Nos pontos (x, y), x 0 ou y 0, f(x, y) não está definida, logo nestes pontos f não é diferenciável. Seja, então, (x, y), com x 0 e y 0.

Transcrição

1 CAPÍTULO Eercícios d) (, y) y Nos pontos (, y), ou y, (, y) não está deinida, logo nestes pontos não é dierenciável Seja, então, (, y), com e y Ï Ôa) admite derivadas parciais em (, y) Ô é dierenciável em (, y) Ì Ô E( h, ) Ôb) Ó ( h, ) Æ(, ) ( h, ) onde: E(h, ) ( h, y ) (, y) (, y) h y (, y) h Eh (, ) ( )( y ) y y y pois d e y dy y h y h y hyh Eh (, ) Temos ( h)( y) y Eh (, ) ( h, ) Æ(, ) ( h, ) ( h, ) Æ(, )( h)( y) y hyhyhyh h ( h, ) Æ(, )( h)( y) y y hy ( h, ) Æ(, ) h y ( h, ) Æ(, ) hy h h itada

2 hy ( h, ) Æ(, ) h itada ( h, ) Æ(, ) h hy ( h, ) Æ (, ) h itada (, ) h Eh Logo ( h, ) Æ(, ) h ( h, ) Æ(, ) ( h, ) itada (, y) y itada é uma unção dierenciável em todo (, y), com e y ) (, y) y Vamos provar que é dierenciável em todo (, y) de Temos (, y) e (, y) y Além disso: E(h, ) ( h, y ) (, y) (, y) h y (, y) ( h) (y ) y h y h Eh (, ) h e ( h, ) Æ(, ) ( h, ) ( h, ) Æ(, ) h 4 4 È h ù Íh ú ( h, ) Æ(, ) Î Í h h û ú Como admite derivadas parciais em todo (, y) D e então é dierenciável em 8 ( h, ) Æ(, ) Eh (, ) ( h, )

3 Eercícios ) Seja (, y) arctg y Temos y y (, ) y e y y (, ) y Então (, y) é uma unção de classe C em, isto é, e y contínuas em Logo (, y) arctg y é dierenciável em são unções Eercícios e) Seja (, y) arctg ( y) Para que admita plano tangente no ponto (,, (, )) deve ser dierenciável em (, ) y (, ) e ( y) y y (, ) ( y) Da continuidade de e y em, segue que é dierenciável em, logo é dierenciável em (, ) (, ) e Equação do plano tangente: y (, ) z z y (, )( ) ( y, y )( y y ), z 4 ( ) (y ) e, portanto, z y 4 Equação da reta normal: (, y, z) (,, 4 ) (,, ) ) Temos ( y, ) y, Ê Ë y ( y, ),, Ê e y Ë, 8

4 Plano tangente: y z y z 4 ( ) ( ) ou seja, 4 Reta normal: (, y, z) (,, ) (,, ), 4 5 a) Plano tangente em (,, ) y z 6 ou seja, z y Por outro lado: z (, )( ) (, )( y ) y e daí z (, ) (, ) y (, ) (, ) y y Portanto, (, ) e y (, ) b) Reta normal: (, y, z) (,, ) (,, ) ou seja, (, y, z) (,, ) (,, ) 7 Seja (, y ) y O plano tangente em (, y, z ), z (, y ), é z z y (, )( ) ( y, y )( y y ) Para que tal plano passe pela origem, devemos ter (, y ) (, y ) y y (, y ) De 4 y y e ( y) y ( y) 84

5 segue 5 y y y ( y ) (, y) y Logo, o plano tangente em (, y, z ) passa pela origem Sejam (, y) y e g(, y) y Equação do plano tangente em (a, b, (a, b)): z a b ab a (, ) (, )( ) ( y ab, )( y b ) z a b a( a) b(y b) z a b a by Reta normal ao gráico de em (a, b, (a, b)) (, y, z) (a, b, (a, b)) (a, b, ) Seja (, y, (, y )) o ponto em que tangencia o gráico de g Reta normal ao gráico de g em (, y, (, y )): (, y, z) (, y, z ) (, y, ) Os vetores (a, b, ) e (, y, ) são paralelos Logo o produto vetorial é nulo r i r j r a b y r r r Þ ( b y) i ( a) j ( 4b 4ay) Daí a e y b (a, b, g(a, b)) (a, b, a b ) (plano tangente) Substituindo em : a b a b a (a) b (b) Þ Þ a b Þ Þ a b Considere (, y) g ( y) onde g(u) é unção derivável de uma variável 4 4 u Temos g( u) g( u) g( u) g( u) 85

