Parte II. Análise funcional II

Parte II Análise funcional II 12

Capítulo 5 Produto de Operadores. Operadores inversos Neste capítulo vamos introduzir a noção de produto de operadores assim como a de operador invertível. Para tal precisamos recordar algumas noções já introduzidas em Análise Funcional I e não só. A primeira das quais, tem a ver com o núcleo N(T) e a imagem (R(T) de um operador T, cf. Section 4.1. Seja T : D(T) X Y um operador linear dado. Então temos N(T) := {x D(T) T x = } X, R(T) := {T x, x D(T)}. No Teorema 4.3 vimos que tanto N(T) como R(T) são espaços vectoriais. O operador T : D(T) X Y diz-se injectivo se e só se a diferentes pontos no domínio correspondem diferentes imagens, simbolicamente se x, y D(T) x y = T x Ty; (5.1) ou ainda que imagens iguais correspondem objectos iguais, simbolicamente T x = Ty = x = y. (5.2) 5.1 Definição e exemplos Nesta secção vamos definir o produto arbitrário de operadores lineares. Sejam T : D(T) X Y e U : D(U) Y Z dois operadores lineares e M 121

UT M T A(M) U BA(M) D(T ) R(T ) D(U) R(U) Figura 5.1: Produto dos operadores T e U. o maior subconjunto de D(T) cuja imagem sob T está contido em D(U), isto é, T(M) D(U). De onde resulta que ver Figura 5.1. T(M) = R(T) D(U), Definição 5.1 Sejam T : D(T) X Y e U : D(U) Y Z dois operadores lineares contínuos tais que R(T) D(U). O produto do operador U pelo operador T é definido por UT : D(UT) X Z, x (UT)x := U(T x). (5.3) O operador UT definido em (5.3) possui as seguintes propriedades Proposição 5.2 1. UT é um operador linear, 2. UT é um operador contínuo, 3. temos a seguinte majoração para a norma de UT: UT U T. Prova. Exercício 5.1. Observação 5.3 O produto de um número arbitrário de operadores lineares contínuos define-se de forma análoga. Para simplificar a notação, vamos supor que todos os operadores T i, i {1,..., n} são tais que T i B(X, X). Assim, o produto T 1 T 2... T n é operador linear contínuo definido por T 1 T 2... T n : D(T 1 T 2... T n ) X X, x (T 1 T 2... T n )x := T 1 (T 2 (... (T n x)...)). 122

Em particular se T = T 2 =... = T n = T, então temos TT... T = T n e a seguinte majoração para a norma de T n é válida: T n T n. Proposição 5.4 Sejam T, U, V B(X, X) operadores lineares contínuos. Então as seguintes propriedades são verdadeiras: 1. (T U)V = T(UV) (associatividade do produto), 2. (T + U)V = TV + UV (o produto à direita é distributivo em relação à adição), 3. T(U + V) = TU + TV (o produto à esquerda é distributivo em relação à adição), 4. α(tu) = T(αV) = (αt)u, para qualquer α K, 5. se I denotar o operador identidade em X, então IT = T I = T. Prova. Exercício 5.2. Decorre desta última proposição que o espaço B(X, X) munido das operações soma de operadores e produto de operadores lineares contínuos forma um anel com identidade I, o qual não é comutativo, pois o produto de operadores em geral não é comutativo. De facto, temos os seguintes contra exemplos. Exemplo 5.5 1. Sejam X = Y = R 2 e os operadores T, U definidos de R 2 em R 2 pelas matrizes: ( ) ( ) 1 1 T :, U :. 1 1 Então temos TU UT, pois ( ) 1 TU = 1 ( 1 1 ) = UT. 2. Consideremos X = Y = C([, 1]) e os operadores T, U definimos de C([, 1]) em C([, 1]) por (T x)(t) := t sx(s)ds (Ux)(t) := tx(t). 123

