Extens~ao do isomorsmo C-H a (!; ^ ; _ )

Extens~ao do isomorsmo C-H a (!; ^ ; _ ) Extens~ao dos tipos simples a ^ (ou ) e a _ (ou + ) Extens~ao dos -termos tipicados a pares e somas disjuntas: Se M : e N : s~ao -termos, ent~ao < M; N : ^ e um -termo Se M : ^, ent~ao 1(M) :, 2(M) : e um -termo Se M : ent~ao in 1 _ (M) : _ e um -termo. Se M : ent~ao in 2 _ (M) : _ e um -termo Se M : _, L : 0 e K : 0 s~ao -termos, ent~ao case(m; x:l; y:k) : 0 onde x e y s~ao variaveis (de tipos e ) Ao contrario do -calculus n~ao tipicado, aqui n~ao se podem escrever os termos acima a custa de e aplicac~oes... onde e que ja vi isto... DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 1

Regras de infer^encia Correspondem a ^ E, ^ I, _ I e _ E, anotadas com termos... ` M : ` N : ^ I ` < M; N : ^ ` M : ^ ` 1(M) : ^ E 1 ` M : ` in _ 1 (M) : I 1 ` M : ^ ` 2(M) : ^ E 2 ` M : ` in _ 2 (M) : I 2 ` M : _ ; x : ` L : ; y : ` K : ` case(m; x:l; y:k) : ` M :? ` ()?E DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 2 _ E

Regras de reduc~ao A noc~ao de redex estende-se a estes constructores/destruidores: 1(< M; N )! M 2(< M; N )! N case(in _ 1 (N); x:l; y:k)! L[N=x] case(in _ 1 (N); x:l; y:k)! K[N=y] DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 3

Variac~oes e extens~oes do isomorsmo C-H sistemas axiomaticos estilo-hilbert e sistemas de logica combinatoria (IPC(! )corresponde a fb; C; K; Wg) calculos de sequents de Gentzen a logica proposicional classica (1990): interpretac~ao para o terceiro excludo a logica de primeira ordem intuicionista corresponde a sistemas de tipos dependentes a logica proposicional de segunda ordem intuicionista corresponde a sistemas de tipos polimorcos DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 4

Sistema de tipos L ; x : ` x : ` M : ; x : ` N : 0 (! L) ; y :! ` N[yM=x] : 0 ; x : ` M : (! R) ` (x:m) : (! ) ` M : ; x : ` N : (Corte) ` N[M=x] : Seja L cf o sistema sem a regra Corte DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 5

Seja N o sistema de tipos TA Proposic~ao 3.1. Para todo o e, `N M : ent~ao `L M :. Dem. Por induc~ao nas derivac~oes. (! E) `L M :! `L N : ; x : `L x : ; y :! `L yn : 2 `L MN : Lema 3.1. `N M : e M!? M 0, ent~ao `N M 0 :. Proposic~ao 3.2. Se `L M : ent~ao `N M 0 : e M 0!? M. E ent~ao, se `L M : ent~ao `N M :. Dem. (! L) ;x : `N M : `N N : `N (x:m) :! ;y :! `N N : ;y :! `N y :! ;y :! `N (x:m) :! ;y :! `N yn : ;y :! `N (x:m)(yn) : E (x:m)(yn)! M[yN=x]. Analogamente para Corte. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 6

2 Proposic~ao 3.3. Se M esta em forma normal e `N M : ent~ao `Lcf M : Teorema 3.1. Eliminac~ao do Corte (Hauptsatz)Se `LJ0 ent~ao `LJ 0 cf. Dem. `LJ0 ) 0 `L M : C H 0 `N M : 0 `N M nf : 0 `Lcf M nf : `LJ 0 cf C H DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 7 2

C-H para a logica proposicional classica A regra (:: E) pode ser denina em NK0 por: ;!? `? ` sendo :!?. Pode-se denir um novo operador tal que: ; x :!? ` M :? ` x:m : equivale a incorporar em programas puramente funcionais o tratamento de excepc~oes. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 8

Algumas Logicas Subestruturais I-termos: para cada subtermo x:m, x ocorre livre em M pelo menos uma vez BCK-termos: para cada subtermo x:m, x ocorre livre em M no maximo uma vez e cada variavel livre ocorre apenas uma vez BCI-termos (lineares): s~ao BCK e I A restric~ao destas classes a TA, corresponde os sistemas logicos (resp.): Logica de relev^ancia (R!): IPC(! )onde n~ao s~ao permitidos cancelamentos vazios (a hipotese deve ser relevante para a conclus~ao), ou seja a regra estrutural do enfraquecimento n~ao e permitida DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 9

Logica BCK: IPC(! )onde n~ao s~ao permitidos cancelamentos multiplos: ou vazios ou de uma so hipotese (informac~ao n~ao reusavel), ou seja, a regra estrutural da contrac~ao n~ao e permitida Logica BCI: IPC(! )onde cada cancelamento e exactamente de uma hipotese, ou seja, a regra estrutural da contrac~ao n~ao e permitida e os sequents n~ao podem ser vazios a esquerda BCI BCK IPC(! )(= BCKW) BCI R! IPC(! ) Pelo Isomorsmo de Curry-Howard: teoremas tipos de termos fechados R! I-termos BCK BCK-termos BCI BCI-termos DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 10

