UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO CÁLCULO DE SISTEMAS DE ESCAPE DE MOTORES DE EXPLOSÃO Jorge Manuel Fernandes Trindade (Licenciado) Dissertação ara obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica Orientador: Doutor José Carlos Fernandes Pereira Júri Presidente Doutor José Carlos Fernandes Pereira Vogais Doutor Jorge José Gomes Martins Doutor José Miguel Carrusca Mendes Loes Lisboa, Outubro de 998

TÍTULO: Cálculo de Sistemas de Escae de Motores de Exlosão NOME: Jorge Manuel Fernandes Trindade CURSO DE MESTRADO em Engenharia Mecânica ORIENTADOR: Prof. José Carlos Fernandes Pereira RESUMO Tendo em consideração a imortância das ondas de ressão nas condutas de escae no desemenho dos motores alternativos de combustão interna, é construído um algoritmo, utilizando o método das características, caaz de, em regime transiente, rever a evolução da ressão e outras variáveis com imortância ara a caracterização do escoamento em condutas de escae. A formulação matemática baseia-se nos rincíios da conservação da massa e da energia e do balanço de quantidade de movimento. É considerado o efeito das trocas térmicas e do atrito nas aredes das condutas. As equações fundamentais, são transformadas ara uma mais fácil alicação do método numérico utilizado. O modelo numérico construído é validado, comarando os resultados do modelo com dados exerimentais ublicados, ara três casos, referentes a motores com um, dois e quatro cilindros. É realizado um breve estudo de sensibilidade aos rinciais arâmetros do sistema de escae. É osteriormente feito um estudo de ré-dimensionamento das condutas de escae ara um motor, de quatro cilindros, de utilização corrente como roulsor de veículos automóveis. São consideradas duas configurações base, efectuando a junção das quatro condutas iniciais em uma ou duas fases e, ara cada uma, duas hióteses de dimensionamento. Os resultados obtidos ela alicação do modelo, rendimento volumétrico e otência de bombagem, ara cada caso, são aresentados e analisados. Palavras-chave: Motor de combustão interna Escae Transiente Características Comressível Modelo I

TITLE: Sark Ignition Engines Exhaust System Calculation ABSTRACT Considering the relevant effect of the ressure waves in the exhaust ies on internal combustion recirocating engines erformance, an algorithm is built, using the method of characteristics, making ossible the rediction, in transient state, of ressure and other imortant variables evolution for the exhaust gas flow characterisation. The mathematical formulation is based uon the mass, momentum and energy conservation rinciles. The effect of heat transfer and friction on ie walls is considered. The fundamental equations are transformed for an easier alication of the numerical method used. The validation of the numerical model is achieved comaring the results of the model results with real exerimental ublished data for three cases, concerning one, two and four cylinder engines. A brief study of sensitivity for the exhaust system main arameters is erformed. Afterwards, a re-dimensioning study of the exhaust system for an automotive, general use, four cylinder engine is made. Two basic configurations, joining the four initial ies on one or two stes and, for each one, two cases of dimensioning are considered. The model results, volumetric efficiency and uming ower, for each case, are resented and discussed. Keywords: Internal combustion engine Exhaust Unsteady Characteristics Comressible Models II

AGRADECIMENTOS Desejo manifestar o meu agradecimento ao Prof. José Carlos Pereira, orientador científico deste trabalho, elo aoio e disonibilidade com que acomanhou a sua realização. Um alavra também de agradecimento ara todos os colegas que, com as suas ajudas e sugestões, contribuíram na elaboração desta dissertação. III

ÍNDICE RESUMO... I ABSTRACT... II AGRADECIMENTOS... III ÍNDICE... IV LISTA DE SÍMBOLOS... V - INTRODUÇÃO.... - O assunto.... - A relevância rática....3 - Breve revisão bibliográfica... 4.4 - Objectivos... 5 - MODELO FÍSICO-MATEMÁTICO. - Escoamento comressível, não estacionário, no interior de condutas de secção variável... 6.. - Formulação das equações... 6.. - Atrito... 8..3 Transmissão de calor... 9. - Descarga de um cilindro de um motor de exlosão..... Proriedades da mistura de gases..... - Evolução das condições no interior do cilindro durante o escae..... - Escoamento através da válvula de escae... 6 3 - MODELO NUMÉRICO... 7 3. - Resolução numérica elo método das características... 7 3.. - Discretização das equações... 8 3.. Critério de estabilidade... 9 3. - Alicação das condições iniciais e fronteira... 9 3.. - Condições iniciais... 9 3.. - Condições fronteira... 9 3... - Extremidade fechada... 9 3... Entrada do escoamento numa conduta... 0 3... - Secção de entrada igual à secção de assagem da conduta... 0 3... Válvula de escae... 3...3 - Condições de saída... 4 3...4 - Junção de condutas... 6 3.3 - Algoritmo de cálculo... 30 3.4 - Validação do modelo... 35 3.5 Análise de sensibilidade aos rinciais arâmetros..... 4 4 CASO DE APLICAÇÃO... 46 4. - Objectivos... 46 4. - Configurações testadas... 46 4.3 - Resultados obtidos... 48 4.3 - Incororação futura de sub-modelos... 53 5 CONCLUSÃO... 55 ANEXOS... 57 Anexo I - Dedução das equações que regem o escoamento... 58 Anexo II - Transformação das equações diferenciais... 63 Anexo III - Previsão do ruído emitido ela descarga dos gases de escae de um motor... 69 BIBLIOGRAFIA... 74 IV

LISTA DE SÍMBOLOS Letras romanas: a - velocidade do som A - área da secção de assagem D - diâmetro F - força f - força or unidade de massa g - aceleração gravítica h - entalia esecífica h - coeficiente de convecção k - condutividade térmica L - comrimento &m - caudal mássico N - velocidade de rotação - ressão PMI - onto morto inferior PMS - onto morto suerior Q - fluxo de calor &q - fluxo de calor or unidade de massa r - raio da manivela R - constante dos gases erfeitos t - temo T - temeratura u - velocidade U - energia interna esecífica U - coeficiente global de transmissão de calor V - volume W - trabalho x - coordenada axial x - fracção mássica V