Temos ((TU)x)(t) := (T(Ux))(t) = t s(ux)(s)ds = t s 2 x(s)ds. Por outro lado ((UT)x)(t) := (U(T x))(t) = t(t x)(t) = t 2 sx(s)ds. Também aqui vemos que TU UT. Vamos de seguida apresentar alguns exemplos de produto de dois operadores lineares contínuos. Exemplo 5.6 1. Sejam T, U B(R n, R n ), n N dois operadores lineares contínuos os quais são definidos em relação às bases canónica (e i ) n i=1, ( f j) n j=1 de R n pelas matrizes T : (a i j ) n i, j=1, U : (b i j) n i, j=1. Então temos n (TU)e k = T(Ue k ) = T b jk f j = j=1 n j=1 b jk n a i j f i = i=1 n n b jk a i j f i, e deste modo vemos que a matriz do operador produto TU está associado ao produto das matrizes de T e U. 2. Consideremos os operadores integrais T, U definimos em C([, 1]) por (T x)(t) := K 1 (t, s)x(s)ds, (Ux)(t) := i=1 j=1 K 2 (t, s)x(s)ds. Então o operador produto T U também é um operador integral. De facto, temos ((TU)x)(t) := (T(Ux)(t) = = = K 1 (t, s)(ux)(s)ds K 1 (t, s) K 2 (s, r)x(r)drds ( ) K 1 (t, s)k 2 (s, r)ds x(r)dr, 124

e neste caso se representarmos por K(, ) a função definida por K(t, s) := K 1 (t, s)k 2 (s, r)dr, então TU é um operador integral associado a K. Exercícios Exercício 5.1 Prove a Proposição 5.2. Exercício 5.2 Prove a Proposição 5.4. Exercício 5.3 Considere os operadores lineares contínuos T, U definidos em C([, 1]) por (T x)(t) := y(t)x(t), (Ux)(t) := ỹ(t)x(t) y, ỹ C([, 1]), isto é, T (respectivamente U) é o operador de multiplicação por y(t) (respectivamente por ỹ(t)). Prove que o produto TU é o operador de multiplicação por y(t) y(t). Calcule a norma de TU. 5.2 Operadores inversos Nesta secção vamos definir o operador inverso de um operador linear. Já vimos que o conjunto B(X, X) é um anel com identidade I. Assim, podemos dar a definição de elemento inverso à esquerda (respectivamente inverso à direito) de um elemento num anel. Definição 5.7 Seja T B(X, Y) um operador dado. Então 1. um operador E chama-se inverso à esquerda do operador T se ET = I D(T) e neste caso diz-se que T é invertível à esquerda, 2. um operador D chama-se inverso à direita do operador T se T D = I R(T) e neste caso diz-se que T é invertível à direita. Lema 5.8 Se um operador T tem inverso esquerdo E e inverso direito D, então os operadores E e D são iguais. 125

Prova. De facto, temos E = EI = E(T D) = (ET)D = ID = D. Definição 5.9 (Operador inverso) Um operador linear T diz-se invertível se existem simultaneamente os operadores inverso esquerdo e inverso direito. Neste caso diz-se que T tem inverso T 1, isto é, TT 1 = T 1 T = I. Proposição 5.1 Seja T um operador invertível só à esquerda (respectivamente só à direita), então o operador inverso esquerdo (respectivamente inverso direito) não é único. Prova. Suponhamos que T admite só inverso esquerdo E, isto é, ET = I mas T E I. Consideremos o operador E α, α K definido por E α := E + α(i T E). Então a família de operadores (E α ) α K são todos inversos esquerdos de T. Realmente, temos E α T = (E + α(i T E))T = ET + αt αt(et) = I + αt αt I = I. Assim, vemos que o inverso esquerdo não é único. Note porém, que se T E = I, então E α = E, α K. Daí ser essencial que o operador T tenha unicamente inverso esquerdo. A prova para o inverso direito é análoga. Com efeito, se T admite só inverso direito D, isto é, T D = I mas DT I, então a família (D α ) α K, onde D α := D + α(i DT), são todos inversos direitos de T. Deste modo o inverso direito também não é único. Recordemos que uma aplicação f : D( f ) Y é injectiva se e só se f (x 1 ) = f (x 2 ) = x 1 = x 2. (5.4) 126

X D(f) x f 1 f R(f) y = f(x) Y Figura 5.2: Função inversa. Neste caso existe a aplicação inversa f 1 : R( f ) D( f ), y f 1 (y) = x, onde y = f (x), ver Figura 4.5. No que toca aos operadores lineares a situação é a seguinte. Teorema 5.11 Seja T : D(T) X Y um operador linear. Então 1. o operador T é invertível se e só se ou seja N(T) = {}. 2. se o operador inverso T 1 existe, então é linear, T x = = x =, (5.5) 3. se dim D(T) = n < e T 1 existe, então dim R(T) = dim D(T). Prova. 1. Suponhamos que T x = implica x = com vista a provar que o operador inverso T 1 existe, isto é, que o operador T é injectivo. De acordo com (5.4) temos de provar que T x 1 = T x 2 implica x 1 = x 2. Como T é linear, então T x 1 = T x 2 T(x 1 x 2 ) =, pelo que x 1 x 2 = por hipótese. Isto prova que T é invertível. Inversamente, suponhamos que T é invertível com vista a provar que N(T) = {}, ou seja que T x = implica x =. Como T é invertível, então a condição (5.4) é válida em particular para x 2 =. Então obtemos Assim, 1. está provado. T x 1 = T = = x 1 =. 127