Calculi categoriais A ordem das premissas tambem e importante!: isto e a regra estrutural da permutac~ao tambem n~ao e permitida(para alem do enfraquecimento e do contrac~ao) 1. Ajdukiewicz (1935) So (! E) (aplicac~ao funcional, -termos sem ) 2. Bar-Hillel (1964):Calculo direcional: (=E) e (ne) n = 3. Lambek (1958): calculos de Lambek(Van Benthem 1983, relac~ao com o ICH) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 11

Calculo L sequ^encia n~ao nula ` ; ` ` = (=I) ` = ` (=E) ; ` ; ` ` n (ni) ` ` n (ne) ; ` ` ` ` [; ] ` (I) (E) ; ` [ ] ` L corresponde fracamente a gramaticas independentes de contexto (1995 e 1999) Outros: LP (com permutac~ao), NL (n~ao associativo), NLP (com permutac~ao, n~ao associativo) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 12

Calculo LP Calculo de Lambek com permutac~ao... =; n )! (LP) cada subtermo contem uma variavel livre nenhum subtermo contem mais que uma ocorr^encia livre de uma variavel cada ocorr^encia de um liga uma variavel (LP) ) derivac~oes em LP DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 13

Deduc~ao Natural generalizada [NvP01] Considerar regras de eliminac~ao para! e ^ semelhantes as do _. [] [] [;] []....... _ ^! _ E ^ E!E Vantagens: Resultados sobre a normalizac~ao e normalizac~ao forte Isomorsmo com os Calculos de Sequentes DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 14

Eliminac~ao do Corte em sistemas com axiomas[nvp01] Normalmente pretende-se usar os sistemas dedutivos com axiomas n~ao logicos (que caracterizem um dado domnio...). Normalmente para estes sistemas n~ao a eliminac~ao do Corte n~ao se verica. Mas isso pode ser feito para sistemas especiais de axiomas, transformando-os em regras que garantem a eliminac~ao do Corte. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 15

Outros sistemas dedutivos analticos Tableaux Sem^anticos Tableaux KE Calculo de estruturas DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 16

Tableaux Sem^anticos (LC) Para cada formula seja? e as correspondentes formulas com sinal. As regras dos tableaux podem ser denidas por: :? ( ^ ) ( _ ) j (! )? j?:?( ^ )? j??( _ )???(! )? DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 17

Uma derivac~ao por tableaux e uma arvore em que cada no e uma formula com sinal, obtida pelas regras acima. Um ramo e fechado se contem?p e p, para alguma formula atomica. Um tableaux e fechado se todos os seus ramos est~ao fechados. e uma tautologia sse existe um tableaux fechado para?. Exerccio 3.1. Obter um tableaux fechado para?((p ^ q) _ r)! ((p _ r) ^ (q _ r)) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 18

Sequents e Tableaux Considerar tableaux em que cada no e etiquetado por um conjunto de formulas com sinal. Se um no tiver f1; : : : n;? 1; : : :? mg, corresponde a um sequent 1; : : : ; n ` 1 : : : m. As regras de tableaux anteriores correspondem a um calculo de sequents para a logica classica sem Corte. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 19

Deci^encias dos Tableaux e eliminac~ao do Corte Um sequent ` e valido se em qualquer modelo, pelo menos uma das formulas de e verdade sempre que todas as formulas de s~ao verdade. No caso da regra do corte: ` ; ` ` Corte Para todos os modelos e para todas as formulas, ou e verdade ou e falsa.(que corresponde de algum modo ao terceiro excludo...principio da bival^encia) ( ;: ` ; ` ; ` :L ` ;: :R) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 20

No entanto, regra do Corte pode ser usada analticamente se a formula de corte ja existir como subformula. Por outro lado, os tableaux sem^anticos t^em muita redund^ancia com as regras que criam novos ramos (disjuntivos). p _ q; p _ :q; :p _ r; :p _ :r ` ; DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 21

Tableaux KE (LC) Introduz o princpio da Bival^encia e esta e unica regra que cria novos ramos.??? ^?!?:? ^?!?? _?? _? _??: j? PB DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 22

Um conjunto de formulas com sinal e n~ao satisfazvel sse existe um tableaux fechado em que a aplicac~ao de PB preserva a propriedade da subformula. Existem Tableaux KE para: logica intuicionista logicas substruturais logicas modais Assistente de Demonstrac~oes KE e bibliograa: http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/endriss/winke/ DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 23

Leituras [GLM97] Cap.4: 1.1-3.2 [PU96]Cap 1,3,4,5,6,7,8 [Hin97] Cap.6 [BG02] [NvP01] [?] Refer^encias [BG02] Henk Barendregt and Sylvia Ghilezan. Lambda terms for natural dedution, sequent calculus and cut elimination. J. of Functional Programming, 2002. [GLM97] Jean Goubault-Larrecq and Ian Mackie. Proof Theory and Automated Deduction. Kluwer Academic Press, 1997. [Hin97] J. Roger Hindley. Basic simple type theory. Number 42 in Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. CUP, 1997. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 24

[NvP01] Sara Negri and Jan von Plato. Structural Proof Theory. Cambridge University Press, 2001. [PU96] Morten B. Sorensen Pawel Urzyczyn. Lecture on the curry-howard isomorphism. Technical report, University of Copenhagen, 1996. http://zls.mimuw.edu.pl/ urzy/ftp.html. DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 3 25