Modelação Numérica 2017 Aula 7, 8/Mar
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- Ana Lívia Martinho Osório
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1 Modelação Numérica 2017 Aula 7, 8/Mar Filtros de média móvel Filtros de Fourier h2p://modnum.ucs.ciencias.ulisboa.pt
2 Espectro de amplitude e de fase Aula passada sin(x) cos(x) Fase = -π/2 Fase = 0
3 Propriedades da TDF Aula passada Linearidade: G = F(g); H = F(h) F(ag+bh) = ag + bh
4 Propriedades da TDF Aula passada Translação: G(f) = F(g(t)) F(g(t-a)) = e -ifa G(f)
5 Propriedades da TDF Aula passada Escalamento: G(f) = F(g(t)) F(g(at)) = 1/a G(f/a)
6 FFT (ifft): Fast Fourier Transform Aula passada import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import pi as pi import numpy.fft as fft plt.rcparams['figure.figsize'] = 5, 6 #%% N=100.; T=10.; dt=1. t=np.arange(0.,n,dt) f=3*np.cos(2*pi * t/t) tf=fft.fft(f) fout=tf[:n/2] fnyq=1/(2*dt); df=1/(n*dt); freq=np.arange(0, fnyq,df) plt.close(); plt.subplot(2,1,1); plt.plot(t, f) plt.title('coseno (T=10)'); plt.grid(); plt.subplot(2,1,2); plt.plot(freq,np.abs(fout)/(n/2)) plt.title('amplitude da FFT (np.abs(fout))'); plt.grid(); plt.xlabel('freq (Hz)') plt.tight_layout() A FFT será eficiente se N=2 k.
7 Convolução e Correlação Aula passada Convolução: Correlação: y(k) =x h = conv(x, h) = y(k) =corr(x, h) = X +1X n= 1 +1X X n= 1 1 x(n)h(k n) x(n)h(n + k)
8 Convolução e Correlação Aula passada Cmglee
9 Teorema da convolução Aula passada F(xy) = F(x) * F(y) F(x*y) = F(x) F(y) Teorema da correlação F(corr(x,x)) = F(x) F(x)*
10 Filtros Input
11 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import pi as pi import numpy.fft as fft plt.rcparams['figure.figsize'] = 10, 6 #%% ## Cos 50 N=300; T=50.; dt=1. t=np.arange(0.,n,dt) f1=np.cos(2*pi * t/t) tf1=fft.fft(f1) fout1=tf1[:n/2] fnyq=1/(2*dt); df=1/(n*dt); freq=np.arange(0, fnyq, df) N1=N #%% ## Cos 100 T=100.; f2=np.cos(2*pi * t/t) tf2=fft.fft(f2) fout2=tf2[:n/2] #%% ## Cos 50 + cos 100 fs=f1+f2 tfs=fft.fft(fs) fouts=tfs[:n/2] #%% Plots plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, f1) plt.title('in1, f=0.02 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, f2) plt.title('in2, f=0.01 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, fs) plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.semilogx(freq,np.abs(fout1)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in1))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.semilogx(freq,np.abs(fout2)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,6); plt.semilogx(freq,np.abs(fouts)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in1+in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.tight_layout()
12 Filtro de média móvel (domínio do tempo) h(t) #%% Média móvel passa-baixo NF=51; # nr de pontos da janela h=np.ones(nf)/nf; c1=np.convolve(f1, h, mode='same') c2=np.convolve(f2, h, mode='same') cs=np.convolve(fs, h, mode='same')
13 #%% Plots plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, f1) plt.title('in1, f=0.02 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, f2) plt.title('in2, f=0.01 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, fs) plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.plot(t,c1) plt.title('conv(in1, h))'); plt.grid(); plt.ylim([-1,1]) plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.plot(t,c2) plt.title('conv(in2, h))'); plt.grid(); plt.ylim([-1,1]) plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,6); plt.plot(t,cs) plt.title('conv(in1+in2, h))'); plt.grid(); plt.ylim([-1,1]) plt.xlabel(u'frequência') plt.tight_layout()
14 Filtro de média móvel (domínio do tempo) h(t) Alta frequência: Eliminada Frequência mais baixa: Atenuada
