2º ano da licenciatura em Engenharia Naval Ramo Armas e electrónica Doutor Victor Lobo 1 1 Programa (1/2) 1 Introdução a e Sistesmas (Cap.1 Louretie)(Cap.1 Haykin)(Cap.1 Ribeiro) 1. Origem e medição sinais. 2. contínuos básicos 3. discretos básicos 4. Propriedas básicas sinais 5. Sistemas físicos, e molos 6. Representação matemática sistemas e propriedas 1b Introdução ao Matlab (Batel Anjo) 1. Variáveis e instruções básica 2. Representação, visualização, e manipulação sinais 3. Toolbox processamento sinal 4. Aquisição sinais 2 Sistemas lineares e invariantes no tempo SLITs (Cap.2 Louretie)(Cap.2 Haykin)(Cap.1,2 Ribeiro) 1. Introdução 2. Resposta impulsiva 3. Respresentação com equações diferenciais 4. Respresentação com equações às diferenças 2 2 Page 1
Programa (2/2) 3 Transformadas Fourier e Fourier Discreta (Cap.3,4 Louretie)(Cap.3,6 Haykin)(Cap.3 Ribeiro) 1. Introdução 2. Transformada Fourier 3. Transformada Fourier discreta 4 Transformadas Laplace e Z (Cap.3,4 Louretie)(Cap.3,7 Haykin)(Cap.3 Ribeiro) 1. Introdução 2. Transformada Laplace 3. Transformada Z 5 no domínio da frequência (Cap.6 Louretie)(Cap3. Haykin)(Cap.2 Ribeiro) 1. Introdução 2. Resposta na frequência SLITs contínuos e causais 3. Resposta na frequência SLITs discretos e causais 3 3 Avaliação Provas escritas 2 Repetições escritas 2 x Coeffciente 10 Exame só para quem não tem aproveitamento nas provas frequência É permitida a utilização durante as provas uma folha préviamente preparada pelo aluno A folha vrá ter o formato A4 Deverá estar escrita à mão, e não fotocopiada Na primeira repetição escrita verá estar escrita apenas um lado (na 2ª repetição e exames po estar dos 2 lados) Provas práticas Trabalhos práticos laboratório Trabalhos casa Projecto Coeficiente 10 4 4 Page 2
Bibliografia Livro texto e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora, 2002 ( 25) Livros apoio Signals and Systems, Simon Haykin, Barry Van Veen, Wiley, 2002 ( 62) Analog and Digital Signal Processing, Ashok Ambardar, Brooks/Cole Publishing, 1999 ( 66) Signals & Systems, Allan Oppenheim (2nd Ed.), Alan Willsky, Prentice-Hall, 1997 ( 80) Sistemas Lineares, Isabel Ribeiro, IST Press, 2002 ( 27) Curso Matlab, Batel Anjo, Principia, 2003 ( 10) Site apoio www.isegi.unl.pt/docentes/vlobo Horário dúvidas 2ª feira às 17:30, e sempre que combinado com o professor 5 5 Dúvidas? Marcação das repetições escritas Porque é que esta caira é importante? Preparação para: Telecomunicações (Fundamentos Telecom.; Antenas e propagação; Sistemas Telecomunicações) Radares (Radares e radio-ajudas) Controlo (automação e controlo) Electrotecnia e Electrónica (Electrotecnia, Fundamentos Electrónica, Electrónica I e II, etc) Vida um Oficial da Armada Puro prazer compreenr o mundo!!! Exemplos aplicação... (nunca mais acabam...) Vamos a isto! 6 6 Page 3
Capítulo 1 Introdução a e Sistesmas Bibliografia (Cap.1 Louretie)(Cap.1 Haykin)(Cap.1 Ribeiro) 7 7 O que é um sinal? Uma sequência valores Sinal contínuo t x(t) Sinal discreto n x(n) Exemplos Sons, ecos radar, sinais eléctricos, movimentos mecânicos, imagens,.. 8 8 Page 4