Letras gregas: β - variável de Riemman ε - emissividade ε - rugosidade relativa ε - relação volumétrica de comressão - razão de calores esecíficos λ - variável de Riemman ν - viscosidade cinemática σ - constante de Boltzman λ - coeficiente de atrito µ - viscosidade dinâmica θ - ângulo de manivela ρ - massa esecífica ψ - razão de áreas τ - tensão de corte Índice suerior: - variável adimensionalizada Índice inferior: 0 - condições de estagnação adm - referente à admissão cc - referente à câmara de combustão cil - referente ao cilindro d - referente ao diâmetro emb - referente ao êmbolo esc - referente ao escae ext - referente à suerfície exterior int - referente à suerfície interior max - valor máximo min - valor mínimo mist - referente a uma mistura ref - condições de referência VI

w - referente à arede - referente ao ambiente Oeradores: - derivada arcial d - derivada total D - derivada substantiva D= + u t x J + - oerador diferencial + ( u+ a) t x J - - oerador diferencial + ( u a) t x δ - diferencial infinitesimal VII

Introdução - Introdução. - O Assunto A modelação numérica do escoamento dos gases de escae ode tornar-se uma ferramenta útil na revisão do comortamento do sistema de escae ara uma determinada geometria adotada e condição de funcionamento. A comlexidade dos vários rocessos envolvidos, desde o motor até à saída do escae ara a atmosfera, faz com que, regra geral, as equações que governam o rocesso e as suas condições fronteira não sejam consideradas na sua forma tridimensional. Assim, um estudo unidimensional, considerando a forma transiente das equações ara um fluido comressível, com o recurso a relações exerimentais e a algumas aroximações torna ossível obter uma ferramenta de cálculo com relevância em estudos de rédimensionamento ou otimização de sistemas de escae. Três tios de modelos têm sido utilizados na análise dos rocessos de admissão e escae. Num rimeiro tio de modelo, são considerados todos os comonentes como restrições ao escoamento e alicadas as equações válidas ara um escoamento comressível, unidimensional e estacionário. As erdas de carga do escoamento são calculadas com base na geometria dos comonentes e nos coeficientes de descarga determinados exerimentalmente ara regime estacionário. Um segundo tio de modelação ode ser realizada considerando cada comonente do sistema como um volume finito contendo gás, em condições uniformes, no seu interior. A determinação da condição do gás em cada comonente é feita utilizando as equações da conservação de massa e energia. Nestes modelos, cada volume de controle é caracterizado com a média esacial da ressão e temeratura. São assim verificadas as variações no temo daquelas variáveis no interior de cada volume mas não é ossível ter em consideração os fenómenos devidos a rocessos dinâmicos no seu interior. Iniciando-se a saída dos gases do interior do cilindro quando a ressão no interior deste é suerior à ressão atmosférica são originadas ondas de ressão que vão ercorrer as condutas e reflectir-se nas suas extremidades. A frequência com que estas ondas de ressão são formadas é directamente roorcional à velocidade de rotação do motor e a sua velocidade de roagação deende da temeratura dos gases de escae. No caso dos motores olicilíndricos em que existam comonentes, ou troços de conduta, comuns a vários cilindros, caso mais generalizado, deve ser considerada a ossível interacção entre eles. As limitações anteriormente descritas, acrescidas da imortância relevante da geometria das condutas e comonentes, bem como da localização destes, tornam insuficientes ara determinados objectivos aqueles tios de modelo. É necessário então o recurso a uma outra forma de modelação, mais comlexa, em que são utilizadas as equações de conservação da massa, quantidade de movimento e energia de um escoamento de fluido comressível, unidimensional e em regime não estacionário. O caudal mássico de entrada ou saída do cilindro é obtido com o contributo da análise termodinâmica dos rocessos a decorrer no seu interior.

Introdução. - A Relevância Prática O desenho do sistema de escae de um motor de exlosão influencia diversas asectos do seu desemenho, nomeadamente, o rendimento volumétrico, o trabalho de bombagem, a eficiência do catalisador e as emissões sonoras. Num motor de exlosão, mantendo-se constante a relação ar/combustível e a relação volumétrica de comressão, continuando a ocorrer a inflamação no instante ideal, o rendimento térmico ermanece constante e a otência indicada do motor é, de forma aroximada, directamente roorcional à massa de mistura ar-combustível retida no interior do cilindro no fim da admissão. Aliás, e ao contrário do que se assa nos motores de ignição or comressão, o controle da otência desenvolvida elos motores de exlosão é feito, regra geral, através do ajuste da massa de mistura admitida no interior do cilindro. A otência máxima disonível é assim condicionada ela máxima massa de mistura admitida e retida no interior do cilindro. O rendimento volumétrico de um motor de exlosão, definida como a razão entre a massa de mistura fresca admitida no cilindro e aquela que ocuaria o mesmo volume nas condições de admissão, ao traduzir a eficiência com que é realizada a renovação da carga de mistura ar-combustível nos cilindros, condiciona fortemente o seu desemenho. Para o ciclo ideal do motor de exlosão a quatro temos é ossível deduzir uma exressão que ermite relacionar o rendimento volumétrico com a ressão de admissão, ressão de escae e a relação volumétrica de comressão do motor. Este rendimento volumétrico ideal é reduzido or vários factores entre os quais se salienta a resença de gases residuais, oriundos do ciclo anterior e que não foram exelidos durante o eríodo de escae e as oscilações da ressão no interior do cilindro durante os temos de admissão e escae. A resença dos gases residuais fazse sentir, essencialmente, de duas formas. Por um lado, os gases que ficarem retidos no interior do cilindro vão reduzir o volume disonível ara a nova carga de mistura ar/combustível. Por outro, a troca de calor entre os gases residuais, a uma temeratura bastante suerior, e a carga fresca, rovoca uma redução da massa esecífica desta. Este aumento da temeratura da mistura tem, no entanto, um asecto ositivo ois favorece a difusão do combustível no seio do ar. Com o objectivo de maximizar o rendimento volumétrico dos motores a regulação usualmente alicada às válvulas é substancialmente diferente da ressuosta nos ciclos teóricos. A válvula de admissão é aberta antes do PMS e fecha deois do PMI e a válvula de escae abre antes do PMI e fecha deois do PMS originando-se assim um eríodo, quando o êmbolo se encontra na roximidade do PMS, em que ambas as válvulas se encontram abertas. Durante o eríodo de cruzamento de válvulas, quando a ressão de escae é suerior à ressão de admissão os gases de escae tendem a escoar-se ara a conduta ou colector de admissão de onde retornarão ao cilindro durante o restante curso de admissão. Uma elevada ressão na conduta de escae na roximidade da válvula, relativamente à ressão de admissão, na fase final do rocesso de escae tem como consequência a redução do rendimento volumétrico do motor. Inversamente, se a ressão de escae for inferior à ressão de admissão oderá ocorrer uma erda significativa de mistura ar-combustível através da válvula de escae. Sendo o controle de carga feito or obstrução na admissão, a ressão de admissão varia em função da carga. Sendo esta variação mais significativa que a corresondente variação na ressão de escae a relação / vai variar em esc adm

