O retorno de Eisenstein: reciprocidade cúbica (participações especiais: Gauss e Jacobi)

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1 O retorno de Eisenstein: recirocidade cúbica articiações eseciais: Gauss e Jacobi Um dos teoremas favoritos de Gauss é a lei da recirocidade uadrática, enunciada a seguir: definimos o símbolo de Legendre or c = 0 se c 1 se c é resíduo uadrático mód 1 se c não é resíduo uadrático mód Teorema da recirocidade uadrática. Sejam e rimos ímares ositivos. Então Além disso, 2 = = Você deve rovar sem dificuldades as seguintes roriedades: Proriedades do símbolo de Legendre. Sejam a, b inteiros e rimo ímar. Então ab = a b Se a b mód., a = b Vamos começar o nosso estudo com uma demonstração desse teorema diferente da mostrada em [2], com o auxílio de números comlexos. 1. Alguns fatos reliminares 1.1. Critério de Euler Uma das ferramentas mais úteis ara o nosso estudo é o critério de Euler: Critério de Euler. Seja rimo, m inteiro ositivo e a um inteiro não múltilo de. Então a congruência x m a mód. tem solução se, e somente se, a 1/d 1 mód., sendo d = mdcm, 1. Seja g uma raiz rimitiva de. Então existem k e y tais ue a g k mód. e x g y mód.. Assim, x m a mód. g my g k mód. my k mód. 1. Essa euação em y admite solução se, e somente se, mdcm, 1 k d k. Por outro lado, a 1/d 1 mód. g 1k/d 1 mód. 1 1k/d k d, de modo ue a demonstração está comleta. Vale a ena notar ue a euação é euivalente a y k m 1 d d mód. 1 d, e considerando ue y deve ser considerado módulo 1, admite exatamente d soluções, a saber, k m 1 d d mód 1 d + t 1 d, t = 0, 1, 2,..., d 1.

2 1.2. Inteiros algébricos Um inteiro algébrico é uma raiz de uma euação do tio x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, sendo a n 1,..., a 1, a 0 inteiros. Eles formam um anel, ou seja, se α e β são inteiros algébricos, então α ±β e αβ são inteiros algébricos. Para rovar isso, sejam x = x m +a m 1 x m 1 + +a 0 e x = x n +b n 1 x n 1 + +b 0 os olinômios minimais de α e β, resectivamente o lema de Gauss garante ue tais olinômios minimais são mônicos. Considere o vetor v t = 1 α α 2... α m 1 β αβ... α m 1... α m 1 β n 1 cujas entradas são os números da forma α i β j, 0 i < m, 0 j < n. Vamos rimeiro demonstrar ue existem matrizes A e B uadradas de ordem mn e com entradas inteiras tais ue A v = α v e B v = β v em outras alavras, v é autovetor de A e B, com autovalores corresondentes α e β. Para isso, é só verificar ue α v tem entradas do tio α i β j com 1 i m e 0 j < n. Se i < m, obtemos uma entrada de v; se i = m, substituímos α m β j = a m 1 α m 1 β j a 0 β j e obtemos novamente uma combinação linear com coeficientes inteiros! das entradas de v. Colocando os coeficientes dessas combinações lineares em uma matriz, obtemos A. Podemos obter a matriz B de modo análogo. O ue isso tem a ver com os inteiros algébricos? Na verdade, essas matrizes simlicam as contas: note ue A ± B v = α ± βv e AB v = αβ v, ou seja, α ± β é autovalor de A ± B e αβ é autovalor de AB. Como os olinômios característicos de matrizes de entradas inteiras como A ± B e AB são mônicos e com coeficientes inteiros, α ± β e αβ, raízes desses olinômios característicos, são inteiros algébricos. Em comensação, nem semre α/β é inteiro algébrico. Fica ara o leitor verificar ue 1/2, or exemlo, não é inteiro algébrico caso você refira algo mais algébrico, trabalhe com 1/ 2 sim, 2 é inteiro algébrico. Alguma semelhança com inteiros? Na verdade, eles se comortam de modo bastante arecido com inteiros, de modo ue odemos definir, de forma totalmente análoga aos inteiros, divisibilidade e congruência módulo inteiro algébrico. Consegue-se, então, um teorema análogo ao teorema de Fermat. Sonho de todo estudante ara inteiros algébricos. Sejam α, β inteiros algébricos e inteiro de Z rimo. Então α + β α + β mód. Utilize o binômio de Newton e o fato de ue k 0 mód. ara 0 < k < : α + β α + β + α n k β k α + β mód. k 0<k< 2. Somas uadráticas de Gauss e recirocidade uadrática Vamos desenvolver um novo método ara demonstrar a recirocidade uadrática, ue ode ser generalizado ara recirocidade em alguns graus maiores Uma introdução e 2 Calculemos rimeiro 2. Seja ζ = e π/4 a raiz oitava fundamental da unidade. Então, como ζ 2 = i, ζ 2 + ζ 2 = 0 ζ + ζ 1 2 = 2. Por simlicidade, seja τ = ζ + ζ 1. Então τ 2 = 2, de modo ue τ 1 = 2 1/2 2 mód. τ 2 τ mód.. Mas, elo sonho de todo estudante, τ = {ζ + ζ 1 ζ + ζ mód.. Lembrando ue estamos ζ + ζ trabalhando com raízes oitavas, ζ + ζ 1 se ±1 mód. 8 = ζ 3 + ζ 3. Todavia, lembrando ue se ±3 mód. 8