e sistemas Sistema Recebe um sinal, processa-o, e produz outro sinal à saída Sinal entrada Sistema Sinal saída Sinal antena rádio sinal para altifalantes Ondulação navio balanço navio Sinal controlo eléctrico motor binário Sinal para altifalantes caixa psicadélicas lâmpadas 9 9 discretos e contínuos contínuos Ocorrem frequentemente na natureza São representados por funções contínuas É difícil manipulá-las em computadores (têm que ser maipulados analiticamente) Para trabalhar com este tipo tipo sinais é mais fácil subsituí-lo por AMOSTRAS digitais, feitas com uma regularida suficientemente alta discretos discretos por natureza população, molos económicos, etc contínuos discretizados Facilida manipulação Pom ser representados por funções ou por vectores ou matrizes Processamento digital sinais (DSP Digital Signal Processing) é actualmente uma área importante engenharia 10 10 Page 5
Representação sinais discretos Discretos no tempo O tempo varia em saltos uma unida x(t) t Discretos em Amplitu Os sinais digitais são não só discretos no tempo, como discretos nos valores que pom tomar (erro quantização). Vamos por enquanto ignorar este efeito x(n) n 2 3 5 4 1-2 -4-3 São séries valores Pomos guardar em MATRIZES e manipular no computador x(0) = 0, x(1) = 10, x(2) = 18, x(3) = 23, 19, 11, 1, -9, -17, -22,... 11 11 Implementação sistemas discretos Facilida implementação Sistemas dicados simples com 1 µp, 1 ROM, 1 RAM, 1 ADC, 1 DAC Computadores uso geral Facilida em mudar as características Sistemas facilmente reprogramáveis Filtros adoptivos Facilida em simular/implementar no computador Processamento resume-se a manipular matrizes, que po ser feito até com folhas cálculo Programas dicados: MatLab, Dadisp, etc. Sinal contínuo ADC DSP DAC Sinal discreto Sinal contínuo 12 12 Page 6
Vantagens DSP Robustez e fiabilida imunida ao ruído ausência parâmetros aleatórios ou difícil controlo Possibilida características impossíveis em contínuo Filtros iais Sistemas que seguem exactamente a referência Facilida em construir circuitos integrados dicados A partir um core standard é fácil adicionar outros módulos Potência cálculo cada vez maior em sistemas digitais 13 13 e transformações variável Definição sinais: São funções uma ou mais variáveis inpenntes que contêm informação sobre o comportamento e características terminados fenómenos. Essas funções têm: Um domínio, ou variável inpennte (tempo,espaço,etc) Um contradomínio, ou granza que está a ser observada Exemplos y=f(x), i=f(v), etc Transformações lineares da variável inpennte y=f(x) para y=f(ax+b) a,b R 14 14 Page 7
e transformações variável Mudança escala y=f(ax) Gráfico : a>1 (contração do sinal) a<1 (expansão do sinal) (b=0, a>0) Reflexão em relação à origem y=f(-x) (a=-1) Gráfico: Translação y=f(x+b) Gráfico : b>0 (avanço no tempo) b<0 (atraso no tempo) Composição transformações 15 15 Parida um sinal Sinal Par: f(x)=f(-x) Sinal Ímpar: f(x)=-f(-x) Gráficos: Propriedas Características interessantes: QUALQUER sinal po ser composto na soma uma componente par e uma componente ímpar f(x)=f P (x)+f i (x) on f i (x) = ½*[ f(x)-f(-x) ] (parte ímpar) f p (x) = ½*[ f(x)+f(-x) ] (parte par) Prova:... 16 16 Page 8
Periodicida Sinal periódico: f(x)=f(x+t) x T (ou T 0 ) é o período Propriedas Características interessantes: Um sinal períodico é necessáriamente infinito Sinal período durrante um dado intervalo tempo Se tem perído T, tem tembém período nt T 0 é o período mínimo que satisfaz a condição, ou período fundamental Um sinal constante tem período fundamental 0... 17 17 Exercícios Separar o sinal S1 nas suas componentes pares e ímpares Verificar se o sinal S2 é periódico ao longo da sua duração Classificar quanto a parida e periodicida os seguintes sinais contínuos y=sin(x) y=cos(x) y=exp(x y=abs(x) y=x 2 Antes continuar a ver propriedas vamos dar uma espeitala nos sinais base mais importantes 18 18 Page 9