Introdução função da carga tendendo a fracção de gases residuais a aumentar com a redução de carga. A anteciação da abertura da válvula de escae relativamente ao PMI tem or objectivo criar condições ara que durante grande arte do curso de escae a ressão no interior do cilindro seja róxima da ressão atmosférica. Pretende-se assim que a fase de escae esontâneo ocorra quando o êmbolo se encontra junto ao PMI e a sua velocidade é equena. A erda de trabalho exansivo dos gases assim rovocada deverá ser comensada de forma ositiva ela redução de trabalho a executar elo êmbolo ara exulsar os gases durante o decurso da fase do escae imulsionado. A maximização do rendimento mecânico de um motor, sendo a relação entre a sua otência efectiva e a otência indicada ara uma determinada condição de funcionamento, assa também elo comortamento do seu sistema de escae. A diferença entre a otência indicada e a otência efectiva inclui as erdas or atrito, a otência utilizada ara movimentar órgãos auxiliares necessários ao seu funcionamento, tais como comando de válvulas, bombas de lubrificação e refrigeração, ventiladores, etc. e a otência de bombagem. Esta otência de bombagem, tida como sendo a otência exigida ara remover do interior do cilindro no final do ciclo os rodutos da combustão e efectuar a admissão de uma nova carga de mistura ar-combustível, ode ser exressa em termos da diferença entre a ressão média de admissão e a ressão média de escae. Uma reduzida ressão média de escae contribuirá ara um melhor rendimento mecânico do motor. A evolução no temo da ressão nas imediações da válvula de escae é influenciada ela geometria e dimensões das condutas de escae elo seu efeito na intensidade das ondas de ressão geradas e reflectidas bem como elo seu timing relativamente ao movimento do motor. No caso de motores que funcionam a velocidade constante é ossível a otimização do sistema ara aquela velocidade. Para motores funcionando com velocidade variável o dimensionamento deverá ter em conta a condição de funcionamento mais frequente e os objectivos rioritários retendidos que oderão assar ela maximização da otência disonível ou ela minimização do consumo numa faixa alargada de utilização. A contribuição dos veículos automóveis movidos or máquinas de combustão interna ara a oluição atmosférica tem-se tornado ao longo dos temos de caital imortância. As restrições daqui resultantes às emissões de oluentes conduziram à utilização generalizada de catalizadores. Sendo a eficiência dos catalizadores fortemente condicionada ela temeratura das suas suerfícies e a temeratura dos gases à entrada do catalisador ela geometria adotada, um outro asecto que deve ser tido em conta no rojecto de um sistema de escae traduz-se na necessidade de atingir o mais raidamente ossível aós o arranque do motor uma temeratura no catalisador que ermita o seu eficiente funcionamento. Um último, mas não menos imortante asecto da questão rende-se com o ruído emitido que, elo seu efeito nocivo, a nível físico e síquico, sobre o homem deve ser controlado. Valores limites dos níveis sonoros admissíveis ara os veículos automóveis, em função da sua categoria, utilização e otência são fixados em Portugal elo Regulamento Geral sobre o Ruído []. O ruído emitido or um veículo tem diversas origens sendo, de acordo com estas, classificado habitualmente como: 3

Introdução i) - ruído aerodinâmico que inclui aquele que é roduzido ela admissão e escae bem como elos escoamentos de ar de arrefecimento; ii) - ruído de combustão como sendo aquele que é emitido elas suerfícies do motor em resultado da excitação rovocada elas forças resultantes da combustão; iii) - ruído mecânico como sendo aquele que é emitido elas suerfícies do motor em resultado da excitação rovocada elos comonentes móveis do motor. O ruído emitido elo sistema de escae engloba aquele que é originado elas ondas de ressão geradas ela descarga ulsatória dos gases e aquele que a vibração das suerfícies dos comonentes, em consequência do escoamento no seu interior e da vibração transmitida elo motor, roduz. Para a redução do ruído emitido ode contribuir uma adequada selecção do comrimento e diâmetro das condutas e do silenciador utilizado..3 - Breve Revisão Bibliográfica O estudo do comortamento das ondas de ressão iniciou-se no final do século XIX e as rimeiras alicações da teoria anteriormente desenvolvida ao sistema de escae dos motores é realizada or Jenny []. O método das características, considerando o efeito do atrito e da transmissão de calor, é alicado na forma gráfica ao estudo do escoamento dos gases de escae e vários exemlos de alicação comrovam a validade da teoria desenvolvida. Diversos trabalhos sobre a alicação do método das características utilizando métodos comutacionais, em lugar da anterior forma gráfica, no cálculo de escoamentos comressíveis, em regime não-estacionário, no interior de condutas simles, em condições homoentróicas e não homoentróicas foram ublicados or Benson et al [3 a 5]. Uma nova formulação das equações, utilizando variáveis de Riemman modificadas, foi aralelamente desenvolvida ermitindo considerar no cálculo daquelas variáveis os efeitos da variação da entroia originados elo atrito e transmissão de calor. Os métodos desenvolvidos foram alicados na simulação e análise dos rocessos de admissão e escae de motores de combustão interna [6 a 0]. Blair e Goulbourn desenvolveram também rogramas com objectivo de simular o comortamento dos sistemas de escae. Num rimeiro trabalho [], a simulação é feita utilizando imulsos de ar comrimido com a frequência corresondente ao funcionamento de um motor de quatro temos a 8000 rm. Num outro trabalho ublicado [] é feita a simulação e comaração do comortamento de várias geometrias alicadas a um motor. Blair e Secho [3] utilizaram o rograma de simulação anteriormente desenvolvido ara calcular a evolução aroximada da velocidade na saída dos gases ara a atmosfera e, com base nos resultados obtidos, rever o ruído emitido elo sistema de escae. Masaaky Takizawa et al. [4] desenvolveram estudos sobre a simulação dos rocessos de admissão e escae que lhes ermitiram concluir da boa alicabilidade da análise unidimensional no estudo destes escoamentos. Uma comaração dos caudais mássicos calculados elos métodos de Lax-Wendroff e das características em diversos ontos do sistema de escae ermite concluir de uma maior recisão, quanto à conservação da massa, do método de Lax-Wendroff. 4

