Duração: 90 miutos Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec Justifique coveietemete todas as respostas! 2 o semestre 2015/2016 09/06/2016 11:00 2 o teste B Grupo I 10 valores 1. Seja (X 1, X 2,..., X ) uma amostra aleatória de uma população X com parâmetro θ, θ > 0, possuido fução desidade de probabilidade θx θ 1 0 < x < 1, f X (x) 0 caso cotrário, pelo que E[X ] θ θ+1 e E[X 2 ] θ θ+2. (a) Determie o estimador de máxima verosimilhaça do parâmetro θ. (3.0) F.d.p. de X θx θ 1 0 < x < 1 f X (x) 0 caso cotrário Parâmetro descohecido θ, θ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de θ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(θ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X ( θx θ 1 i ) ( ) θ 1 θ x i, θ > 0 Passo 2 Fução de log-verosimilhaça ll(θ x) l(θ) + (θ 1) l(x i ) Passo 3 Maximização f X (x i ) [ ode l(x i ) < 0 já que x i (0,1), i 1,...,.] A estimativa de MV de θ é doravate represetada por ˆθ e atete-se que ˆθ ar g max θ L(θ x) ar g max θ ll(θ x). Neste caso em particular: d ll(θ x) dθ 0 (poto de estacioaridade) θ ˆθ ˆθ : d 2 ll(θ x) θ < 0 (poto de máximo) dθ 2 ˆθ ˆθ + l(x i ) 0 ṋ θ < 0 2 ˆθ l(x i ) ṋ θ 2 [ l(x i )] 2 < 0 proposição verdadeira pois N Págia 1 de 8
Passo 4 Estimador de MV de θ ˆλ l(x i ) (b) Tedo em vista a estimação do valor esperado de X, compare a eficiêcia do estimador X (1.5) relativamete ao estimador T 2X 1 X. Parâmetro descohecido µ E(X ) Estimador de µ E(X ) X Erro quadrático médio de X EQM µ ( X ) V ( X ) + [ bi as µ ( X ) ] 2 [ode V (X ) V ( X ) + [ E( X ) µ ] 2 X i i.i.d. X V (X ) + [E(X ) E(X )]2 V (X ) ( ) 2 θ θ+2 θ θ+1 θ.] (θ+2)(θ+1) 2 Outro estimador de µ E(X ) T 2X 1 X Erro quadrático médio de T EQM µ (T ) V (T ) + [ bi as µ (T ) ] 2 V (T ) + [ E(T ) µ ] 2 V (2X 1 X ) + [E (2X 1 X ) E(X )] 2 X i i.i.d. X 5V (X ) + [E(X ) E(X )] 2 5V (X ) Eficiêcia do estimador X relativamete ao estimador T X 1+X 10 2 e µ ( X,T ) EQM µ(t ) EQM µ ( X ) Cometário 5V (X ) V (X ) 5 Tedo em cota que N, temos e µ ( X,T ) 5 > 1 (i.e., EQM µ (T ) > EQM µ ( X )), pelo que pode afirmar-se que X é um estimador mais eficiete que T 2X 1 X o que respeita à estimação de µ E(X ). 2. O limite de resistêcia à tração de cabos idividuais de determiado tipo produzidos uma fábrica por cada um de dois métodos, A e B, possui distribuição ormal em ambos os casos. Da experiêcia acumulada, sabe-se que o valor esperado do limite de resistêcia à tração de cabos produzidos pelo método tradicioal A é igual a 1800 lb. Para avaliar a viabilidade de passar a usar o método B o fabrico desse tipo de cabos, um egeheiro de materiais realizou esaios de tração que evolveram 25 cabos produzidos pelo método B, selecioados ao acaso, tedo obtido valores com média e variâcia amostrais de 1806.3 lb e 71.24 lb 2, respetivamete. (a) Obteha um itervalo de cofiaça a 95% para o desvio padrão do limite de resistêcia à tração de (2.5) Págia 2 de 8
cabos idividuais produzidos pelo método B. V.a. de iteresse X limite de resistêcia à tração (LRT) de cabo produzido de acordo com o método B Situação X ormal(µ,σ 2 ) µ descohecido σ 2 DESCONHECIDO Obteção do IC para σ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para σ ( 1)S2 Z χ 2 ( 1) σ 2 uma vez que é suposto determiar um IC para a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido. Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que 25 e (1 α) 100% 95%, far-se-á uso dos quatis { P(a α Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/2. a α F 1 (α/2) F 1 t abel a/calc. (0.025) 12.40 χ 2 ( 1) χ 2 (24) b α F 1 (1 α/2) F 1 (0.975) χ 2 ( 1) χ 2 (24) Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α ] P [a α ( 1)S2 b σ 2 α 1 α P P [ 1 b α [ ( 1)S 2 σ2 1 ( 1)S 2 b α σ Passo 4 Cocretização ] a α 1 α ] ( 1)S 2 a α 1 α Atededo ao par de quatis acima e ao facto de IC (1 α) 100% (σ) ( 1) s2 F 1 (1 α/2), χ 2 ( 1) segue-se: IC 90% (σ) s 2 71.24, F 1 χ 2 ( 1) t abel a/calc. 39.36. ( 1) s2 (α/2) [ ] (25 1) 71.24 (25 1) 71.24, 39.36 12.40 [ 43.439, 137.884] [6.590, 11.742]. (b) A gestora da fábrica afirma que o valor esperado do limite de resistêcia à tração de cabos (3.0) produzidos pelo método B é igual ao dos produzidos pelo método A. Cosidera que a opiião da gestora é suportada pelos dados ao ível de sigificâcia de 5%? Págia 3 de 8
Hipóteses H 0 : µ µ 0 1800 H 1 : µ µ 0 N.s. α 0 5% Estatística de teste T X µ 0 S H0 t ( 1) pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal, com variâcia descohecida. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de um teste bilateral (H 1 : µ µ 0 ), a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é do tipo W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., Decisão c : P(T W H 0 ) α 0 2 [ 1 F t( 1) (c) ] α 0 c F 1 t ( 1) (1 α 0 /2) c F 1 t (24) (0.975) c Uma vez que 25 x 1806.3 s 71.24 t abel a/calc. 2.064. o valor observado da estatística de teste é igual a t x µ 0 s 1806.3 1800 71.24 25 3.732. Como t 3.732 W (, 2.064) (2.064,+ ), devemos rejeitar H 0 ao.s. α 0 5% [ou a qualquer.s. superior a α 0 5%]. Grupo II 10 valores 1. Um modelo geérico especifica que as platas de certa espécie se distribuem etre quatro categorias (4.0) (1,2,3,4) de acordo com as seguites proporções: p 1 0.656, p 2 p 3 0.093 e p 4 0.158. Selecioadas ao acaso 197 platas dessa espécie, obtiveram-se as seguites frequêcias observadas: o 1 125, o 2 18, o 3 20 e o 4 34. Averigúe, aplicado um teste apropriado, se tal modelo geérico é cosistete com este cojuto de dados. Decida com base o valor-p. V.a. de iteresse e f.p. X categoria da plata { P(X i ), i 1,2,3,4 p i 0, caso cotrário Págia 4 de 8
Hipóteses H 0 : p i p 0 i, ode p0 1 0.656, p0 2 0.093, p0 3 0.093, p0 4 0.158 H 1 : p i p 0, para algum i i Estatística de teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β 1), ode: k No. de classes 4 (categorias) O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 [dado que a distribuição cojecturada em H 0 completamete especificada, i.e., H 0 é uma hipótese simples.] está Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Ao efectuarmos um teste de ajustameto do qui-quadrado a região de rejeição de H 0 é um itervalo à direita W (c, + ). Cálculo das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 As frequêcias absolutas esperadas sob H 0 são dadas por E i p 0 i E 1 197 0.656 129.232 E 2 197 0.093 18.321 E 3 197 0.093 18.321 E 4 197 0.158 31.126. (i 1,2,3,4) e iguais a [Importa otar que ão é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e E i 1 para todo o i.] Decisão (com base o p-value) No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Assim, temos t i Freq. abs. obs. Freq. abs. esper. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste o i E i p 0 i (o i E i ) 2 E i 1 125 129.232 2 18 18.321 3 20 18.321 4 34 31.126 4 o i 197 4 (o i E i ) 2 0.57. E i [125 129.232] 2 129.232 0.145 [18 18.321] 2 18.321 0.006 [20 18.321] 2 18.321 0.154 [34 31.126] 2 31.126 0.265 4 E i 197 t 4 (o i E i ) 2 E i 0.57 Uma vez que a região de rejeição de H 0 é para este teste um itervalo à direita temos: valor p P(T > t H 0 ) P[T > 0.57 H 0 ] 1 F χ 2 (4 1 0) (0.57) calc. 0.903265. Págia 5 de 8
