Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Exame Época Especial 2016/2017 24/07/2017 09:00 Duração: 3 horas Justifique coveietemete todas as respostas Grupo I 5 valores 1. Uma compahia de seguros divide os seus clietes em três classes A, B e C. De acordo com os registos desta compahia: 20%, 50% e 30% dos clietes pertecem às classes A, B e C (respetivamete); 5%, 15% e 30% dos clietes das classes A, B e C (respetivamete) estiveram evolvidos em acidetes o último ao. Admitido que se selecioou ao acaso um cliete desta compahia, calcule: (a) A probabilidade de o cliete selecioado ter estado evolvido em acidetes o último ao. (1.5) Quadro de acotecimetos e probabilidades Eveto Probabilidade A {cliete pertece à classe A} P(A) 0.2 B {cliete pertece à classe B} P(B) 0.5 C {cliete pertece à classe C } P(C ) 0.3 E {cliete evolvido em acidetes o último ao} P(E)? Probabilidade pedida Ao aplicar-se a lei da probabilidade total, obtemos P(E A) 0.05 P(E B) 0.15 P(E C ) 0.30 P(E) P(E A) P(A) + P(E B) P(B) + P(E C ) P(C ) 0.05 0.2 + 0.15 0.5 + 0.3 0.3 0.175. (b) A probabilidade de o cliete selecioado pertecer à classe A sabedo que ão esteve evolvido (1.0) em acidetes o último ao. Prob. pedida Tirado partido do teorema de Bayes, segue-se P(A E ) (a) P(E A) P(A) P(E ) 1 P(E A)] P(A) 1 P(E) (1 0.05) 0.2 1 0.175 0.230303. 2. Cosidere uma ura cotedo 3 bolas bracas e 27 bolas pretas. Admita que um jogador retira duas bolas dessa ura, ao acaso e sem reposição, recebedo um prémio caso retire duas bolas bracas. (a) Qual é a probabilidade de o jogador receber o prémio? (1.5) Variável aleatória de iteresse X úmero de bolas bracas em extracção de 2 bolas, ao acaso e SEM reposição, de uma ura cotedo 3 bolas bracas e 27 bolas pretas Págia 1 de 11
Distribuição de X X Hipergeométrica(N, M,) com: N 3 + 27 30 (bolas a ura); M 3 (bolas bracas); 2 (bolas extraídas ao acaso e SEM reposição). F.p. de X P(X x) f or m. ( M x )( N M x ), x max{0, (N M)},...,mi{, M} ( N ) 0, caso cotrário ( x)( 3 30 3 2 x ), x 0,1,2 ( 30 2 ) 0, caso cotrário Prob. pedida O jogador receberá o prémio com probabilidade ( 3 30 3 ) 2)( P(X 2) 2 2 ( 30 ) 2 3! 2!(3 2)! 27! 0!(27 0)! 30! 2!(30 2)! 3 1 30 29 2 2 290 1 145 0.006897. (b) Cosidere que o jogador efetua uma sequêcia de 100 extrações idepedetes de duas bolas ao (1.0) acaso e sem reposição. Determie a probabilidade de o jogador receber 2 ou mais prémios. Nota: Caso ão teha resolvido a alíea (a), cosidere que a probabilidade de o jogador receber o prémio é igual a 0.006897. Variável aleatória de iteresse Y úmero de prémios recebidos em 100 extracções idepedetes Distribuição de Y Y Biomial(, p), com 100 e p 0.006897 F.p. de Y P(Y y) ( 100) y 0.006897 y (1 0.006897) 100 y, y 0,1,2,...,100 Prob. pedida P(Y 2) 1 P(Y 1) ( ) 1 100 1 0.006897 y (1 0.006897) 100 y y y0 1 (1 0.006897) 100 100 0.006897 (1 0.006897) 99 0.151858. Grupo II 5 valores 1. O atraso (em miutos) de um voo etre Lisboa e Porto em determiada compahia aérea é uma variável Págia 2 de 11