Introdução As geometrias ossíveis ara os sistemas de escae são condicionadas ela arquitectura do motor, em linha ou em "V". As saídas individuais de cada cilindro odem ser agruadas numa fase só ou em duas fases. Num motor de quatro cilindros é comum, or exemlo, ser feito o agruamento, numa rimeira fase, do º ao 3º e do º ao 4º cilindro segundo a ordem de inflamação. Estes tubos são osteriormente ligados entre si, dando origem a uma saída única onde se encontra o catalisador. O colector de escae é geralmente fabricado em ferro fundido de modo a suortar a elevada temeratura dos gases de escae nesta região e as condutas são muito curvas. Neste colector são efectuadas já ligações entre tubos, elo menos de 4 ara, sendo os tubos seguintes em aço, de arede muito mais fina, mais rectos, e o seu diâmetro é, regra geral, ligeiramente suerior. A saída do catalizador faz-se ara uma conduta em aço que descarregará os gases ara a atmosfera assando estes, entretanto or um ou dois silenciadores..4 - Objectivos Com este trabalho retende-se desenvolver um modelo numérico que ermita simular o comortamento do sistema de escae, considerando o efeito do atrito e da transmissão de calor, de um motor de exlosão, mono ou multicilíndrico, a quatro temos, atmosférico. A dissertação está estruturada em cinco caítulos. No caítulo seguinte é desenvolvida a modelação fisico-matemática do escoamento através das válvulas de escae e ao longo das condutas. No caítulo 3 é construído o modelo numérico ara a resolução das equações. O modelo obtido é validado, recorrendo a dados exerimentais obtidos na literatura, e analisada a tendência de alteração do comortamento do sistema de escae or variação dos rinciais arâmetros. No caítulo 4 é considerado um caso de alicação testando-se várias hióteses de configuração e dimensionamento do sistema de escae ara um determinado motor. Neste caítulo são também aresentadas algumas ersectivas de desenvolvimento, or incororação futura de novos sub-modelos, e é testada a sua alicação na revisão do ruído emitido ela descarga dos gases de escae de um motor. As conclusões obtidas constituem o caítulo 5. 5

Modelo Físico-Matemático - MODELO FÍSICO-MATEMÁTICO. - Escoamento comressível, não estacionário, no interior de condutas de secção variável.. - Formulação das equações As equações que regem o escoamento, deduzidas no Anexo I, têm origem nos rincíios de conservação da massa, de conservação da energia e do balanço de quantidade de movimento. A dedução destas equações é feita considerando os seguintes ressuostos: i) o escoamento ode ser considerado como unidimensional; ii) o escoamento é não-estacionário; iii) o escoamento é de fluido comressível; iv) a influência do atrito nas aredes da conduta é significativa; v) as trocas de calor através das aredes da conduta são significativas; vi) a influência térmica de eventuais reacções químicas no seio do escoamento oderá ser considerada; vii) a secção transversal do escoamento oderá variar desde que o modelo unidimensional se mantenha consistente; viii) a razão de calores esecíficos,, é constante. Para o volume de controle reresentado na Figura, de secção transversal variável e considerando resentes o atrito e rocessos de transmissão de calor através das aredes, as equações deduzidas são as seguintes: sendo, i) conservação da massa, ρ ρu da + ( ρu) + = 0 ; (.) t x A dx ii) balanço da quantidade de movimento, t ρ ρu da + + + =ρf ; (.) x A dx ( u) ( ρu ) iii) conservação da energia, u u u da ρh + ρu h ρu h ρq t ρ + x + + A + = & ; (.3) dx f - força de atrito, no sentido de x ositivo, exercida or unidade de massa de fluido em escoamento &q - fluxo de calor recebido elo fluido or unidade de massa de fluido em escoamento 6

Modelo Físico-Matemático q& -f A da A+ δx dx h,, u, ρ h + δ h, + δ, u+ δu, ρ + δρ δx Figura - Volume de controlo considerado Outras relações termodinâmicas necessárias ara a solução das equações anteriores são: i) a equação de estado dos gases erfeitos, RT ρ = ; (.4) ou, na forma diferencial, d a dρ = ρ dt T ; (.5) ii) a exressão da velocidade do som em função da temeratura do gás, = RT ; (.6) iii) a alicação da ª lei da termodinâmica a um rocesso reversível entre dois ontos quaisquer, d Tds= dh ; (.7) ρ dh iv) a relação entre a entalia e a temeratura de um fluido, = c dt. (.8) As equações inicialmente aresentadas odem, utilizando estas relações, tomar a seguinte forma, mais conveniente ara alicação do método das características: ρ ρ ρ ρ t + u + u u da x x = A dx ; (.9) u u u + + = f ; (.0) t x ρ x h u h u + + = ρq& + uf. (.) t x ρ t x 7

Modelo Físico-Matemático.. - Atrito Considerando o volume de controlo reresentado na Figura, a força total de atrito, F, na arede e a tensão de corte, Γ w, estão relacionadas or F =Γ πdδ x. (.) w Sendo a tensão de corte função de várias variáveis, Γ w = f ( ρ, u, µ, D, ε ), a análise dimensional desta relação ermite estabelecer Γ w = λρ u, (.3) 8 sendo λ o factor de atrito de Darcy. Assim, a força de atrito or unidade de massa de fluido em escoamento, f, é dada or u f = λ. (.4) D Para assegurar que o sentido da força de atrito é semre oosto ao movimento, esta exressão deverá ser utilizada na forma f u = λ D u u. (.5) A comlexa relação entre a velocidade do escoamento, a rugosidade das aredes e as roriedades do fluido obriga à determinação exerimental do factor de atrito. Não sendo conveniente ara alicações numéricas a reresentação gráfica dos resultados obtidos, diagrama de Moody, várias exressões ara a determinação do factor de atrito em função do Re local e da rugosidade da arede têm sido desenvolvidas. As exressões de utilização mais divulgada são devidas a Colebrook [5], ε 5 = 0 d.. log0 +, (.6) 37. λ Reλ que tem como rincial desvantagem o seu carácter transcendente, obrigando a um rocesso iterativo ara o cálculo de λ, e a Haaland [5], 6 9 ε = 8. 0 + d. log Re 37 λ.., (.7) que ermite o cálculo directo do factor de atrito em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa da suerfície interior da tubagem. A viscosidade do fluido ara o cálculo de Re deverá ser corrigido em função da sua temeratura. A variação da viscosidade com a ressão é desrezada or não atingir valores significativos. 8

