RESOLUÇÃO DA LISTA II P3 9.25) Determine a expressão em regime permanente i o (t) no circuito abaixo se v s = 750cos (5000t)mV Z L = jωl = 40 0 3 5000 Z L = 200j Z C = jωc = j 5000 0,4 0 6 Z C = 500j Sabemos que a corrente no domínio dos fasores pode ser calculada com a seguinte relação I = V s Z eq A impedância equivalente é a soma simples das impedâncias dos componentes Então: Z eq = 400 + j200 500j = (400 j300) Ω I = 750m 0o 400 j300 Antes de calcular I, devemos transformar a impedância equivalente que está na forma retangular para a forma polar: 400 j300 = 400 2 + ( 300) 2 atan ( 300 400 )
I = Por fim voltamos ao domínio do tempo 400 j300 = 500 36,87 o Ω 750m 0o 750m = 500 36,87o 500 (0o ( 36,86 o )) I =,5m 36,87 o i(t) =,5 cos(5000 t + 36,87 o ) ma 9.26) O circuito abaixo está em regime permanente senoidal. Determine o valor de ω se: i o = 00 sen(ωt + 8,87 o ) ma v g = 50 cos(ωt 45 o ) V Note que a corrente está defina na função seno e a tensão cosseno, como deduzimos o fasor pela relação cosseno, primeiro devemos colocar a corrente em função cosseno, sabe-se que: cos(ωt 90 o ) = sen(ωt) Caso tenha dúvidas em relação as conversões trigonométricas, utilize a calculadora para verificar as igualdades.
Portanto: Sabemos que: i o = 00 cos(ωt + 8,87 o 90 o ) = 00 cos(ωt 8,3 o )ma v g = 50 cos(ωt 45 o ) V I o = V g Z eq As equações que definem i o e v g foram informadas pelo exercício, portando podemos encontrar a forma polar que define a impedância equivalente pela relação entre I o e V g e igualarmos com a associação em série das impedâncias. Assim teremos uma equação cuja a incógnita é o ω. Z eq = 50 45o 00m 8,3 o = 500 36,87o Ω x = 500 cos( 36,87) = 400 y = 500 sen( 36,87) = 300 Z eq = 400 j300 Ω Pela associação em série das impedâncias temos: Igualando: Z eq = 400 + j(40 0 3 ω 400 j300 = 400 + j(40 0 3 ω R(400) = R(400) OK I( 300) = I (40 0 3 ω 300 = 40 0 3 ω 2,5 06 ) ω 2,5 06 ) ω 2,5 06 ) ω 2,5 06 ω 300ω = 40 0 3 ω 2 2,5 0 6
40 0 3 ω 2 + 300ω 2,5 0 6 = 0 ω,2 = b ± b2 4ac 2a ω,2 = 300 ± 3002 4 40 0 3 ( 2,5 0 6 ) 2 40 0 3 ω,2 = 300 ± 700 = 3750 ± 8750 2 40 0 3 Como só podemos ter uma frequência angular positiva: ω = 5000 rad/s 9.27) Determine a expressão de regime permanente para v o no circuito abaixo se i g = 200 cos(5000t) ma. Primeiramente associamos as impedâncias afim de configurarmos um divisor de corrente Z = 240 + = 240 j80 Ω j 5000 2,5 0 6 Z 2 = 80 + j 5000 48 0 3 = 80 + j240 Ω
Pelo princípio do divisor de corrente calculamos I. Lembrando todos os métodos de análise de circuitos vistos com circuitos resistivos simples, são validos para análise em corrente alternada. I = 0,2 0 o I = I g Z 2 Z + Z 2 80 + j240 (240 j80) + (80 + j240) I = 0,2 0 o 80 + j240 320 + j60 Transformando todos os números complexos para a configuração polar I = 0,2 0 o 802 + 240 2 atan ( 240 80 ) 320 2 + 60 2 atan ( 60 320 ) I = 0,2 0 o 252,98 7,56o 357,77 26,56 o I = (0,2 ( 252,98 357,77 )) (0o + (7,56 o 26,56 o )) I = 4,42 0 3 45 o Para calcular V o basta multiplicar a corrente I pela impedância do resistor de 240Ω V o = (4,42 0 3 45 o ) (240 + j0) V o = (4,42 0 3 45 o ) (240 0 o ) V o = 33,94 45 o V No domínio do tempo temos: v o = 33,94 cos(5000t + 45 o ) V