15 Filtro de média móvel (domínio do tempo) h(t) Fase conservada (filtro simétrico) Fase conservada (filtro simétrico)
16 Filtro de média móvel (domínio do tempo) h(t) Efeito de fronteira Size: h/2
17 Filtro de média móvel (domínio do tempo) #%% Espectros dos sinais filtrados tfc1=fft.fft(c1) foutc1=tfc1[:n/2] Fc1=np.abs(foutc1)/(N/2) tfc2=fft.fft(c2) foutc2=tfc2[:n/2] Fc2=np.abs(foutc2)/(N/2) tfcs=fft.fft(cs) foutcs=tfcs[:n/2] Fcs=np.abs(foutcs)/(N/2)
18 #%% Plots plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, f1, t, c1) plt.title('in1, f=0.02 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, f2, t, c2) plt.title('in2, f=0.01 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, fs, t, cs) plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.semilogx(freq,np.abs(fout1)/(n/2), freq, Fc1) plt.title('abs(fft(in1))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.semilogx(freq,np.abs(fout2)/(n/2), freq, Fc2) plt.title('abs(fft(in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,6); plt.semilogx(freq,np.abs(fouts)/(n/2), freq, Fcs) plt.title('abs(fft(in1+in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.tight_layout()
19 Filtro de média móvel (domínio do tempo) Input Convolução
20 Filtro de média móvel (domínio espectral) Domínio do tempo Domínio espectral hh = np.append(h, np.zeros(len(fs)-len(h))) tfh=fft.fft(hh) fouth=tfh[:n/2] Fh=np.abs(fouth)/(N/2)
21 Filtro de média móvel (domínio espectral) #%% Plots plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, fs) plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, hh) plt.title('h'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.semilogx(freq,np.abs(fouts)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in1+in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.semilogx(freq,np.abs(fouth)/(n/2)) plt.title('abs(fft(h))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência')
22 Filtro de média móvel (domínio espectral) Domínio do tempo Domínio espectral Função de transferência Altas frequências quase eliminadas. Função de transferência com oscilações. Atenuação em todo o espectro.
23 Filtro de média móvel (domínio espectral) Domínio do tempo: convolução Domínio espectral: mul_plicação Convol. Tempo Mul_pl. Espectro
24 Filtro de média móvel (domínio espectral) plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, cs) plt.title('conv(in1 + In2, h)'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,6); plt.semilogx(freq, Fcs, freq, np.abs(fouts*fouth)/(n/2)) plt.title('abs(conv(in1 + In2, h))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') Domínio do tempo: convolução Domínio espectral: mul_plicação Convol. Tempo Mul_pl. Espectro
25 Filtro de média móvel (função de transferência) Domínio espectral: mul_plicação O filtro até funcionou bem, mas foi sorte... A frequência a eliminar estava num dos mínimos... T=100 T=50 Convol. Tempo Mul_pl. Espectro
26 E com uma frequência mais alta? (T=30 s)
27 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import pi as pi import numpy.fft as fft #%% ## Cos 50 N=300; T=30.; dt=1. t=np.arange(0.,n,dt) f1=np.cos(2*pi * t/t) tf1=fft.fft(f1) fout1=tf1[:n/2] fnyq=1/(2*dt); df=1/(n*dt); freq=np.arange(0, fnyq, df) N1=N #%% ## Cos 100 T=100.; f2=np.cos(2*pi * t/t) tf2=fft.fft(f2) fout2=tf2[:n/2] #%% ## Cos 50 + cos 100 fs=f1+f2 tfs=fft.fft(fs) fouts=tfs[:n/2] #%% Plots #%% Plots plt.rcparams['figure.figsize'] = 10, 6 plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, f1) plt.title('in1, f=0.02 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, f2) plt.title('in2, f=0.01 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, fs) plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.semilogx(freq,np.abs(fout1)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in1))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.semilogx(freq,np.abs(fout2)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,6); plt.semilogx(freq,np.abs(fouts)/(n/2)) plt.title('abs(fft(in1+in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.tight_layout()