Modelo Físico-Matemático..3 Transmissão de calor Na análise do rocesso de transferência de calor entre o gás em escoamento no interior da conduta e o ar no exterior deverão ser considerados, no ercurso do fluxo de calor, os modos de transmissão relevantes. Se o mecanismo dominante de transmissão de calor entre o gás em escoamento no interior da conduta e a arede interior da conduta é a convecção, no exterior da mesma a influência da radiação oderá não ser desrezável. Poderão ser consideradas quatro zonas distintas no ercurso dos gases desde a válvula de escae até à descarga ara a atmosfera. A rimeira ocorre nas roximidades da válvula onde, considerando que a sua variação de temeratura é reduzida quando comarada com a diferença de temeratura entre o gás e a arede, será válido admitir, ara um dado regime de funcionamento, a temeratura da arede constante. Caton e Heywood [6] testaram vários modelos ara a transferência de calor nesta zona do sistema de escae tendo concluído que nenhum dos modelos testados era caaz, or si só, de ermitir uma concordância razoável com os resultados exerimentais. Uma boa aroximação dos resultados exerimentais seria obtida alicando os vários modelos em várias fases do temo de escae em função do grau de abertura da válvula de escae conforme indicado no Quadro. Período Curso/Diâmetro da Válvula Sub-modelo Inicial < 0. 0. 6 Nu= 0. 4 Re j Intermédio abertura>0. / fecho>0.9 0. 8 Nu = 0. 094CC Re D Final <0.9 0. 5 Nu = 0. 56 Re j Válvula fechada 0 0. 8 Nu = 0. 0Re D Re j - Número de Reynolds baseado na velocidade dos gases através da válvula ReD - Número de Reynolds baseado na velocidade dos gases deois da válvula Re D - Número de Reynolds médio C, C constantes função de Re e da osição axial do onto considerado Quadro Correlações de Caton e Heywood ara os vários eríodos do escae O colector constituirá uma segunda zona em que, ela sua elevada inércia térmica, a aroximação feita ao considerar a temeratura da arede interior dos tubos constante continuará a ser válida. Na estimativa do coeficiente de transmissão de calor or convecção entre o gás e a arede ode ser utilizada a correlação emírica de Malchow [7], 0 783 Nu= 0. 0483 Re., (.8) com Re calculado com o diâmetro da conduta e a velocidade do escoamento. 9

Modelo Físico-Matemático A zona de tubagem em aço oderá ser dividida em duas zonas. No exterior das tubagens as condições de transmissão de calor são diferentes ao longo da tubagem. Junto ao motor, no interior do seu comartimento, será de eserar uma menor velocidade do ar e um escoamento menos orientado. No exterior do comartimento, o escoamento do ar será mais intenso e, ara cada caso as correlações a utilizar na estimativa do coeficiente de transmissão de calor or convecção deverão ter em consideração este asecto. Realizando um balanço de energia a uma secção do tubo, reresentada na Figura, assumindo desrezável a variação de temeratura na direcção radial face à diferença de temeraturas entre o gás e a arede interior do tubo e entre a arede exterior e o ar exterior, com e, m U w int c dt dt w int int int 4 4 ( T T ) A h ( T T ) A ( T T ) = A U εσ (.9) =, d d int ln d int + h k w g w ext ext w ext w d = d + d ext int. T Q ext T w m w k w c w d ext d int T g u g Q int Figura - Transmissão de calor num troço de conduta Determinada a temeratura aroximada da conduta o fluxo de calor ode ser calculado or ( g w) Q = A h T T, (.0) int int int e, or unidade de massa de fluido em escoamento, Q& 4h ( T T ) int int q& int = = g w. (.) πdint ρdint ρ 4 L 0

Modelo Físico-Matemático. - Descarga de um cilindro de um motor de exlosão.. - Proriedades da mistura de gases Na estimativa das roriedades da mistura de gases são considerados os seguintes ressuostos: i) - o combustível utilizado, gasolina, ode ser aroximado or um hidrocarboneto C n H.87n ; ii) - o ar admitido no cilindro encontra-se isento de humidade; iii) - é considerada a combustão comleta da mistura admitida no interior do cilindro; iv) as reacções químicas encontram-se congeladas. Considerando estas hióteses de simlificação, a reacção química ode ser traduzida ela equação CnH. 87 n +. 4675nO + 5. 578nN nco + 0. 935nHO+ 5. 578nN (.) resultando a comosição volumétrica e mássica aroximada dos gases de escae constante no Quadro. % Volumétrica % Mássica CO 3.5 0.4 H O.5 7.8 N 74.0 7.8 Quadro - Comosição dos gases de escae O calor esecífico a ressão constante da mistura de gases ode ser calculado a artir do calor esecífico a ressão constante de cada gás articiante considerando a sua fracção mássica, c = x c (.3) mist i i i e, analogamente ara o calor esecífico a volume constante, c = x c. (.4) v mist i vi i Considerando aquela comosição ara os gases de evacuação e a temeratura de 600 K, com base em valores tabelados [9] ara as esécies individuais, resulta ara a mistura de gases, c =.50 KJ / Kg K, e uma razão de calores esecíficos, =. 33

Modelo Físico-Matemático As roriedades de transorte odem ser obtidas através de correlações emíricas. Para a viscosidade dos gases de evacuação, sendo ressuosta a relação ar/combustível estequiométrica, a correlação [8], µ gases µ ar =, (.5) + 0. 07 φ simlifica-se, obtendo-se, µ gases µ ar =. (.6) 07. A viscosidade do ar à temeratura desejada é obtida or [5] µ = µ 93 K T 93 0. 67. (.7) O número de Prandtl ara a mistura de gases ode ser aroximado, em função da razão de calores esecíficos, or [8] ( ) ( ) Pr = 0. 05+ 4. 6. 7, (.8) ermitindo assim a estimativa da condutividade térmica, k c = µ Pr. (.9).. - Evolução das condições no interior do cilindro durante o escae O eríodo de escae nos motores a quatro temos ode ser dividido em duas fases com características bem diferentes. Numa rimeira fase, o escae esontâneo, o escoamento através da válvula de escae é essencialmente rovocado ela elevada diferença de ressão existente entre o interior do cilindro e a conduta adjacente. Reduzida esta diferença de ressão, inicia-se o eríodo de escae imulsionado durante o qual a saída dos gases continua redominantemente or influência do deslocamento do êmbolo no sentido do PMS e consequente redução de volume no interior do cilindro. Nos motores modernos, a abertura da válvula de escae ocorre, regra geral, ainda antes de o êmbolo atingir o PMI e o seu fecho aós o PMS, numa altura em que a válvula de admissão se encontra também já aberta. O rolongamento do eríodo de abertura ara além do PMS e o consequente cruzamento de válvulas tem or objectivo roorcionar um melhor rendimento volumétrico ao motor. A anteciação da abertura da válvula relativamente ao PMI retende reduzir o trabalho de exulsão dos gases embora à custa de uma erda no trabalho de exansão. A determinação da evolução no temo da ressão e temeratura dos gases no interior do cilindro deverá ter em conta os efeitos da variação no temo do volume ocuado e da massa de gás no interior do cilindro, conjuntamente com os que resultam das trocas térmicas com as aredes do cilindro. Para o estudo em causa não é necessário o conhecimento do estado termodinâmico da mistura de gases durante todo o ciclo de funcionamento do motor