9.28) O circuito abaixo está em regime perante senoidal. Determine a expressão de regime permanente para v o (t) se v g = 64 cos(8000t) V Uma vez que a tensão v o é igual a tensão do resistor, do indutor e também da associação em paralelo desses componentes, então: Z eq = Z eq = (2000 + j0) (0 + j4000) Z eq = (2000 + j0) (0 + j4000) (2000 + j0) + (0 + j4000) Z eq = (2000 0o ) (4000 90 o ) 2000 + j4000 8 0 6 90 o 8 0 6 90 o 2000 2 + 4000 2 atan ( 4000 = 2000 ) 4472,3 63,43 o Z eq = 8 06 90 o 4472,3 63,43 o = 788,86 26,57o Ω Calculando V o pelo divisor de tensão: V o = V g Z eq = 64 0 o 788,86 26,57 o Z eq + Z C 788,86 26,57 o + (0 j4000) 788,86 26,57 o = 788,86(cos(26,57 o ) + jsen(26,57 o ))
788,86 26,57 o = 600 + j800,4 V o = 64 0 o 788,86 26,57 o (600 + j800,4) + (0 j4000) V o = 64 0 o V o = 64 0 o 788,86 26,57o 600 j399,86 788,86 26,57 o 600 2 + ( 399,86) 2 atan ( 399,86 600 ) V o = 64 0 o 788,86 26,57 o 3577,58 63,43 o V o = (64 ( 788,86 3577,58 )) (0o + (26,57 o + ( 63,43 o ))) V o = (64 ( 788,86 3577,58 )) (0o + (26,57 o + ( 63,43 o ))) V o = 32 90 o Voltando para o domínio do tempo temos: v o (t) = 32 cos(8000t + 90 o ) V
9.40) Use transformações de fonte para determinar o circuito equivalente do Thévenin visto a partir dos terminais a,b para o circuito abaixo: 2 3 4 5 6 Passo -2 (Associação de impedâncias): Z eq = (0 j22) + (0 + j44) = j8 Ω Passo 2-3 (Transformação de fontes): I s = V s Z = 75 0o j8 = 75 0o 8 90 o = 4,67 90o A
Passo 3-4 (Impedâncias em paralelo): Z eq = (0 + j8) (24 + j0) = Z eq = (0 + j8) (24 + j0) (0 + j8) + (24 + j0) = (8 90o ) (24 0 0o ) 24 + j8 432 90 o 432 90 o 24 2 + 8 2 atan ( 8 = = 4,4 53,3o 24 ) 30 36,87o Z eq = 4,4 53,3 o = 4,4 (cos(53,3) + jsen(53,3)) = 8,64 + j,52 Ω Passo 4-5 (Transformação de fontes): V s = I s Z = (4,67 90 o ) (4,4 53,3 o ) = 60 36,87 o V Passo 5-6 (Expandir componentes): A impedância equivalente de Thévenin possui uma parte real e uma parte imaginária. A parte real representa um resistor (uma vez que o resistor possui apenas a parte real), a parte imaginária pode representar um indutor ou um capacitor, caso a impedância seja negativa essa componente irá representar um capacitor, pois os capacitores possuem impedância negativa (Z C = = j ), jωc jωc caso a impedância seja positiva essa componente irá representar um indutor (Z L = +jωl). Neste caso temos um indutor pois.
9.62) Use o conceito da divisão de tensão para determinar a expressão de regime permanente para v o (t) se v g (t) = 75 cos(5000t) V. O enunciado pede para que calculemos a tensão entre a associação do resistor de 600Ω em série com o capacitor de 250nF. Portanto vamos realizar as associações e utilizar o divisor de tensão. Z = (300 + j0) + (0 + j2000) = 300 + j2000 Z 2 = (600 + j0) + (0 j800) = 600 j800 V o = 75 0 o Voltando para o tempo temos: Z 2 V o = V g Z 2 + Z 600 j800 (600 j800) + (300 + j2000) V o = 75 0 o 600 j800 900 + j200 V o = 75 0 o 6002 + ( 800) 2 atan ( 800 600 ) V o = 75 0 o 900 2 + 200 2 atan ( 200 900 ) 000 53,3o 500 53,3 o V o = (75 ( 000 500 )) 0o + ( 53,3 o 53,3 o ) V o = 50 06,26 o v o (t) = 50 cos (5000t 06,26 o )V
4.) De acordo com o filtro: L = 250mH R =,5KΩ a) Determine a frequência de corte em Hz para o filtro RL. ω o = R L,5 03 = = 6000 rad/s 250 0 3 b) Calcule H(ω) em ω = ω 0, ω = 0, 3ω 0 e ω = 3ω 0 A função transferência, de forma genérica, é descrita por: H(ω) = R R + jωl = + jω L = R + j ω ω o ω = ω o H(ω o ) = + j ω = o + j = 0 o ω o 2 + 2 atan ( = 0o ) 2 45 o H(ω o ) = 0,707 45 o H(0,3 ω o ) = + j 0,3 ω = o ω o ω = 0, 3 ω o + j0,3 = 0 o 2 + 0,3 2 atan ( 0,3 = ) H(0,3 ω o ) = 0,958 6,70 o 0 o,044 6,70 o