Escalão unitário Função heavisi u(t) mais importantes Inversão e slocamento Função sinal Função rectangulo ( função quadrada ) Casos discretos Multiplicação por um escalão Função impulso unitário (ou função lta) Caso discreto Caso contínuo Derivada u(t), integral=1, t 0, f=0 Também chamado lta Dirac Multiplicação por um impulso 19 19 Rampas importantes Exponenciais Senos Exponenciais complexas SLITS Conceito Convolução 20 20 Page 10
Escalão unitário alterno (só caso discteto mais importantes ( ) n k xn () = 2 1 0 n< k 0 Rampa unitária x(n) = 0 n 0 K n > 0 0 t < 0 x( t) = t t > 0 0 t < 0 x( t) = at t > 0 Inclinção a 21 21 mais importantes Exponencial crescente x(n) = a n u(n) a > 1 diverge a=1 constante a<1 constante 0 t < 0 x( t) = t a t > 0 22 22 Page 11
Sinusiois Caso contínuo sin(ω t) f=ω/2π Caso discreto sin( ω n ) mais importantes 0 MUITO IMPORTANTE!! IMPORTANTÍSSIMO!! sin( sin( ω n )) = sin( sin( ω n + 2π 2π )) As As sinusóis discretas só só são são diferentes para para 0 < ω < 2π 2π (( ou ou qq qqintervalo largura 2π) 2π) 1 0,8 seja ω = ω+2π 0,6 0,4 0,2 sin(ω n) =sin((ω+2π)n) 0-0,2-0,4 =sin( ωn +2πn) -0,6-0,8-1 =sin( ωn ) Q.E.D 23 23 mais importantes Exponencial complexa Junta o comporamento do seno com a exponencial: x ( t) = at Ce C = jφ Ae a = r + jω at Re( x( t)) = Ae cos( ω t + φ) 24 24 Page 12
Capítulo 2 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo - SLITS Bibliografia (Cap.2 Louretie)(Cap.2 Haykin)(Cap.1,2 Ribeiro) 25 25 Sistemas Conceito Diccionário: Um sistema é uma combinação elementos que actuam em conjunto a fim atingir um dado objectivo Algo que transforma um sinal noutro, e é tido como um bloco ou caixa preta Fronteiras um sistema: pen que quem o vê e para quê Diagramas blocos Cada bloco é uma caixa negra, caracterizada por um comportamento global Um sistema po eventualmente ser partido em subsistemas Um sistema po ser agregado com outros para formar um sistema mais alto nível Blocos/ramos/pontos rivação/pontos soma Exemplos sistemas scritos por diagramas blocos 26 26 Page 13
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo- SLIT Definições Linear Se o sistema tem a resposta Y 1 para uma entrada X 1, e a resposta Y 2 para uma entrada X 2 então, se tiver uma entrada X 3 =X 1 +X 2 terá uma resposta Y 3 =Y 1 +Y 2 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) Invariante no tempo Reage sempre da mesma maneira A reacção não pen da altura no tempo em que a excitação ocorre 27 27 SLIT - Sist.Linear e Invariante no Tempo SLIT - Sistema linear invariante ao tempo x(n) Sistema h(n) y(n) RESPOSTA IMPULSIVA Resposta ao impulso unitário Designa-se por h(n) Entrada d(n) Saída h(n) E quando a entrada não é um impulso? h(n) servirá para alguma coisa? 28 28 Page 14
SLIT - Sist.Linear e Invariante no Tempo Qualquer sinal po ser consirado como a sobreposição vários lta dirac, com amplituse tempos diferentes: = + + + Se o sistema é linear e invariante no tempo, a saída po ser calculada somando as respostas impulsivas a cada um sses sinais Obtemos assim a CONVOLUÇÃO dos dois sinais 29 29 INTERPRETAÇÃO DO SIGNIFICADO DA CONVOLUÇÃO Para um sistema causal e limitado no tempo, a resposta é simplesmente: h(n) k= N yn ( ) = hk ( ) xn ( k) k = 0 Saída provocada por x(0) x(n)... por x(1) x(0) x(1) x(2) x(3)... por x(2)... por x(3) Saída no instante 3 (resultado todas as contribuições) 30 30 Page 15