28 E com uma frequência mais alta? (T=30 s) T=100 T=30
29 E com uma frequência mais alta? (T=30 s) #%% Média móvel passa-baixo NF=51; # nr de pontos da janela h=np.ones(nf)/nf; c1=np.convolve(f1, h, mode='same') c2=np.convolve(f2, h, mode='same') cs=np.convolve(fs, h, mode='same') #%% Espectros dos sinais filtrados tfc1=fft.fft(c1) foutc1=tfc1[:n/2] Fc1=np.abs(foutc1)/(N/2) tfc2=fft.fft(c2) foutc2=tfc2[:n/2] Fc2=np.abs(foutc2)/(N/2) tfcs=fft.fft(cs) foutcs=tfcs[:n/2] Fcs=np.abs(foutcs)/(N/2)
30 #%% Plots plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, f1, t, c1) plt.title('in1, f=0.02 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, f2, t, c2) plt.title('in2, f=0.01 Hz'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, fs, t, cs) plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.semilogx(freq,np.abs(fout1)/(n/2), freq, Fc1) plt.title('abs(fft(in1))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.semilogx(freq,np.abs(fout2)/(n/2), freq, Fc2) plt.title('abs(fft(in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,6); plt.semilogx(freq,np.abs(fouts)/(n/2), freq, Fcs) plt.title('abs(fft(in1+in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.tight_layout()
31 E com uma frequência mais alta? (T=30 s) Convolução no domínio do tempo Input Convolução
32 E com uma frequência mais alta? (T=30 s) Convolução no domínio do tempo Convol. Tempo Mul_pl. Espectro
33 E com uma frequência mais alta? (T=30 s) Convolução no domínio do tempo A função de transferência: Oscila Decai lentamente É um mau filtro... O comportamento do filtro de media móvel depende não só da frequência como também da sua localização exacta em relação às oscilações da função de transferência! Convol. Tempo Mul_pl. Espectro
34 É melhor definir os filtros no domínio espectral No caso discreto: Input X 2 senos 1 frequência 0 H (função de transferência do filtro) Banda passante Banda de corte Output=HX
35 É melhor definir os filtros no domínio espectral # Filtro no domínio do tempo for ifr in range(0,n/2): if freq[ifr]<=1/100.: ifreq=ifr+1 FFTfilt=np.zeros(N) FFTfilt[:ifreq]=1; FFTfilt[-ifreq:]=1; # Transformadas de Fourier inversas ff1=fft.ifft(fftfilt*tf1) ff2=fft.ifft(fftfilt*tf2) ffs=fft.ifft(fftfilt*tfs) No caso discreto: Atenção! A função de transferência tem de estar definida em todo o domínio espectral (entre f=0 e f=2f Nyq ).
36 E com uma frequência mais alta? (T=30 s) MulUplicação no domínio do espectro Input Convol. Tempo Mul_pl. Espectro
37 #%% plt.close(); plt.subplot(3,2,1); plt.plot(t, f1, t, c1, t, ff1, '--') plt.title('in1'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,3); plt.plot(t, f2, t, c2, t, ff2, '--') plt.title('in2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,5); plt.plot(t, fs, t, cs, t, ffs, '--') plt.title('in1 + In2'); plt.grid(); plt.xlabel(u'tempo (s)') plt.subplot(3,2,2); plt.semilogx(freq,np.abs(tf1[:n/2])/(n/2), freq,np.abs(tfc1[:n/2])/(n/2), freq,np.abs((fftfilt*tf1)[:n/2])/(n/2), '--') plt.title('abs(fft(in1))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,4); plt.semilogx(freq,np.abs(tf2[:n/2])/(n/2), freq,np.abs(tfc2[:n/2])/(n/2), freq,np.abs((fftfilt*tf2)[:n/2])/(n/2), '--') plt.title('abs(fft(in2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.subplot(3,2,6); plt.semilogx(freq, np.abs(tfs[:n/2])/(n/2), freq,np.abs(tfcs[:n/2])/(n/2), freq,np.abs((fftfilt*tfs)[:n/2])/(n/2), '--') plt.title('abs(h x FFT(In1+In2))'); plt.grid(); plt.xlabel(u'frequência') plt.tight_layout()