Modelo Físico-Matemático mas aenas durante o eríodo de abertura da válvula de escae. A simulação é iniciada, ara cada cilindro, no instante anterior à abertura da sua válvula de evacuação estimando a ressão e a massa de gases no interior do cilindro. Com base nestes valores, ela equação de estado dos gases erfeitos, é calculada a temeratura inicial dos gases de escae. Cada cilindro do motor é modulado como um volume variável com ressão e temeratura dos gases uniforme e a mistura de gases é considerada homogénea em todo volume. A evolução no temo das condições no interior do cilindro durante o eríodo de escae é determinada com base na ª lei da termodinâmica considerando as trocas térmicas com a suerfícies envolventes do cilindro, o trabalho realizado elo êmbolo e o fluxo de massa através da válvula de evacuação. A comosição da mistura de gases é suosta constante ao longo do eríodo de escae e as suas roriedades termodinâmicas são calculadas a artir das esécies individuais assumidas como gases erfeitos. Da lei cinemática do movimento do êmbolo, o volume interior do cilindro de um motor, V cil, é dado, em função do ângulo de manivela, θ, or, sendo, V cil πd cil = Vcc + l+ r r + ( l r sen ) cos θ θ 4 (.30) V cc - volume da câmara de combustão D cil - diâmetro do cilindro l - comrimento do tirante r - raio da manivela A variação de volume no temo, dv cil dt exressão.30, obtendo-se, dv dt Nr senθ + cil π Dcil r cosθ = ( ) / l r sen θ em que N é a velocidade de rotação do motor., ode ser obtida or derivação da (.3) A ressão e temeratura dos gases no interior do cilindro aquando da abertura da válvula de escae vão deender das características do motor bem como da condição de funcionamento a simular. Esta deendência resulta de dois factores: - a massa de mistura ar/combustível admitida no cilindro quando o motor se encontra a carga arcial é menor que a lena carga; - a energia libertada no rocesso de combustão é menor a carga arcial que a lena carga. Da alicação da ª lei da termodinâmica ara sistemas abertos ao rocesso de escae de um cilindro resulta & & & U = t + m& ( h0 ) esc m& adm ( h ) adm Q W s W esc 0. (.3) 3

Modelo Físico-Matemático Considerando que o único trabalho realizado elo êmbolo é aquele que resulta na alteração de forma do volume de controle, dv W & cil = cil dt, (.33) a equação ode ser colocada na seguinte forma, & dv U t ( h0 ) esc m& adm ( h ) adm cil Q cil = + m esc 0 dt & Exressando os vários termos da equação do seguinte modo,. (.34) cilvcil U = mcilucil =, (.35) U t = cil dv dt cil + V cil d dt cil, (.36) ( h ) 0 esc = h cil a0cil =, (.37) ( h ) &m 0 esc adm a0adm =, (.38) dmesc =, (.39) dt dm m & = adm adm dt, (.40) obtém-se a exressão, Q& cil e, finalmente, d dt cil dv dt cil = cil a0cil dm + dt esc dv dt cil + V cil d dt cil a0adm dm dt + adm, (.4) dv = cil dmadm dmesc cil + a0adm a0cil + ( ) Q & V. (.4) cil dt dt dt Para a estimativa das trocas térmicas com as suerfícies envolventes do cilindro a correlação de Annand [9] tem sido utilizada or diversos autores, b dq a Q & Re = = k Acil( Tw Tcil) dt D, (.43) cil onde a e b são constantes deendendo do tio de motor e A cil a área da suerfície envolvente. O número de Reynolds deverá ser calculado com base na velocidade média do êmbolo, u emb, dada or u = 4 emb rn. (.44) 4

Modelo Físico-Matemático A área da suerfície envolvente (A cil ) ode ser dividida em três artes, a área da camisa do cilindro acima do PMS e da cabeça do cilindro (A cc ), a área do too do êmbolo (A emb ) e a área da camisa entre o too do êmbolo e o PMS (A c ). Aenas esta terceira fracção da área total varia no temo em função da osição do êmbolo. A área total de ermuta térmica oderá então ser calculada or, Acil = Acc + Aemb + Ac (.45) / ( ( cos ( ) )) A = A + A + π D l + r r θ + l r sen θ cil cc emb c (.46) No caso de ser considerado o too do êmbolo como uma suerfície lana e uma forma cilíndrica ara a câmara de combustão teremos a área total de ermuta instantânea calculada, de forma aroximada, or A t πdcil πrd = + ε cil / ( ( cos ( ) )) + πd l+ r r θ + l r sen θ com ε, relação volumétrica de comressão, dada or, ε = πrd cil V cc + V cc cil, (.47). (.48) Deendendo a taxa de variação da ressão no interior do cilindro do caudal mássico que dele sai e sendo este caudal função da diferença de ressão existente através da válvula de escae a solução ara estas equações deverá ser rocurada de forma iterativa...3 - Escoamento através da válvula de escae Do onto de vista da otimização do funcionamento do motor seria desejável uma abertura súbita da válvula de escae or forma a minimizar a duração do escae esontâneo ermitindo reduzir o avanço da abertura da válvula e, consequentemente, um melhor aroveitamento da exansão dos gases. Deois de terminada esta fase do escae a abertura da válvula oderia até ser rogressivamente reduzida. Limitações de ordem mecânica da velocidade de abertura tornam necessária a abertura da válvula antes de o êmbolo atingir o PMI sendo a regulação de grande arte dos motores feita or forma a que a queda de ressão no interior do cilindro se distribua em artes aroximadamente iguais entre os cursos de exansão e escae. A regulação do fecho da válvula de escae influencia a ressão no interior do cilindro na arte inicial do temo de admissão sendo atrasada tanto quanto ossível desde que o resultante cruzamento de válvulas seja admissível. Valores tíicos ara a abertura e fecho da válvula de escae são, resectivamente, de 50 a 60 antes do PMI e 8 a 0 deois do PMS. A área de assagem na válvula, em cada instante, deende da geometria adotada e da sua osição. Valores habituais ara o diâmetro e curso das válvulas de escae são de 35 a 40% e cerca de % do diâmetro do cilindro, resectivamente. 5

