TEMPO NECESSÁRIO PARA ESVAZIAR UM RECIPIENTE: UTILIZAÇÃO DE EDO E CONCEITOS FÍSICOS

TEMPO NECESSÁRIO PARA ESVAZIAR UM RECIPIENTE: UTILIZAÇÃO DE EDO E CONCEITOS FÍSICOS AGUIAR, Lucas Chaves de 1 ; CHAVES, Gabriela Lurdes 2 ; GARCIA, Iara Oliveira 3. PÁDUA, Súzan Grazielle Benetti de 4. RESUMO: Este trabalho tem por objetivo descrever qual é a duração necessária para esvaziar um recipiente com a área total constante. Para tanto, com o uso das equações diferenciais desenvolveu-se uma fórmula que prevê esse tempo que está em função da altura que o fluído se encontra. No mais, foram utilizados também para elaboração da fórmula conceitos que são vistos no curso de Engenharia Civil, bem como uma pesquisa bibliográfica acerca de tais conteúdos. Para descobrir se a fórmula estava correta, realizouse um experimento com um recipiente cilíndrico de área constante e uma quantidade de água, na qual se obteve o tempo real que o fluido deixou o recipiente. Dessa maneira, pode ser comparado com o resultado da fórmula, que se mostrou eficiente para o cálculo do tempo. PALAVRAS-CHAVE: Equações Diferenciais, Engenharia Civil, Fluído. 1. INTRODUÇÃO As equações diferenciais são ferramentas muito úteis para o estudo e modelagem de problemas práticos nas mais diversas áreas. Vários estudiosos se dedicaram em desenvolver e aperfeiçoar os conhecimentos sobre o assunto, dando importantes contribuições nesse ramo. Nesse sentido, percebe-se que as equações diferenciais, desde sua forma mais simples, linear e de primeira ordem, até na sua formulação mais complexa, exigindo um grau maior de habilidade para resolvê-las, são amplamente utilizada em muitas aplicações. Desse modo, estudar as equações diferenciais se justifica pelo fato da sua importância para a compreensão de muitas questões físicas e de outras áreas do conhecimento, como a engenharia, tendo uma vasta aplicação na resolução de problemas reais. Diante disso, esse trabalho tem por objetivo mostrar utilização da equação diferencial para determinar o tempo necessário de esvaziamento de um recipiente cilíndrico com certa altura de água. Além disso, comparar os resultados obtidos experimentalmente com o 1 Lucas Chaves de Aguiar; estudante do curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Universitário de Tangará da Serra. Endereço eletrônico: lucas._- 12@hotmail.com. 2 Gabriela Lurdes Chaves; estudante do curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Universitário de Tangará da Serra. Endereço eletrônico: gabrielalurchaves@hotmail.com. 3 Iara Oliveira Garcia; estudante do curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Universitário de Tangará da Serra. Endereço eletrônico: iara.iog-14@hotmail.com. 4 Súzan Grazielle Benetti de Pádua; doutora em Engenharia Elétrica e docente do curso de Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Universitário de Tangará da Serra. Endereço eletrônico: suzan@unemat.br. 1

fornecido pela equação diferencial ordinária para, assim, verificar se esta atende as expectativas desejadas. O estudo foi elaborado em seis sessões correspondentes ao assunto tratado na pesquisa, além desta introdução. Primeiramente, discorrerá sobre os conceitos relevantes sobre equações diferenciais, dando destaque às equações diferenciais ordinárias separáveis, que será útil para a resolução do problema de pesquisa. Depois disso, serão abordados alguns princípios físicos inerentes a esse estudo como a Equação da Continuidade e Equação de Bernoulli. Posteriormente, será desenvolvida a Equação Diferencial Ordinária empregada no decorrer do experimento. Na quarta parte, apresenta-se a metodologia adotada e em seguida, a análise e discussões dos resultados obtidos. Por fim, serão expostas as considerações finais sobre o trabalho.. 2. Equações diferenciais Segundo Boyce e DiPrima (2017), as Equações Diferenciais são compostas por variáveis e suas derivadas e estas podem ser classificadas como Ordinárias ou Parciais. Nas Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), a função é desconhecida e depende de uma única variável independente, já as Equações Diferenciais Parciais (EDP) a função depende de diversas variáveis. As equações (1) e (2) são exemplos de EDO e EDP, respectivamente: m dv dt = mg λv (1) a 2 δ2 u(x,t) δx 2 = δ2 u(x,t) δt 2 (2) A ordem de uma equação diferencial é definida pela ordem maior da derivada dos termos que a compõe. Assim a equação (3) é dita uma equação diferencial de ordem n. F (t, y, y ',, y n ) = 0 (3) Além disso, as equações diferenciais podem ser classificadas de acordo como sua linearidade. As equações lineares são as possuem a variável dependente e suas derivadas todas de primeiro grau, sendo a forma geral de uma EDO linear de ordem n a seguinte: a 0 (t)y n + a 1 (t)y n-1 + + a n (t)y = g (t) (4) 2