Resposta um SLIT A resposta um slit é a convolução da entrada com a resposta impulsiva: Nota: Por vezes chama-se h(n,k) em vez h(n-k), para realçar que se trata da resposta no instante n provocada pela entrada do momento k Expandindo para um caso concreto (por ex. n=1) y(1)= + x(-2)h(3) + x(-1)h(2) + x(0) h(1) + x(1)h(0) + x(2) h(-1) +. Notação para CONVOLUÇÃO: * X(n)*Y(n) k =+ yn ( ) = xkhn ( ) ( k) k = 31 31 INTERPRETAÇÃO DO SIGNIFICADO DA CONVOLUÇÃO Reornação dos termos da soma k=+ k= k=+ y ( n) = h( k) x( n k) = x( k) h( n k) k= Outra interpretação gráfica Inverter a resposta impulsiva Passá-lo pelo sinal entrada h y x 32 32 Page 16
Propriedas da convolução Associativida X(n)*Y(n)*Z(n) = ( X(n)*Y(n) ) *Z(n) = X(n)* ( Y(n)*Z(n) ) X(n) Y(n) A(n) Z(n) B(n) Comutativida X(n)*Y(n) = Y(n)*X(n) Distributivida X(n)*( Y(n)+Z(n) ) = X(n)*Y(n) + X(n)*Z(n) 33 33 PROPRIEDADES DE SISTEMAS MEMÓRIA Diz-se que um sistema tem memória se a saída pen entradas anteriores (ou posteriores) Para que um sistema não tenha memória a resposta tem que ser da forma? Uma mera multiplicação por uma constante Sem memória Com memória CAUSALIDADE Diz-se que um sistema é causal quando a sua saída não pen da entrada em instantes futuros Há muitos sistemas não causais Exemplos em processamento imagem A resposta impulsiva um sistema causal é 0 para n<0 Causal Não causal 34 34 Page 17
PROPRIEDADES DE SISTEMAS INVERTIBILIDADE Diz-se que um sistema é invertível quando há um sistema (dito inverso) que o anula, modo que o sinal não é alterado quando passa por esses dois sinais x(n) y(n) z(n)=x(n) h(n) h (n) y(n)=x(n)*h(n) z(n)=y(n)*h (n) = x(n)*h(n)*h (n) h(n)*h (n)= d(n) Exemplo um sistema invertível: um integrador Integrador h(n)=u(n) Diferenciador h (n)=d(n)-d(n-1) h(n)*h (n)=u(n)*(d(n)-d(n-1) =u(n)*d(n)-u(n)*d(n-1) =u(n)-u(n-1) =d(n) 35 35 PROPRIEDADES DE SISTEMAS ESTABILIDADE Há vários critérios estabilida diferentes. Vamos consirar um sistema estável se só se e apresentar uma SAÍDA LIMITADA PARA UMA ENTRADA LIMITADA Uma sequência diz-se limitada se x(k) <M k Exemplo: u(n) é limitada (numca é maior que 1) x (n) = n não é limitada (ten para infinito) Para que um sistema seja estável é necessário que a sua resposta impulsiva seja absolutamente somável y(n) = x(n)*h(n) = Σ x(k)h(n-k) Σ x(k) h(n-k) mas x(k) <M Σ M h(n-k) = M Σ h(n-k) se Σ h(n-k), e fôr N ΜxΝ Um integrador é um sistema estável? E o integrador com perdas apresentado no acetato 6? E o diferenciador do acetato anterior? 36 36 Page 18
PROPRIEDADES DE SINAIS ENERGIA Define-se energia um sinal como sendo: k =+ Energia = W = x( k) 2 k = Para sinais periódicos, é mais conviniente usar a energia média, ou potência(dado que a energia total é infinita): Energia media = k= N 1 1 2 N k = 0 xk ( ) on N=periodo Ou generalizando para qualquer sinal: Potencia = P = t=+ k/ 2 1 2 lim xt () k k t= k/ 2 37 37 Convolução em sistemas contínuos Em sistemas contínuos, basta substituir impulsos por ltas Dirac, e somatórios por integrais 38 38 Page 19