Modelo Físico-Matemático Jenny foi um dos rimeiros investigadores a rocurar modular a descarga de cilindros tendo sugerido três modelos ditos "de ressão constante", "de queda de ressão" e "de recueração de ressão". Os bons resultados do modelo "de ressão constante" na descarga através de válvulas foram confirmados exerimentalmente or Woods and Khan e Benson and Galloway [7]. Na alicação do modelo de ressão constante considera-se que o gás no interior do cilindro nas condições de estagnação 0 e T 0 se exande de forma isentróica através da secção de assagem da válvula até à secção mínima. A continuação da exansão, até se adatar à secção de assagem da conduta, é considerada adiabática e a ressão constante se o escoamento for subsónico ou com erda de ressão se for crítico. Considerando a Figura 3, as equações necessárias resultam da verificação da continuidade entre e, da conservação da energia entre 0, e e da exansão isentróica de um gás considerado erfeito, ρ u A = ρ u A, (.49) a0 = a + u = a + u, (.50) a a 0 = 0 ρ0 = ρ. (.5) 0 Figura 3 Notação utilizada nas equações que governam o escoamento através da válvula de escae 6

Modelo Numérico 3 -MODELO NUMÉRICO 3. - Método das características Exceto em certos casos articulares, não é ossível uma solução analítica ara um sistema de equações diferenciais às derivadas arciais de carácter hierbólico, elo que resta o recurso a uma solução numérica. O método das características consiste num rocedimento numérico, que ara situações mais simles ode ter uma imlementação gráfica, ara a resolução destas equações. Escoamentos bidimensionais em regime estacionário ou unidimensionais em regime não estacionário são o seu camo de alicação mais usual. Para escoamentos unidimensionais em regime não estacionário o rocedimento do método consiste na transformação or combinações lineares das duas equações, ( ) a = a x, t, ( ) u= u x, t, noutras duas, ( ) c= c x, t, ( ) c= c a, u, e, a artir destas equações rocurar uma relação entre c, a e u que ermita obter soluções ara a e u em função de x e t. Esta relação é conseguida segundo linhas no lano x-t, linhas características, C + e C -, ao longo das quais são avaliadas as variações de a e u. Uma combinação das derivadas substantivas das roriedades a e u ao longo das linhas características, juntamente com o conhecimento do declive daquelas linhas, ermite formar um sistema de equações diferenciais ordinárias que, ao longo das linhas características, é equivalente ao sistema inicial. A alicação do método é descrita no Anexo II considerando as diversas etaas agruadas da seguinte forma: J J i) - Rearranjo das equações; ii) - Introdução da Derivada Substantiva; iii) - Introdução das variáveis de Riemman ; iv) - Normalização das equações. As equações normalizadas obtidas desta forma, são + λ = β = q & + u f D s = & + a ( q & + u f ) a ( q & + u f ) a ( q u f ) a a da u + a dx da u a dx s f, (3.) x s + f, (3.) x. (3.3) 7

Modelo Numérico 3.. - Discretização das equações A discretização das equações 3., 3. e 3.3, tendo em consideração o significado dos oeradores diferenciais J +, J e D, de variação no temo das grandezas λ, β e s ao longo das resectivas linhas características, ode, considerando a notação indicada na Figura 4, ser executada da seguinte forma: λ 4 λ = t β 4 β = t s s 4 t q & + u = a f ( q & + u f ) a ( q & + u f ) a ( q & + u f ) a a da u dx da u dx + a a s x f, (3.4) s + f, (3.5) x. (3.6) t + t 4 λ s β t 3 x - x x x + x Figura 4 Malha comutacional Os valores de λ, β e s são obtidos or interolação entre os ontos x x 3 e x, ara λ e s, no caso do escoamento se dirigir da esquerda ara a direita, e x e x + x, ara β no temo t. 3 A interolação ara o cálculo de λ, β e 3 s no temo t ode assumir formas mais ou menos comlexas deendendo da recisão exigida. Um dos métodos ossíveis consiste na utilização dos valores de a e u, conhecidos ara o onto (x,t ), ara a estimativa do declive das linhas características. Neste onto, o declive das linhas características é, α λ =, (3.7) u + a 8

Modelo Numérico e, α β =, (3.8) u a α s =. (3.9) u 3.. Critério de estabilidade Para garantir a estabilidade do método é necessário assegurar que os ontos, e 3 da Figura 4 se encontram no intervalo [ x x,x + x ]. A roorção t x deverá ser ajustada em cada estágio do cálculo or forma a que aquela condição se verifique. Se o intervalo de discretização no esaço, x, for constante ao longo de todas as condutas, a discretização no temo vai então variar durante a resolução do roblema sendo o intervalo de temo máximo admissível, t, considerando o declive das linhas características calculado elas exressões 3.7 a 3.9, obtido or, t max = x a u. (3.0) + min max 3. - Alicação das condições iniciais e fronteira 3.. - Condições iniciais Não sendo relevantes, no caso, as condições em que inicialmente os gases se encontram no interior das condutas ara o regime forçado obtido, é admitido simlesmente que estes se encontram em reouso e nas condições referência de ressão e temeratura. Daqui resulta, e u (t ) = 0 ini, (3.) λ (t ini ) = β (t ini ) = a (t ini ). (3.) 3.. - Condições fronteira As condições fronteira necessárias à resolução das equações, ara a alicação resente, são: - extremidade de uma conduta fechada; - entrada numa conduta; - descarga de uma conduta; - junção de condutas. 9