6 g( u) ( y) yg( u) y Daí ( a, a ) a ( aa, ) a y ( aa, ) que é a condição para que o plano tangente em (a, a, (a, a)) z a a aa a (, ) (, )( ) ( y aa, )( y a ) passe pela origem 5 Ey (, ), pois, para (, y) (, y ), tem-se (, y) Æ(, y ) Ey Ey (, ) (, ) ( y, ) (, y) (, y) (, y ) Sendo (, y) dierenciável em (, y ), será também contínua neste ponto Segue que [ (, y) a( ) b( y y ) c] (, y ) c, (, y) Æ(, y ) Ey (, ) logo, c (, y ) Fazendo y y em Ey (, ) resulta (, y) (, y ) Ey (, ) Ey (, ) (, y) (, y) a( ) (, y) (, y) Ey (, ) Ey De (, resulta ) que é equivalente a (, y) Æ(, y ) (, y) (, y) Æ Ey (, ) Segue que Æ (, y ) (, y ) a ( ) Æ Daí, (, y ) (, y ) a e, portanto, Æ (, y ) a Com raciocínio análogo, veriica-se que (, y ) b Eercícios 4 6 P P dp dp V R Temos VRdV V dr R 86

7 dv, volt e dr, ohm Substituindo dp (, ) 4, 5 Logo P 5W Eercícios 5 a) (, y) y Temos Ê (, y) Á, Þ (, y) ( y, ) Ë y r r ou (, y) yi j b) (, y) e y Temos Ê y e y (, ), (, y e y Á ) Ë y ou (, y) e y r r ( i yj) c) (, y) y Temos Ê Ê (, y) Á, Á, Ë y Ë y y ou y y i r r (, ) j y d) (, y) arctg y Temos Ê Ê y (, y) Á, Á, Ë y Ë y y ou y y y i r r (, ) j y 6 Como estamos admitindo que a imagem de está contida na superície de nível (, y, z), teremos ((t)) (y(t)) (z(t)), para todo t no domínio de Derivando em relação a t, resulta 87

8 (t) (t) y(t) y(t) z(t) z(t) Para t t, (, y, z ) (t ) e, portanto, (, y ) (t ) Como a curva é qualquer, podemos interpretar (, y ) como um vetor normal em (, y, z ) à superície y z 8 Seja (, y) y (t) ((t), y(t)), t I, é dierenciável e sua imagem está contida na curva de nível (, y) Assim, para todo t em I, temos (t) y(t) Derivando em relação a t, resulta (t) y(t) (t) y(t), ou seja, (y(t), (t)) ((t), y(t)) e, portanto, para todo t em I, ((t)) (t) A imagem da curva ( t) Ê t,, t, Ë t está contida na curva de nível y 9 Sejam (, y) y e (t) (sen t, sen t) a) De (t) sen t e y(t) sen t resulta y(t) (t) sen t sen t para todo t Logo, Im está contida na curva de nível (, y) b) A imagem de é o arco da parábola y, c) (t) ((t)) (cos t, sen t cos t) ( sen t, ) sen t cos t sen t cos t 88

9 pois,, (t) ((t), y(t)) (cos t, sen t cos t) e y ((t)) ( sen t, ) Seja (, y, z) 4y 9z Ê a) A imagem de (t) sen t, cos t, Ë está contida na superície, pois (t) 4 y (t) 9 z (t) sen t 4 cos t 9, para todo t b) Sendo (t) a curva do item a), temos ((t)) ( sen t, 4 cos t, ) e Ê (t) cos t, sen t, Ë Segue que ((t)) (t) ( sen t, 4 cos t, ) Ê cos t, sen t, Ë sen t cos t sen t cos t Ê O gradiente é normal em sen t, cos t, Ë à curva (t) 89