3 ζ 4 = 1, temos ζ 3 + ζ 3 = ζ ζ 1, de modo ue ζ + ζ = 1 2 1/8 τ. Logo 1 2 1/8 τ 2 τ mód.. Cuidado! Não odemos cortar τ orue infelizmente não temos a lei do cancelamento ara inteiros algébricos. Mas odemos multilicar or τ dos dois lados, e como τ 2 = 2, obtemos 1 2 1/ mód. 2 = 1 2 1/ Como aroveitar essa idéia ara casos maiores? O número τ é uma versão embrionária das somas de Gauss. Para rovar a recirocidade uadrática, usamos outra soma, um ouco mais elaborada: seja ζ = e 2π/ uma raiz -ésima fundamental da unidade. Você já deve saber ue { 0 t< ζat = se a. Fica como exercício rovar, a artir desse 0 caso contrário fato, ue { 0 t< ζtx y = se x y mód.. 0 caso contrário Além disso, como há 1 resíduos uadráticos módulo e 1 não resíduos uadráticos módulo, t 0 t< = 0. Agora, sim, odemos definir a soma uadrática de Gauss. Definição 2.1. Uma soma uadrática de Gauss é g a = 0 t< t ζ at. Essas somas tem diversas roriedades: Lema. As somas uadráticas de Gauss ossuem as seguintes roriedades: i g a = a g1. ii Sendo g 1 = g, g 2 = 1 1/2. i Lembrando ue, ara todo a não divisível or, a 2 = 1 e {t mód, 0 t < } = {at mód, 0 t < }, g a = t ζ at = a at a at a at a ζ at = ζ at = ζ at = g 1 0 t< 0 t< 0 t< 0 at< ii Primeiro, note ue, elo item anterior, ga 2 = g 2, ois a 2 = 1. Calculamos a soma S = 0 a< g ag a de duas maneiras. Por um lado, elo item anterior, S = a a g 2 = a 2 g 2 = 1 1 g 2 = 1 g 2 0 a< 0 a< 0 a< Por outro lado, desenvolvendo as somas e multilicando obtemos g a g a = x y 0 x,y< ζ ax y Somando sobre a e colocando as exressões somente com x e y em evidência, S = x y ζ ax y 0 x,y< 0 a< As únicas somas 0 a< ζax y ue não são nulas são uando x y S = x x = 1 0 x< mód. x = y. Assim,

4 Logo 1 1 g 2 = 1 g 2 = 1 1/2 Seja = 1 1/2 uma esécie de correção de sinal de rimos. Então g 2 = é a euação análoga a τ 2 = 2 utilizada ara calcular 2 e estamos rontos ara rovar a recirocidade uadrática. Seja um outro rimo ímar. Então g 1 = 1/2 g = g e, elo sonho de todo estudante, Logo g 0 t< t ζ t = 0 t< t ζ t g g mód. g g mód. = g 2 g 2 mód. mód. = ue é euivalente à recirocidade uadrática: = 1 1/2 1/2 1 = 1 = 1 = Elevando o χ ki Para desenvolver a teoria de recirocidade cúbica e biuadrática, recisamos da ajuda dos caracteres: Definição 3.1. Um caracter multilicativo em Z/Z é uma função χ: Z/Z C tal ue χab = χaχb ara todo a, b Z/Z. Um exemlo é o rório símbolo de Legendre; outro exemlo é o caracter trivial ǫ definido or ǫa = 1 ara todo a Z/Z. Muitas vezes estenderemos os caracteres ara Z/Z; nesse caso χ0 = 0 ara χ ǫ e ǫ0 = 1. Vamos a algumas das roriedades dos caracteres multilicativos. Proriedades dos caracteres. Seja χ um caracter multilicativo em Z/Z e a Z/Z. Então i χ1 = 1. ii χa é uma raiz 1-ésima da unidade. iii χa 1 = χa 1 = χa. i Observando ue χ1 0, χ1 = χ1χ1 χ1 = 1. ii Do teorema de Fermat, a 1 1 mód., assim χa 1 = χ1 = 1. iii χaχa 1 = χa a 1 = χ1 = 1 χa 1 = χa 1. Além disso, χa = 1 χaχa = 1 χa = χa 1. Vimos ue a soma dos símbolos de Legendre é zero. Isso se alica a caracteres também? De fato, ode-se rovar ue { se χ = ǫ χt = 0 se χ ǫ 0 t<