Já as equações não lineares, conforme Battisti (2002) possuem termos com transcendências e produtos como, cos ( dz dt ), ( dt dh ) 2 e x(y,z). x2. δx. z δy Os estudos das equações diferenciais começaram por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) no século XVII. Depois disso, outros nomes deram sequência à aprendizagem como Leibniz, que desenvolveu o método de separação de variáveis, a redução de equações homogêneas e equações separáveis, muitos empregados para a resolução de diversos problemas práticos. Além disso, outro conceituado matemático que teve importantes contribuições para essa área foi Leonhard Euler (1707-1783) que encontrou uma condição para que equações diferenciais sejam exatas, criou a teoria dos fatores integrantes e determinou a solução geral para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. (BOYCE; DIPRIMA, 2017). Nesse sentido, Joseph-Louis Lagrange demonstrou entre os anos de 1762-1765 que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes. Posteriormente, aprimorou o método da variação de parâmetros. Pierre-Simon Laplace (1749-1827) desenvolveu a transformada de Laplace que tem grande utilidade para a resolução de equações diferenciais mais complexas. (BOYCE; DIPRIMA, 2017). Com o surgimento dos computadores e o desenvolvimento da tecnologia diversos problemas incapazes de sempre resolvidos por métodos analíticos, puderam ser solucionado com o uso de cálculos numéricos. Dessa forma, atualmente, a computação tornou-se uma ferramenta muito empregada para os estudos das equações diferenciais. Para a resolução de muitas questões físicas e matemáticas é preciso dispor de conhecimentos a cerca das equações diferenciais, tendo em vista suas aplicações em áreas como a engenharia, englobando problemas como o fluxo de correntes elétricas de um circuito, o movimento de fluidos, crescimento e decrescimento populacional, entre outros. 2.1. Equações separáveis De acordo com Boyce e Diprima (2017), existe uma subclasse de equações diferenciais que permitem uma resolução direta por meio da integração, são as denominadas de equações separáveis. Considere a equação geral de primeira ordem (5): dy dx = f(x,y) (5) Esta pode ser escrita da seguinte maneira M(x,y) + N(x,y) dy dx = 0 (6) 3

Sendo M dependente só de x e N dependente de y, tem-se que: M(x) + N(y) dy dx = 0 (7) A equação (7) é chamada de separável, pois os termos envolvendo cada variável pode isolados em cada lado da igualdade e para obter a solução da equação diferencial basta integrar as funções M e N. Sobre essa perspectiva, Zill e Cullen (2001) definem que as equações separáveis podem são escritas como: dy = g(x) dx h(y) (8) h(y) dy = g(x) (9) dx Integrando em x dos dois lados da igualdade da equação (9), tem-se que: h(y) dy dx = g(x) dx (10) dx h(y) dy = g(x) dx + C (11) Na qual C é uma constante arbitrária. 3. Conceitos físicos Para complementar o experimento a seguir, faz-se necessário estender alguns conceitos aplicados aos fluidos, que estão relacionados à Física, e que comumente são vivenciados no dia a dia. Corriqueiramente, quando é preciso aumentar a velocidade da água em uma mangueira, por exemplo, é comum fechar parcialmente com o polegar a saída do tubo. Esse fato se explica com a demonstração de que a velocidade é inversamente proporcional à área, significando que, caso haja uma redução da área, haverá um aumento de velocidade, mutualmente. Considera-se um recipiente com áreas A 1 e A 2 e velocidades v 1 e v 2 diferentes. Sendo um fluído incompreensível, na qual a densidade é considerada constante independente da pressão, e um intervalo de tempo Δt, o mesmo volume ΔV que entra no seguimento em uma das extremidades é igual ao volume que deve deixar o recipiente. Desta maneira, pode-se utilizar o volume ΔV igual para relacionar as velocidades e as 4