Cosequetemete, é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 90.3265%, pelo que o modelo geérico é cosistete com os dados a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia (1%, 5% e 10%); rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 90.3265%. [Em alterativa, poderíamos recorrer às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado com 2 graus de liberdade e adiatar um itervalo para o valor-p: F 1 χ 2 (3) (0.075) 0.472 < t 0.57 < 0.584 F 1 (0.10) χ 2 (3) 0.075 < F χ 2 (0.57) < 0.10 (3) 1 0.10 < 1 F χ 2 (0.57) < 1 0.075 (3) 0.90 < valor p < 0.925. Logo o itervalo para o valor-p é (0.90,0.925) e é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 90.0%, pelo que o modelo geérico é cosistete com os dados a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia (1%, 5% e 10%). rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 92.5%.] 2. O Archaeopteryx é um aimal extito, tedo peas como um pássaro bem como detes e uma cauda óssea como um réptil. As medições de comprimetos em cetímetros do fémur (osso da pera), x, e do úmero (um osso do braço), Y, para dez espécimes fósseis que preservam os dois ossos, coduziram aos seguites resultados: 10 x i 580, 10 x2 i 35080, 10 y i 657, 10 y 2 i 45251, 10 x i y i 39829 (a) Obteha as estimativas de miímos quadrados dos parâmetros da reta de regressão liear simples (2.0) de Y em x e iterprete a estimativa do parâmetro β 1 do modelo. Estimativas de β 0 e β 1 Dado que 10 x i 580 x i 580 10 58 x 1 x2 i 35080 x2 i ( x)2 35080 10 58 2 1440 y i 657 ȳ 1 y i 657 10 65.7 y 2 i 45251 y 2 i (ȳ)2 45251 10 65.7 2 2086.1 x i y i 39829 x i y i x ȳ 39829 10 58 65.7 1723, as estimativas de β 1 e β 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: ˆβ 1 x i y i xȳ x2 i ( x)2 1723 1440 1.196528 Págia 6 de 8
ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x 65.7 1.196528 58 3.698611 Iterpretação da estimativa de β 1 ˆβ 1 1.396226 Estima-se que um aumeto de um cm o comprimeto do fémur esteja associado a um aumeto o valor esperado do comprimeto do úmero de aproximadamete 1.196528 cm. (b) Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder por coveietes, obteha um itervalo (4.0) de cofiaça a 90% para o valor esperado do comprimeto do úmero de um espécime fóssil cujo fémur tem 74 cm de comprimeto. Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0,σ 2 ), i 1,..., β 0, β 1 e σ 2 DESCONHECIDOS Obteção do IC para E(Y x 0 ) β 0 + β 1 x 0 Passo 1 V.a. fulcral para E(Y x 0 ) β 0 + β 1 x 0 Z ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 ) (β 0 + β 1 x 0 ) [ ] t ( 2) ˆσ 2 1 + (x 0 x) 2 x2 i x2 Passo 2 Quatis de probabilidade Já que (1 α) 100% 90%, temos α 0.10 e lidaremos com os quatis { P(a α Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/2. a α Ft 1 ( 2) (α/2) F 1 t abel a/calc. t (10 2) (1 0.10/2) 1.860 b α Ft 1 t abel a/calc. (10 2) (1 0.10/2) 1.860. Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α P a α ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 ) (β 0 +β 1 x 0 ) [ ] b α 1 α 1 (x 0 x)2 x i 2 x2 ˆσ 2 + [ P ( ˆβ 0 + ˆβ [ ] 1 x 0 ) b α ˆσ 2 1 + (x 0 x) 2 x2 i β 0 + β 1 x 0 x2 ( ˆβ 0 + ˆβ [ ] ] 1 x 0 ) a α ˆσ 2 1 + (x 0 x) 2 x2 i 1 α x2 Passo 4 Cocretização Uma vez que a estimativa de σ 2 é igual a [( ) ( )] ˆσ 2 1 y 2 i 2 ȳ 2 ( ˆβ 1 ) 2 x 2 i x2 1 ( 2086.1 1.196528 2 1440 ) 10 2 3.060234 e a expressão geral do IC pretedido é Págia 7 de 8
IC (1 α) 100% (β 0 + β 1 x 0 ) [ ( ˆβ 0 + ˆβ [ ] ] 1 x 0 ) ± Ft 1 ( 2) (1 α/2) ˆσ 2 1 + (x 0 x) 2 x2 i, x2 temos IC 90% (β 0 + β 1 74) [ [ ] ] ( 3.698611 + 1.196528 74) ± 1.860 3.060234 1 10 + (74 58)2 1440 [84.844461 ± 1.860 0.921990] [84.844461 ± 1.71490] [83.129560, 86.559362]. Págia 8 de 8