Descrição sistemas através EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS Muitos sistemas são scritos através equações Forma geral: x sistema y O que é uma rivada um sinal discreto? n n 1 2 m d y d y d y d y d x d x a n + a n n 1 +... + a + a + y = b x + b +... + b n 1 2 2 1 0 1 m m dt dt dt dt dt dt N i= 0 a i i d y i dt = Equação homogénea M i= 0 b i i d x i dt Termo forçado Em sistemas discretos usam-se diferenças finitas em vez rivadas N M N = Orm do sistema i= 0 a y( n i) = i i= 0 b x( n k) i 39 39 Equações às diferenças Por uma questão normalização, consire-se a 0 =0, e re-escreve-se a equação como: y( n) = N i= 1 a y( n i) + i Derivadas da saída M i= 0 b x( n k) i Derivadas da entrada Termos rivados da saída Forma uma equação RECURSIVA Dão origem a uma resposta impulsiva INFINITA Dão origem aos filtros IIR ( Infinite Impulse Response) Termos rivados das entradas Formam uma equação NÃO RECURSIVA Dão origem a uma resposta impulsiva FINITA Dão origem aos filtros FIR (Finite Impulse Response) 40 40 Page 20
Equações às diferenças - Parte homogénea A dinâmica muitos sistemas contínuos po ser scrita através equações diferenciais homogéneas ay +by +cy=0 De modo análogo, a corresponnte representação por equações às difrenças será ay(n-2)+by(n-1)+cy(n)=0 A implementação a partir das equações às diferenças é imediata ay(n-2)+by(n-1)+cy(n)=0 y(n) = -a/c y(n-2) -b/c y(n-1) =0 y(n) -a/c Resposta impulsiva infinita - IIR a 1 a 2 -b/c Z -1 Z -1 y(n-1) y(n-2) 41 41 Equações às diferenças - Parte forçada O sinal entrada atrasado po ser obtido com um taplay, implementado como um conjunto flip-flops (um registo slocamento) ou simulado com uma matriz Resposta impulsiva finita - FIR Simular em Excel, e pois em Matlab, o sistema caracterizado por Exercício: x(n) Z -1 x(n-1) b 1 Z -1 b 0 y(n) a) y(n)=1/3 x(n)+1/3 x(n-1)+1/3 x(n-2) b) y(n)= 0.5 x(n) + 0.5 y(n-1) x(n-2) b 2 quando recebe as seguintes entradas Z -1 x(n) = d(n) x(n) = n x(n) = u(n) x(n) = sin( 0,1 n) x(n-3) b 3 42 42 Page 21
Estrutura um filtro genérico Equações às diferenças x(n) b 0 y(n) FIR Finite Impulse Response Tem atrasos da entrada Z -1 x(n-1) b 1 Z -1 a 1 Z -1 Z -1 y(n-1) IIR Infinite Impulse Response Tem atrasos da saída x(n-2) x(n-3) Z -1 b 2 b 3 a 2 a 3 Z -1 y(n-2) y(n-3) 43 43 Capítulo 3 Transformadas Fourier e Fourier Discreta Bibliografia (Cap.3,4 Louretie)(Cap.3,6 Haykin)(Cap.3 Ribeiro) 44 44 Page 22
Domínio da frequência Qualquer sinal (1) po ser composto numa soma exponenciais complexas Uma exponencial complexa é a soma um seno com um coseno e jωn = cos( ωn ) + j sin( ωn ) A composição em senos e cosenos é muito útil pois são são funções próprias SLITS: a forma onda saída é idêntica à da entrada, diferindo apenas a amplitu e fase Facilida caracterização: bastam dois parâmetros 45 45 Motivação para a transformada Forier Para calcular a resposta um SLIT a um sinal Partir o sinal em vários sinais sinusoidais x(t)= = + + Calcular o modo como o SLIT respon a cada um les h(t) h(t) h(t)... Somá-los y(t)= + + = 46 46 Page 23
Motivação para a transformada Forier Como partir um sinal em sinusois? Ver quão semelhante é o sinal a cada seno Fazer a projecção do sinal sobre eixos sinusois Produto interno vectores -> produto interno sinais 47 47 Definição da transformada Fourier Definição: n= + n= X ( ω ) = x( n) e jωn X ( ω) = sinais contínuos + x( t) e jωt dt x( n) = 1 2 π 2 π X ( ω) e j ω n d ω + 1 x( t) = ω π X ( ) e 2 jωt dω Frequências discretas variam entre -π e π 48 48 Page 24
