q 07 i 1 Q 06 i i P 07 i i P 07 07/06 i 1 Q 07 i 1 Q 06 8X 3 19 1 8 0 3 1,09 X 15 a 5 ) ) (1 % Qual o valor assumido por Y. i i P 07 i i P 06 8 15 3 19 6 1 Y 0 1,7 Y 8