5 Se χ = ǫ o resultado é imediato. Suonha então χ ǫ. Nesse caso, existe a tal ue χa 1. Assim, sendo T = 0 t< χt, e lembrando mais uma vez ue az/z = Z/Z ara todo a Z/Z, χat = 0 t< χaχt = 0 t< χat = T = χa 1T = 0 T = 0 Os caracteres multilicativos formam um gruo, considerando como oeração χλa = χaλa. Nesse caso, χ 1 a = χa 1. A identidade desse gruo é ǫ. Tal gruo é, na verdade, cíclico de ordem 1. Considerando uma raiz rimitiva g de, a = g k ara algum k e, deste modo, χa = χg k está definido em função de χg. Isso uer dizer ue todo χa ode ser definido a artir de χg. Como χg é uma raiz 1-ésima da unidade, há no máximo 1 caracteres. Por outro lado, sendo λ definido or λg = e 2πi/ 1 lembre ue λg define todos os demais valores de λa. Então não é difícil verificar ue ǫ, λ, λ 2,...,λ 2 são caracteres distintos e, ortanto, os elementos do gruo de caracteres de. Note ue se a 1 mód., λa = λg k = e 2kπi/ 1 1. Agora, vamos fixar a 1 mód. e somar sobre todos os caracteres: seja S = χ χa. Então λa χ λaχa = χ λχa e, como λχ também reresenta todos os caracteres uma outra versão do gira-gira, considerando ue tanto Z/Z como o gruo dos caracteres são cíclicos, λs = S S = O ue caracteres têm a ver com resíduos? Os caracteres têm uma relação bastante róxima com congruências do tio x n a mód.. Lema. Se a Z/Z e n 1 e x n a χ n = ǫ e χa 1. mód. não tem soluções então existe um caracter χ tal ue Basta tomar λ como acima e χ = λ 1/n. Então χ n = λ 1 = ǫ e, sendo a = g k, g raiz rimitiva de, χa = χg k = λg k 1/n = e 2πki/n 1, ois n não ode dividir k. Como toda raiz da unidade, os caracteres servem como marcadores. Assim temos um teorema análogo à fórmula da multisecção: Teorema. Denote or Nx n = a o número se soluções módulo de x n a mód.. Então, se n 1 tem-se Nx n = a = χ n =ǫχa em ue a soma é sobre os caracteres cuja ordem divide n. Primeiro afirmamos ue há exatamente n caracteres dessa forma. Mais uma vez usamos uma raiz rimitiva g: temos ue χg n = 1, e χg determina todos os valores de χa, assim há no máximo n caracteres. Por outro lado, tomando χg = e 2πi/n, verifica-se ue ǫ, χ, χ 2,..., χ n 1 são n caracteres distintos com ordem n. Agora vamos rovar a fórmula: ara a 0 ǫ0 = 1 e χ0 = 0 ara χ ǫ. mód., note ue Nx n = 0 = 1 e χ n =ǫ χ0 = 1, ois Suonha agora ue a 0 mód. e ue x n a mód. tem soluções ue são n; ara observar or ue, ense novamente em raízes rimitivas!. Então a b n mód. e χa = χb n = χb n = χ n b = ǫb = 1 e, como há n caracteres, χ n =ǫ χa = n. Se x n a mód. não tem solução, utilizamos mais uma vez o gira-gira: seja τ tal ue τ n = ǫ e τa 1 e denote or T a soma. Então τat = χ n =ǫ τχa = χ n =ǫ χa = T = Tτa 1 = 0 T = 0.

6 Exercícios 01. Prove ue se x n a 0 mód. tem solução e n 1 então na verdade há exatamente n soluções. 02. OBM 1995, Problema 2 Encontre o número de funções f: Z Z tais ue a fx = fx ara todo x Z; b fxy = fxfy ara todos x, y Z. 03. Resolva o roblema anterior ara f: Z C. 04. Verifiue ue Nx 2 = a = χ 2 =ǫ χa = 1 + a Somas de Gauss Podemos generalizar as somas uadráticas de Gauss ara caracteres: Definição 3.2. Seja χ um caracter de Z/Z e a Z/Z. Defina g a χ = 0 t< χtζat, sendo ζ = e 2πi/ a raiz -ésima fundamental da unidade, como a soma de Gauss de χ sobre Z/Z. Novamente, as somas de Gauss servem como marcadores e roriedades semelhantes às das somas uadráticas aarecem, como era de se eserar. Proriedades das somas de Gauss. Para χ ǫ e a 0 mód., i g a χ = χa 1 g 1 χ; ii g a ǫ = 0; iii g 0 χ = 0; iv g 0 ǫ =. i χag a χ = 0 t< χaχtζat = 0 t< χatζat = 0 t< χtζt = g 1 χ. ii g a ǫ = 0 t< ǫtζat = 0 t< ζt = 0. iii g 0 χ = 0 t< χtζ0 = 0. iv g 0 ǫ = 0 t< ǫtζ0 =. Denotaremos g 1 χ simlesmente or gχ. A róxima roriedade é a mais imortante. Lema. Se χ ǫ, então gχ =. Assim como nas somas uadráticas, vamos calcular S = a g aχg a χ de duas maneiras. Por um lado, ara a 0 mód., g a χ = χa 1 gχ e g a χ = χa 1 gχ = χagχ aui, utilizamos uma das roriedades dos caracteres. Observando ue g 0 χ = 0, S = 1χaχa 1 gχgχ = 1 gχ 2. Por outro lado, desenvolvendo o roduto g a χg a χ obtemos g a χg a χ = χxχyζx ya 0 x,y< Somando sobre a obtemos S = a g a χg a χ = χxχy ζx ya 0 x,y< 0 a<

7 Lembrando ue { 0 a< ζx ya = se x y mód., 0 caso contrário S = χxχx = 1 0 x< Assim, 1 gχ 2 = 1 gχ = Somas de Jacobi As somas de Jacobi foram desenvolvidas ara contar a uantidade de soluções de congruências do tio e é aí ue os caracteres entram! x n + y n 1 mód. Primeiro, note ue a uantidade de soluções é igual a Nx n + y n = 1 = Nx n = anx n = b a+b 1 a+b 1 Lembrando ue sabemos contar soluções em função dos caracteres, Nx n + y n = 1 = χaλb = χ n =ǫ λ n χ n=ǫ =ǫ λ n =ǫ E assim nasceram as somas de Jacobi. a+b 1 χaλb Definição 3.3. Sejam χ e λ caracteres de Z/Z. Então definimos Jχ, λ = a+b 1 χaλb, a ue chamamos soma de Jacobi. Surreendentemente, somas de Jacobi e de Gauss estão fortemente relacionadas. Teorema. Sejam χ e λ caracteres não triviais. Então i Jǫ, ǫ = ii Jǫ, χ = 0. iii Jχ, χ 1 = χ 1. iv Se χλ ǫ então Jχ, λ = gχgλ gχλ A arte i é imediata e ii é bem simles: de fato, Jǫ, χ = a χa = 0. As artes iii e iv são mais interessantes: Jχ, χ 1 = a χaχ1 a 1 = a a χ 1 a Como a imagem de f: Z/Z \ {1} Z/Z tem imagem Z/Z \ { 1}, Jχ, χ 1 = χc χ 1 = χ 1 χc = c 1 c