H(3 ω o ) = + j 3 ω = o ω o ω = 3 ω o + j3 = 0 o 2 + 3 2 atan ( 3 = ) H(3 ω o ) = 0,36 7,56 o 0 o 3,62 7,56 o c) Se v = 50 cos (ωt), escreva a expressão em regime permanente para v o quando ω = ω 0, ω = 0, 3ω 0 e ω = 3ω 0 Como já sabemos a amplitude da função transferência para as frequências de: ω = ω 0, ω = 0, 3ω 0 e ω = 3ω 0 Basta multiplicarmos a amplitude da função transferência (ganho de tensão) por 50 e mantermos o avanço da fase. v(t) = 50 0,707 cos(6000t 45 o ) = 35,35 cos(6000t 45 o ) V v(t) = 50 0,958 cos((6000 0,3)t 6,70 o ) = 47,9 cos(800t 6,70 o ) V v(t) = 50 0,36 cos((6000 3)t 7,56 o ) = 5,8 cos(8000t 7,56 o ) V 4.4) De acordo com o filtro: C = 4nF R = 20KΩ
a) Determine a frequência de corte em Hz do filtro passa baixas. ω o = RC = 20 0 3 = 2500 rad/s 4 0 9 b) Calcule H(ω) em ω = ω 0, ω = 0, 2ω 0 e ω = 8ω 0 A função transferência, de forma genérica, é descrita por: H(ω) = jωc R + jωc = + jωrc = + j ω ω o ω = ω o H(ω o ) = + j ω = o + j = 0 o ω o 2 + 2 atan ( = 0o ) 2 45 o H(ω o ) = 0,707 45 o H(0,2 ω o ) = + j 0,2 ω = o ω o ω = 0, 2 ω o + j0,2 = 0 o 2 + 0,2 2 atan ( 0,2 = ) H(0,2 ω o ) = 0,980,3 o 0 o,020,3 o H(8 ω o ) = + j 8 ω = o ω o ω = 8 ω o + j8 = 0 o 2 + 8 2 atan ( 8 = ) H(8 ω o ) = 0,24 82,87 o 0 o 8,062 82,87 o c) Se v = 480 cos (ωt)mv, escreva a expressão em regime permanente para v o quando ω = ω 0, ω = 0, 2ω 0 e ω = 8ω 0
Como já sabemos a amplitude da função transferência para as frequências de: ω = ω 0, ω = 0, 2ω 0 e ω = 8ω 0, basta multiplicarmos a amplitude da função transferência (ganho de tensão) por 480m e mantermos o avanço da fase. v(t) = 480 0,707 cos(2500t 45 o ) m = 339,36 cos(2500t 45 o ) mv v(t) = 480 0,980 cos((2500 0,2)t 6,70 o ) = 470,4 cos(2500t 6,70 o )m V v(t) = 480 0,24 cos((2500 8)t 7,56 o ) = 59,52 cos(00000t 7,56 o )m V 4.2) Usando um capacitor de 20nF projete um filtro passa altas com frequência de corte igual a 800Hz a) Especifique o valor de R em KΩ A unidade de frequência para calcularmos a resistência do resistor e a capacitância do capacitor é rad/s, portanto, devemos converter Hz rad/s ω = 2πf ω o = 2π800 = 5026,54 rad/s A equação que define a frequência de corte de um filtro passa altas RC é: Portanto: ω o = RC R = ω o C = = 9,95KΩ 5026,54 20 0 9
b) Um resistor de 68kΩ é ligado aos terminais de saída do filtro. Qual é a frequência de corte, em Hz, do filtro carregado: Se um resistor for conectado aos terminais de saída do filtro, calculamos a nova frequência de corte associando, em paralelo, o resistor do filtro com o resistor de carga. R eq = 9,95K 68K = 9,95 03 68 0 3 9,95 0 3 + 68 0 3 = 8,68KΩ ω o2 = RC = 8,68 0 3 = 5760,37 rad/s 20 0 9 ω = 2πf f o = 5760,37 2π = 96,8 Hz
4.3) Usando um indutor de 25mH, projete um filtro passa altas RL, com uma frequência de corte de 60k rad/s a) Especifique o valor da resistência ω o = 60K rad/s A equação que define a frequência de corte de um filtro passa altas RL é: ω o = R L Portanto: R = ω o L = 60 0 3 25 0 3 = 4KΩ Não é necessário resolver o item b. Pois o item requer uma nova dedução. De qualquer forma o exemplo 4.4 (Nilsson), aborda esse exemplo