Comentários sobre a Transf. Fourier Domínio do tempo vs Domínio da frequência Correspon a olhar para a mesma coisa segundo ângulos diferentes Pomos passar um domínio para o outro sem perr informação A representação no domínio da frequência chama-se ESPECTRO DE FREQUÊNCIA Domínio do tempo Domínio da frequência x(t) h(t) y(t) X(ω) H(ω) Y(ω) Transformada Fourier 49 49 Existência da transformada Os somatórios/integrais pom divergir A transformada não existe nesses casos (ou é infinita...) Condições SUFICIENTES Condiçoes Dirichelet: x(t) é absolutamente somável/integrável n= + n= + x X ( ω) = x( n) e X ( ω) = ( t) e No caso contínuo, x(t) tem que ter um número finito máximos/mínimos, e um número finito scontinuidas em qualquer intervalo finito (sempre verificado no caso discreto) jωn jωt dt Outros casos Usando funções Dirac é possível calcular a transformada muitos mais sinais (senos/cosenos,escalões, funções contínuas 50 50 Page 25
Comentários sobre a Transf. Fourier Gran simplificação: Transforma convoluções em multiplicações Convolução sinais no tempo = Multiplicação das suas transformadas no tempo! τ =+ y ( t) = x( t)* h( t) = x( t) h( t τ ) Y ( ω) = X ( ω) H ( ω) τ = O cálculo da resposta um SLIT a uma dado sinal entrada torna-se muito fácil se formos capazes passar /para o dominínio da frequência 51 51 Comentários sobre a Transf. Fourier Gran complicacação: A transformada um sinal real é um sinal complexo Cada ponto no espectro é caracterizado por uma magnitu uma fase (ou parte real/parte imaginária) Real Exemplo: e -jωt = sin(ωt)+j sin(ωt) = sinusoi complexa Real Imaginário Imag Visão tri-dimensional Visão catesiana 52 52 Page 26
Transf. Fourier sinais discretos Iia base: Ver quão semelhante é o sinal em causa com cada uma das sinusóis Medida similitu: produto interno A componente frequência x é o produto interno (ponto a ponto), entre o sinal e o seno ssa frequência! A transformada um sinal discreto é uma função contínua! Não dá jeito nenhum vamos ter que a calcular num conjunto finito pontos O espectro um sinal discreto é periódico! Como e -jωn =e -j(ω+2π)n, X(ω) = X(ω+ 2π) 2π 53 53 Ponto da situação com MATLAB Exercício: Rotina para calcular a convolução entre 2 sinais Poremos calcular a saída um SLIT quando excitado com um sinal qualquer Rotina para calcular a transformada Fourier num dado ponto (frequência) Poremos calcular o espectro um sinal num conjunto arbitrário pontos Poremos calcular a saída um SLIT quando excitado com um sinal qualquer 54 54 Page 27
Amostragem Questões: Com que periodicida vo amostrar sinais contínuos quando estou a convertê-los em digitais? Qual a relação entre a frequência real do sinal, e a frequência digital? Qual a relação entre n e t x c (t) Conceito período/frequência amostragem Intervalo entre 2 amostras = T s (T Sample ) 1/T s = f s =Frequência amostragem x d (n)= x c (nt s ) 55 55 Amostragem Se multiplicar o sinal analógico por um pente Diracs, obtenho o digital! = T s Multiplicalção no tempo = convolução na frequência 56 56 Page 28
Frequência em contínuo e em digital Qual a relação entre frequência um sinal contínuo e sse mesmo sinal amostrado? EXPLICAÇÂO INTUITIVA Sabemos que 2 frequências que diferem em 2π serão rigorosamente idênticas quando amostradas. Sabemos que ω=π a 2π a taxa variação diminui Sabemos que ω=π correspon à maior frequência digital possível Sabemos que no domínio do tempo, o sinal digital maior frequência é aquele em que duas amostras consecutivas têm sempre sinal contrário e a mesma amplitu (pente alternado) Sabemos que o pente alternado tem uma frequência 1/(2*Ts)=f s /2, e quem um sinal digital frêquência π é um pente alternado! Logo, um sinal contínuo frequência f s /2, quando amostrado com uma frequência f s, tem uma frequência digital π. 57 57 E agora os bonecos x(t) T T=1/f Amostragem a uma frequênca f s =1/Ts tempo (contínuo) Ts Transformada Fourier tempo (digital) ω=π freqência (digital) 58 58 Page 29