8 Enfim, gχgλ = χxζ x λyζ y = χxλyζ x+y = x,y t x y χxλy ζ t x+y t Se t = 0, então x+y 0 χxλy = x χxλ x = λ 1 x χλx = 0 ois χλ ǫ. Se t 0 mód., então x+y t χxλy = x +y 1 χx tλy t = χλt x +y 1 χx λy = χλtjχ, λ. Logo gχgλ = Jχ, λ t χλtζ t = Jχ, λgχλ Jχ, λ = gχgλ gχλ Módulo de somas de Jacobi. Sendo χ e λ caracteres em Z/Z tais ue χ, λ e χλ são diferentes de ǫ, então Jχ, λ =. Basta usar o fato de ue somas de Gauss têm módulo e o teorema anterior. Telescoando, chegamos ao seguinte resultado: Lema. Se n 1 e χ tem ordem n > 2, então gχ n = χ 1Jχ, χjχ, χ 2...Jχ, χ n 2 Multilicando as relações Jχ, χ = gχgχ gχ 2 obtemos, lembrando ue χ n = ǫ, Mas, Jχ, χ 2 = gχgχ2 gχ 3,..., Jχ, χ n 2 = gχgχn 2 gχ n 1 Jχ, χjχ, χ 2...Jχ, χ n 2 = gχn 1 gχ n 1 = gχ n gχ 1 gχ gχ 1 = gχ = t χtζ t = t χtζ t = t χtζ t = t χ 1χ tζ t = χ 1gχ = χ 1gχ ois χ 1 2 = χ1 = 1 χ 1 = ±1 R. Logo gχ 1 gχ = χ 1gχgχ = χ 1 gχ 2 = χ 1 e, substituindo, o resultado segue Duas alicações de somas de Jacobi Vamos contar o número de soluções de x 2 + y 2 1 mód..

9 Teorema. A uantidade de soluções de x 2 + y 2 1 mód. é Nx 2 + y 2 = 1 = { 1 se 1 mód se 1 mód. 4 Utilizando a fórmula ue encontramos e observando ue os caracteres de ordem 2 são ǫ e χ 2 a = a, Nx 2 + y 2 = 1 = χ2=ǫ λ 2 =ǫ Jχ, λ = Jǫ, ǫ + Jǫ, χ 2 + Jχ 2, ǫ + Jχ 2, χ 2 = χ 2 1 = e é só verificar ara cada classe de congruência módulo 4. 1 = 1 1/2, Para cúbicas, alicamos de novo o resultado: sendo χ um caracter cúbico ou seja, de ordem 3, os outros são ǫ e χ 2. Então Nx 3 + y 3 = 1 = χ3=ǫ λ 3 =ǫ Jχ, λ = Jǫ, ǫ + Jǫ, χ + Jǫ, χ 2 + Jχ, ǫ + Jχ, χ + Jχ, χ 2 + Jχ 2, ǫ + Jχ 2, χ + Jχ 2, χ 2 = + Jχ, χ + Jχ, χ χ 1 χ 2 1 Como χ 1 = χ 1 3 = χ 3 1 = 1, χ 2 1 = 1 e Nx 3 + y 3 = 1 = 2 + Jχ, χ + Jχ, χ = ReJχ, χ Observando ue Jχ, χ = e Re z z ara todo z comlexo, obtemos Teorema. Nx 3 + y 3 = Para melhorar um ouco o resultado recisamos de mais alguns resultados reliminares. Lema. Seja χ um caracter cúbico. Então gχ 3 = Jχ, χ. Basta alicar o lema anterior e observar ue χ 1 = 1: gχ 3 = χ 1Jχ, χ = Jχ, χ. Como caracteres cúbicos são raízes cúbicas da unidade ois χa 3 = 1, a soma Jχ, χ é da forma a + bω, sendo ω = e 2πi/3 = i. Note ue Jχ, χ = a + bω = a 2 ab + b 2 =. Só existem caracteres de ordem 3 se 3 1, ou seja, 1 mód. 3. Na verdade, dá ara obter ainda mais informação:

10 Lema. Se 1 mód. 3 e χ é um caracter cúbico, Jχ, χ = a + bω, com a 1 mód. 3 e b 0 mód. 3. Vamos usar o sonho de todo estudante em inteiros algébricos: gχ 3 t χt 3 ζ 3t mód. 3 Observando ue χ0 = 0 e χt 3 = 1 ara t 0 mód., gχ 3 t 0 ζ 3t 1 mód. 3 Como 1 mód. 3 e gχ 3 = Jχ, χ, gχ 3 Jχ, χ a + bω 1 mód. 3 Conjugando e usando o fato de ue gχ = χ 1gχ = gχ, gχ Jχ, χ a + bω 2 1 mód. 3 Subtraindo, obtemos bω ω 2 0 mód. 3 b 3 0 mód. 3 3b 2 0 mód. 9 3 b, isto é, b 0 mód. 3. Substituindo em a + bω 1 mód. 3 obtemos a 1 mód. 3. Agora odemos melhorar um ouco o resultado das soluções cúbicas. Teorema. O número de soluções de x 3 + y 3 1 mód., 1 mód. 3 rimo, é Nx 3 + y 3 = 1 = 2 + A, em ue A é obtido tomando-se 4 = A B 2, A 1 mód. 3. Primeiro, note ue, sendo Jχ, χ = a + bω, 2 ReJχ, χ = 2a b 1 mód. 3. Além disso, Jχ, χ = a 2 ab + b 2 = 2a b 2 + 3b 2 =. Tomando A = 2a b e B = b/3, e lembrando ue Nx 3 + y 3 = 1 = ReJχ, χ obtemos o resultado. É claro ue a técnica ara somas de Jacobi ode ser utilizada ara outras euações e também ode ser generalizada!. Exercícios 05. Prove ue Nx 2 + y 3 = 1 = + Re Jχ, ρ, sendo χ um caracter cúbico e ρ o símbolo de Legendre. 06. Prove ue Nx 2 +y 4 = 1 = 1+2 ReJχ, ρ, sendo χ um caracter de ordem 4 ou seja, biuadrático e ρ o símbolo de Legendre. 07. Definimos somas de Jacobi com mais caracteres como Jχ 1, χ 2,...,χ l = t 1+ +t l 1 χ 1 t 1 χt 2...χ l t l