38 Transformadas de Fourier de séries importantes #%% Delta de Dirac 0 N=1000; s=np.zeros(n) t=np.arange(n) dt=1.; fnyq=1/(2*dt); df=1/(dt*n); freq=np.arange(-fnyq,fnyq,df); F(δ 0 de Dirac) = constante #%% s=np.zeros(n); s[0]=10; S=fft.fft(s); SS=np.concatenate([S[N/2:], S[:N/2]]) plt.rcparams['figure.figsize'] = 5, 6 plt.close() plt.subplot(4,1,1); plt.plot(t,s); plt.grid() plt.title(u's = Delta de Dirac'); plt.xlim([-100,1000]) plt.subplot(4,1,2); plt.plot(freq,np.real(ss)); plt.title('real(s)'); plt.grid() plt.xlim([-.5,.5]); plt.ylim([-1,11]) plt.subplot(4,1,3); plt.plot(freq,np.imag(ss)); plt.title('imag(s)'); plt.grid() plt.xlim([-.5,.5]); plt.ylim([-1,11]) plt.subplot(4,1,4); plt.plot(freq,np.abs(ss)); plt.title('abs(s)'); plt.grid()
39 Transformadas de Fourier de séries importantes #%% Delta de Dirac 50 N=1000; s=np.zeros(n) t=np.arange(n) dt=1.; fnyq=1/(2*dt); df=1/(dt*n); freq=np.arange(-fnyq,fnyq,df); F(δ 50 de Dirac) = constante #%% s[50]=10; S=fft.fft(s); SS=np.concatenate([S[N/2:], S[:N/2]]) plt.subplot(4,1,1); plt.plot(t,s); plt.grid() plt.title(u's = Delta de Dirac (50)'); plt.subplot(4,1,2); plt.plot(freq,np.real(ss)); plt.title('real(s)'); plt.grid() plt.subplot(4,1,3); plt.plot(freq,np.imag(ss)); plt.title('imag(s)'); plt.grid() plt.subplot(4,1,4); plt.plot(freq,np.abs(ss)); plt.title('abs(s)'); plt.grid() plt.tight_layout()
40 Transformadas de Fourier de séries importantes #%% Pente N=1000; s=np.zeros(n) t=np.arange(n) dt=1.; fnyq=1/(2*dt); df=1/(dt*n); freq=np.arange(-fnyq,fnyq,df); Pente de Dirac: F(δ k de Dirac) = δ n Amostrar regularmente = mul_plicar por pente #%% s[range(0,n,20)]=10; S=fft.fft(s); SS=np.concatenate([S[N/2:], S[:N/2]]) plt.subplot(4,1,1); plt.plot(t,s); plt.grid() plt.title(u's = Delta de Dirac (k)'); plt.subplot(4,1,2); plt.plot(freq,np.real(ss)); plt.title('real(s)'); plt.grid() plt.subplot(4,1,3); plt.plot(freq,np.imag(ss)); plt.title('imag(s)'); plt.grid() plt.subplot(4,1,4); plt.plot(freq,np.abs(ss)); plt.title('abs(s)'); plt.grid() plt.tight_layout()
![Transformadas de Fourier de séries importantes #%% Janela rectangular s=np.zeros(n); NJ=100 s[:nj]=1; s[-nj:]=1; S=fft.fft(s); SS=np.concatenate([S[N/2:], S[:N/2]]) plt.rcparams['figure.](/docs-images/83/87143319/images/41-0.jpg "figsize'] = 5, 6 plt.close() plt.subplot(3,1,1); plt.plot(t,s); plt.grid() plt.title(u's = janela rectangular'); plt.subplot(3,1,2); plt.plot(freq,np.real(ss)); plt.title('real(s)'); plt.grid() plt.subplot(3,1,3); plt.")
41 Transformadas de Fourier de séries importantes #%% Janela rectangular s=np.zeros(n); NJ=100 s[:nj]=1; s[-nj:]=1; S=fft.fft(s); SS=np.concatenate([S[N/2:], S[:N/2]]) plt.rcparams['figure.figsize'] = 5, 6 plt.close() plt.subplot(3,1,1); plt.plot(t,s); plt.grid() plt.title(u's = janela rectangular'); plt.subplot(3,1,2); plt.plot(freq,np.real(ss)); plt.title('real(s)'); plt.grid() plt.subplot(3,1,3); plt.plot(freq,np.imag(ss)); plt.title('imag(s)'); plt.grid() plt.ylim([-1,1]) plt.tight_layout() Janela rectangular
42 Transformadas de Fourier de séries importantes #%% Janela de Hann Janela de Hann s=np.zeros(n); alpha=0.5;beta=1-alpha; NH=300;NH2=NH/2; th=np.arange(nh); hann=alpha-beta*np.cos(2*pi*th/(nh)) hann=hann/np.sum(hann) for i in range(nh2): s[i]=hann[nh2+i]; s[-i]=hann[nh2-i]; S=fft.fft(s); SS=np.concatenate([S[N/2:], S[:N/2]]) plt.subplot(3,1,1); plt.plot(t,s); plt.grid() plt.title(u's = janela Hann'); plt.subplot(3,1,2); plt.plot(freq,np.real(ss)); plt.title('real(s)'); plt.grid() plt.subplot(3,1,3); plt.plot(freq,np.imag(ss)); plt.title('imag(s)'); plt.grid() plt.ylim([-1,1]) plt.tight_layout()
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