2. Sejam y 1, y 2 R(T) dois elementos quaisquer na imagem de T e α, β K escalares arbitrários com vista a provar que T 1 é linear, isto é, T 1 (αy 1 + βy 2 ) = αt 1 y 1 + βt 1 y 2. Por um lado, como y 1, y 2 R(T), então existem x 1, x 2 D(T) tais que x 1 = T 1 y 1, x 2 = T 1 y 2. Por outro lado, D(T) é um espaço vectorial, assim, Da linearidade de T decorre que Isto implica que αx 1 + βx 2 D(T), α, β K. T(αx 1 + βx 2 ) = αt x 1 + βt x 2 = αy 1 + βy 2. T 1 (αy 1 + βy 2 ) = αx 1 + βx 2 = αt 1 y 1 + βt 1 y 2, o que mostra a linearidade de T 1. 3. Já vimos, Teorema 4.3-3. que dim R(T) dim D(T). Mas o mesmo teorema aplicado a T 1 diz-nos que dim D(T) dim R(T). Isto prova que dim R(T) = dim D(T). Exemplo 5.12 Seja X = Y = R n e consideremos o operador T B(R n, R n ) associado à matriz (a i j ) n i, j=1. Suponhamos que a condição T x = implica x =, isto é, o sistema homogéneo de equações lineares n a i j x j =, i = 1,..., n, j=1 possui somente a solução trivial x 1 = x 2 =... = x n =. Como é conhecido da álgebra linear isto é equivalente à invertibilidade da matriz correspondente ao operador T : (a i j ) n i, j=1. Isto, por sua vez, implica que R(T) = Rn e, deste modo, T é um operador invertível, com inverso T 1, o qual está associado à matriz inversa de T. 128

Exemplo 5.13 Consideremos agora X = Y = C([, 1]) e T o operador definido em C([, 1]) por (T x)(t) := x (t)x(t), onde x C([, 1]) é tal que x (t) >, t [, 1], ou seja, T é o operador de multiplicação por x. Então T satisfaz a condição (5.5) do Teorema 5.11, pois se T x =, então (T x)(t) =, t [, 1]. Atendendo à definição de T, vem (T x)(t) = x (t)x(t) =, como x (t) >, t [, 1], resulta que x(t) =, t [, 1]. Assim, T é um operador invertível e o seu inverso T 1 é o operador de multiplicação por x 1. De facto, ((TT 1 )y)(t) = (T(T 1 y))(t) = x (t)(t 1 y)(t) = x (t)x 1 (t)y(t) = y(t), ((T 1 T)x)(t) = (T 1 (T x))(t) = x 1 (t)(t x)(t) = x 1 (t)x (t)x(t) = x(t). O domínio de T 1 é R(T) C([, 1]). Neste caso, temos R(T) = C([, 1]), pois se y C([, 1]), então vemos que x 1 y C([, 1]) é tal que (T(x 1 y))(t) = x 1 (t)x (t)y(t) = y(t). Exemplo 5.14 Consideremos o operador T definido por T : C([, 1]) C([, 1]), x (T x)(t) := t x(s)ds, t [, 1]. Determinar R(T), verificar a existência de T 1 e no caso de existir T 1 dizer se T 1 é ou não limitado. Comecemos por encontrar R(T). Suponhamos que y R(T), então existe x C([, 1]) tal que y(t) = t x(s)ds. É claro (teorema fundamental do cálculo integral!) que y (t) = x(t) e assim, se y R(T), então y C 1 ([, 1]). Por outro lado, a igualdade y (t) = x(t) implica y(t) = t x(s)ds + K, 129