áreas. De modo geral, se a velocidade do elemento é v durante um intervalo Δt, logo o mesmo percorrerá uma distância Δx = v t ao longo do tubo (RESNICK et al, 2012). Então, tem-se que: V = A x (12) V = A v t (13) Logo, aplicando a equação acima para as duas extremidades: V = A 1 v 1 t = A 2 v 2 t (14) A 1 v 1 = A 2 v 2 (15) Portanto, o escoamento interior de um tubo é definido a partir da equação (15), conhecida como equação de continuidade, na qual em ambos A v são constantes. Ainda mais, pode-se definir a partir da equação (15), um conceito que leva em consideração a mudança da pressão em relação à velocidade e à altura que um fluido pode sofrer. Considera-se o escoamento de um fluido ideal em um recipiente não uniforme em um dado intervalo t. Diante disso, está sendo realizado um trabalho que, em contato com as duas extremidades, mudam a energia cinética e a energia potencial gravitacional do sistema (SERWAY; JEWETT, 2006). Em sua obra, Resnick et al (2012) ressaltam que: Quando um elemento se aproxima de uma região estreita, a pressão mais elevada atrás do elemento o acelera, de modo que ele adquire uma velocidade maior. Quando o elemento se aproxima de uma região mais larga, a pressão é maior à frente o desacelera, de modo que ele adquire uma velocidade menor. Em conformidade, nesse processo, as propriedades do fluido que estão nas duas extremidades permanecem as mesmas, sendo importante então analisar o que ocorre apenas nos dois extremos. Logo, aplica-se a lei de conservação de energia, que é dada pela equação (16), na qual a variação de energia cinética K é igual ao trabalho W realizado no sistema. Considere a equação (17): W = K (16) K = 1 2 m v 2 2-1 2 m v 1 2 (17) 5

Sendo m a massa de fluido que entra em uma extremidade e sai pela outra em um intervalo de tempo t. Ainda mais, existe o trabalho W g realizado no sistema pela força gravitacional (RESNICK et al, 2012). Em razão disso, a força gravitacional mg exerce dada força sobre o fluido de massa m durante os níveis de saída e entrada da massa, sendo respectivamente y 1 e y 2 : W g = m g y 1 - m g y 2 (18) E por último, ainda sobre o fluido, existe também um trabalho que o impulsiona para dentro do tubo de modo que o faça percorrer uma distância. Logo, o trabalho W f é realizado por forças F 1 e F 2 que agem em áreas A 1 e A 2 do tubo fazendo o fluido percorrer uma distância x, como dito anteriormente. W f = F 1 x - F 2 x (19) A força é o produto da área pela pressão, então: W f = P 1 A 1 x - P 2 A 2 x (20) Como V = A x, pode-se substituir: W f = P 1 V - P 2 V (21) Somando todos os trabalhos que influenciam no sistema (17), (18) e (21) na qual o fluido está contido, tem-se que: W = W g + W f (22) 1 m v 2 2 2-1 m v 2 1 2 = m g y 1 - m g y 2 + P 1 V - P 2 V (23) que: Dividindo cada termo por V, definindo ρ = m V e reorganizando os termos, tem-se P 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2 = P 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 (24) 6

