FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 6.º Teste.º Ano de escolaridade Versão 5 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 5/6/7 É permitido o uso de calculadora gráfica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato, na sua forma mais simples. Nas questões de Escolha Múltipla indique, de forma clara, apenas a letra da opção que achar correta, sem apresentar cálculos ou justificações. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /7 Versão 5
. Na figura do lado encontra-se uma representação gráfica de uma função polinomial f, do 3.º grau, onde estão assinalados os pontos de interseção com os eios coordenados. (5).. Qual é o domínio da função g definida por g f? (A) \, (B) \, (C), \ (D), = \, Dg : f opção A (5).. Para que valor(es) de k a equação f k tem eatamente três soluções. (A) O gráfico de, (B) (C), (D), f obtém-se do gráfico de f mantendo os pontos de ordenada não negativa e transformando os de ordenada negativa nos seus simétricos em relação a O. Assim, o gráfico de tal como sugere a representação do lado. Portanto, a equação f passa a ter apenas imagens não negativas, f k tem eatamente três soluções quando k opção B (5).3. Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f. Qual dos gráficos representa a função g definida por h f. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /7 Versão 5
O gráfico de g f obtém-se do gráfico de f efetuando uma refleão de eio O, seguida de uma translação de uma unidade para cima, vetor v, opção A (5).4. Determine, analiticamente, o conjunto-solução da condição f f. Para resolver esta inequação recorremos a uma tabela de sinais, para estudar o sinal de cada fator e o sinal do produto. Zeros de Zeros de f : f : unidade para a direita O sinal de f e de, o gráfico de f obtém-se do de f é conhecido através do gráfico dado. f deslocando-o - - f + + + + + + f + + + + f f + + + + Portanto, S,, ().5. Escreva a epressão algébrica de f na forma de um polinómio fatorizado. Como - e são os zeros de f, sendo - um zero duplo, a epressão algébrica da função é do tipo f a, sendo a o coeficiente do monómio de maior grau. Sabemos também que o gráfico de f cruza O no ponto de ordenada, isto é, Assim, f a Portanto, f a 4 a f.. Na figura do lado encontram-se representadas graficamente as funções f e g, tais que: f é uma função afim definida por f ; g é uma função quadrática de vértice V 3, e que contém o ponto A,. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 3/7 Versão 5
(5).. Qual é o valor de g f? (A) (B) (C) 3 (D) Temos: g f = g f = g = 3 opção C f, pois, isto é, o objeto que tem imagem por f é o. (5).. Qual é o contradomínio da função h definida por h g (A) 3? 5, (B) 8, (C) 85, (D), 5 O contradomínio de h depende das transformações que afetam as imagens de g. Assim, como D' g 3 D' g, 3, temos: g3 3 g3 6 g 3 6 g 3 6 h 5 Logo, D' h 5, opção A g 4. (5).3. Mostre que a função g é definida por Sabemos que a função é do tipo g a h k. Como V h,k 3, temos g a 3 Sendo A, g, temos g, isto é, g Portanto, 3 = 4 4 3 = a 3 a4 4 a 4 4 3 = 4 c.q.m. ().4. Indique uma restrição de g que seja injetiva e caracterize a sua inversa. Como V 3,, a função h g 4 tal que Dh, g Determinemos a epressão algébrica de 4 Assim, 4 4 4 3 h. 4 6 4 4 3 3 é injetiva. 4 4 3, pois D' h Dh, e Dh D' h,3 h e Nota: A restrição h g 4 ao conjunto Dh, Neste caso, também serve. 3, Dh D' h,3 e D' h Dh, h ().5. Escreva a epressão algébrica de f sem usar módulos. Temos, f = = se se se = se Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 4/7 Versão 5
().6. Resolva, analiticamente, a condição f g. f g 4 4 4 4 4 3 5 Zeros: 3 3 5 5 58 5 7 3 5 5 7 5 7 3 Soluções S, 3 S, 5 7 5 7 S, 3,, 3 5 7 5 7 5 7 Logo, obtidas através do esboço dos gráficos (5).7. Qual dos gráficos seguintes representa a função f g? O gráfico de f g f g passa a ter três zeros; os dois de f, e o zero de h, que é. Assim, só as opções B e D podem representar f Temos também f g f g g. opção B 3. No referencial cartesiano da figura seguinte encontra-se uma representação gráfica da função f, definida por f 5. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 5/7 Versão 5
Sabe-se que: O gráfico da função f interseta o eio O no ponto A; O ponto P, de abcissa a, pertence ao gráfico da função f ; B é um ponto do eio O tal que, para cada posição do ponto P, tem-se AP () 3.. Determine, analiticamente, o domínio e o contradomínio da função f. 5 = : Df : 5 5 =, 5 Para temos 5, assim 5, portanto D' f,. (5) 3.. As coordenadas do ponto A são... 5 (A), (B), (C), Como o ponto A está no eio das abcissas, a sua abissa corresponde ao zero da função. BP., (D) Assim, f 5 5 5 4 Portanto, A, opção B (5) 3.3. Resolva, analiticamente, a equação f 3. f 3 5 3 5 4 5 8 6 Eq. Impossível Portanto, S 5 4 4 3644 48 6 (5) 3.4. Determine o valor eato do perímetro do triângulo [ABP] para a. Temos Perímetro ABP AB BP AP AB AP, pois AP BP a temos Para Assim, sendo P, f e AB AP' P' B AP', com P' a,, f 9, temos P, e A, Portanto, como o triângulo é isósceles, tem-se Perímetro ABPAP' AP Temos AP' 4 e AP 6 4 5 Logo, Perímetro ABP 4 5 8 4 5 u. comprimento Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/7 Versão 5
(5) 3.5. Qual é a área do triângulo [ABP] para a? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 AB h Temos Área ABP, sendo h f a f 5 Como o triângulo é isósceles, a abcissa de P é o ponto médio da sua base. Assim, AB AO 4 Portanto, Área ABP 4 5 = 5 = 5 opção D (5) 3.6. Mostre que a área do triângulo [ABP], em função a, é dada por: 5 A a a a AB h Temos Área ABP, sendo h f a a 5 Como o triângulo é isósceles, a abcissa de P é o ponto médio da sua base. Assim, AB a, sendo Portanto, Área ABP AP' a a p A a a 5 =a a 5 c.q.m. (5) 3.7. Eiste um valor de a, inferior a, para o qual o triângulo [ABP] tem 4 unidades de área. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o valor de a, com aproimação às centésimas. Reproduza, num referencial adequado, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificados. Temos de descobrir o valor de Reproduzindo a função a que é solução da equação a a Aa, usando a janela [-3,][,5], obtemos a representação gráfica da figura do lado. Introduzido a função 4, obtemos uma reta que cruza Aa num único ponto. Como o comando G-SOLV, INTESECT, obtemos o ponto de interseção das duas funções. Assim, a área do triângulo é igual a 4 para a 8, 7 ( c.d.). Outro processo Transformar a equação a a 5 4 em a a De seguida procurar o zero da função g a a a 5 4 5 4. 5 4 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 7/7 Versão 5