Exame Fial Nacioal de Matemática A Prova 635.ª Fase Esio Secdário 07.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 39/0, de 5 de jlho Etreliha,5, sem figras Dração da Prova: 50 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. Págias VERSÃO Idiqe de forma legível a versão da prova. Utilize apeas caeta o esferográfica de tita azl o preta. É permitido o so de réga, compasso, esqadro, trasferidor e calcladora gráfica. Não é permitido o so de corretor. Risqe aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Para cada resposta, idetifiqe o grpo e o item. Apresete as sas respostas de forma legível. Apresete apeas ma resposta para cada item. A prova icli m formlário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. Qado, para m resltado, ão é pedida a aproximação, apresete sempre o valor exato. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia /
Formlário Geometria Comprimeto de m arco de circferêcia: ar^a-amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r - raioh Área de m polígoo reglar: Semiperímetro # Apótema Área de m sector circlar: ar ^a -amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r -raioh Área lateral de m coe: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Área de ma sperfície esférica: 4rr ^r - raioh Volme de ma pirâmide: # Áreadabase # Altra 3 Volme de m coe: # Áreadabase # Altra 3 Volme de ma esfera: 4 3 rr ^r- raioh 3 Progressões Soma dos primeiros termos de ma progressão _ i: Progressão aritmética: # Progressão geométrica: r # - - r Trigoometria se] a bg= sea cosb seb cosa cos] a bg= cosa cosb- sea seb tga tgb tg ] a bg= - tga tgb Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia /
Complexos Limites otáveis ^tcisih = t cis ^ih tcisi = t cisb i kr l ] k!! 0,, - e! Ng f limb l = e lim se x = x " 0 x ^! Nh Probabilidades = px f px lim x " 0 x e - = x lim l ^x h = x " 0 x v = p ] x - g f p ^x - h lim x " 3 l x x = 0 Se X é N] v, g, etão: P] - v X vg. 0687, lim x " 3 e x x p = 3 ^p! Rh P] - v X vg. 09545, P] - 3v X 3vg. 0, 9973 Regras de derivação ^ vhl = l vl ^vhl = v l vl l v l = - vl ` v j v ^ hl - = l ^! Rh ^sehl = l cos ^coshl =-l se ^tg hl = l cos ^ e hl = l e ^ a hl = l a l a ^a! R ", h ^l hl = l log a l l ^ h = l a ^a! R ", h Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 3/
GRUPO I. Cosidere todos os úmeros atrais de qatro algarismos qe se podem formar com os algarismos de a 9 Destes úmeros, qatos são múltiplos de 5? (A) 79 (B) 458 (C) 3645 (D) 656. Uma trma é costitída por rapazes e por raparigas, m total de 0 alos. Sabe-se qe: 4 dos rapazes tem olhos verdes; escolhido, ao acaso, m alo da trma, a probabilidade de ele ser rapaz e de ter olhos verdes é 0 Qatos rapazes tem a trma? (A) 4 (B) 8 (C) (D) 6 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 4/
3. Cosidere ma fção poliomial f Sabe-se qe o gráfico de f tem cocavidade voltada para baixo em @ 3,06 e voltada para cima em @ 0, 36 Seja f ' a segda derivada da fção f Qal das afirmações segites é verdadeira? (A) f' ^h f' ^h 0 (B) f' ^ h f' ^ h 0 (C) f' ^ h# f' ^ h 0 (D) f' ^h# f' ^h 0 4. Sejam f e g das fções de domíio R Sabe-se qe a reta de eqação y = x é assítota oblíqa do gráfico de f e do gráfico de g Qal é o valor de lim x " 3 f^xh# gx ^ h? x (A) 3 (B) (C) (D) 3 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 5/
5. Seja f a fção, de domíio A e cotradomíio @, 36, defiida por f^xh= tg x Qal dos cojtos segites pode ser o cojto A? r (A), r F 4 4 < 3r (B), 3r F 4 < r (C), 3r F 4 < 5r (D), 3r F 4 < 6. Cosidere, m referecial o.. xoy, ma reta r de icliação a Sabe-se qe cos a = 5 Qal pode ser a eqação redzida da reta r? (A) y (B) y (C) y (D) y = 5x = 4x = x = 3x Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 6/