Logo, a equação (24) definida como equação de Bernoulli é aplicada ao fluido ideal em que P + 1 2 ρ v2 + ρ g y é constante, ou seja, a soma da pressão P, da energia cinética 1 ρ 2 v2 e da energia potencial gravitacional ρ g y, que se resume na equação de Bernoulli, tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo da linha de corrente do fluido (RESNICK et al, 2012). 4. EDO aplicada na determinação do tempo de esvaziamento de um recipiente Para determinar o tempo necessário de esvaziamento de um recipiente com área total constante e um furo com área constante em seu fundo, pode-se aplicar a equação de Bernoulli (24) nos pontos 1 e 2 da Figura 1, sendo P 0 a pressão atmosférica: Figura 1 Recipiente aberto no topo contendo um furo na base Fonte: FREEDMAN e YOUNG (2016, p. 102). P 0 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h = P 0 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h (25) Como a altura no ponto 2 é 0 e a velocidade no ponto 1 é 0, tem-se que: P 0 + ρ g h = P 0 + 1 2 ρ v 2 2 (26) Dividindo todos os termos por ρ, subtraindo P 0 em ambos os lados e isolando v 2 na equação (26), obtém-se: v 2 = 2 g h (27) 7

Sabendo que a variação de altura, dh dt, é igual a vazão dividida por A 1, tem-se que dh dt = - Q A 1 (o sinal de menos é devido a variação de altura ser negativa). Como Q = A 2 v 2 e v 2 = 2 g H, então: dh dt = - A 2 2 g H A 1 (28) A EDO da equação (28) não é linear, entretanto é separável, conforme a equação (29): dh dt 1 = - A 2 2 g (29) H A 1 Integrando e isolando H : H = - g 2 A 2 A 1 t + d (30) Quando t = 0, a altura é a altura inicial. Então, substituindo t = 0 na equação (30), obtém-se d = H 0. H = - g 2 A 2 A 1 t + H 0 (31) obtém-se : Quando o recipiente fica vazio, a altura é igual a 0 e substituindo na equação (31), t = H 0 2 g A 1 A 2 (32) Logo, a equação (32) descreve a duração necessária para que um fluído deixe um recipiente de área constante. 5. METODOLOGIA Pensando em relacionar os conteúdos que são estudados no curso de Engenharia Civil, em especial, nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral III e Física II, o experimento conta com a utilização das equações diferenciais, estendendo o método das 8

equações separáveis, que permite à resolução direta por meio da integração e, com a aplicação de conceitos físicos, relacionados aos fluídos como a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. Para o desenvolvimento teórico do estudo foram consultados materiais disponíveis em meio eletrônico e livros disponibilizados por uma biblioteca universitária. Além disso, para a realização do experimento foi utilizada a EDO da equação (28) com o objetivo de descrever o tempo que levará para que um fluido, no caso a água, esvazie um recipiente com área constante. Para prever esse tempo, que está em função da altura da coluna d agua, foi usado um recipiente cilíndrico com altura de 19 cm e diâmetro de 7,2 cm. Diante disso, para empregar os conceitos físicos, foi feito um furo com diâmetro de 0,02 cm. 6. RESULTADOS O tempo de queda previsto na equação (32) pode ser obtido substituindo os valores da altura inicial (H 0), da área do topo do recipiente A 1 e do furo A 2. Como os valores de A 1 e A 2 são iguais em todos os experimentos, então A 2 = 722 A 1 4. No mais, utilizou-se o valor de 9,81 m/s 2 para a gravidade. O primeiro experimento foi realizado com uma altura inicial de 13,7 cm, em que se obteve o tempo de 216,593 segundos através da equação (32). Usando o software Windows Media Player Classic, verificou-se a gravação do experimento e foi constatado que a água começou a cair a partir de 00:02.701 segundos e seu término ocorreu aos 03:37.560, ou seja, no instante de 217,56 segundos (Figuras 2 e 3). Dessa maneira, ao subtrair o tempo final pelo tempo inicial da experiência, obtém-se o tempo que a água levou para sair do recipiente, que nesse caso é de 214,859 segundos. Logo, percebe-se que há uma diferença de 1,734 segundos entre o resultado obtido pela equação e no experimento. Tal diferença deve-se, principalmente, pela imprecisão ao medir a altura inicial da água e das áreas. 9

