Questão João entrou na lanchonete OG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, sucos de laranja e cocadas, gastando R$ 7,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 0,00, calcule o preço de cada um desses itens. Sejam, y e z os preços unitários, em reais, do hambúrguer, do suco de laranja e da cocada, respectivamente. Então: + y + z 0 + y + z, + y + z 0 y + z 8, 8 + y + z 7 y + z + y + z 0 y + z 8, y, 4 y, z, Logo cada hambúrguer custa R$ 4,00, cada suco de laranja, R$,0, e cada cocada, R$,0. Questão No triângulo C, tem-se que > C, C 4 e cos C. Sabendo-se que o ponto 8 R pertence ao segmento C e é tal que R C e R C 4 7, calcule a) a altura do triângulo C relativa ao lado C. b) a área do triângulo R. Considerando que > C e que R pertence a C, temos a seguinte figura: a) Sendo γ m(c), cosγ e, portanto, 8 sen γ cos γ. ssim, 8 8 considerando o triângulo retângulo HC, a altura do triângulo C relativa a C mede H C sen γ 4. 8 b) Como o triângulo RC é isósceles, com R C 4, RC HC C cosγ 4. 8 ssim, R 4 R 4 C 7 R + RC 7 R 4 R 4 e a área do triângulo R + 7 R é R H 4. Questão Um polinômio de grau possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9. diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 4. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é, determine a) a progressão aritmética. b) o coeficiente do termo de grau desse polinômio. R 4 H 4 C
matemática a) Seja ( α r; α; α + r) a formada pelas raízes do polinômio em ordem crescente. 9 α r +α +α + r Logo 4 ( α+ r ) ( α r) α r ortanto a progressão aritmética procurada é ; ; + 7 ; ;. b) elas relações entre as raízes e os coeficientes do polinômio, o coeficiente do termo de grau é 7 7 + + Questão 4 7. O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo eqüilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF eétangente eternamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura. D E D O Sejam H e H os pés das perpendiculares de O e O sobre EF e O OH, com O H. Como O e O são eqüidistantes dos lados EF e DF do triângulo eqüilátero DEF, podemos afirmar que O, O e F estão sobre a bissetriz do ângulo DFE. Logo m (O o O ) 0 e, assim, do triângulo retângulo OO temos sen 0 o O OO R r R. R + r r b) Seja o lado do triângulo eqüilátero DEF. Como O é o seu baricentro, OH R R r. Logo a área do triângulo DEF é r 4 4 7 r. O H H F Questão E ssim, determine a) a razão entre R e r. b) a área do triângulo DEF em função de r. a) Consideremos a figura a seguir com as circunferências de centros O e O e raios R e r, respectivamente. F medida, em radianos, de um ângulo satisfaz π π < < e verifica a equação sen + sen + + sen 0. ssim, a) determine. b) calcule cos + cos + cos. a) Considerando que sen + sen + sen cos sen cos : sen + sen + sen 0 sen + sen cos 0
matemática sen ( + cos ) 0 kπ ou (k Z) π ± + kπ kπ ou ( k Z) π ± + kπ Logo, como π π < < π,. b) cos + cos + cos cos π + cos 4 π + cos π + + 0 Questão sen 0 ou cos São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação + y, o ponto (, ) earetas que passa por e é paralela ao eio y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. ssim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OE. y s E O a) reta s, que passa por (; ) e é paralela ao eio y, admite equação. ssim, E (; a), a > 0. Como E pertence à circunferência + y, + a a. Logo E (; ) e a reta tangente à circunferência por E, cujo coeficiente angular é, admite equação y moe 0 0 ( ) y +. b) Seja H o encontro das alturas de OE. reta suporte da altura relativa a E é o eio, de modo que H (b; 0), b real. lém disso, a reta H, que contém a altura relativa a OE, é paralela à reta tangente por E. ssim, mh 0 b + e o ponto de encontro das alturas do triângulo OE é ( + ; 0) b. Questão 7 Em um jogo entre edro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismosdeaestejamrepresentadosnasfaces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de a) edro vencer na primeira rodada. b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. tabela a seguir eibe todos os possíveis resultados de uma rodada do jogo:
matemática 4 edro 4 José 4 edro vence nenhum dos dois vence José vence a) Como há 0 casinhas em possíveis, a probabilidade de edro vencer na primeira rodada é 0. 8 b) probabilidade de nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada é 4. 9 c) O jogo não tem vencedor após quatro rodadas se, e somente se, nenhum dos dois vencer em cada uma das quatro rodadas, o que ocorre com probabilidade 4 4. 9 ssim, a probabilidade de um dos participantes vencer até a quarta rodada, evento complementar do citado anteriormente, é 0. corda é então enrolada ao longo das faces e, mantendo-se esticada e com a etremidade no solo, até que a corda toque duas arestas da face em pontos R e, conforme a figura. Nessas condições, a) calcule R. b) calcule. Sendo Q a projeção ortogonal do ponto ao plano da base, temos que, na situação inicial, Q é um triângulo retângulo em Q, com, Q e, pelo Teorema de itágoras, Q 4. lanificando as faces e do poste, obtemos, na situação final: R Questão 8 Um poste vertical tem base quadrada de lado. Uma corda de comprimento está esticada epresaaumponto do poste, situado à alturadosoloedistandodaarestalateral. etremidade livre da corda está no solo, conforme indicado na figura. a a, R, Q R a
matemática Sejam e R as projeções ortogonais de e R em relação ao plano da base. ssim, R Q, R e 4. Sendo R a, R R pelo Teorema de Tales,, R Q R logo a e R a. Como, a + a + a a e, conseqüentemente, R 4 4. b) i 0 0 0 Questão 9 figura na página de respostas representa o número ω + i no plano compleo, sendo i a unidade imaginária. Nessas condições, a) determine as partes real e imaginária de ω e de ω. b) represente ω e ω na figura a seguir. c) determine as raízes compleas da equação z 0. i _ _ c) Do item a, ω é raiz de z 0. Logo, como tal equação é do º grau e tem coeficientes reais, suas raízes são ω + i, ω i e. Questão 0 edrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero. Temos que ω + i + i cos π + i sen π. π π a) ω cos + i sen cos π + i sen π, ou seja, Re( ω ) e Im( ω ) 0. ω ω ω ω i, ω ou seja, Re e Im. ω ω Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio cm, determine o volume dapartedocuboqueficounointeriordocopo.
matemática Sejam, e C os pontos comuns ao cubo e ao copo. O ΔC é eqüilátero e está inscrito numa circunferência de raio cm. Sendo O o centro da circunferência, temos que O também é o baricentro do ΔC. Logo, sendo a medida do lado C, O cm. parte do cubo que ficou no interior do copo é uma pirâmide regular cuja base é o triângulo eqüilátero C de lado cm e as faces laterais são triângulos retângulos isósceles de catetos iguais a, conforme figura a seguir. ssim, + 8 cm e o volume da pirâmide é área Δ DC D 8 9 cm. D C