aleatória X com fução de distribuição 0, x < 6 ( ) 1 F X (x) 2 + 1 288 36x x3 3, 6 x < 6 1, x 6, ode os valores egativos de X idicam adiatameto do voo. (a) Calcule a mediaa de X. (1.0) Variável aleatória de iteresse X atraso (em miutos) de um voo etre Lisboa e Porto em determiada compahia aérea Obteção da mediaa de X Tratado-se de uma v.a. cotíua, tem-se me(x ) x ( 6,6) : F X (x) 0.5 1 2 + 1 ) (36x x3 1 288 3 2 108x x 3 0 3 x (108 x 2 ) 0 dado que ± 108 ( 6,6). x 0 ou x ± 108 ±10.392305 x 0 (b) Qual a probabilidade de um voo etre Lisboa e Porto se atrasar pelo meos 1 miuto? E de se (1.0) adiatar pelos meos 3 miutos? Prob. pedidas A probabilidade de um voo se atrasar pelo meos 1 miuto é P(X 1) 1 P(X < 1) 1 F X (1) 1 1 2 + 1 288 325 864 0.376157, ( 36 1 )] 3 ao passo que a de um voo se adiatar pelos meos 3 miutos é dada por P(X 3) F X ( 3) 1 2 + 1 ] 36 ( 3) ( 3)3 288 3 5 32 0.15625, respetivamete. (c) Deduza a fução de desidade de probabilidade de X. (0.5) F.d.p. de X f X (x) d F X (x) dx { 1 288 (36 x2 ), 6 < x < 6 0, caso cotrário. Págia 3 de 11
2. Seja (X,Y ) um par aleatório, em que X e Y represetam o úmero de telemóveis das marcas A e B (respetivamete) vedidos diariamete uma pequea loja. Admita que a fução de probabilidade cojuta de (X,Y ) é dada por Y X 0 1 2 0 a 0.10 0.06 1 0.12 0.03 0.01 2 0.03 0.07 0.04 (a) Determie o valor da costate a. (0.5) Par aleatório (X, Y ) X úmero de telemóveis vedidos da marca A Y úmero de telemóveis vedidos da marca B F.p. cojuta P(X x,y y) é dada pela tabela do euciado. Obteção da costate a 2 2 a : P(X x,y y) 1 x0 y0 a 1 (0.10 + 0.06 + 0.12 + 0.03 + 0.01 + 0.03 + 0.07 + 0.04) a 0.54. (b) Determie a fução de probabilidade de Y X 2. (1.0) V.a. Y X 2 F.p. de Y X 2 Atededo a que temos P(X 2) 2 P(X 2,Y y) y0 0.03 + 0.07 + 0.04 0.14, P(Y y X 2) P(X 2,Y y) P(X 2) 0.03 0.14 3 14 0.214286, y 0 0.07 0.14 7 14 0.5, y 1 0.04 0.14 4 14 0.285714, y 2 0, restates valores de y (c) Calcule o valor esperado do úmero de telemóveis vedidos diariamete a loja. (1.0) V.a. de iteresse X + Y úmero de telemóveis vedidos diariamete a loja Valor esperado pedido E(X + Y ) E(X ) + E(Y ) F.p. margiais P(X x) 2 y0 P(X x,y y) e P(Y y) 2 x0 P(X x,y y) ecotram-se sumariadas a tabela seguite: Págia 4 de 11
Y X 0 1 2 P(X x) 0 0.54 0.10 0.06 0.70 1 0.12 0.03 0.01 0.16 2 0.03 0.07 0.04 0.14 P(Y y) 0.69 0.20 0.11 1 Valor esperados de X e Y 2 E(X ) x P(X x) E(Y ) x0 0 0.70 + 1 0.16 + 2 0.14 0.44 2 y P(Y y) y0 0 0.69 + 1 0.20 + 2 0.11 0.42 Valor esperado pedido (cot.) E(X + Y ) E(X ) + E(Y ) 0.44 + 0.42 0.86 Grupo III 5 valores 1. Admita que o tamaho de um ficheiro trasferido usado o protocolo TCP é represetado pela variável aleatória X com fução de desidade de probabilidade { θ (1 + x) (θ+1), x > 0 f X (x) 0, caso cotrário, ode θ é um parâmetro positivo descohecido. (a) Mostre que o estimador de máxima verosimilhaça de θ, com base uma amostra aleatória (1.5) (X 1,..., X ) proveiete da população X, é dado por i1 l(1+x i ). V.a. de iteresse X tamaho de um ficheiro trasferido usado o protocolo TCP F.d.p. de X { θ (1 + x) (θ+1), x > 0 f X (x) 0, caso cotrário Parâmetro descohecido θ, θ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de θ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(θ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X i1 f X (x i ) i1 Págia 5 de 11