11 Defina também J 0 χ 1, χ 2,..., χ l = t 1+ +t l 0 χ 1 t 1 χt 2...χ l t l Prove ue a J 0 ǫ, ǫ,..., ǫ = Jǫ, ǫ,...,ǫ = l 1. b Se alguns mas não todos os caracteres χ i são iguais a ǫ, então J 0 χ 1, χ 2,..., χ l = Jχ 1, χ 2,..., χ l = 0. c Se χ i ǫ, então { 0 se χ1 χ J 0 χ 1, χ 2,...,χ l = 2... χ l ǫ χ l 1 1Jχ 1, χ 2,..., χ l 1 caso contrário d Se χ i ǫ e χ 1 χ 2... χ l ǫ então gχ 1 gχ 2...gχ l = Jχ 1, χ 2,..., χ l gχ 1 χ 2...χ l e Se χ 1 χ 2... χ l ǫ então Jχ 1, χ 2,..., χ l = l 1/2. f Se χ 1 χ 2... χ l = ǫ então Jχ 1, χ 2,..., χ l = l 2/2. 4. Inteiros de Eisenstein Seja ω = e 2π/3 = i a raiz cúbica fundamental da unidade. Definimos Z[ω] como o conjunto dos números da forma a + bω, a, b inteiros. Note ue, sendo ω 2 = 1 ω, Z[ω] é um anel. Além disso, os elementos de Z[ω] são inteiros algébricos, ortanto faz sentido definir divisibilidade e congruência em Z[ω]. Mais do ue isso, odemos definir divisão euclidiana e, ortanto, existem números rimos em Z[ω] e também vale fatoração única. Associado a isso está o conceito de norma, ue substitui o módulo de inteiros. Desse modo, existem as unidades em Z[ω], os números de norma Norma de um inteiro de Eisenstein Definimos a norma de um número α Z[ω] como Nα = α α. Se α = a + bω, ode-se rovar, sem muito esforço, ue Nα = a 2 ab + b 2. Uma roriedade muito imortante é ue a norma é multilicativa Unidades em Z[ω] Sendo ǫ = a + bω uma unidade, Nǫ = 1 a 2 ab + b 2 = 1 2a b 2 + 3b 2 = 4 e temos seis casos: 2a b = 1 a = b = 1; 2a b = 1 b = 1 a = 0 e b = 1; b = 1 2a b = 1 a = 0 e b = 1; b = 1 2a b = 1 a = b = 1; b = 1 2a b = 2 a = 1 e b = 0; 2a b = 2 b = 0 a = 1 e b = 0 b = 0 Ou seja, há seis unidades: ±1, ±ω, ± 1 ω = ±ω 2. Para cada α Z[ω], chamamos de seus associados os rodutos de α or cada uma das unidades Divisão euclidiana em Z[ω] Voltando ao rimórdios da teoria dos números, usamos o diagrama α r β α = β + r Mas nesse caso, devemos ter N r < N β ou r = 0. Vamos rovar ue existem e r nessas condições.

12 Note ue α β = αβ Nβ = c + dω, sendo c e d racionais. Sendo m e n os inteiros mais róximos de c e d, no sentido ue m c 1 2 e n d 1 2, rovaremos ue = m + nω. De fato, α β m + nω = α β β m + nω = βc m + d nω, cuja norma é Nβ c m 2 c md n + d n 2 Nβ < Nβ Fatoração única Mas o ue significa ser rimo em anéis diferentes de Z? Duas definições: Definição 4.1. Dizemos ue π é irredutível em um anel uando não ode ser escrito como roduto de dois números, nenhum deles igual a alguma unidade. Definição 4.2. Dizemos ue π é rimo em um anel uando π αβ π α ou π β ara todos α, β no anel. Suerteorema de anéis euclidianos. Se um anel é euclidiano, então vale fatoração única nesse anel. O caminho é um ouco longo, mas é semre o mesmo: 1 Divisão euclidiana = Algoritmo de Euclides; 2 Algoritmo de Euclides = Teorema de Bezóut; 3 Teorema de Bezóut = Irredutível = Primo; 4 Primos = Fatoração única. Vamos dar um esboço de rova: 1 Havendo norma, ode-se definir mdcα, β como um número de maior norma ue divide α e β. O algoritmo de Euclides reside no fato de ue mdcα, β = mdcβ, α mód β, ue decorre diretamente das roriedades de divisibilidade, e substitui α, β or β, α mód β até ue um dos valores seja zero. Como a norma semre diminui, em algum momento o algoritmo de Euclides acaba. 2 O teorema de Bezóut, ue diz ue se mdcα, β = δ então existem x, y tais ue αx + βy = δ, decorre diretamente do algoritmo de Euclides, substituindo as exressões ao contrário. 3 Seja π um irredutível e suonha ue π αβ. Se π α, não há o ue rovar. Então, se π não divide α, então mdcπ, α = 1, ois se não fosse uma unidade π oderia ser escrito como roduto de dois números de norma não unitária um deles seria mdcπ, α. Assim, elo teorema de Bezóut, existem x e y tais ue αx + πy = 1 αβx + πβ = β. Como π αβ, π αβ + πβ π β. 4 Indução, e é exatamente igual à demonstração ara inteiros. Note ue esse suerteorema ode ser utilizado ara rovar ue existe fatoração única também em olinômios sobre coros, or exemlo a norma seria o grau do olinômio Primos em Z[ω] Mudamos de anel, mudamos de rimos. De fato, você ode verificar ue 7 = 2 ω3 + ω não é rimo em Z[ω]! Vamos então encontrar os rimos em Z[ω]. Primos em Z[ω]. Os rimos em Z[ω] são associados a um dos seguintes números: os rimos ositivos racionais 1 mód. 3; os números π tais ue Nπ =, rimo racional ositivo, 1 mód. 3; 1 ω.