Figura 2 Vídeo do primeiro experimento realizado Fonte: próprios autores. Figura 3 Vídeo do primeiro experimento realizado Fonte: próprios autores. Já no segundo experimento, a altura inicial utilizada foi de 11,9 cm, na qual se obteve o tempo de 201,864 segundos através da equação (32) para prever o tempo que a água deixará o recipiente. Utilizando a mesma técnica do primeiro experimento, foi constatado durante a gravação, que a queda d água iniciou a partir de 00:03.903 segundos e terminou aos 03:18.478 ou 198,478 segundos (Figuras 4 e 5). Nesse caso, o tempo total é de 194,575 segundos. 10

Logo, nota-se que houve um erro de 7,289 segundos, comparando o resultado obtido pela equação e o realizado no experimento, sendo este maior ao erro aferido no primeiro experimento. É interessante ressaltar que, como o recipiente não estava apoiado por bases fixas, pode-se justificar que o erro pode ter sido ocasionado por algum movimento, sendo este não previsto na equação. Figura 4 Vídeo do segundo experimento realizado Fonte: próprios autores. Figura 5 Vídeo do segundo experimento realizado Fonte: próprios autores. 11

Por fim, o terceiro experimento foi realizado com a altura inicial de 19 cm, na qual se obteve o tempo de 255,072 segundos através da equação deduzida anteriormente. Realizando o mesmo procedimento dos experimentos anteriores, analisou-se a gravação e foi constatado que a água começou a cair a partir de 00:03.063 segundos e o seu término ocorreu aos 04:18.327 ou 258,327 segundos (Figuras 5 e 6). Assim, o tempo total é de 255,264 segundos. Contudo, é possível reparar que houve apenas uma pequena diferença entre o resultado obtido pela equação e pela experiência. 0,192 segundos, isso se deve ao fato de que o apoio era fixo, não ocorrendo à movimentação como na situação do experimento anterior. Figura 6 Vídeo do terceiro experimento realizado Fonte: próprios autores. 12

Figura 7 Vídeo do terceiro experimento realizado Fonte: próprios autores. 7. CONCLUSÕES Em conclusão, os dados coletados durante a experiência foram satisfatórios ao se assimilarem com aos resultados obtidos através da resolução algébrica, que foi desenvolvida com o intuito de prever o tempo necessário para esvaziar um recipiente de área total constante. Para desenvolver a referida equação (32) foi preciso o estudo de alguns conceitos que são aplicados durante as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral III e Física II, que tratam de equações diferenciais ordinárias e dos fluídos, respectivamente. Então, para descobrir se a fórmula coincide com o tempo que água escoa totalmente de um recipiente, foram feitos três procedimentos com alturas diferentes para a coluna d água. Depois de aferidas às medidas e, consequentemente, serem realizados os experimentos, pode-se notar que houve erros, podendo ser sistemáticos, de medições, ou até mesmo, ao manipular os objetos que foram utilizados durante o procedimento. Contudo, pode-se destacar a total eficiência da fórmula criada, pois a mesma não atingiu valores discrepantes ao ser comparado com os valores do experimento. Diante do contexto utilizado, pode-se evidenciar a ampla aplicação das equações diferenciais ordinárias e dos conceitos físicos, que surgiram graças a grandes estudiosos que dedicaram seu tempo para desenvolver e aperfeiçoar os conhecimentos nesses assuntos. Na Engenharia Civil, há diversas aplicações de EDO, como por exemplo, na flexão de vigas, da mesma maneira que em conceito físicos, tal qual ao determinar a pressão de fluidos em condutos. 13

REFERÊNCIAS BATISTTI, Aloisio José. Equações diferenciais aplicadas em escoamento de fluidos. 2002. 53 f. Trabalho de Conclusão de Curso - Departamento de Matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002. BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 667p. FREEDMAN, Roger A.; YOUNG, Hugh D. Física II: Termodinâmica e ondas. 14 ed, Pearson, 2016, 392p. RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Gravitação, ondas e termodinâmica. 9 ed. Vol. 2.Rio de Janeiro: LTC. 2012. 352p. SERWAY, R. A; JEWETT, J. W. Princípios de Física: Movimento ondulatório e termodinâmica, 1 ed. Vol 2, Thonson, 2006. 344p. ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações diferenciais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. 473 p. 14