L(θ x) θ (1 + x i ) (θ+1)] i1 θ i1(1 + x i )] (θ+1), θ > 0 Passo 2 Fução de log-verosimilhaça ll(θ x) l(θ) (θ + 1) l(1 + x i ) Passo 3 Maximização A estimativa de MV de θ passa a ser represetada por ˆθ e d ll(θ x) dθ 0 (poto de estacioaridade) θ ˆθ ˆθ : d 2 ll(θ x) θ < 0 (poto de máximo) dθ 2 ˆθ ˆθ i1 l(1 + x i ) 0 ṋ θ 2 < 0 ˆθ i1 l(1+x i ) i1 i1 l(1+x i )] 2 < 0 (proposição verdadeira porque i1 l(1 + x i ) > 0). Passo 4 Estimador de MV de θ E MV (θ) i1 l(1 + X i ). (b) Determie a estimativa de máxima verosimilhaça de P(X < 1) 1 1 2 θ baseada a amostra (0.5) (x 1, x 2,..., x 7 ) (1.42,1.31,1.53,1.05,1.63,2.65,2.22) para a qual 7 i1 l(1 + x i ) 6.80. Estimativa de MV de θ ˆθ i1 l(1 + x i ) 7 6.80 1.029412 Outro parâmetro descohecido h(θ) P(X < 1) 1 1 2 θ Estimativa de MV de h(θ) Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, pode cocluir-se que a estimativa de MV de h(θ) é dada por h(θ) h( ˆθ) 1 1 2 ˆθ 1 1 2 1.029412 0.510090. 2. O cosumo diário idividual de calorias (X, em kcal/g) de uma certa espécie de roedor possui distribuição ormal com valor esperado µ e desvio padrão σ descohecidos. Sabedo que uma amostra de dimesão 24 proveiete da população X coduziu à média e variâcia amostrais x 0.388 e s 2 0.057181: Págia 6 de 11
(a) Calcule um itervalo de cofiaça a 95% para µ. (1.5) V.a. de iteresse X cosumo diário idividual de calorias de certa espécie de roedor Situação X Normal(µ,σ 2 ) µ DESCONHECIDO σ 2 descohecido Obteção do IC para µ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para µ Z X µ S/ t ( 1) dado que é suposto determiar um IC para o valor esperado de uma população ormal, com variâcia descohecida.] Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Uma que vez que (1 α) 100% 95%, far-se-á uso dos quatis { P(aα Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/2. a α F 1 t ( 1) (α/2) F 1 t (24 1) (0.05) F 1 b α F 1 t ( 1) (1 α/2) F 1 t (24 1) (0.975) t (9) (1 0.025) t abel a/calc. 2.069. t abel a/calc. 2.069 Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α P a α X ] µ S/ b α 1 α ] P X b α S µ X a α S 1 α Passo 4 Cocretização Atededo aos quatis acima, às cocretizações de X e S 2, x 0.388 s 2 0.057181, e ao facto de IC (1 α) 100% (µ) x Ft 1 ( 1) (1 α/2) s, x + Ft 1 ( 1) (1 α/2) s ], temos IC 95% (µ) 0.388 2.069 ] 0.057181 0.057181, 0.388 + 2.069 24 24 0.287009, 0.488991]. (b) Cofrote as hipóteses H 0 : µ 0.35 e H 1 : µ > 0.35, calculado para o efeito o valor-p. (1.5) Hipóteses H 0 : µ µ 0 0.35 H 1 : µ > µ 0 Estatística de teste T X µ 0 S H0 t ( 1) pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal, com variâcia descohecida.] Págia 7 de 11
Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste uilateral superior (H 1 : µ > µ 0 ), a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é do tipo W (c,+ ). Decisão (com base o valor-p) O valor observado da estatística de teste é dado por t x µ 0 s 0.388 0.35 0.057181 24 0.778508. Dado que a região de rejeição deste teste é um itervalo à direita, temos: valor p P(T > t H 0 ) 1 F t( 1) (t) 1 F t(23) (0.778508) calc. 0.222103. Cosequetemete, é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 22.2103%, pelo que H 0 : µ µ 0 0.35 é cosistete a qualquer dos.u.s. (1%,5%,10%); rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 22.2103%. Decisão (com base em itervalo para o valor-p) Recorredo às tabelas de quatis da distribuição de t-studet obtemos um itervalo para o valor-p: Ft 1 (23) (0.75) 0.685 < 0.778508 < 0.858 Ft 1 (23) (0.80) 0.20 1 0.8 < valor p 1 F t(23) (0.778508)] < 1 0.75 0.25. Logo: ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 20%, omeadamete aos.u.s. (1%,5%,10%); devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 25%.] Grupo IV 5 valores 1. O tempo que decorre etre o aproveitameto malicioso de uma vulerabilidade de software ão (2.0) cohecida e a altura em que a maior parte dos sistemas vuleráveis já aplicaram as devidas correções de seguraça é cohecido por jaela de vulerabilidade (X, em dias). Foram recolhidos os seguites dados relativos a cem vulerabilidades surgidas recetemete: Jaela de vulerabilidade ]0, 20] ]20, 40] ]40, 60] ]60, + Frequêcia absoluta observada 40 25 12 23 Avalie a hipótese de X possuir distribuição expoecial com valor esperado igual a 28, ao ível de sigificâcia de 1%. V.a. de iteresse X amplitude da jaela de vulerabilidade Hipóteses H 0 : X Expoecial(1/28) H 1 : X Expoecial(1/28) Nível de sigificâcia α 0 1% Págia 8 de 11
Estatística de Teste ode: T k (O i E i ) 2 i1 k No. de classes 4 E i a H0 χ 2 (k β 1) O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 Cálculo das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 Tirado partido do facto de dado que H 0 é uma hipótese simples.] F X H0 (x) PX x X Expoecial(1/28)] 1 e x 28, x > 0, as frequêcias absolutas esperadas sob H 0 são dadas por E i p 0 i P(X Classe i H 0 ) P(0 < X 20 H 0 ) F X H0 (20) F X H0 (0) 1 e 20 28, i 1 P(20 < X 40 H 0 ) F X H0 (40) F X H0 (20) e 20 28 e 40 28, i 2 100 P(40 < X 60 H 0 ) F X H0 (60) F X H0 (40) e 40 28 e 60 28, i 3 P(X > 60 H 0 ) 1 F X H0 (60) e 60 28, i 4 100 0.5105 51.05, i 1 100 0.2499 24.99, i 2 100 0.1223 12.23, i 3 100 0.1173 11.73, i 5. Costata-se que ão é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i 1 para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 2 0 ) teriam que ser recalculados...] (k β 1) Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Ao lidar-se com um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é o itervalo à direita W (c, + ), ode c F 1 (1 α χ 2 0 ) (k β 1) F 1 (1 0.01) χ 2 (4 0 1) F 1 (0.99) χ 2 (3) tabel a/calc. 11.34. Decisão No cálculo do valor obs. da estat. de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Estim. freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste i o i e i ˆp 0 i (o i e i ) 2 e i (40 51.05) 1 ],20] 40 51.05 51.05 2.392 2 ]20, 40] 25 24.99 0.000 3 ]40, 60] 12 12.23 0.004 4 ]60, + ] 23 11.73 10.828 k i1 o i k i1 e i t k (o i e i ) 2 i1 e i 100 100 13.224 Págia 9 de 11