13 Primeiro rovemos ue se π tem norma rimo então π é rimo. Caso contrário, π = αβ, com Nα, Nβ > 1. Mas então = Nπ = Nα Nβ seria o roduto de dois inteiros maiores do ue 1, absurdo. Agora, encontremos as ossíveis normas dos rimos de Z[ω]. Seja π rimo e n = Nπ. Então n = ππ, de modo ue π divide algum fator rimo racional de n. Assim, = πγ = N = Nπ Nγ Nπ Nγ = 2, de modo ue Nπ = ou Nπ = 2. No segundo caso, γ é unidade e, ortanto, π é um associado de. Só recisamos classificar os rimos. Se Nπ = e π = a + bi então = a 2 ab + b 2 4 = 2a b 2 + 3b 2. Como b e são rimos entre si, x 2 3 mód., com x = 2a bb 1 mód. Então 3 = 1. Alicando recirocidade uadrática, temos 3 = 1 3 = 1 1/ = 3. Logo 3 = 1 1 mód. 3. Recirocamente, se 1 mód. 3 então x ara algum x Z. Mas x = x ωx 1 2ω e se fosse rimo então 2, o ue não é ossível. Então = πγ com Nπ, Nγ > 1. Verifica-se ue Nπ = Nγ = e então os divisores π e π de são os rimos do segundo caso. Note ue se 1 mód. 3 não é ossível ue Nπ =. Então não ode ser fatorado e é, ortanto, rimo em Z[ω] também note ue 2 está incluído nessa lista!. Esses são os rimos do rimeiro caso. Finalmente, ara = 3, observando ue x 2 + x + 1 = x ωx ω 2, ara x = 1 temos 3 = 1 ω1 ω 2 = ω 2 1 ω 2 e 1 ω tem norma 3, sendo rimo Congruência módulo π rimos são legais Assim como em Z, odemos trabalhar com classes de congruência módulo α Z[ω]. Em articular, ara rimos temos um resultado análogo aos inteiros e muito interessante: Teorema. Seja π rimo. Então as classes de congruência módulo π formam um coro com Nπ elementos. A demonstração é igualzinha à ue usamos em Z! É óbvio ue os inteiros de Eisenstein módulo π formam um anel. Só falta rovar ue todo α 0 mód. π tem inverso. Mas isso uer dizer ue mdcα, π = 1 e, or Bezóut, existem x, y tais ue αx + πy = 1 = αx 1 mód. π e x é o nosso inverso. Agora recisamos contar as classes de euivalência ara obter a uantidade de elementos. Se π = é racional, afirmamos ue as classes de congruência odem ser reresentadas or a + bω, 0 a, b <. De fato, ara x+yω Z[ω], x+yω r +sω mód. com 0 r, s < e r 1 +s 1 ω r 2 +s 2 ω mód. r1 r2 + s1 s2 ω Z[ω] r 1 r 2 mód. e s 1 s 2 mód. r 1 = r 2 e s 1 = s 2. Se Nπ = 1 mód. 3, afirmamos ue as classes de congruência odem ser reresentadas or 0, 1, 2,..., 1. Seja π = a + bω e x + yω Z[ω]. Então note ue não divide b e existe t Z tal ue bt y mód. = bt y mód. π, de modo ue x + yω x + btω x at mód. π. Podemos reduzir x at módulo, obtendo x + yω j mód. π, com 0 j <. Ou seja, todo inteiro de Eisenstein é congruente a um racional entre 0 e 1. Além disso, essas classes não sõa reetidas: se i j mód. π então i j = πγ = Ni j = Nπ Nγ i j 2 = Nγ = i j 2 i j i j mód.. Enfim, ara π = 1 ω, rova-se de modo análogo ao caso anterior ue as classes de congruência são 1, 0, Euler-Fermat ara inteiros de Eisenstein Novamente, usando o bom e velho lema gira-gira rova-se: Teorema. Se π é rimo e α 0 mód. π, então α Nπ 1 1 mód. π

14 É só verificar ue αβ αγ mód. π β γ mód. π e multilicar todas as classes de euivalência não nulas, obtendo αβ β mód. π α Nπ 1 1 mód. π. Ou, se você uiser, você ode usar o fato de ue as classes de euivalência não nulas formam um gruo multilicativo. A artir do teorema de Euler-Fermat nasceu o critério de Euler. Então Um critério ara congruências cúbicas Primeiro, vale a ena notar ue ara rimos π com norma diferente de 3, as classes de congruência 1, ω e ω 2 são diferentes. De fato, se 1 ω mód. π ω ω 2 mód. π então π 1 ω, o ue não é ossível ois 1 ω é rimo. Enfim, 1 ω 2 mód. π π 1 ω 2 π 1 ω1 + ω π 1 ω veja ue 1 + ω = ω 2 é uma unidade, e chegamos ao mesmo absurdo. Observamos também ue Nπ 1 mód. 3 ara todo rmo com norma diferente de 3, ois Nπ = 1 mód. 3 ou Nπ = mód. 3. Temos então o seguinte Lema. Seja π um rimo de norma diferente de 3. Então α Nπ 1 3 ω i mód. π, em ue i é igual a 0, 1 ou 2. Basta notar ue, sendo x = α Nπ 1 3, x 3 1 mód. π π x 3 1 π x 1x ωx ω 2. Sendo π rimo, x 1 mód. π ou x ω mód. π ou x ω 2 mód. π. Vamos relacionar isso com resíduos cúbicos. Definição 4.3. Sejam α Z[ω] e π um rimo. O caracter cúbico de α módulo π é definido or { α 0 se π α = π 3 α Nπ 1 3 mód π caso contrário Isto é, se α não é múltilo de π, então α π 3 = 1, ω ou ω2. Proriedades análogas às do simbolo de Legendre são verdadeiras: Proriedades de caracteres cúbicos. Sejam α, β Z[ω] e π rimo. Então α π = 1 se, e somente se, 3 x3 α mód. π tem solução ou seja, α é resíduo cúbico de π; α π3 = β π ara α β mód. π; 3 αβ π 3 = α π 3. 3 β π A única afirmação ue recisa de mais atenção é a rimeira: nesse caso, tomamos um gerador do coro Z[ω]/πZ[ω] a raiz rimitiva de π e fazemos a demonstração análoga à do critério de Euler. Com isso, odemos trabalhar com os rimos racionais: seja 1 mód. 3. Então se n é racional, n é inteiro e igual a 1. Isso uer dizer ue todo inteiro é resíduo cúbico módulo um rimo congruente 3 a 1 módulo 3. Mas isso na verdade não é difícil de rovar sem inteiros algébricos: se 1 mód. 3, então a 1 2/3 3 a mód Alguém falou em caracteres? Os caracteres cúbicos são, como veremos osteriormente em alguns casos, caracteres, então vamos adotar or um instante a notação χ π α = α π 3.

15 Algo ue comlexos têm ue reais não têm são conjugados OK, reais têm conjugados; eles só não têm muita graça.... Mas odemos conjugar tudo em congruências também! No caso dos nossos caracteres cúbicos, não é difícil ver ue χα = χα 2 = χα 2. Além disso, como também temos χ π α = χ π α A lei da recirocidade cúbica Primeiro, vamos normalizar os rimos. α Nπ 1 3 χ π α mód. π α Nπ 1 3 χ π α mód. π Definição 4.4. Um rimo π é rimário uando π 2 a 2 mód. 3 e b 0 mód. 3. mód. 3. Isto uer dizer ue se π = a + bω então Isso não nos tira generalidade. De fato, dado um rimo, exatamente um de seus associados é rimário. Isso é imediato ara rimos racionais. Para rimos não racionais, sendo π = a + bω, seus associados são a + bω, b + a bω, b a aω, a bω, b + b aω, a b + aω. Note ue a 2 ab + b 2 = 1 mód. 3, de modo ue não é ossível ue a e b sejam ambos múltilos de 3. Observando a+bω e b+a bω odemos suor ue a não é múltilo de 3 se a é múltilo de 3, b não é e intercambiamos os seis associados multilicando or alguma unidade; se a 1 mód. 3, tomamos a bω no lugar de a +bω, de modo ue odemos suor sem erda a 2 mód. 3. Como a 2 ab + b 2 1 mód. 3 odemos concluir ue b 0 mód. 3. Por exemlo: 3 + ω, um rimo de norma 7, tem como rimário associado 3 + ωω 2 = 2 + 3ω. Podemos então enunciar a lei da recirocidade cúbica: Lei da recirocidade cúbica. Sejam π 1 e π 2 rimários de normas diferentes, ambas diferentes de 3. Então π1 π 2 3 = π2 π 1 3 ou, em termos de caracteres, χ π1 π 2 = χ π2 π 1 Vamos dividir a rova em três casos: i π 1, π 2 ambos racionais. Nesse caso, denotaremos π 1 = 1 e π 2 = 2. ii π 1 racional e π 2 irracional. Denotaremos π 1 = e π 2 = π. iii π 1, π 2 ambos irracionais. Denotaremos Nπ 1 = 1 e Nπ 2 = 2. O caso i é raticamente imediato, ois χ 1 2 = χ 2 1 = 1. Os outros dois casos são mais elaborados. Sendo π um rimo comlexo com Nπ = 1 mód. 3, o conjunto Z[ω]/πZ[ω] é um coro finito com elementos, com reresentantes de classes 0, 1, 2,..., 1. Ou seja, odemos associar Z[ω]/πZ[ω] com Z/Z e χ π assume o ael de um caracter cúbico. Desse modo, odemos utilizar somas de Gauss e Jacobi! Relembremos alguns fatos: gχ 3 = Jχ, χ Jχ, χ = a + bω com a 2 mód. 3 e b 0 mód. 3. Jχ, χ =, ou seja, Jχ, χ tem norma. Deste modo, Jχ, χ é rimário! Sendo π rimário, como será Jχ π, χ π?