7. Cosidere em C, cojto dos úmeros complexos, a codição 5r 4 # arg^zh# 7r / Im ^zh$ 4 No plao complexo, esta codição defie ma região. Qal é a área dessa região? (A) (B) (C) (D) 8. Seja _ i a scessão defiida por se # 0 = * ^ h se 0 Qal das afirmações segites é verdadeira? (A) A scessão _ i é moótoa crescete. (B) A scessão _ i é moótoa decrescete. (C) A scessão _ i é limitada. (D) A scessão _ i é m ifiitamete grade. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 7/
GRUPO II. Em C, cojto dos úmeros complexos, sejam z = 3i i 9 e z 3kcis 3r = c m, com k! R Sabe-se qe, o plao complexo, a distâcia etre a imagem geométrica de z e a imagem geométrica de z é igal a 5 Qal é o valor de k? Resolva este item sem recorrer à calcladora.. Cosidere, m referecial o.. Oxyz, o poto A^003,, h.. Seja Al o simétrico do poto A, relativamete à origem do referecial. Escreva ma eqação da sperfície esférica de diâmetro 6 AAl@.. Determie o valor do prodto escalar OA. AO.3. Seja a o plao de eqação x y = Seja B o poto de itersecção do plao a com o eixo Oy Determie ma codição cartesiaa qe defia a reta AB.4. Cosidere m prisma qadraglar reglar em qe ma das bases está cotida o plao xoy, ma diagoal dessa base está cotida o semieixo positivo Oy e ma das arestas laterais é o segmeto de reta 6 OA@ Escolhem-se, ao acaso, três vértices do prisma. Determie a probabilidade de o plao defiido por esses três vértices ser perpediclar ao plao xoy Apresete o resltado a forma de fração irredtível. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 8/
3. Um saco cotém bolas idistigíveis ao tato, meradas de a (com par e sperior a 6). Retira-se, ao acaso, ma bola do saco. Sejam A e B os acotecimetos: A: «o úmero da bola retirada é meor o igal a 6» B: «o úmero da bola retirada é par» Escreva o sigificado de P`A, Bj o cotexto da sitação descrita e determie ma expressão, em fção de, qe dê esta probabilidade. Apresete a expressão a forma de ma fração. 4. Cosidere a fção f, de domíio 607, @, defiida por f^xh = 9, 5 ^e, x e, Resolva os ites 4.. e 4.. recorredo a métodos aalíticos. 0 0 x h Na resolção do item 4.., pode tilizar a calcladora para efectar evetais cálclos méricos. 4.. Seja P o poto de itersecção do gráfico de f com o eixo Oy Seja Q o poto do eixo Ox cja abcissa x (com x! 607, @) verifica a eqação ` f 0 x ^ hj = Resolva esta eqação, apresetado a solção arredodada às décimas, e iterprete geometricamete essa solção. Se, em cálclos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, das casas decimais. 4.. Estde a fção f qato à mootoia e qato à existêcia de extremos relativos. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 9/
5. Seja g a fção, de domíio R, defiida por Z x ] se x e x ] g^xh = [ se x = ] se^x h ] 3 se x \ x Resolva os ites segites recorredo a métodos aalíticos, sem tilizar a calcladora. 5.. Estde a fção g qato à cotiidade o poto 5.. Resolva, o itervalo @ 456,, a eqação g^xh= 3 5.3. Cosidere, m referecial o.. xoy, m triâglo 6 OAP@ Sabe-se qe: o poto O é a origem do referecial; o poto A é o poto de abcissa egativa qe é a itersecção do gráfico da fção g com o eixo das abcissas; o poto P é m poto do gráfico da fção g, de abcissa e ordeada egativas; a área do triâglo 6 OAP@ é igal a 5 Escreva ma eqação qe lhe permita determiar a abcissa do poto P Não resolva a eqação. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 0/
6. Seja f : R " R ma fção tal qe f' ^xh 0, para qalqer úmero real positivo x Cosidere, m referecial o.. xoy, m poto P, de abcissa a, pertecete ao gráfico de f a reta r, tagete ao gráfico de f o poto P o poto Q, poto de itersecção da reta r com o eixo Ox Sabe-se qe OP = PQ Determie o valor de f' ^ah f^ah a FIM Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia /
COTAÇÕES GRUPO I. a 8... (8 5 potos)... 40 potos 40 potos GRUPO II.... 5 potos...... 5 potos..... 0 potos.3.... 5 potos.4.... 5 potos 3.... 5 potos 4. 4..... 5 potos 4..... 5 potos 5. 5..... 5 potos 5..... 5 potos 5.3.... 5 potos 6.... 0 potos 60 potos TOTAL... 00 potos Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia /