Distribuições Bernoulli, Binomial e Poisson Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 06 de junho de 2018 Londrina 1 / 18
Nos experimentos de Bernoulli, o espaço amostral é composto por apenas dois resultados possíveis: sucesso (resultado de interesse) ou fracasso (resultado pelo qual não estamos interessados). Exemplo 1 Lançar uma moeda. Pode sair cara ou coroa; Um vendedor visitar um cliente. Pode vender ou não; Sortear um aluno da sala. Pode ser homem ou mulher; Inseminar um animal. Pode emprenhar ou não. 2 / 18
SejaY a variável aleatória número de sucessos e p a probabilidade de ocorrer sucesso. Assim, a distribuição de probabilidade de Y que tem distribuição de Bernoulli, com parâmetro p, é dada por: Resultados possíveis Y = y P(Y = y) Fracasso 0 1-p Sucesso 1 p Total - 1 3 / 18
Definição Temos que a função de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli, Y Be(p), é dada por: P(Y = y) = p y (1 p) (1 y), y = 0, 1. 4 / 18
Definição Temos que a esperança e a variância são dadas por E(Y ) = p V (Y ) = p(1 p) 5 / 18
Exemplo 2 Suponha que em um rebanho há 120 animais, em que 90 são fêmeas. Um animal é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade dele ser macho? 6 / 18
É a mais importante das distribuições de probabilidades discretas e consiste no número de sucessos de n ensaios independentes de Bernoulli; Para que a variável aleatória de um experimento tenha distribuição binomial é necessário atender as seguintes condições: a) supor uma série de n realizações independentes (o resultado de um experimento não é afetado pelo resultado dos outros) de Bernoulli; b) a probabilidade de sucesso em cada realização é sempre constante e igual a p; c) o número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. 7 / 18
Definição A função de probabilidade de uma variável aleatória Y com distribuição binomial, Bin(n; p), é dada por: P(Y = y) = ( n y ) p y (1 p) n y y = 0, 1,..., n. ( ) n n! em que = C y n,y = y!(n y)! ; p é a probabilidade de sucesso e (1 p) é a probabilidade de fracasso. 8 / 18
Definição A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição Bin(n; p) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = np e V (Y ) = np(1 p) 9 / 18
Exemplo 3 Uma moeda é lançada dez vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? Determine a esperança e a variância. Exemplo 4 Uma empresa exportadora sabe que 5% das exportações tem algum problema na documentação. Se ela realizar negócios com seis clientes, determine a probabilidade de: a) Exatamente dois apresentarem problemas. b) Ao menos um apresentar problema. c) No mínimo quatro apresentarem problemas. d) Exatamente cinco não apresentarem problemas. 10 / 18
Exemplos A distribuição de Poisson é largamente empregada quando se deseja contar o número de ocorrências (sucessos) de um evento de interesse, por unidade de tempo, comprimento, área ou volume. É também chamada de distribuição dos eventos raros. 11 / 18
Exemplos Exemplo 5 a) Número de bactérias por ml de urina; b) Número de insetos de uma espécie coletados numa armadilha por dia; c) Número de pacientes que chegam a um pronto atendimento de uma pequena cidade durante a madrugada; d) Número de furos em pneus por km rodado; e) Número de árvores de uma certa espécie, por ha. Note que os possíveis valores que as variáveis aleatórias descritas podem assumir são: 0, 1,.... O comportamento dessas variáveis pode ser descrito pela chamada distribuição de Poisson. 12 / 18
Exemplos Definição Temos que a função de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição de Poisson é dada por: P(Y = y) = e λ λ y, y = 0, 1.... y! em que λ é igual o número médio de ocorrências do evento de interesse por unidade de tempo, distância, área, etc. Notação: Y Poi(λ). 13 / 18
Exemplos Definição A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição de Poisson Poi(λ) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = λ e V (Y ) = λ 14 / 18
Exemplos Exemplo 6 Em um estudo sobre um certo organismo aquático, um grande número de amostras foram coletadas de um tanque, e o número de organismos em cada amostra foi contado. O número médio de organismos por amostra foi encontrado como sendo dois. Encontre a probabilidade de que: a) a próxima amostra coletada conterá exatamente três organismos; b) a próxima amostra coletada conterá um ou mais organismos; 15 / 18
Exercício 1 A probabilidade de um presumível cliente, escolhido aleatoriamente, faça uma compra, é de 30%. Se o vendedor visita cinco clientes, qual a probabilidade que ele realizará: a) Exatamente três vendas? b) Quatro ou mais vendas? c) Menos de duas vendas? 16 / 18
Exercício 2 Suponha que é sabido 30% de uma certa população de animais são imunes a alguma doença. Se uma amostra aleatória de tamanho 10 é selecionada desta população, qual é a probabilidade de que: a) Ela contenha exatamente 4 animais imunes? b) Ela contenha mais que 2 animais imunes? 17 / 18
Exercício 3 Um contador eletrônico de bactérias registra, em média, 5 bactérias por cm 3 de um ĺıquido. Admitindo-se que esta variável tenha distribuição de Poisson: a) Encontre a probabilidade de que pelo menos duas bactérias ocorram num volume de ĺıquido de 1cm 3. b) qual é o desvio padrão do número de bactérias por cm 3? 18 / 18