onde K é uma constante. Então a constante K terá de ser nula, K =. Mas K = y() =, assim, R(T) consiste no espaço vectorial das aplicações y C 1 ([, 1]) tais que y() =. Simbolicamente R(T) := { y C 1 ([, 1]) y() = }. Vamos agora estudar a condição de invertibilidade de T. Então pelo Teorema 5.11 condição (5.5) T será invertível se e só se T x = implica x =. Mas dizer que T x = é dizer que t x(s)ds =, t [, 1]. Suponhamos que x, então como x é contínua, t x(s)ds, t [, 1] o que contraria o facto de T x =. Portanto, podemos concluir que T x = implica x =. Assim, o operador inverso T 1 existe o qual é definido por De facto, temos ((TT 1 )y)(t) = (T(T 1 y))(t) = T 1 : R(T) C([, 1]), y (T 1 y)(t) := y (t). t (T 1 y)(s)ds = t y (s)ds = y(t) y() = y(t), e isto prova que T 1 é inverso direito de T. Por outro lado, usando o teorema fundamental do cálculo integral obtemos que T 1 é inverso esquerdo, de facto ( ((T 1 T)x)(t) = (T 1 (T x))(t) = (T x) (t) = x(s)ds) (t) = x(t). Finalmente, estudemos o operador T 1 no que respeita à sua limitação. Para tal consideremos as funções y C([, 1]) definidas por y(t) := t n, n N. Temos y C 1 ([, 1]) e y() = pelo que y D(T 1 ). A norma de T 1 é dada por T 1 = sup T 1 y. y =1 Mas a norma em C([, 1]) é dada por T 1 y = max t [,1] (T 1 y)(t) = max t [,1] ntn 1 = n, pelo que T 1 = n. Assim, T 1 quando n, pelo que T 1 não é limitado. Notemos, no entanto, que o operador T é limitado com T = 1. 13

Observação 5.15 Uma aplicação muito importante do conceito de operador invertível é a seguinte. Consideremos o operador T : X X dado, y X um elemento fixo e a equação (em que x é a incógnita!) T x = y. (5.6) Na forma (5.6) podem escrever-se muitos tipos de equações, por exemplo, sistemas de equações lineares, sistemas de equações lineares integrais, sistemas de equações diferenciais, etc. O problema da existência e unicidade de solução da equação (5.6) está intimamente lidado ao conceito de operador inverso. 1. Suponhamos que o operador T admite inverso T 1. Então substituindo x = T 1 y em (5.6) obtemos TT 1 y = Iy = y, pelo que x = T 1 y é uma solução da equação (5.6). Neste caso a solução é única, pois se x é outra solução de (5.6), então T x = y e multiplicando ambos os membros desta igualdade à esquerda por T 1 obtemos T 1 T x = T 1 y I x = T 1 y x = T 1 y. De onde x = x e a solução de (5.6) é única. Neste processo de encontrar uma solução única de (5.6) usamos as seguintes igualdades TT 1 = I, T 1 T = I. 2. Se admitirmos que T só tem inverso direito D, então a solução de (5.6) é x = Dy, pois T Dy = Iy = y. No entanto, não podemos provar que a solução x = Dy é única, por T não admitir inverso esquerdo. 3. Pelo contrário, se T admitir inverso esquerdo E, então a existir uma solução de (5.6) ela é única, pois se x, x são duas soluções, então T x = y ET x = Ey Ix = Ey x = Ey T x = y ET x = Ey I x = Ey x = Ey, e, assim, x = x. No entanto, não sabemos se (5.6) possui ou não solução, por T não admitir inverso direito. 131

Em forma de conclusão podemos dizer o seguinte: o operador inverso direito é responsável pela existência de solução da equação T x = y enquanto que o operador inverso esquerdo é responsável pela unicidade desta solução. Teorema 5.16 Seja X um espaço de Banach e T B(X, X) um operador linear limitado dado tal que T = c < 1. Então o operador I T tem inverso limitado. O seu inverso (I T) 1 é dado em termos da série convergente: (I T) 1 = I + T + T 2 + T 3 +... + T n +.... Prova. Vamos mostrar que a sucessão das somas parciais (S n ) n=1 onde S n = I + T + T 2 + T 3 +... + T n é de Cauchy em B(X, X). De facto, se n, m N tais que m > n, então Como c < 1, então a série S m S n = T n+1 + T n+2 +... + T m T n+1 + T n+2 +... + T m = T n+1 + T n+2 +... + T m c n+1 + c n+2 +... + c m m c k. k=n+1 k=1 é convergente, Assim, para todo ε > existe uma ordem N N tal que se m > n > N, então m S m S n c k < ε. c k k=n+1 Pelo que (S n ) n=1 é uma sucessão de Cauchy em B(X, X). Mas por hipótese, o espaço X é completo (pois é um espaço de Banach!), então o espaço (B(X, X), ) também é espaço de Banach, cf. Teorema 4.13. Portanto, (S n ) n=1 é uma sucessão de Cauchy num espaço de Banach pelo que tem limite S B(X, X), isto é S = lim n S n em B(X, X). 132