Modelo Numérico donde, 3... - Extremidade fechada No caso de uma extremidade fechada verifica-se u= 0 (3.3) λ = a e β = a (3.4) sendo uma destas variáveis, λ ou β, calculadas a artir da malha interior. 3... Entrada do escoamento numa conduta Dois casos devem ser considerados no estabelecimento da condição fronteira a alicar na região de entrada do escoamento numa conduta. No rimeiro caso a secção de entrada é constante e igual à secção de assagem da conduta enquanto que no segundo, corresondendo a uma válvula de escae, a secção de assagem à entrada da conduta varia no temo. 3... - Secção de entrada igual à secção de assagem do tubo Este tio de condição fronteira será alicado na descarga de colectores ou silenciadores semre que a secção de entrada seja igual à secção de assagem da conduta. Na alicação das condições fronteira na região de entrada do escoamento numa conduta considera-se: i) inexistência de atrito e transmissão de calor desta região; ii) escoamento isentróico; iii) desrezáveis os efeitos da vena-contracta; iv) o comrimento da região de entrada equeno quando comarado com o comrimento total da conduta. Sendo esecificadas ara a entrada, a ressão de estagnação, 0, e a temeratura de estagnação, T 0, a entroia de estagnação do escoamento na entrada é calculada or s 0 = ln / ( ) ( T ) 0 0, (3.5) e, sendo a secção de entrada de diâmetro igual à secção de assagem do tubo, a evolução é assumida como isentróica donde, referenciando as várias secções conforme reresentado na Figura 5, s =. (3.6) s0 Para que o escoamento seja subsónico na região de entrada, a relação entre a ressão de estagnação e estática deverá verificar 0

Modelo Numérico ( ) / 0 + <. (3.7) Caso esta condição se verifique, o escoamento é subsónico e então, considerando a relação entre a ressão de estagnação e ressão estática ara um escoamento comressível em regime estacionário, 0 a u + =, (3.8) assumindo, =, (3.9) resulta 0 a u + =. (3.0) Substituindo, obtido or ( ) ( ) s e a =, (3.) em 3.0, rearranjando e simlificando obtém-se, finalmente 0 s 0 a u e a =, (3.) Figura 5 Notação utilizada nas equações fronteira ara a região de entrada do escoamento numa conduta (secção de assagem igual à secção de assagem da conduta) 0

Modelo Numérico que, conjuntamente com o valor da característica β calculada or alicação das equações ao longo da sua direcção característica ermite calcular λ na secção de entrada. Caso a condição imosta or 3.7 não se verifique, atendendo a que a secção de entrada tem semre características convergentes, o escoamento adquire condição crítica, u a =, (3.3) e, então, 0 + =. (3.4) Assim, substituindo 3. em 3.4, resulta finalmente 0 s e a =. (3.5) 3... Válvula de escae No caso de a entrada do escoamento na conduta se efectuar através de uma válvula a área de assagem na secção de entrada varia no temo. Maniulando as equações.49 a.5 conforme descrito or Kentfield [0], seguindo a notação indicada na Figura 6, as equações necessárias ao estabelecimento da condição fronteira são, + = 0 0 0 a u ln s s, (3.6) e, = a u a u 0 0 0 0 Ψ, (3.7) se o escoamento não tiver condição crítica na secção de entrada. A condição a verificar ara que tal aconteça é, 0 s e a + <. (3.8) O rocedimento iterativo ara a resolução conjunta destas equações assa or uma estimativa inicial de λ ou β com o qual é calculado um valor de u,

Modelo Numérico 3 u = β λ, (3.9) que alicado na equação 3.7 ermite obter. Este valor é então substituído na equação 3.6 ermitindo o cálculo de s. Com as estimativas assim obtidas de u, e s, sendo s e + = β λ, (3.30) uma nova estimativa de λ ou β ode ser calculada. Se o escoamento tiver condição crítica, então, ( ) + + = + 0 0 a u ln s s Ψ (3.3) e, ( ) s 0 0 0 e a a u a u + + = Ψ. (3.3) O método a utilizar na resolução simultânea destas equações é semelhante ao descrito ara o caso do escoamento subsónico. Figura 6 Notação utilizada nas equações a alicar na região de entrada do escoamento (Secção de entrada inferior à secção de assagem da conduta) 0

Modelo Numérico 3...3 - Condições de saída A condição fronteira na região de saída do escoamento ode ser esecificada em termos da ressão estática ou da ressão de estagnação no exterior da conduta conforme mais adequado ara a situação em causa. Na alicação das condições fronteira na saída do escoamento considera-se: i) inexistência de atrito e transmissão de calor desta região; ii) escoamento isentróico; iii) desrezáveis os efeitos da vena-contracta; iv) o comrimento da região de saída equeno quando comarado com o comrimento total da conduta. No caso da descarga dos gases ara a atmosfera torna-se conveniente utilizar a ressão estática exterior na determinação da condição fronteira a alicar. Podendo o escoamento na saída ser subsónico, sónico ou suersónico torna-se necessário verificar reviamente em que situação aquele se encontra. Tendo em consideração a relação entre a ressão estática e a ressão de estagnação ara um escoamento comressível (equação 3.8), a condição ara escoamento subsónico, 0 e a relação, + / ( ) / s ( a ) = e ( ), (3.33), (3.34) a condição a verificar ara um escoamento subsónico exlicitada na ressão de saída é, /( ) ( a ) e s u + + + a / ( ). (3.35) Figura 7 Notação utilizada nas equações fronteira ara a região de saída do escoamento de uma conduta 4

Modelo Numérico ou seja, a No caso de o escoamento ser subcrítico, a condição fronteira a alicar é, ( ) / s ( a ) = e, (3.36) ( ) / s = e. (3.37) Esta equação, conjuntamente com as variáveis λ ou β e s, determinadas ao longo das suas linhas características, ermite resolver as equações neste onto. u a Caso o escoamento adquira condições críticas na região de saída, então ± =, (3.38) deendendo do sentido do escoamento. Sendo, ara u > 0, então, a λ β = = + (3.39) 3 β = λ. (3.40) + Para u < 0, analogamente, 3 λ = β. (3.4) + Se uma onda de exansão, roagando-se ao longo do escoamento, não ode acelerar este até atingir número de Mach suerior a, já no caso de a entrada ser suersónica, ou de se tratar de uma onda de comressão, oderá o escoamento adquirir nesta região condição suersónica. Neste caso, considerando a relação de ressões estáticas numa onda de choque normal, ara escoamento com secção constante, Ma ( ) =, (3.4) + sendo Ma o número de Mach do escoamento róximo do choque, a condição a verificar será, < /( ) ( + ) ( a ) u a e ( ) s, (3.43) com a, u e s na secção adjacente à saída. Caso esta condição seja verificada, o escoamento torna-se indeendente das condições exteriores. 5