Para quem esteve a dormir Regra 3 simples f contínuo = fs/2 f digital = π = 3.1416 fs/2 fcontínuo = π fdigital Para os que ainda mais distraídos : f digital = f contínua 2π/fs f contínua =f digital fs/2π 59 59 Consequências da amostragem 2π (= fs) ω b Se o sinal original fôr limitado em frequência, tendo uma largura banda ω b, é possível obter o seu espectro sem erros. Se se diminuir a frequência amostragem, há o risco do espectro interferir com si próprio 2π (= fs) 60 60 Page 30
Teorema da Amostragem Só é possível amostrar um sinal sem perr nenhuma das suas características se ele for limitado em frequência Para não perr nenhuma característica (e ser possível reconstruir o sinal sem erro) é necessário amostrá-lo com uma frequência amostragem pelo menos 2 vezes superior à sua largura banda 2 ω b = frequência Nyquist Frequência amostragem mais baixa: Altas frequências interferem nas baixas Haverá ALIASING no domínio do tempo 61 61 Amostragem em frequência Amostrar lentamente no tempo aliasing na frequência Amostrar lentamente na frequência aliasing no tempo F x(t) 2π x(t) F -1 n pontos n pontos Amostragem modo a não perr informação: USAR TANTOS PONTOS NA FREQUÊNCIA COMO NO TEMPO 62 62 Page 31
Mais comentários... Aumentar a frequência amostragem: Aumenta a largura banda que pomos amostrar sem erros A frequência digital correspon a frequências cada vez maiores Aumentar o número pontos amostrados no tempo: Aumenta a resolução em frequência Quanto mais tempo tenho para amostrar, melhor distingo frequências próximas 63 63 Dado Propriedas da Transformada Fourier Linearida Deslocamento no tempo Simetria do conjugado F ( x( t)) = X ( ω) F jωt0 x( t t0) e X ( jω) F x( t) = ay( t) + bz( t) X ( ω) = ay ( ω) + bz( ω) * F x ( t) X * ( ω) Mas se x(t) for real, x*(t)=x(t) logo X(ω)=X*(-ω) Se X(ω)=X*(-ω) então PARA SINAIS REAIS, o espectro potência é um sinal PAR 64 64 Page 32
Propriedas da Transformada Fourier Diferenciação dx( t) F jωx ( ω) dt Integração t F 1 x( τ ) dτ X ( ω) + πx (0) δ ( ω) jω Multiplicação (modulação) F 1 r( t) = s( t) p( t) R( ω) = ω 2π ( S( ω) P( )) 65 65 Propriedas da Transformada Fourier Relação Parseval (Conservação da energia ) + x( t) Pares notáveis sinais/transformadas Para não andar a fazer contas consultar TABELAS! Exemplo: Pulso quadrado Sinc 2 + 1 2 dt = X ( ω) dω 2π -T +T t -π/t +π/t ω -π/w +π/w t -W +W ω 66 66 Page 33
Transformada Inversa Transformada Inversa Recupera o sinal a partir da sua transformada X + + jωt 1 jωt ( ω) = x( t) e dt x( t) = ω ω π X ( ) e d 2 n= + n= X ( ω) = x( n) e jωn 1 x( n) = ω π X ( ) e 2 2π jωn dω 67 67 Cálculo da transformada Há uma série simetrias que fazem com que os mesmos coeficientes sejam usados várias vezes SIN(x)=COS(π/2-x) Há várias técnicas, mas todas elas reduzem drasticamente o tempo cálculo FFT Fast Fourier Transform A partir da finição n 2 Com FFT n log(n) Semelhança entre transformada directa e inversa As rotinas FFT com pequenas alterações calculam também a transformada inversa Exercício em MATAB Imagine que um dado radar transmite um sinal da seguinte forma: x(t)=4sin(4e9/2π * t)+sin(2.3e6//2π * t) Calcule numericamente o espectro sse sinal (com 1024 pontos) usando directamente a finição transformada e usando a rotina FFT do matlab. Calcule a diferença tempo gasto em cada uma das opções 68 68 Page 34