Vamos agora mostrar que S é o inverso de I T, isto é, mostrar que S (I T) = (I T)S = I. De facto, temos S (I T) = lim n S n (I T) = lim n (I + T + T 2 + T 3 +... + T n T T 2... T n T n+1 ) = lim n (I T n+1 ) = I. A última igualdade é verdadeira porque I T n+1 I = T n+1 T n+1 c n+1, n. A verificação de que (I T)S = I é feita de uma forma análoga. Exercícios Exercício 5.4 Seja T : X Y um operador linear invertível e {x 1,..., x n } um subconjunto linearmente independente em D(T). Mostre que {T x 1,..., T x n } é um subconjunto linearmente independente em R(T). Exercício 5.5 Seja X = P([, 1]) o conjunto de todos os polinómios definidos no intervalo [, 1] e T : P([, 1]) P([, 1]) o operador definido por Prove se T é ou não invertível. (T x)(t) := x (t). Exercício 5.6 Considere o espaço vectorial X de todas as funções reais definidas em R as quais admitem derivadas de todas as ordens. Seja T : X X o operador de derivação em X, isto é, Prove que R(T) = X mas T 1 não existe. (T x)(t) := x (t), x D(T), t R. 133

Exercício 5.7 Considere os seguintes operadores T, U definidos em l 2 (R) por T x = (, x 1, x 2,..., x n,...), x = (x 1, x 2,..., x n,...) l 2 (R), Ux = (x 2, x 3,..., x n,...), x = (x 1, x 2,..., x n,...) l 2 (R). T chama-se o operador de deslocamento direito e U o operador de deslocamento esquerdo. 1. Prove que o inverso esquerdo de T é U e deduza que o inverso direito de U é T. 2. Serão os operadores T, U invertíveis? Exercício 5.8 Nas condições do Teorema 5.16 mostre que (I T) 1 (1 T ) 1. Exercício 5.9 Seja X um espaço de Banach e T B(X, X) um operador linear limitado dado tal que T = ε < 1. Mostre que o operador I + T tem inverso limitado. O seu inverso (I + T) 1 é dado em termos da série convergente: (I + T) 1 = I T + T 2 T 3 +... + ( 1) n T n +.... Exercício 5.1 Seja T : R 2 R 2 o operador associado à matriz ( ) a b T :. c d Encontre a condição sobre os coeficientes a, b, c, d tal que o operador T seja invertível. Construa o operador inverso. Exercício 5.11 Sejam A : X Y e B : Y Z dois operadores lineares bijectivos, onde X, Y, Z são espaços vectoriais. Prove que o operador inverso (BA) 1 : Z X existe e a seguinte igualdade tem lugar, cf. Figura 5.3 (BA) 1 = A 1 B 1. Exercício 5.12 Seja X um espaço de Banach, T B(X, X) um operador invertível e U B(X, X) tal que U < T 1 1. Mostre que o operador T + U é invertível e calcule o seu inverso. Sugestão: Note que T + U pode escrever-se como T + U = T(I + T 1 U). Use o Exercício 5.9 para mostrar que I + T 1 U é invertível e o Exercício 5.11 para calcular o inverso de T + U. 134

BA A B X Y Z (BA) 1 Figura 5.3: Inverso do produto de operadores. Exercício 5.13 Considere o espaço das sucessões limitadas l (R), isto é { } l (R) := x = (x 1, x 2,..., x n,...) x := sup x i < i N. Em l (R) definimos o operador T por ( T x = x 1, x 2 2, x 3 3,..., x ) n n,..., x l (R). 1. Mostre que para qualquer x l (R), T x l (R), isto é, T é um operador de l (R) em l (R). Calcule T. 2. Prove que T é invertível mas que o seu inverso T não é limitado. Exercício 5.14 Seja X = {x C 1 ([, 1]) x() = } e Y = C([, 1]) dados. 1. Prove que o operador T B(X, Y) definido por é invertível e calcule T 1. (T x)(t) := x (t) x(t) 2. Mostre que o operador U B(X, Y) definido por (Ux)(t) := x(t) é invertível e calcule o seu inverso U 1. t x(s)ds 135