16 Lema. Jχ π, χ π = π. Seja Jχ π, χ π = π. Queremos rovar ue π = π. Note ue ππ = = π π, de modo ue, sendo todos rimários, π = π ou π = π. Queremos eliminar esse último caso. Da definição de Jχ, χ e do critério de Euler, Jχ π, χ π = 0 x< χ π xχ1 χ π 0 x< x 1/3 1 x 1/3 mód. π O olinômio x = x 1/3 1 x 1/3 tem grau 2 1/3 < 1. Então, lembrando ue 0 x< xk 0 mód. e, ortanto, mód π também! ara todo 0 k < 1, desenvolvendo x e vendo módulo obtemos 0. Logo Jχ π, χ π 0 mód. π e ortanto Jχ π, χ π = π. Note ue isso mostra ue gχ π 3 = π. Agora odemos rovar a recirocidade nesse caso. Lembrando ue χ α = α N 1 3 mód = α mód, elevando a última igualdade a 2 1 3, e observando ue χ = 1, gχ π 2 1 χ π mód. gχ π 2 χ χ πgχ π χ πgχ π mód. O rimeiro membro ode ser desenvolvido com o sonho de todo estudante: gχ π 2 χ π t 2 ζ t2 mód. 0 t< Note ue estamos trabalhando com todos os inteiros algébricos, não somente com Z[ω]. Como χ π é um caracter cúbico e 2 1 mód. 3, gχ π 2 χ π tζ t2 g 2χ π mód. 0 t< Mas g 2χ π = χ π 2 gχ π = χ π gχ π. Assim, substituindo tudo o ue temos, gχ π 2 χ πgχ π χ π gχ π mód. Multilicando or g χ π obtemos χ π g χ π 2 χ π g χ π 2 mód. χ π χ π mód. χ π χ π mód. e rovamos a recirocidade nesse caso. O nosso último caso é um ouco mais comlicado, mas seguem as mesmas ideias anteriores. De fato, começando de gχ π1 3 = 1 π 1, elevando a Nπ 2 1/3 e vendo módulo π 2 obtemos, de modo análogo ao caso anterior, χ π1 2 2 = χ π2 1 π 1 Começando de gχ π2 3 = 2 π 2, elevando a Nπ 1 1/3 e vendo módulo π 1 obtemos, de modo análogo ao caso anterior, χ π2 2 1 = χ π 1 2 π 2

17 Enfim, notando ue χ π1 2 2 = χ π = χ π 1 2, temos, de toda a informação acima, χ π1 π 2 χ π2 1 π 1 =χ π1 π 2 χ π1 2 2=χ π1 π 2 χ π1 2 =χ π1 π 2 2 =χ π2 2 1=χ π2 1 π 1 π 1 =χ π2 π 1 χ 1 π 1 Cortando χ 1 π 1 obtemos, finalmente χ π1 π 2 = χ π2 π E unidades? E se Nπ = 3? Assim como calculamos 2 searadamente, ±ω π 3 e 1 ω π são calculados searadamente. 3 Quanto às unidades, não há muita dificuldade: rimeiro, ω π 3 = 1 ω π 3 π 3 = ω π e usamos diretamente o critério de Euler. 3 Em comensação, a demonstração de ue 1 ω π 3 = ω2m, em ue π = 3m 1 + bω, é mais elaborada e não será feita aui. Para π racional é mais fácil: de 1 ω 2 = 3ω temos 1 ω 2 = 3 ω = 1 ω Elevando ao uadrado, obtemos 1 ω 3 = ω e é só substituir = 3m 1. Exercícios 08. Seja π rimo comlexo. Prove ue x 3 2 mód. π se, e somente, se π 1 mód Seja 1 mód. 3 um rimo em Z. Mostre ue x 3 2 mód. tem solução se, e somente se, existirem inteiros C e D tais ue = C D Esse é um exercício beeem grande escreva um artigo com esse exercício! Trabalhando agora no anel euclidiano Z[i], com norma Na + bi = a 2 + b 2, definindo rimário como rimos π 1 mód. 1 + i 3 e sendo χ π o caracter de ordem 4 ue revela se os números são resíduos uárticos módulo π, rove a lei da recirocidade biuadrática: sendo π e γ rimários, χ π γ = χ γ π 1 Nπ 1 4 Nγ Generalize o símbolo de Legendre ara números comostos da seguinte maneira: se b = α1 1 α α k k, a = b α1 α2 a a a k αk Nesse caso, vale a recirocidade uadrática também, embora a b = 1 não indiue se a é resíduo uadrático módulo b. Seja 1 mód. 4 um rimo em Z. Prove ue: a existem inteiros a e b tais ue = a 2 + b 2. b sendo a acima ímar, a = 1. c a+b a+b = d a + b 1/2 2ab 1/4 mód.. e sendo f tal ue f 2 1 mód. or ue ele existe?, 2 1/4 f ab/2 mód.. f x 4 2 mód. tem solução se, e somente se, existem inteiros A e B tais ue = A B Referências Bibliográficas [1] A referência rincial aui é o livro A Classical Introduction to Modern Number Theory, de Kenneth Ireland e Michael Rosen. Nesse livro, há tóicos mais gerais sobre recirocidade, função zeta, euações diofantinas de vários tios, curvas elíticas e um ouco de Geometria Aritmética.

18 [2] Carlos Shine, Por ue você deveria ter resolvido o roblema 2 da OBM 2007, aula da Semana Olímica Nesse artigo tem uma demonstração diferente da recirocidade uadrática, além de fatos sobre raízes rimitivas e olinômios módulo. [3] Robin Chaman, Algebraic Number Theory summary of notes. Um resumo de um curso de Teoria Algébrica dos Números ue o autor ministrou. A demonstração de ue os inteiros algébricos formam um anel foi retirada de lá. Disonível na Internet em htt:// [4] Guilherme Fujiwara, Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein, na Eureka! 14. A melhor introdução ara Z[i] e Z[ω]. [5] Carlos Shine, Um teorema de Gauss sobre uma curva de Fermat, aula da Semana Olímica Um ouco mais sobre cúbicas, mas sob outro onto de vista. Lá estão somas cúbicas de Gauss e o resultado de Nx 3 + y 3 = 1.