Como t 13.224 W (11.34,+ ), devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 1% ou a qualquer outro.s. superior a α 0 ]. 2. É geralmete aceite que a frequêcia cardíaca (Y, em batimetos por miuto) é iflueciada pela temperatura corporal dos seres humaos (x, em o C ). Um cojuto de 130 medições idepedetes coduziu aos seguites resultados: 130 i1 x i 4784.7, 130 i1 x2 i 176121.67, 130 i1 y i 9589, 130 i1 y 2 i 713733, 130 i1 x i y i 353018.5. Admitido que os erros aleatórios associados ao modelo de regressão liear simples de Y em x i.i.d. satisfazem ɛ i Normal(0,σ 2 ), i 1,...,130: (a) Calcule as estimativas de máxima verosimilhaça dos parâmetros da reta de regressão liear (1.0) simples de Y em x. Estimativas de MV de β 0 e β 1 Dado que 130 i1 x i 4784.7 i1 x i 4784.7 130 36.80538 x 1 i1 x2 i 176121.67 i1 x2 i ( x)2 176121.67 130 36.80538 2 18.946231 i1 y i 9589 ȳ 1 i1 y i 9589 130 73.761538 i1 y 2 i 713733 i1 y 2 i (ȳ)2 713733 130 73.761538 2 6433.616544 i1 x i y i 353018.5 i1 x i y i x ȳ 353018.5 130 36.80538 73.761538 91.669131, as estimativas de MV de β 1 e β 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: i1 ˆβ 1 x i y i xȳ i1 x2 i ( x)2 91.669131 18.946231 4.838383 ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x 73.761538 4.838383 36.80538 104.317009. (b) Deduza um itervalo de cofiaça a 90% para o declive da reta de regressão liear simples de Y em (1.5) x. Nota: Pode vir a ecessitar do seguite quatil Ft 1 (128) (0.95) 1.65685. Obteção de IC para β 1 Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para β 1 ˆβ 1 β 1 Z i1 x2 i ˆσ 2 x2 t ( 2) Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Neste caso 130 e (1 α) 100% 90%, logo usaremos os quatis de probabilidade Págia 10 de 11
(a α,b α ) : { P(aα Z b α ) 1 α P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/2. a α F 1 t ( 2) (1 α/2) F 1 t (128) (0.95) b α F 1 t ( 2) (1 α/2) F 1 t (128) (0.95) t abel a/calc. 1.65685 t abel a/calc. 1.65685. Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P (a α Z b α ) 1 α P ˆβ 1 F 1 t ( 2) (1 α/2) ˆσ 2 i1 x2 i x2 β 1 ˆβ 1 + F 1 t ( 2) (1 α/2) Passo 4 Cocretização Atete-se que ( ) ˆσ 2 1 y 2 i 2 ( ( )] ) 2 ˆβ1 x 2 i x2 i1 i1 1 6433.616544 4.838383 2 18.946231 ] 130 2 46.797549 IC (1 α) 100% (β 1 ) ˆβ 1 ± Ft 1 ˆσ 2 ( 2) (1 α/2) ]. i1 x2 i x2 ˆσ 2 i1 x2 i x2 ] 1 α. Logo IC 90% (β 1 ) 4.83838 ± 1.65685 4.83838 ± 2.603954]] 2.234429, 7.442337]. ] 46.797549 18.946231 (c) Calcule o valor do coeficiete de determiação e comete a utilidade do modelo ajustado. (0.5) Cálculo do coeficiete de determiação ( r 2 i1 x i y i x ȳ ) 2 ( i1 x2 i x2) ( i1 y 2 i ȳ 2) 91.669131 2 6 433.616544 18.946231 0.068940. Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 6.8940% da variação total da temperatura corporal é explicada pela frequêcia cardíaca, através do modelo de regressão liear simples cosiderado. Assim sedo, podemos afirmar que a recta estimada parece ajustar-se muito mal ao cojuto de dados. Págia 11 de 11