Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Forma geral de um problema Em vários problemas que formulamos, obtivemos: Um objetivo de otimização (max ou min) Restrições de igualdade Restrições de desigualdade Restrições de desigualdade
Teoria da Otimização Linear Definição: (Forma Padrão) Qualquer problema de programação linear (PL) pode ser escrito na seguinte forma, chamada forma padrão: minimizar f (x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n Sujeito a: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m x 1 0, x 2 0,..., x n 0 Vamos considerar b i 0, i = 1,..., m
Teoria da Otimização Linear Minimizar f(x) = c T x sujeito a : Ax = b x 0 A : matriz m x n, chamada de matriz dos coeficientes c : vetor de custos x : variáveis (ou incógnitas) b : vetor dos termos independentes ou de recursos 0 : vetor nulo
Solução e Região Factível Definição: (Solução factível e região factível) Uma solução (x 1, x 2,, x n ) é dita factível se satisfaz todas as restrições e as condições de não-negatividade do problema. O conjunto de todas as soluções factíveis define uma região no R n, chamada região factível. Exemplo: Analise o problema a seguir: minimizar f(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 x 2 + 4x 3 sujeito a: x 2x x 3 1 2 3 x 2x 4 2 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0
Solução e Região Factível Com base no exemplo, temos: m = 2 restrições n = 3 variáveis (x 1, x 2, x 3 ) que correspondem a um vetor de três coordenadas Solução particular factível: x 1 =1; x 2 = 0; x 3 = 2 Função objetivo: f(1, 0, 2) = 10. Outra solução factível x 1 =0,25; x 2 = 0,5; x 3 = 1,75 Função objetivo f(0,25; 0,5; 0,75) = 7.
Solução Ótima Definição: (Solução ótima) Uma solução é ótima se é factível e fornece o menor valor à função objetivo. Isto é, x, x,, xn * * * 1 2 é ótima se: f * * ( x,, xn) f ( x1,, x 1 n ) para qualquer solução factível: (x 1, x 2,..., x n )
Solução Ótima Com base no exemplo anterior... Melhor solução factível conhecida: x 1 =0,25; x 2 = 0,5; x 3 = 1,75 Outra solução factível: x 1 = 0; x 2 = 2/3; x 3 = 5/3 Função objetivo: f(0; 2/3; 5/3) = 6. Solução melhor que as anteriores!!!! Questão: Há outra solução melhor que está? Esta solução realmente é ótima?
Transformação de problemas na forma padrão Todo PL pode ser escrito na forma padrão max c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n = min c 1 x 1 - c 2 x 2... c n x n f (x*) f (x) para toda solução x factível f (x*) f (x) para toda solução x factível
Exemplo maximizar f(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 - x 2 + 4x 3 sujeito a: x 2x x 3 1 2 3 x 2x 4 2 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 minimizar f(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + x 2 4x 3 sujeito a: x 2x x 3 1 2 3 x 2x 4 2 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0
Transformação de problemas na forma padrão Restrições de desigualdades a x a x a x b i1 1 i2 2 in n i Variável de folga a i1 x 1 + a i2 x 2 +...+ a in x n + x k = b i x k 0
Transformação de problemas na forma padrão Restrições de desigualdades a x a x a x b i1 1 i2 2 in n i a i1 x 1 + a i2 x 2 +...+ a in x n - x k = b i x k 0 Variável de folga ou excesso
Exemplo Coloque o problema do otimização linear na forma padrão minimizar f(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1-3x 2 + 3x 3 sujeito a: x 2x x 3 1 2 3 2x x x 1 1 2 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0
Exemplo Introduzindo variáveis de folga: minimizar f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 2x 1-3x 2 +3x 3 + 0x 4 + 0x 5 sujeito a: x 2x x x 3 1 2 3 4 2x x x x 1 1 2 3 5 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0
Transformação de problemas na forma padrão Variáveis livres variável x i irrestrita de sinal no problema x x x, com x 0, x 0. i i i i i Qualquer número (positivo, negativo ou nulo) pode ser escrito como uma diferença de dois outros números não-negativos
Exemplo Reescreva o problema do otimização linear com x 1 livre minimizar f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 2x 1-3x 2 + 3x 3 + 0x 4 + 0x 5 sujeito a: x 2x x x 3 1 2 3 4 2x x x x 1 1 2 3 5 x 1 livre, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0
Exemplo Escrevendo x 1 como a diferença de duas variáveis: min sujeito a: f ( x, x, x, x, x, x ) 2x 2x 3x 3x 0 x +0 x 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 x x 2x x x 3 1 1 2 3 4 2x 2x x x x 1 1 1 2 3 5 1 1 2 3 4 5 x 0, x 0, x 0, x 0, x 0, x 0
Exercício Coloque na forma padrão minimizar f(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 sujeito a: x x 2x 3 1 2 x 1 2 2 x 1 livre, x 2 0
Escrita do problema por colunas minimizar f ( x1, x2,..., x ) c x a j a a a 1 j 2 j mj Sujeito a: n n j j j 1 n j 1 j j x 0, j 1,..., n j a x b j-ésima coluna da matriz A
Exemplo x1 2x2 x3 3 x2 2x3 4
Exemplo x1 2x2 x3 3 x2 2x3 4 1 2 1 3 x1 x2 x3 0 1 2 4
Resolução Gráfica Viável para problemas muito pequenos. Permite a visualização de soluções. maximizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2 sujeito a: x x x 1 2 1 x 4 2 x2 3 0, x 0 1 2 Região factível S S = {(x 1, x 2 ) tal que x 1 + x 2 4, x 1 2, x 2 3, x 1 0, x 2 0}
Região factível Condições de não-negatividade: x 1 0, x 2 0}
Região factível Região definida por x 1 + x 2 4
Região factível Região definida por x 1 2 Região definida por x 2 3
Região factível S S = {(x 1, x 2 ) tal que x 1 + x 2 4, x 1 2, x 2 3, x 1 0, x 2 0}
Curvas de nível x* x1 1 x 2 3
Vértices da região factível Os vértices são determinados pela intersecção de duas (ou mais) retas que definem a fronteira da região factível. Os vértices são soluções de sistemas de equações lineares. Se o gradiente da função objetivo for alterado, outro vértice pode ser uma solução ótima.
Pontos Extremos Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo.
Exercício Determine a região factível e a solução ótima do problema de otimização linear: maximizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 sujeito a: -3x 1 + x 2 2 x 2 3 x 1 + 2x 2 9 3x 1 + x 2 18 x 1 0, x 2 0
Região factível
Região factível Determine a solução ótima se: maximizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2
Múltiplas soluções ótimas
Região factível ilimitada Problema de minimização
Múltiplos ótimos
Região infactível
Solução degenerada
Exemplo maximizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + 3x 2 sujeito a: x 2 4 x 1 + x 2 6 x 1 3 5x 1 + x 2 18 x 1 0, x 2 0
Método Simplex e Pontos Interiores Método Simplex Pontos Interiores
Exercício Uma fábrica produz dois itens. O primeiro item gera um lucro de 1 unidade monetária e o segundo item um lucro de 3 unidades monetárias. A fábrica trabalha com duas matérias primas, A e B. Para a produção do item 1, é necessária uma unidade da matéria prima A. Como sobra da produção, é gerada uma peça da matéria prima B. Para a produção do item 2, são necessárias uma unidade da matéria prima A e duas unidades da matéria prima B. A fábrica dispõe, em estoque, de 6 unidades de A e 8 unidades de B. a) Modele o problema de maximização do lucro da empresa. b) Escreva a formulação obtida em A na forma padrão c) Resolva graficamente
Solução gráfica